高一上期末复习(2)函数 讲义
必修一专题复习高一数学(讲义2)求函数的定义域
必修一专题复习高一数学（讲义2）复习范围：必修1 第一章——第三章第一章 集合与函数的概念（2）求函数的定义域知识点1：函数定义域 常见函数定义域的求法例1函数y ＝log 2（x －12－x的定义域为________．变式1：求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x ＋2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋13－x .知识点2：复合函数的定义域口诀：f 后整体范围一致；定义域为自变量x 的取值范围。
例2、设函数)(x f 的定义域是[0，2]，求 ①|)12(|-x f ；②)1()1(-++x f x f 的定义域.知识点：不等式0>a（1）a x a a x <<-⇔<； （1）a x a a x <<-⇔<2；（2）a x a x a x >-<⇔>或； （2）a x a x a x >-<⇔>或2；（3）a b x a a b x <+<-⇔<+； （3）a b x a a b x <+<-⇔<+2)(；（4）a b x a b x a b x >+-<+⇔>+或；（4）a b x a b x a b x >+-<+⇔>+或2)(；变式1：设函数()f x 的定义域为[]1,1-，则函数1()2x g x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是_____________.例3、已知函数)12(+=x f y 的定义域是[0，1]，求函数)(x f y =的定义域。
例4、已知(1)y f x =+的定义域为 []23-，，求函数(21)y f x =-的定义域。
变式1：已知函数(1)f x +的定义域为122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求2()f x 的定义域变式2：已知函数(21)f x -的定义域为[)01，，求(13)f x -的定义域.变式3：已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，则函数f (2x )的定义域为____________．变式4：若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1)。
高一必修一函数复习讲义
个性化辅导授课教案+∞1)(0,1)；1,0)(1,)+∞1,0)(0,1)1)(1,)二次函数常见题型一．最值问题()x f已知函数注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f = 例1求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3例2指数函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx ，y ＝dx 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．例3比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()例4作出下列函数的图像：(1)y (2)y 22x＝＝－，()121x +【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11 y ＝2|x-1| (4)y ＝|1－3x|保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)例5.()()111>+-=a a a x f x x (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数f(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x x x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 12122.对数函数1.对数的概念一般地，如果ax ＝N(a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝logaN ．a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数． (2)loga1＝0(a ＞0，a ≠1)． (3)logaa ＝1(a ＞0，a ≠1)．10.对数的基本运算性质(1)loga(M ·N)＝logaM ＋logaN ． (2)loga M N＝logaM －logaN ． (3)logaMn ＝nlogaM(n ∈R)．4.换底公式（1）logab ＝logcb logca(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．（2） 5.对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝logax(a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．6.对数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞) 值域R 过定点(1，0)，即当x ＝1时，y ＝0 单调性在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 奇偶性非奇非偶函数 7.反函数对数函数y ＝logax(a ＞0且a ≠1)和指数函数y ＝ax(a ＞0且a ≠1)互为反函数．例1.求下列函数的定义域：(1)y ＝lg （2－x ）； (2)y ＝1log3（3x －2）； (3)y ＝log(2x －1)(－4x ＋8)．例2.比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a ≠1)；(3)log30.2，log40.2； (4)log3π，log π3.。
2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用(二)(解析版)
2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用（二）一、单选题1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ）A ．用二分法求方程的近似解一定可以得到()0f x =在[],a b 内的所有根B ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的重根C ．用二分法求方程的近似解有可能得出()0f x =在[],a b 内没有根D ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的精确解 【答案】D【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.【解析】利用二分法求方程()0f x =在[],a b 内的近似解，即在区间[],a b 内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[],a b 内的精确解． 故选：D.2．函数f （x ）＝x 2﹣4x +4的零点是（ ） A ．（0，2） B ．（2，0）C ．2D ．4【答案】C【分析】由函数零点的定义列出方程x 2﹣4x +4＝0，求出方程的根是函数的零点． 【解析】由f （x ）＝x 2﹣4x +4＝0得，x ＝2， 所以函数f （x ）＝x 2﹣4x +4的零点是2， 故选：C ．3．若函数()f x 在区间[]1,1-上的图像是连续不断的曲线，且()f x 在()1,1-内有一个零点，则()()11f f -⋅的值（ ） A ．大于零 B ．小于零C ．等于零D ．不能确定【答案】D【分析】由题意，分类讨论()()1,1f f -不同情况下的正负，从而得出不同的结论.【解析】因为()f x 在区间[]1,1-上的图像是连续不断的曲线，且()f x 在()1,1-内有一个零点，若()()10,10-<>f f （或()()10,10-><f f ），此时()()110f f -⋅<；若()10f -=（或()10f =），此时()()110-⋅=f f ；若()()10,10->>f f （或()()10,10-<<f f ），此时()()110f f -⋅>，所以()()11f f -⋅的值不能确定. 故选：D4．函数()()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定．【解析】()()21ln 11ln 2201f =+-=-<，()()2ln 21ln 31022f =+-=->由()21201f x x x'=+>+，则()f x 在()0,∞+上单调递增. 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是()1,2故选：B5．函数()22xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．0,1B ．1,0C ．1,2D ．()2,3【答案】B【分析】根据函数解析式，判断()1f -、()0f 等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【解析】()3102f -=-<，()010f =>，且函数为增函数，由函数零点存在定理，()f x 的零点所在的区间是1,0．故选：B.6．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围( )A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．(0，1)D ．[]0,1【答案】C【分析】作出f (x )图像，判断y ＝m 与y ＝f (x )图像有3个交点时m 的范围即可.【解析】∵()()g x f x m =-有3个零点， ∴()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与()y f x =的图像有三个交点. 作出()y f x =图像，由图可知，实数m 的取值范围是(0，1). 故选：C.R (2,2)-内的零点个数至少为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据奇函数()f x 的定义域为R 可得(0)0f =，由(2)(1)0f f -=≠和奇函数的性质可得(2)(1)0f f <、(2)(1)0f f --<，利用零点的存在性定理即可得出结果.【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，其图象为一条连续不断的曲线， 得(0)0f =，由(2)(1)0f f -=≠得(2)(1)0f f -=≠， 所以(2)(1)0f f <，故函数在(12)，之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在(21)--，之间至少存在一个零点， 所以函数在(22)-，之间至少存在3个零点. 故选：C8．已知定义在R 上的函数()f x 的图像连续不断，若存在常数R λ∈，使得()()0f x f x λλ++=对于任意的实数x 恒成立，则称()f x 是“回旋函数”．若函数()f x 是“回旋函数”，且2λ=，则()f x 在[]0,2022上（ ） A ．至多有2022个零点 B ．至多有1011个零点 C ．至少有2022个零点 D ．至少有1011个零点 【答案】D【分析】根据已知可得：()()2200f f +=，当()00f ≠时利用零点存在定理，可以判定区间()0,2内至少有一个零点，进而判定()2,4，()4,6，…，()2020,2022上均至少有一个零点，得到()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当()00f =时，可以得到()()()0220220f f f ==⋅⋅⋅==，此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D 正确；举特例函数()0f x =，或者构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，可以排除A .【解析】因为()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，令0x =，得()()2200f f +=．若()00f ≠，则()2f 与()0f 异号，即()()200f f ⋅<，由零点存在定理得()f x 在()0,2上至少存在一个零点．由于()()220f k f k ++=，得到()20()f k k Z ≠∈，进而()()()220f k f k f k +=-<⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在区间()2,4，()4,6，…，()2020,2022内均至少有一个零点，所以()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点．构造函数()1,022(2),222()x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，是“回旋函数”，在[]0,2022上恰好有1011个零点.若()00f =，则()()()()()024620220f f f f f ====⋅⋅⋅==，此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点． 综上所述，()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C 错误，D 正确； 可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B 错误；对于A,[解法一]取函数()0f x =，满足()()220f x f x ++=，但()f x 在[]0,2022上处处是零点，故A 错误.[解法二] 构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，是“回旋函数”，在[]0,2022上恰好有2023个零点，故A 错误. 故选：D ．9．对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若()()00f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数()()2R f x x a a =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．34∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， C ．3144⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以()f x x =有解，但方程组()()()121221f x x x x f x x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩无解，然后利用判别式即得. 【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以()f x x =有解，但方程组()()()121221f x x x x f x x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩无解， 由()f x x =，得20x x a -+=有解，所以140a -≥，解得14a ≤． 由()()1221f x x f x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，得212221x a x x a x ⎧+=⎨+=⎩，，两式相减，得()()121221x x x x x x -+=-，因为12x x ≠，所以211x x =--，消去2x ，得21110x x a +++=，因为方程21110x x a +++=无解或仅有两个相等的实根，所以()1410a -+≤，解得34a ≥-，故a 的取值范围是3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：D.10．已知()313log f x x x =-时，当0a b c <<<时，满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，则关于以下两个结论正确的判断是（ ）①函数()y f x =只有一个零点；②函数()y f x =的零点必定在区间（a ，b ）内． A ．