2016届高三下学期第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)数学(文)试卷

绝密★启用前
2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】
文科数学试卷
考试时间：120分钟；满分150分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合{}
23A x x =-<<，{}
||3,B y y x x A ==-∈，则A B 等于（ ）
A ．
{}03x x << B ．
{}
10x x -<< C ．
{}20x x -<<
D ．{}33x x -<<
2．已知复数)z b R =
∈的实部比虚部小6，则复数z bi -在复平面上对应
的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知(2,4)a =-
，(3,)b m =- ．若||||0a b a b += ，则实数m =（ ）
A ．3
2
B ．3
C ．6
D ．8
4．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型0kx y P e -=去拟合过滤过程中废气的污染
物数量
/ymg L 与时间x h 间的一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线
性回归
方程0.52ln 300z x =-++，则当经过6h 后，预报废气的污染物数量为（ ） A ．2300e /L mg B ．300e /L mg C ．
2
300e /L mg D ．300
e
/L mg 5．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，直线y a =与双曲线两条
渐近线
的左、右交点分别为,A B ，若四边形21ABF F 的面积为5ab ，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
6．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD =， 2PA PD AB ===，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．12π 7．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21(1)22n n nS n S n n +-+=+
*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ）
A ．41n -
B ．21n +
C ．3n
D ．2n + 8．如图所示，函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛
物线
231
122
y x x =-++上，则()f x ＝（ ）
A ．1()sin()63f x x π=+
B ．1()sin()23
f x x π
=+
C ．()sin(
)23f x x π
π=+ D ．()sin()26
f x x ππ
=+
第8题图 第9题图 9
．某程序框图如图所示，若输出1S =-，则判断框中M 为（ ）
A ．7k <？
B ．7k ≤？
C ．8k ≤？
D ．8k >？ 10．已知函数3
1()()x x
f x e x e =-
，若实数a 满足20.5(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．1(,)(2,)2-∞+∞
B ．1(,][2,)2-∞+∞
C ．1[,2]2
D ．1(,2)2
11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为
169π ） A
． B
． C ．4 D
12．已知函数()
()21x
a x ax a f x e --+=
在区间[0,)+∞上的最大值为 a ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．24,5e ⎛⎤-∞- ⎥+⎝⎦
B ．24,5e ⎛
⎤-∞ ⎥+⎝
⎦ C ．24+5e ⎡⎫
-∞⎪⎢+⎣⎭， D ．24+5e ⎡⎫∞⎪⎢+⎣⎭
，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数220160()20160x
x f x x x -≤⎧=⎨-->⎩
，若[()]0f f m =，则m =___________．
14．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首
的《九
章算术》，其中卷第七《盈不足》有一道关于等比数列求和试题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生
一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”其意思是：今有蒲生1日，长3
尺.莞生1日，长1尺.蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加1倍，问几日蒲（水生植物 名）、莞（植物名）长度相等．试估计___________日蒲、莞长度相等（结果采取“只入不舍”
原则取整数，相关数据：lg 30.4771≈，lg 20.3010≈）
15．已知变量x y ,满足约束条件112x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥-⎩
，则13log z =___________．
16．过x 轴上一定点M 作直线l 与抛物线2
4y x =交于,P Q 两点，若5OP OQ = ，
则M 点的坐
标为___________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，3
ABC π
∠=，:2:3AB BC =
，
AC =．
（1）求sin ACB ∠的值；
（2）若34
BCD π
∠=，1CD =，求CD ∆A 的面积．
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）
中，11,2BC CC AC ===，=90ABC ∠︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ； （2）求三棱锥11A ABC -的体积．
19．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，
是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开
展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进 行调查，将他们年龄分成6段：[20,30），[30,40）， [40,50）
，[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图的频 率分布直方图．问：
（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值；（3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者中年龄在[30,40）恰有1人的概率．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点到直
线0
x y
-+=的
距离为5
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，连接椭圆短轴端点A与椭圆上不同于A的两点
,
M N，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于,P Q两点，且Q
P
恰好经过圆心O，求AMN
∆面积的最大值．
21．（本小题满分12分）设函数()ln1
f x x
=+．
（1）已知函数2
131
()()
424
F x f x x x
=+-+，求函数()
F x的极值；
（2）已知函数2
()()(21)(0)
G x f x ax a x a a
=+-++>．若存在实数()
2,3
m∈，使得当(]
0,
x m
∈时，函数()
G x的最大值为()
G m，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选讲4-1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与
B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．
（1）求证：DE BF
；
（2
）若PC=，1
DE=，求PB的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐
标方程为6cos2sin
ρθθ
=+，直线l
的参数方程为
1
2
x
y
⎧=
⎪
⎨
=+
⎪⎩
（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设点(1,2)
Q，直线l与曲线C交于,A B两点，求||||
QA QB
的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． （1）若2a =，解不等式()3f x ≤；
（2）若存在实数a ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．。