①②均对 B ．①对，②错 C ．①错，②对 D ．①②均错 【答案】B【分析】由题可得函数在()0,∞+上为增函数，且()10f >，103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再结合零点存在定理及符号法则即可判断.【解析】因为13y x =和13log y x=-均为区间()0,∞+上的严格增函数，因此函数1313log y x x =-也是区间()0,∞+上的严格增函数，且()10f >，103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．所以()y f x =只有一个零点，①对．因为()()()0f a f b f c ⋅⋅<， 所以()()(),,f a f b f c 的符号为两正一负或者全负，又因为0a b c <<<， 所以必有()0f a <，()0f b <，()0f c <或者()0f a <，()0f b >，()0f c >．当()0f a <，()0f b <，()0f c <时，零点在区间(),c +∞内；当()0f a <，()0f b >，()0f c >时，零点在区间（a ，b ）内，所以②错． 故选：B ．11．函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()()()g x f x t t R =-∈有3个不同的零点a ，b ，c ，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．[)16,32 B ．[)16,34C ．(]18,32D ．()18,34【答案】D【分析】作出函数()y f x =的图象和直线y t =，它们的交点的横坐标即为()g x 的零点，利用图象得出,,a b c 的性质、范围，从而可求得结论．【解析】作出函数()y f x =的图象和直线y t =，它们的交点的横坐标即为()g x 的零点，如图，则1221a b -=-，45c <<，222a b +=，2(16,32)c∈，所以1822234a b c <++<． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．12．已知函数()2log ,01,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===(1234,,,x x x x 互不相等)，则1234x x x x +++的取值范围是（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】先画函数图象，再进行数形结合得到122x x +=-和2324log log x x =，结合对勾函数单调性解得441x x +的范围，即得结果. 【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示:设1234x x x x <<<，则()12212x x +=⨯-=-.因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=， 所以()2324234log log log 0x x x x +==，所以341x x =，即341x x=.当2log 1x =时，解得12x =或2x =，所以412x <≤.设34441t x x x x =+=+， 因为函数1y x x =+在()1,+∞上单调递增，所以441111212x x +<+≤+，即34522x x <+≤， 所以1234102x x x x <+++≤. 故选：D.二、多选题13．用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确到0.01时，所需二分区间的次数可以为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】CD【分析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n，由10.012n ≤即可求解. 【解析】由题意，知区间[]0,1的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后，区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解，要求精确到0.01， ∴10.012n≤，解得7n ≥， 故选：CD ．A ．已知方程8x e x =-的解在()(),1k k k Z +∈内，则1k =B ．函数()223f x x x =--的零点是()1,0-，()3,0C ．函数3x y =，3log y x =的图像关于y x =对称D ．用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()10f <，()1.50f >，()1.250f <，则方程的根落在区间()1.25,1.5上 【答案】ACD【解析】由函数零点的概念判断选项B ，由函数零点存在性定理判断选项AD ，由函数3x y =与函数3log y x =互为反函数判断选项C.【解析】对于选项A ，令()=8xf x e x +-，因为()f x 在R 上是增函数，且()()2170,260f e f e =-<=->，所以方程8x e x =-的解在()1,2，所以1k =，故A 正确；对于选项B ，令2230x x --=得=1x -或3x =，故函数()f x 的零点为1-和3，故B 错误； 对于选项C ，函数3x y =与函数3log y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称，故C 正确； 对于选项D ，由于()()()()1.2550,1 1.250f f f f ⋅<⋅>，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间()1.25,1.5上，故D 正确.故选：ACD15．（多选）已知函数f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，若0f a f b ⋅<，则在区间[],a b 上（ ）A ．方程()0f x =没有实数根B ．方程()0f x =至多有一个实数根C ．若函数()f x 单调，则()0f x =必有唯一的实数根D ．若函数()f x 不单调，则()0f x =至少有一个实数根【答案】CD【分析】根据零点存在定理可得答案.【解析】由函数零点存在定理，知函数()f x 在区间[],a b 上至少有一个零点， 所以若函数()f x 不单调，则()0f x =至少有一个实数根，若函数()f x 单调，则函数()f x 有唯一的零点，即()0f x =必有唯一的实数根， 故选：CD ．16．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，令()()h x f x k =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞B ．当(]43k ,∈--时，()h x 有3个零点C ．当2k =-时，()h x 的所有零点之和为-1D ．当(),4k ∈-∞-时，()h x 有1个零点 【答案】BD【分析】画出()f x 的图象，然后逐一判断即可. 【解析】()f x 的图象如下：由图象可知，()f x 的增区间为()()1,0,0,-+∞，故A 错误当(]43k ,∈--时，()y f x =与y k =有3个交点，即()h x 有3个零点，故B 正确； 当2k =-时，由2232x x +-=-可得12x =-±，由2ln 2x -+=-可得1x = 所以()h x 的所有零点之和为1212--+=-，故C 错误；当(),4k ∈-∞-时，()y f x =与y k =有1个交点，即()h x 有1个零点，故D 正确； 故选：BD三、填空题17．函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，则其另一个零点为______． 【答案】3-【分析】由函数零点解出a 的值后再计算另一个零点，或利用韦达定理计算即可. 【解析】解法一：因为函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1， 将(1,0)代入得230a a ++=，解得1a =-． 所以223y x x =--+．令2x 2x 30--+=，解得11x =，23x =-， 所以函数的另一个零点为3-．解法二：由函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，可得方程2230,(0)ax ax a ++=≠的一个根为1，根据根与系数的关系可得1222ax x a+=-=-，所以另一个根为3-．故函数的另一个零点为3-． 故答案为：3-.R ③当12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-；④()f x 恰有两个零点，请写出函数()f x 的一个解析式________【答案】2()1f x x =- （答案不唯一）【分析】由题意可得函数()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，函数图象与x 轴只有2个交点，由此可得函数解析式【解析】因为x ∀∈R ，()()f x f x =-，所以()f x 是偶函数，因为当12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-， 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数， 因为()f x 恰有两个零点，所以()f x 图象与x 轴只有2个交点，所以函数()f x 的一个解析式可以为2()1f x x =-， 故答案为：2()1f x x =- （答案不唯一） 19．已知()f x 是定义域为()(),00,∞-+∞的奇函数，函数()()g x f x x=+，()11f =-，当210x x >>时，()()12111222x x f x x x x f x x ->-恒成立．现有下列四个结论：①()g x 在()0,∞+上单调递增；②()g x 的图象与x 轴有2个交点；③()()1326f f +-<；④不等式()0g x >的解集为()()1,00,1-．___________【答案】②③【分析】根据给定条件，探讨函数()g x 的性质，再逐一分析各个命题即可判断作答. 【解析】因当210x x >>时，()()12111222x x f x x x x f x x ->-恒成立，则()()122111f x f x x x ->-恒成立， 即()()121211f x f x x x +>+恒成立，因此()()12g x g x >恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递减， 而()f x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数，1y x=是()(),00,∞-+∞上的奇函数，则()g x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数，因此函数()g x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数，且在()0,∞+上单调递减，命题①不正确；因()11f =-，即()()11101g f =+=，()10g -=，显然()g x 在(),0∞-上单调递减，于是得()g x 的图象与x 轴有2个交点，命题②正确；显然()()32g g <，即()()113232f f +<+，则()()1326f f -<，因此()()1326f f +-<，命题③正确；因奇函数()g x 在(),0∞-，()0,∞+上单调递减，且()1(1)0g g -==，则当()0,1x ∈时，()0g x >，当(),1x ∈-∞-时，()0g x >，不等式()0g x >的解集为()(),10,1-∞-⋃，命题④不正确． 故答案为：②③20．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()()111212f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin 5π的近似值是_______． 【答案】2425##0.96【分析】根据题意先求出123,,y y y ，进而求出12,,k k k ，然后求得()f x ，最后求得2sin 5π的近似值. 【解析】函数()sin y f x x ==在10x =，22x π=，3x π=处的函数值分别为()100y f ==，212y f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()30y f π==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--， 故()22224442f x x x x x x πππππ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 即2244sin x x x ππ≈-+，所以2224242sin 555πππππ⎛⎫≈-⨯+⨯= ⎪⎝⎭2425． 故答案为：2425.四、解答题21．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-.(1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)求函数()f x 的零点. 【答案】(1)证明见解析； (2)22-和22【分析】（1）先证明函数()f x 的定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -=即可；（2）利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简，求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. （1）证明：由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<，∴函数的定义域为{}33x x -<<，且定义域关于原点对称， 又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，∴()f x 是偶函数. （2）解：()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-，令()()2ln 90f x x =-=，∴291x -=，解得22x =±. ∴函数()f x 的零点为22-和22.22．已知函数3f x a =-（0a >且1a ≠），若函数y f x =的图象过点（2，24）．(1)求a 的值及函数()y f x =的零点；(2)求()6f x ≥的解集． 【答案】(1)3，零点是0(2)[1，+∞）【分析】（1）代值求出函数的表达式，再根据零点的定义求解即可； （2）解不等式即可求出解集.【解析】（1）因为函数f （x ）＝ax +1﹣3（a ＞0且a ≠1），图象过点（2，24）， 所以24＝a 2+1﹣3，a 3＝27，a ＝3．函数f （x ）＝3x +1﹣3＝0，得x +1＝1，x ＝0． 所以函数的零点是0．（2）由f （x ）≥6得3x +1﹣3≥6，即3x +1≥32， 所以x ≥1．则f （x ）≥6的解集为[1，+∞）．23．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系是()()20025,,452530,,t t t N P t t N ⎧+<<∈⎪=⎨≤≤∈⎪⎩日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是()40030,Q t t t =-+<≤∈N ． (1)设该商品的日销售额为y 元，请写出y 与t 的函数关系式（商品的日销售额＝该商品每件的销售价格×日销售量）；(2)求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大．【答案】(1)()()220800025,,1800452530,.t t t t N y t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩(2)日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．【分析】（1）根据题目条件中给出的公式，直接计算，可得答案； （2）根据二次函数的性质，结合取值范围，可得答案. （1）由题意知()()()()()2040025,,45402530,,t t t t N y P Q t t t N ⎧+-<<∈⎪=⋅=⎨⨯-≤≤∈⎪⎩即()()220800025,,1800452530,.t t t t N y t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩（2）当025t <<，t ∈N 时，()222080010900y t t t =-++=--+， 所以当10t =时，max 900y =；当2530t ≤≤，t ∈N 时，180045y t =-，所以当25t =时，max 675y =． 因为900675>，所以日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．24．已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，f x x mx =+，函数f x 在轴左侧的图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()0f x a -=有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩ (2)()1,0-【分析】（1）利用()20f -=可求0x ≤时()f x 的解析式，当0x >时，利用奇偶性()()=f x f x -可求得0x >时的()f x 的解析式，由此可得结果；（2）作出()f x 图象，将问题转化为()f x 与y a =有4个交点，数形结合可得结果. （1）由图象知：()20f -=，即420m -=，解得：2m =，∴当0x ≤时，()22f x x x =+；当0x >时，0x -<，()()2222f x x x x x ∴-=--=-，()f x 为R 上的偶函数，∴当0x >时，()()22f x f x x x =-=-；综上所述：()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩；（2）()f x 为偶函数，f x 图象关于y 轴对称，可得()f x 图象如下图所示，()0f x a -=有4个不相等的实数根，等价于()f x 与y a =有4个不同的交点， 由图象可知：10a -<<，即实数a 的取值范围为()1,0-. 25．已知函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12a f =-．(1)求证：函数()f x 有两个不同的零点；(2)设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求12x x -的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2))2,⎡+∞⎣【分析】（1）根据()12a f =-可得32ac b =--，再代入证明判别式大于0即可；（2）根据韦达定理化简可得21222b x x a ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，进而求得范围即可.（1）∵()12a f abc =++=-，∴32ac b =--．∴()232a f x ax bx b =+--．对于方程()0f x =，()222223464222a b a b b a ab a b a ⎛⎫∆=---=++=++ ⎪⎝⎭，∴0∆>恒成立．又0a >，∴函数()f x 有两个不同的零点． （2）由1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，得1x ，2x 是方程()0f x =的两个根．∴12b x x a+=-，1232b x x a =--．∴()2221212123442222b b b x x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=----=++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴12x x -的取值范围是)2,⎡+∞⎣．26．已知函数33f x a =+⋅为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)设函数()()33x g x f x x -=+--的零点为0x ，求证：()0529210f x <<．【答案】(1)1a = (2)证明见解析【分析】（1）由()()f x f x -=可得答案；（2）求出()g x ，利用函数()g x 在R 上单调性得3030log 2log 2.51x <<<<． 再利用单调性定义判断出()f x 在()0,+∞上单调递增，利用单调性可得答案. （1）由()()f x f x -=，得3333x x x x a a --+⋅=+⋅，()223131-=⋅-x xa ，所以1a =，此时()33-=+x x f x ，x R ∈时，()()33--=+=x xf x f x ，()f x 为偶函数，所以1a =； （2） 由（1）得()33x x f x -=+，所以()333333xx x x g x x x --=++--=+-，因为函数()g x 在R 上单调递增，且()3log 2g 32log 230=+-<，()3log 2.5g 332.5log 2.53log 30.50=+->-=，所以3030log 2log 2.51x <<<<，又对任意120x x <<，()()1211221212123333333333x x x x x x x x x x f x f x ----=+--=--⋅()12121331033x x x x⎛⎫=--< ⎪⋅⎝⎭，所以()()12f x f x <，即()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()()303log 2log 2.5f f x f <<， 即()0529210f x <<． 27．给出下面两个条件：①函数()的图象与直线只有一个交点；②函数()的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，且______.(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()32log 0f x m +≤恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()213232x xg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.【答案】(1)选①()22f x x x =-，选②()22f x x x =-(2)(],16-∞-(3)311,22⎧⎫+⎪⎪⎛⎫-+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭【分析】（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出()22f x x x c =-+.选①，由题意可得出()11f =-，可得出c 的值，即可得出函数()f x 的解析式； 选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）3log h x =，[]2,3h ∈-，由参变量分离法可得出()min 2m f h ≤-⎡⎤⎣⎦，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令30x n =>，所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围. （1）解：因为二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()22f x x x c =-+.选①，因为函数()f x 的图象与直线1y =-只有一个交点，所以()1121f c =-+=-，解得0c ，所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.选②，设1x 、2x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，且440c ∆=->，可得1c <， 由根与系数的关系可知122x x +=，12x x c =， 所以()21212124442x x x x x x c -=+-=-=，解得0c ，所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.（2）解：由()32log 0f x m +≤，得()32log m f x ≤-，当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]3log 2,3x ∈-，令3log h x =，则[]2,3h ∈-，所以对任意1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()32log 0f x m +≤恒成立，等价于()2m f h ≤-在[]2,3h ∈-上恒成立，所以()()min 22216m f h f ≤-=--=-⎡⎤⎣⎦，所以实数m 的取值范围为(],16-∞-. （3）解：因为函数()()()213232x xg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x n =>，所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根，因为()22f x x x =-，所以()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根，当210t -=，即12t =时，方程可化为220n --=，解得1n =-，不符合题意； 当210t ->，即12t >时，函数()22142y t x tx =---的图象是开口向上的抛物线，且恒过点()0,2-，所以方程()221420t n tn ---=恒有一个正实根；当210t -<，即12t时，要使得()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根， ()21682102021t t tt ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩，解得312t +=-. 综上，实数t 的取值范围为311,22⎧⎫+⎪⎪⎛⎫-+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.28．已知函数10f x ax bx a =++≠的图象关于直线x ＝1对称，且函数2y f x x =+为偶函数，函数()12x g x =-.(1)求函数()f x 的表达式；(2)求证：方程()()0f x g x +=在区间[]0,1上有唯一实数根； (3)若存在实数m ，使得()()f m g n =，求实数n 的取值范围. 【答案】(1)()()21f x x =- (2)证明见解析 (3)(],0-∞【分析】（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解,a b ，进而可求解析式， （2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断， （3）将条件转化为函数值域，即可求解. （1）∵()21f x ax bx =++的图象关于直线x ＝1对称，∴122bb a a-=⇒=-. 又()()2221y f x x ax b x =+=+++为偶函数，∴=2b -，=1a .∴()()22211f x x x x =-+=-. （2）设()()()()2112x h x f x g x x =+=-+-，∵()010h =>，()110h =-<，∴()()0?10h h <. 又()()21f x x =-，()12xg x =-在区间[]0,1上均单调递减，∴()h x 在区间[]0,1上单调递减，∴()h x 在区间[]0,1上存在唯一零点. ∴方程()()0f x g x +=在区间[]0,1上有唯一实数根. （3）由题可知()()210f x x =-≥，()121xg x =-<，若存在实数m ，使得()()f m g n =，则()[)0,1g n ∈， 即120n -≥，解得0n ≤.∴n 的取值范围是(],0-∞. 29．若函数()y f x =同时满足：①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；②存在区间[],a b ，使得函数在区间[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则称函数()f x 是该定义域上的“闭函数”.（1）判断()2f x x =-是不是R 上的“闭函数”？若是，求出区间[],a b ；若不是，说明理由； （2）若()()211f x x t x =-≥是“闭函数”，求实数t 的取值范围；（3）若()()2222f x x kx k =-+≤在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值()g k 是“闭函数”，求a 、b 满足的条件.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）222a b +=且11733a b ≤<≤. 【分析】（1）利用“闭函数”的定义判断函数()2f x x =-是否满足①②，由此可得出结论；（2）分析可知函数()21h m m m t =-+-在[)0,m ∈+∞有两个零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围；（3）利用二次函数的基本性质求得()21921,93312,23kk g k k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，然后分13a b <≤、123a b <≤≤、123a b ≤<≤三种情况讨论，分析函数()g k 的单调性，结合“闭函数”的定义可得出关于a 、b 的等式，由此可得出a 、b 满足的条件.【解析】（1）函数()2f x x =-为R 上的增函数，若函数()2f x x =-为“闭函数”，则存在a 、()b a b <，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则()()2222f a a a f b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则关于x 的方程220x x -+=至少有两个不等的实根， 因为180∆=-<，故方程220x x -+=无实根，因此，函数()f x 不是“闭函数”； （2）因为函数()21f x x t =-+为[)1,+∞上的增函数， 若函数()21f x x t =-+为[)1,+∞上的“闭函数”，则存在a 、[)()1,b a b ∈+∞<，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则()()222211f a a t a f b b t b⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，所以，关于x 的方程221x t x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，令210m x =-≥，设()21h m m m t =-+-，则函数()h m 在[)0,m ∈+∞有两个零点，所以，()()1410010t h t ⎧∆=-->⎪⎨=-≥⎪⎩，解得314t <≤，因此，实数t 的取值范围是3,14⎛⎤⎥⎝⎦；（3）因为()()222f x x k k =-+-.当13k <时，函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()1192393k g k f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当123k ≤≤时，()()22g k f k k ==-.综上所述，()21921,93312,23kk g k k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩. 所以，函数()g k 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上也为减函数.①当13a b <≤时，则()()221929319293a g a b b g b a⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，上述两式作差得()()()23a b a b a b -=-+，因为a b <，故23a b +=，因为13a b <<，则23a b +<，矛盾；②当123a b <≤≤时，则有222192932ab b a⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，消去2b 可得29610a a -+=，解得13a =，不合乎题意；③当123a b ≤<≤时，则()()222222g a a b g b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，可得222a b +=.因此，a 、b 满足的条件为222a b +=且11733a b ≤<≤. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。
(完整)高中必修一函数全章知识点整理,推荐文档
函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1；2 求函数定义域的两个难点问题（1）已知f (x)的定义域是[ - 2, 5] , 求f ( 2x+3) 的定义域。
（2）已知f (2x－1的) 定义域是[ - 1, 3] , 求f ( x的定义域三．函数的奇偶性1.定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =f (x) ，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =-f (x) ，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系b四、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 y = f [g (x )]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y = f [g (x )]在 M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 y = f [g (x )]在 M 上是增函数。
高一数学讲义-函数的解析式、定义域和值域
技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题．
本题可以直接配方，得 y 2 x 2 4x ＝ 2 4 (x 2)2 ，
然后经分析得所求函数的值域为 y 0, 2 ，因此，有时直接分析也能得到函数的值域．
技巧提示：函数 y f (x) 的定义域为 0,2，意思是 f 只能对 0,2中的数作用，也就是对 0,2中的数
f 才有意义．函数 f (ln x) 要有意义，必须 f 对 ln x 能作用，所以必须 0 ln x 2 ．
又例:已知函数 f (x) mx 2 mx 1 的定义域是全体实数，则 m 的取值范围是（ ）
三、典型例题精讲
1
【例 1】如果 f (x 1) x2 5x 4 ，那么 f (x) ＝
.
解析：方法一（配凑法）∵ f (x 1) x2 5x 4 ＝ (x 1 1)2 5(x 1 1) 4 ，
∴ f (x) ＝ (x 1)2 5(x 1) 4 ＝ x 2 7 x 10 ．
方法二（换元法） 设 x 1 t ，则 x t 1，于是 f (t) (t 1)2 5(t 1) 4 ＝ t 2 7t 10 ，
即 f (x) ＝ x 2 7 x 10 ． 技巧提示：（1）凑配法：若已知 f (g(x)) 的表达式，需求 f (x) 的表达式，可把 g ( x) 看成一个整体， 把右边变为由 g (x) 组成的式子，再将 g (x) 统一换为 x ，求出 f (x) 的表达式．
∴ f (x) ＝ x2 x 1.
方法二：令 x ＝0，得 f ( y) f (0) y( y 1) 1 y 2 y ( y)2 ( y) 1，
高中数学必修一之知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 基础
《函数》全章复习与巩固【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象， 于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 2(2)(2)8, 2x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩， 32(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或32(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C D 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又2444y =+=+=+而02≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴2y ≤≤．∴M =m=2．∴2m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】（2016 上海青浦区二模）对于函数()f x ，其中b ＞0，若f （x ）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为________． 【答案】－4【解析】若a ＞0，由于20ax bx +≥，即x (ax +b )≥0， ∴对于正数b ，f （x ）的定义域为：(,][0,)b D a=-∞-+∞， 但f （x ）的值域[0,)A ⊆+∞，故D ≠A ，不合要求． 若a ＜0，对于正数b ，f （x ）的定义域为[0,]b D a=-． 由于此时max ()()2b f x f a =-=， 故函数的值域A =． 由题意，有b a -=， 由于b ＞0，所以a =－4． 故答案为：－4．例6．（2016秋 河南金水区期中）已知函数2()2f x x x a =--． （1）当a =0时，画出函数f （x ）的简图，并指出f （x ）的单调递减区间； （2）若函数f （x ）有4个零点，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）当a =0时，函数f （x ）=｜x (x －2)｜的图象如图所示，由函数的图象可得f （x ）的增区间和减区间．（2）由题意可得函数f （x ）的图象有4个零点，即函数22y x x =-的图象和直线y =a 有4个交点，结合（1）中函数的图象可得a 的范围．【答案】（1）增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）；（2）0＜a ＜1【解析】（1）当a =0时，函数2()2(2)f x x x x x =-=-的图象如图所示：由函数的图象可得f （x ）的增区间为[0，1]、[2，+∞）； 减区间为（－∞，0）、（1，2）．（2）若函数f （x ）有4个零点，则函数f （x ）的图象有4个零点， 即函数22y x x =-的图象和直线y =a 有4个交点，结合（1）中函数的图象可得0＜a ＜1．【总结升华】本题主要考查作函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想．举一反三：【变式1】直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】514a <<【解析】如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定 【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】二次函数2y ax bx c =++中，若ac ＜0，则函数的零点个数是 个．【思路点拨】有a •c ＜0，可得对应方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=->，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．【答案】2【解析】∵ ac ＜0，∴ 240b ac ∆=->，∴对应方程20ax bx c ++=有两个不等实根，故所求二次函数与x 轴有两个交点．故答案为：2【总结升华】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x 轴的交点的横坐标．根据偶函数的性质先求出a ，b ，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用例8. 已知函数2()a f x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()a f x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠，∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16．∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数．当a ＜0时，反比例函数a x 在[2，+∞）上为增函数， ∴2()a f x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x ∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+ =12121()(2)x x x x -+ 1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴< 所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用例9．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（Ⅰ）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为()f x 元()1540x ≤≤，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为()g x 元()1540x ≤≤．试求()f x 和()g x ．（Ⅱ）问：小张选择哪家比较合算？为什么？【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)甲家每张球台每小时5元；(2)乙家按月计费，有标准；(3)比较哪家更合算问题．解决本题可先分别求出两家的解析式，从中找出x 在不同的取值范围内，选择哪家的问题，建立函数模型，进而解决问题．【答案】（Ⅰ）()()51540f x x x =≤≤；()90,1530,230,3040.x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（Ⅱ）详见解析 【解析】由题意，（Ⅰ）()()51540f x x x =≤≤,()90,1530,230,3040.x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（Ⅱ）由()()f x g x =得1530,590x x ≤≤⎧⎨=⎩或3040,5230x x x <≤⎧⎨=+⎩ 即18x =或10x = (舍)．当1518x ≤<时，()()5900f x g x x -=-<,()()f x g x ∴<,即选甲家．当18x =时，()()f x g x ∴=,即选甲家和乙家都可以．当1830x ≤≤时，()()5900f x g x x -=->,()()f x g x ∴>,即选乙家．当3040x <≤时，()()()52303300f x g x x x x -=-+=->,()()f x g x ∴>,即选乙家．综上所述:当1518x ≤<时，选甲家;当18x =时，选甲家和乙家都可以；当1840x <≤时，选乙家．【总结升华】本题考查生活中的实际问题，需要建立数学模型，转化为数学问题．关键是分段进行讨论．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n =++=++250)4000c=++，=，即n=4时，y 取得最小值且y min =4000+c ． 所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。
期末复习卷——函数定义域、值域、解析式
嘉兴一中2012学年高一数学期末复习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚知识梳理: 【考试说明】1．了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域． 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 【概念梳理】函数定义:一般地，我们有：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作: y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域（range ）．、 与 统称为函数的三要素．映射定义：一般地，我们有：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．区间的概念:设,a b 是两个实数，而且.a b <我们规定：(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为 (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为 (3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点，其中实数a 叫做区间的左端点，实数b 叫做区间的右端点，b a -叫做区间的长度. 区间意义与使用规则：区间是集合的另外一种表示方法，在用区间表示集合时应注意区的使用规则: (1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来; (3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“-∞”或“+∞”为区间的一端点时，这一端必须是小括号.函数的表示方法: 、 、分段函数： 已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应将几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【题型与方法】1．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况：(1)若()f x 是整式，则其定义域为全体实数集R ；(2)若()f x 是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(3)若()f x 是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合； (4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)复合函数定义域求法：①若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出； ②若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. (6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出.(7)分段函数定义域是各段函数定义域的并集，对数函数底数大于零不等1，真数大于零. 2．相等函数的判断:两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数），而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．求函数值域的常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.具体方法： (1)直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y =ax +b (a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为 ，值域为 ； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为 ， 当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 .(2)配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；(3)分式转化法（或改为“分离常数法”），如求函数3243x y x +=-的值域(4)换元法(特别注意新元的范围)：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解.(5)判别式法（可转化为双钩函数形式）如求函数22122+-+=x x x y 的值域 (6)单调性法(7)数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. (8)分段函数的值域是各段函数值域的并集. 3．求函数解析式的常用方法⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组； (4)已知函数的奇偶性和部分解析式，求函数的完整解析式；(5)赋值法（抽象函数）基础练习：1．下列对应关系是集合P 上的函数是有 ．（1）*,PZ Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2,,y x x P y Q =∈∈；（3）{P=三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．” 2．下列说法中正确的有 ．A.()y f x =与()y f t =表示同一个函数 B. ()y f x =与(1)y f x =+不可能是同一函数 C.()1f x =与0()f x x =表示同一函数 D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3. (1)函数y ＝16－4x 的值域是 ．(2)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是 ．4.函数lg 3y x =-____________5. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且()1()1f xg x x +=-,则()f x =____________，()g x = ． 典型例题例1．(1)已知f (x )＝e(x ∈R)，则f (e 2)等于( )A ．e 2B ．e C. eD ．不确定(2) 如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有 ．(3)函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ，则3()____2f -=，若21)(<a f ，则实数a 的取值范围是____ 例2．（1）若3311()f x x xx +=+，则()f x = ．（2）若2(1)lg f x x+=，则()f x = ． （3）若()f x 满足12()()3f x f x x+=，则()f x = ．（4）已知二次函数()f x 同时满足条件:①(1)(1)f x f x +=-; ②()f x 的最大值为15;③()0f x =的两根的立方和等于17.求函数()f x 的解析式.例3． （1）求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域． （2）若函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，求函数g (x )＝f (12x )x －1的定义域．例4．求下列函数的值域：⑴函数22211xx y +-= ⑵函数3log 3log 2x y x =++ ⑶xx y +-=112⑷y x =嘉兴一中2012学年高一数学期末练习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚班级：___________ 姓名：__________ 学号：____________一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴ 3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g ；⑵ 11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；⑶ x x f =)(，2)(x x g =； ⑷0)(x x f =，xx x g =)(； ⑸ 2)52()(-=x x f ，52)(-=x x gA. ⑴、⑵B. ⑵、⑶ C ． ⑷ D. ⑶、⑸ 2．函数2()lg(31)f x x =+的定义域是（ ）A. 1(,)3-∞-B.11(,)33- C ．1(,1)3- D.1(,)3-+∞3．若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x）（，则=)3(log 4f （ ） A.31 B. 3 C. 41D. 4 4．如果函数|)|1()1()(x x x f -⋅+=的图象在x 轴上方，那么此函数的定义域为（ ）A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-⋃+∞ C . ()(),11,1-∞-⋃- D. ()()1,11,-⋃+∞ 5．函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ）A. 1个B.4个 C ．8个 D.10个 6．函数344)(23++-=ax ax x x f 的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是（ ）A. (－∞，+∞)B. (0，43) C ．(－43，+∞) D.)43,0[ 7．设函数2()272f x x x =-+-，对于实数(03)m m <<，若()f x 的定义域和值域分别为[,3]m 和[1，3]，则m 的值为（ ）A. 1B.5/2 C ．611 D.8118．函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ） A ．(]2,14 B.[)2,-+∞ C ．(]2,7 D.[]2,79．设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞ 二、填空题10．若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++则()f x = . 11．如果函数f （x ）=ax -1的定义域为[－21，+)∞，那么实数a 的取值范围是 .12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)1f x x x =-+，则()f x = 13．函数xax y 213-+=的值域为()(),22,-∞-⋃-+∞，则实数a = .14．函数x a a x y -+-=的定义域为 .15．函数)(x f =x 2＋x ＋21的定义域是[n ，n ＋1]（n 是自然数），则此函数值域中的整数的个数为 .16．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 三、解答题17．对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且．（1）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式；（2）求问题（1）中函数()h x 的值域.18．求函数3512+-+=x x x y 的值域（至少两种方法）.19．已知函数ϕ(x)=f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8． （1）求ϕ(x)的解析式，并指出定义域；（2）求ϕ(x)的值域.20．已知函数()2x f x ax b=+（a ，b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式()()12k x k f x x+-<-.21．已知二次函数()2f x ax bx =+ (),0a b a ≠是常数，且满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．答案：任意，唯一，函数值的集合{f (x )| x ∈A }，定义域、值域与对应关系[],;a b (,);a b [,),(,].a b a b解析法、图象法、列表法 {x |x ≠0}，{y |y ≠0}； Rab ac y y 4)4(|2-≥，{ ab ac y y 4)4(|2-≤}. 基础练习：1．【研析】由于（1）中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且（3）中集合P 不是数集，从而知只有（2）正确．2．【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同. 2．(]0,3 3．()9,02,4⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦4．[)()()0,22,33,4⋃⋃ 5．221,11xx x -- 典型例题 例1 （1）B（2）【研析】由函数定义可知，任意作一条直线x a =，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当11a -≤≤时，直线x a =与函数的图象仅有一个交点，当1a >或1a <-时，直线x a =与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有（2）（3）．（3）12，3(,)(2-∞- 例2 【研析】（1）∵3331111()()3()f x x x x xx x x+=+=+-+， 又1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞ ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-（3）12()()3f x f x x+= ①，把①中的x 换成1x，得132()()ff x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-(4) 【研析】从所给条件知()f x 的图象关于1x =对称,且最大值为15,故设二次函数的顶点式,利用韦达定理得到关于系数a 的方程.依条件可设2()(1)15(0)f x a x a =-+<,即2()215f x ax ax a =-++,令()0f x =即22150ax ax a -++=,并设12,x x 为该方程的两个根,由韦达定理知:12122151x x x x a +=⎧⎪⎨⋅=+⎪⎩,从而3333121212121590()3()232(1)2.x x x x x x x x a a +=+-⋅+=-⨯⨯+=-90217a∴-=,故 6.a =- 所以函数()f x 的解析式为2()6129.f x x x =-++例3 (1) 解：(1)要使f (x )有意义， 则只需⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≥1或x ≤－1，x ≠4，∴x ≥1且x ≠2且x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.故函数的定义域为{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤4，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ≠1，∴0≤x ≤8且x ≠1.故定义域为[0,1)∪(1,8]． 例4 （1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ (2) (][),04,-∞⋃+∞ (3) 110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭练习卷：1-9：CCBCD DCCC10. ()21, 0421,0x f x x x x=⎧⎪=⎨++≠⎪⎩11.-212. ()221,00, 01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++>⎩13.4 14. {}a 15.2n+1 16. ]310,2[ 17. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h 18. (]1,1,13⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭19. 解析： (1)设f(x)=ax ，g(x)=x b ，a 、b 为比例常数，则ϕ(x)=f(x)＋g(x)=ax ＋xb由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a ∴ϕ(x)=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5， 得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0， ∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215[来源:学&科&网] ∴ϕ(x) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞)20.解析：（1）将得（2）不等式即为即[来源:][来源:学#科#网Z#X#X#K]①当②当③.21. 解：(1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.① 由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎨⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0..故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．。
高一数学函数知识点总结(五篇)
高一数学函数知识点总结函数的图象函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.高一数学函数知识点总结（二）函数的值域与最值(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，____]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-____]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如____>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结（三）函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量____有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R，且k∈Z)，余切函数y=cot____(____∈R，____≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a，b]，求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围，而已知f[g(____)]的定义域[a，b]指的是____∈[a，b]，此时f(____)的定义域，即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(____)=a____+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时，可用换元法求函数f(____)的表达式，这时必须求出g(____)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式，这个等式除f(____)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-____)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结（四）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
高一数函数复习讲义
转化为关于 x 的不等式组．
[方法总结] 研究抽象函数， 只能从函数性质入手， x， 对 y 取特殊值是常用的方法技巧．
已知函数 f(x)对任意函数都有 f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当 x>1 时，f(x)>0.
x (1)求证：fy＝f(x)－f(y)；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
x 的取值范围是(
1 2 B.3，3 1 2 D.2，3
)
5．(2011· 安徽理)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝( A．－3 C．1 B．－1 D．3 )
二、填空题 6． (2012· 周口高一检测)函数 y＝x2－3x－4 的定义域为[0， 25 m]，值域为[－ ，－4]，则 m 的取值范围是______． 4
高一数学必修一函数复习讲义
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
高一数学组
张传彬
知识梳理
函数是描述客观世界变化规律的重要数学
模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时 还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法贯穿于高 中数学课程的始终，配方法、换元法、待定系数法等基本方 法，特殊化思想、分类讨论思想、数形结合等数学思想在本 章中有较大应用，通过学习幂函数、二次函数，体会函数思 想在数学和其他学科中的重要性，因此说函数是中学数学的 一条主线，是中学数学的重要内容，是学习数学其他知识和 分支的基础．
恒成立，求 a 的取值范围． [分析] 函数 f(x)＝x2－2ax＋2 是二次函数，可利用分类
讨论思想及数形结合思想解题，注意分类的全面性及画图的 准确性．
[方法总结]
1.若 f(x)≥a 恒成立，只需 a≤f(x)min 即可；
高一上期末数学复习---函数概念与性质
高一期末数学复习---函数概念与性质一、知识点突破1．函数的有关概念 （1）函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()x f y =，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域． （2）函数的三要素定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．函数的单调性 （1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数()x f 的定义域为I ，区间I D ⊆，如果1x ∀，D x ∈2当21x x <时，都有()()21x f x f <，那么就称函数()x f 在区间D 上单调递增当21x x <时，都有()()21x f x f >，那么就称函数()x f 在区间D 上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2如果函数()x f y =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间． 3．函数的最值前提 设函数()x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 I x ∈∀，都有()M x f ≤；I x ∈∃0，使得()M x f =I x ∈∀，都有()M x f ≥；I x ∈∃0，使得()M x f =结论M 为最大值 M 为最小值4．函数的奇偶性（1）偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数． （2）奇、偶函数的图象特点偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 5．常用结论（1）如果一个奇函数()x f 在原点处有定义，即()0f 有意义，那么一定有()00=f ；如果函数()x f 是偶函数，那么()()x f x f =．（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．二、题型突破题型一 求函数的定义域 【例1】（1）函数1212-+-=x xy 的定义域为________； （2）若函数()x f y =的定义域是[]2,0，则函数()()12-=x x f x g 的定义域是( ) A ．[]1,0 B ．[)1,0 C ．[)(]4,11,0⋃ D ．()1,0 巩固训练： 1．函数()21643x x xx f -++=的定义域是________． 2．已知函数()12-=x f y 定义域是[]1,0，则()()1log 122++x x f 的定义域是( )A ．()0,1-B ．(]0,1-C ．[)0,1-D ．[]0,1- 题型二 求函数的值域 【例2】求下列函数的值域： （1）34xy x +=-； （2）25243y x x =-+；（3）y x =； （4）22436x x y x x ++=+-；（5）y x =+ （6）2211()212x x y x x -+=>-． 巩固训练：1．求下列函数的值域：（1）312x y x +=-； （2）y =（3）4y =； （4）y =； 2．函数211,2y x x x =+≤-的值域是（ ）A ．7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．,2⎛-∞ ⎝⎦题型三 求函数的解析式 【例3】（1）已知()x x x f21-=+，则()=x f ________．（2）已知()x f 是二次函数且()20=f ，()()11-=-+x x f x f ，则()=x f ________． （3）已知函数()x f 对于任意的x 都有()()x x f x f 212+=--，则()=x f ________． 巩固训练1．已知2211,f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭求()f x 的解析式． 2．已知函数()x f 是一次函数，若()()84+=x x f f ，则()=x f ________．题型四 函数的单调性【例4】（1）(2021·荆州高三期末)设{}⎩⎨⎧<≥=,,,,,max b a b b a a b a 则函数(){}221,m ax x x x x f --=的单调增区间为( )A ．[]0,1-，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B ．(]1,∞-，⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,，[]1,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21，[)+∞,1（2）(多选)关于函数()322++-=x x x f 的结论正确的是( )A ．定义域、值域分别是[]3,1-，[)+∞,0B ．单调增区间是(]1,∞-C ．定义域、值域分别是[]3,1-，[]2,0D ．单调增区间是[]1,1- （3）判断并证明函数()xax x f 12+=(其中31<<a )在[]2,1∈x 上的单调性． 巩固训练1．已知()x f 是R 上的增函数，若令()()()x f x f x F +--=11，则()x F 是R 上的（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增的函数 D ．先增后减的函数2．下列命题：（1）若()f x 是增函数，则()1f x 是减函数；（2）若()f x 是减函数，则[]2()f x 是减函数；（3）若()f x 是增函数，()g x 是减函数，()()g f x 有意义，则()()g f x 为减函数，其中正确的个数有：（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0题型五 函数奇偶性【例5】（1）判断函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-+>++-=0,12,0,1222x x x x x x x f 的奇偶性．（2）已知函数()x f 为奇函数且定义域为R ，当0>x 时，()1+=x x f ，则()x f 的解析式为________． 巩固训练1．判断下列函数的奇偶性：（1）()()xxx x f +-+=111； （2）()224x x x f -=． 2．已知()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式．3．设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．题型六 函数性质的综合应用【例6】(2021·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R 的奇函数()x f 在()0,∞-单调递减，且()02=f ，则满足()01≥-x xf 的x 的取值范围是( )A ．[][)+∞⋃-,31,1B ．[][]1,01,3⋃--C ．[][)+∞⋃-,10,1D ．[][]3,10,1⋃- 巩固训练1．已知定义在R 上的函数()x f 满足：(1)()()x f x f =+2；(2)()2-x f 为奇函数；(3)当[)1,0∈x 时，()()()2121210x x x x x f x f ≠>--恒成立，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-215f ，()4f ，⎪⎭⎫⎝⎛211f 的大小关系正确的为( )A ．>⎪⎭⎫⎝⎛211f ()>4f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-215f B ．()>4f >⎪⎭⎫ ⎝⎛211f ⎪⎭⎫⎝⎛-215fC ．>⎪⎭⎫ ⎝⎛-215f ()>4f ⎪⎭⎫ ⎝⎛211f D ．>⎪⎭⎫ ⎝⎛-215f >⎪⎭⎫⎝⎛211f ()4f三、反馈练习一、单项选择题1．下列图形中，不是函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．．2．函数()f x =的定义域是（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x >C ．{}1x x ≥-D ．{}1x x ≥ 3．已知函数21()1x f x x +=-定义在区间()()3,12,-+∞上，其值域为（ ） A ．()(),22,-∞+∞B ．()5,22,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,2,54⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()5,22,54⎛⎫⎪⎝⎭4．已知()21f x -的定义域为[]1,3，则()21f x -的定义域为（ ） A ．19,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．设奇函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()10xf x +<的解集为（ ） A ．(1,0)(1,) B ．()0,1 C ．()2,1-- D ．(2,1)(0,1)--6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在[)0,+∞上是增函数.不等式(2)(1)f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,17．设()()()()22543,1223,11x a a x a x f x x x x ⎧--++<⎪=⎨++>⎪-⎩，若()f x 的最小值为()0f ，则a 的值为（ ） A ．0B ．1或4C ．1D ．48．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21xf x =-，则()2log 41f =（ ） A ．40B ．2516C ．2341D ．4123二、多项选择题9．以下各组函数不是同一个函数的是（ ）A ．()2x x f =，()33x x g = B ．()x x x f =，()⎩⎨⎧<-≥=0,1,0,1x x x gC ．()1212++=n n x x f ，()()()*1212N n xx g n n ∈=-- D ．()1+⋅=x x x f ，()x x x g +=210．已知函数()⎩⎨⎧<<--≤+=,21,,1,22x x x x x f 则下列关于函数()x f 的结论正确的是 ( )A ．()x f 的值域为()4,∞-B ．()31=fC ．若()3=x f ，则x 的值是3D ．()1<x f 的解集为()1,1-11．定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，偶函数()g x 在区间[)0,+∞上的图象与()f x 的图象重合，设0a b >>，则下列不等式中成立为（ ）A ．()()()()f b f a g a g b --<--B ．()()()()f b f a g a g b -->--C ．()()()()f a f b g b g a +-<--D ．()()()()f a f b g b g a +->--12．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足()3f x +为奇函数，32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）A ．()(6)f x f x =+B ．函数()f x 为奇函数C ．(3)()f x f x --=-D ．33()()22f x f x -+=--三、填空题13．设函数()||f x x x b =+，给出四个命题：①()y f x =是偶函数；②()f x 是实数集R 上的增函数；③当0b =时，函数()f x 的图象关于原点对称；④方程()0f x =有两个解． 上述命题中，正确命题的序号是_______．（把所有正确命题的序号都填上）14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2f x x +是奇函数，()3f x x +是偶函数，则()2f 等于_______．15．已知f (x )＝22,1(32)1,1x x a x a x x ⎧-+>⎨--≤⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=．已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________．四、解答题17．已知函数22()1x f x x =+．（1）求11(2),(3)23f f f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求证：1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值． 18．已知函数()24xf x x =+，()2,2x ∈-． （1）求()()1ff 的值；（2）用定义证明函数()f x 在()2,2-上为增函数； （3）若()()221f a f a +>-，求实数a 的取值范围． 19．设函数()3=++-f x x x a 的图象关于直线1x =-对称， （1）求实数a 的值；（2）在（1）的条件下若2()3f x t t ≥-对任意实数x 恒成立，求实数t 的取值范围．20.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围较广的全球性大流行病.面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t (单位:分钟)满足154≤≤t ，N t ∈，平均每趟快递车辆的载件量()t p (单位:个)与发车时间间隔t (单位:分钟)近似地满足()()⎩⎨⎧≤≤<≤--=,159,1800,94,91518002t t t t p 其中N t ∈.(1)若平均每趟快递车辆的载件量不超过1 500个，求发车时间间隔； (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益()()8079206--=tt p t q (单位:元)，问当发车时间间隔为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大?并求出最大净收益. 21.设函数()322+--=a x x x f ，R x ∈，R a ∈.(1)王鹏同学认为，无论a 取何值，()x f 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由； (2)若()x f 是偶函数，求a 的值；(3)在(2)的情况下，画出()x f y =的图象并指出其单调递增区间.22．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >．（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式2()(86)1f x f x >--．。
高一上学期函数知识点总结
高一上学期函数知识点总结在高一上学期的数学学习中，我们接触到了许多与函数相关的知识点。
函数作为数学中的重要概念之一，不仅在高中阶段占据着重要地位，而且在高中数学基础的学习中也占据着关键的位置。
下面将对高一上学期所学的函数知识点进行总结和归纳。
一、函数的概念与性质函数是一个具有特定输入输出关系的对应关系。
通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。
函数具有以下性质：1. 定义域（Domain）：函数的自变量的取值范围。
2. 值域（Range）：函数的所有可能的函数值的集合。
3. 单调性：函数在定义域内的取值随自变量的增加而单调增加或单调减少。
4. 奇偶性：函数的图像关于原点对称为偶函数，关于y轴对称为奇函数。
5. 周期性：在一定区间内，函数图像重复出现的性质。
二、函数的表示方法1. 用解析式表示函数：y = f(x)，其中f(x)是关于x的表达式。
2. 用列表法表示函数：列出自变量与函数值之间的对应关系。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像可以通过函数的解析式和列表法得出，用平面直角坐标系绘制。
2. 函数图像的平移、伸缩、翻转也对应着函数的变化。
3. 函数图像的对称和周期性也反映了函数的性质。
4. 函数图像可以通过函数的一些基本性质（奇偶性、单调性、极值点等）进行判断。
四、常见函数类型1. 线性函数（Linear Function）：表达式为y = kx + b，其中k 和b为常数。
2. 幂函数（Power Function）：表达式为y = ax^m，其中a为系数，m为指数。
3. 指数函数（Exponential Function）：表达式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数（Logarithmic Function）：表达式为y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数（Trigonometric Function）：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
苏教版学高中数学必修一函数章末复习课讲义
函数值域的求法了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．【例１】求下列函数的值域：（１）y＝错误!；（２）y＝错误!；（３）f（x）＝x＋错误!.思路点拨：（１）用直接法（观察法）；（２）所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；（３）中含有根式，可利用换元法求解．[解] （１）由偶次方根的被开方数为非负数，得２x≥0，即x≥0．所以函数y＝错误!的定义域为[0，＋∞），因此错误!≥0，所以函数y＝错误!的值域为[0，＋∞）．（２）法一（分离系数法）：y＝错误!＝错误!＝２＋错误!.而错误!≠0，所以２＋错误!≠２，因此函数y＝错误!的值域为（—∞，２）∪（２，＋∞）．法二（反解法）：因为分式的分母不能为零，所以x＋３≠0，即x≠—３，所以函数y＝错误!的定义域为{x∈R|x≠—３}．又由y＝错误!，得x＝错误!.而分式的分母不能为零，所以２—y≠0，即y≠２．所以函数y＝错误!的值域为（—∞，２）∪（２，＋∞）．（３）令错误!＝t，则t≥0，x＝错误!＝错误!t２＋错误!，∴y＝错误!t２＋错误!＋t＝错误!错误!错误!—错误!.∵t≥0，∴y≥错误!，∴函数f（x）＝x＋错误!的值域为错误!.常见的求值域的方法１直接法观察法：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f x＝５x＋１x∈{１，２，３，４}的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f x的值域为{6，１１，１6，２１}.２分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.３反解法：例如求函数y＝错误!的值域.由y＝错误!解出x得x＝错误!.由x＞—４，得错误!＞—４，即错误!＞0，∴y＞错误!或y＜１．故函数y＝错误!的值域为—∞，１∪错误!.４图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.５换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.１．（１）函数f（x）＝错误!则f（x）的最大值与最小值分别为________、________.（２）已知函数f（x）＝—x２＋４x＋a，x∈[0,１]，若f（x）有最小值—２，则f（x）的最大值为________．（１）１0 6 （２）１[（１）f（x）在[１,２]和[—１,１）上分别递增，而且在[１,２]上，f（x）＝f（１）＝8．min在[—１,１]上，f（x）<f（１）＝１＋7＝8，∴f（x）在[—１,２]上单调递增，∴f（x）max＝f（２）＝２×２＋6＝１0，f（x）min＝f（—１）＝—１＋7＝6．（２）f（x）＝—x２＋４x＋a＝—（x—２）２＋a＋４，对称轴为x＝２，∴在[0,１]上，f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝a＝—２，∴f（x）max＝f（１）＝—１＋４＋a＝４—３＝１．]函数性质的应用其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．【例２】函数f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，且f 错误!＝错误!.（１）确定函数f（x）的解析式；（２）用定义证明：f（x）在（—１,１）上是增函数；（３）解不等式：f（t—１）＋f（t）<0．思路点拨：（１）（２）分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；（３）利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解．[解] （１）由题意，得错误!即错误!⇒错误!∴f（x）＝错误!，经检验，符合题意．（２）证明：任取x１，x２∈（—１,１）且x１<x２，则f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!.∵—１<x１<x２<１，∴x２—x１>0,１＋x错误!>0,１＋x错误!>0．又∵—１<x１x２<１，∴１—x１x２>0，∴f（x２）—f（x１）>0，故f（x２）>f（x１），∴f（x）在（—１,１）上是增函数．（３）原不等式可化为f（t—１）<—f（t）＝f（—t）．∵f（x）在（—１,１）上是增函数，∴—１<t—１<—t<１，解得0<t<错误!.故原不等式的解集为错误!.函数单调性与奇偶性应用常见题型１用定义判断或证明单调性和奇偶性.２利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.３利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.４利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.２．设函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，f （１）＝—２．（１）求证：f（x）是奇函数；（２）在区间[—３,３]上，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．[解] （１）令x＝y＝0，则有f（0＋0）＝f（0）＋f（0），即f（0）＝２f（0），所以f（0）＝0．令y＝—x，则有0＝f（0）＝f（x）＋f（—x），所以f（x）为奇函数．（２）任取—３≤x１<x２≤３，则x２—x１＝Δx>0．由题意，得f（x２—x１）<0，且f（x１）—f（x２）＝f（x１）—f [x１＋（x２—x１）]＝f（x１）—[f（x１）＋f（x２—x１）]＝—f（x２—x１）>0，即f（x１）>f（x２），所以f（x）在[—３,３]上为减函数．所以函数f（x）在[—３,３]上有最值，最大值为f（—３）＝—f（３）＝—３f（１）＝6，最小值为f（３）＝—f（—３）＝３f（１）＝—6．函数的图象与数形结合思想如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图（作图），知图选式，比较大小，求单调区间，判断根（交点）的个数等．【例３】（１）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象分别如图（１）及图（２）所示，则f（x）·g （x）的图象可能是________．（填序号）（２）若方程x２—４|x|＋５＝m有４个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．思路点拨：（１）利用函数的奇偶性进行选择；（２）作出函数的图象，观察图象即可．（１）３（２）１<m<５[由f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，可知f（x）·g（x）为奇函数，又x∈（—３,0）时，f（x）>0，g（x）>0，所以f（x）·g（x）>0，只有３符合．（２）令f（x）＝x２—４|x|＋５，则f（x）＝错误!作出f（x）的图象，如图所示．由图象可知，当１<m<５时，f（x）的图象与y＝m有４个交点，即方程x２—４|x|＋５＝m有４个互不相等的实数根．]作函数图象的方法方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．３．对于任意x∈R，函数f（x）表示—x＋３，错误!x＋错误!，x２—４x＋３中的较大者，则f（x）的最小值是________．２[首先应理解题意，“函数f（x）表示—x＋３，错误!x＋错误!，x２—４x＋３中的较大者”是对同一个x值而言，函数f（x）表示—x＋３，错误!x＋错误!，x２—４x＋３中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A（0,３），B（１,２），C（５,8）．从图象观察可得函数f（x）的表达式：f（x）＝错误!f（x）的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B（１,２），所以f（x）的最小值是２．。
精品讲义整理：高一数学必修一函数复习
精品讲义整理：高一数学必修一函数复习Last updated on the afternoon of January 3, 2021函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3.相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致(化简前)②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、)0,(>+=b a xbax y 三角函数等的图像，利用函数单调性）（2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法5.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上. (2)画法 描点法图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换伸缩变换对称变换 6．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示． 7．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
高一函数复习提纲
函数及其定义域一、知识与方法1、函数：从一个非空数集到另一个数集的对应关系，自变量具有任意性，应变量具有唯一性（一对一关系或多对一关系）2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则其中定义域、对应法确定，则值域可以确定；只有三个要素完全相同，则表示两个函数相同3、函数在图象上体现出对任意自变量的取值对应函数值的唯一性：垂直于x轴的直线若与函数相交，只有一个交点4、函数的几个名称（1）基本初等函数（高中数学课本中出现的）：多项式函数（包括一次、二次函数等）、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等（2）初等函数：由基本初等函数经过一定的运算得到的函数（3）复合函数：由初等函数复合而成的函数，基本方法：分解成简单函数研究（4）抽象函数：函数没有具体的解析式，但满足一定的运算法则5、函数的定义域：表示解析式有意义的自变量的取值范围（1）根据给定的函数解析式求定义域：各个表达式同时有意义（2）求简单复合函数的定义域：同一对应法则下的表达式取值相同（3）求具有实际意义的函数定义域：考虑问题的实际背景函数解析式与函数值一、知识与方法1、已知解析式求函数值：注意自变量的所在区间2、求解析式必须指明自变量的取值范围3、利用函数方程求解析式：换元法、构造方程组4、实际问题求解析式：设变量，列出等式并化简5、抽象函数求解析式：赋值法并将变量集中为一个变量函数的奇偶性一、知识与方法1、奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称2、奇偶性的判断：先确定定义域，利用定义法与图象法（1）分段函数的奇偶性要分段证明 （2）抽象函数的奇偶性：赋值法（3）即奇又偶函数解析式为()0=x f ，但函数有无数多个 （4）非奇非偶函数的验证：举反例3、若奇函数在0=x 处有定义，则()00=f ，即必过原点4、偶函数()()x f x f =5、奇函数图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴对称6、奇函数在对称区间上保持单调性不变，偶函数在对称区间上改变单调性7、奇偶性反映函数图象的整体结构函数单调性一、知识与方法1、单调性反映函数图象的局部变化趋势2、单调性的定义的几种表示形式：（1）任取定义域上21x x <，判断()()21x f x f -的符号（定义法）（2）任取定义域上21x x ≠，判断()()2121x x x f x f --的符号（与两点间的斜率相关） （3）任取定义域上21x x ≠，判断()()])[(2121x f x f x x --的符号3、单调性的证明：严格按定义证明4、单调区间的确定：区间端点由定义域而定，函数本身在某一点不具备单调性（1）图象法（2）复合函数的单调性：分解为简单函数的单调性（3）利用定义转化为不等式恒成立5、分段单调的函数不一定是单调函数，其单调区间一般用逗号连接6、分段函数在整个定义域上具有单调性必须考虑分段点的取值大小比较7、单调性的应用（1）比较大小：必须转化为同一单调区间上才能比较，否则可以直接比较（2）含参数的函数单调性研究：从定义出发转化为不等式恒成立函数的最值与值域一、知识与方法1、二次函数在区间上的值域问题：讨论对称轴与区间的位置关系2、利用换元转化为简单函数的值域问题3、反变量法：转化为y 的函数4、利用函数的图象分析函数的图像及其变换一、知识与方法1、利用函数的有关性质作出图象：从整体到局部2、函数图象的研究：从整体到局部，可采用赋值法（特殊点）、极限、渐近线、图象的增长速度等3、函数的图象变换（1）)(x f y =与)(h x f y +=，h x f y +=)( 上下平移变换（2）)(x f y =与)(x f y ω=，)(x f y ω=伸缩变换 （3）)(x f y =与)(x f y -=，)(x f y -=对称变换 （4）)(x f y =与)(1x f y -= 关于直线x y =对称（5）)(x f y =与)(x f y =，)(x f y =对折变换 函数的图像变换作图步骤：先写出变换流程图，再作出相应的图像*4、)()(b x f a x f +=+ 周期变换5、（1）一个函数本身的对称性)()(x b f a x f -=+ 轴对称变换（对称轴2b a x +=）c x b f a x f =-++)()( 中心对称（对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,2c b a （2）两个函数之间的对称： )(x f y =与)(x a f y -=： 两个函数图象关于2a x =对称（记x a x -=） )(a x f y +=与)(x b f y -=：两个函数图象关于2a b x -=对称（记x b a x -=+）函数的零点一、知识与方法1、方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、零点存在性定理： 如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内至少存在一个零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.注意：（1）前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；（2）零点c 并不一定是唯一的，但一定存在；（3）()()0<b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点的充分条件。
高一数学函数及其表示期末复习知识点
高一数学函数及其表示期末复习知识点数学在人类文明的开展中起着十分重要的作用，数学推进了严重的迷信技术提高。
查字典数学网为大家引荐了高一数学函数及其表示期末温习知识点，请大家细心阅读，希望你喜欢。
高一数学必修一函数及其表示_考点一映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，区分是：一对一多对逐一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，假设依照某种对应关系f，关于集合A中的恣意一个元素x，在集合B中都存在独一的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称对一的对应。
包括：一对一多对一高一数学必修一函数及其表示_考点二函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，假设依照某种确定的对应关系f，关于集合A中的恣意一个数x，在集合B中都存在独一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：AB为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判别两个函数能否为同一函数的依据。
3.区间的概念：设a,bR,且a①(a,b)={xa⑤(a,+)={xxa}⑥[a,+)={xxa}⑦(-,b)={xx高一数学必修一函数及其表示_考点三函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法解析法2.分段函数：定义域的不同局部，有不同的对应法那么的函数。
留意两点：①分段函数是一个函数，不要误以为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
才干知识清单考点一求定义域的几种状况①假定f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;②假定f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③假定f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④假定f(x)是对数函数，真数应大于零。
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期末复习课二 ：函数的概念与定义域
一、知识点回顾
1. 映射,函数的定义及其判断 (A 、B 为两个非空集合，按照某种对应关系f ：若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。
) 例1.函数)(x f 的定义域为],2,2[-值域为],2,0[则函数)(x f 的图像可以是( )
例2.若}3,2,1{=A ，},{b a B =,则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个； 二:函数相等的判断(定义域,值域,对应法则) (逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
)
例3. 已知下列四组函数，表示相同函数的序号是________。
(1)f(x)= lg 2
x ,g(x)=2lgx; (2)f(x)=x －2, g(x)= 442+-x x ；
(3)f(x)= log a x a (a>0,a 1≠),g(x)=33x ; (4)f(x)=
11-x ,g(x)=1
12-+x x . 三:定义域的求解
(1) 一般基本初等函数的定义域.
函数定义域的求法：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
例4.求定义域（1）y = （2）)3lg(2
)1(0
x x x x y -++--=
． (2)抽象函数的定义域
例5. (1)若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，函数)41(+
=x f y )4
1
(-⋅x f 的定义域____ (2)若函数(1)y f x =-的定义域为[1,7)，记函数(2)y f x =的定义域_______ 四、分段函数 二、随堂练习
1. 函数()y f x =的图象与直线()x a x =∈R 的交点 ( )
(A) 至多有一个 (B) 至少有一个 (C) 有且仅有一个 (D) 有一个或两个以上
2．下图中表示集合A 到集合B 的映射的是（ ）
(A) (1)(2) (B) (3)(4)
(C) (1) (D) (4)
3. (2009·福建改编)下列函数中，与函数y ＝
1
x
有相同定义域的是________．
①f (x )＝ln x ②f (x )＝1
x
③f (x )＝|x | ④f (x )＝e x
4.已知函数3,1,
(),1,
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则该函数的定义域为 ；值域为 ；
若()2f x =，则x = .
5、对任意的实数x ，规定函数()f x 取1
4, 1,
(5)2
x x x -+-三个值中的最小值，则函数()f x 的最大值为_________
6.函数)1(log 22+-=ax ax y
（1）若定义域为R ，求实数a 的范围； （2）若值域为R ，求实数a 的范围。
7. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。
若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。
如何确定该商品的销售单价，使利润最大？。