第八章5-6 离散时间系统的变换域

抽 样
∫σ
σ + j∞
− j∞
F ( s )e st ds
1 f ( kT ) = 2πj
∫σ
σ + j∞
− j∞
F ( s )e skT ds
三、连续信号 f(t) 的拉普拉斯变换 F(s) 与它抽样后得到的离 散序列f(k)的z变换F(z)之间的关系。
1 f ( kT ) = 2πj
∫σ
σ + j∞
z2 z Yzs ( z ) = H ( z ) E ( z ) = 2 • z + 3z + 2 z − 1 1 1 4 k y zs ( k ) = [ − ( −1) + ( −2) k ]ε ( k ) 6 2 3
全响应 y (k)= yzi (k)+ yzs (k)
差分方程求解小结： 1）全响应＝零输入响应＋零状态响应 零输入响应 y(k)=[C 1(-2 )k+ C 2(-3 )k] ε(k) 零状态响应 Rzs(z)=H(z)E(z) 2) 直接求全响应 y (0), y(1) yzs(0), yzs(1) yzi(0) , yzi(1)
例4：一线性因果系统
y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)= ε(k)
且y (-1)=0,y(-2)=1/2，求系统全响应y (k) yzi (-1)=0,yzi(-2)=1/2 解一：换成前向差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)= ε(k+2) 转化初始条件： 1) yzi(0)=-3y(-1)-2y (-2)=-1 2) yzi(1)=-3yzi(0)-2y (-1)=3 C 1=1 C 2=-2
§8-6 离散时间系统ZT分析法 重点内容： 1：零状态和零输入 2：直接求全响应 3、几种形式的模拟框图 4、系统稳定性的判断
单边序列－左移： f ( k + 1)ε ( k ) ↔ z[ F ( z ) − f (0)]
f ( k + 2)ε ( k ) ↔ z 2 [ F ( z ) − f (0) − z −1 f (1)]
…
∑
…
y(k)
h(k)= h1(k) + h2(k)+ h3(k) + …+ hN(k)
五 离散系统的稳定性 1、任有界的激励产生有界的输出 2、h(k)绝对可和 或
lim h(k ) → 0
k →∞
N N ⎡ ⎤ A z h(k ) = ZT −1[ H ( z )] = ZT −1 ⎢ A0 + ∑ n ⎥ = A0δ (k ) + ∑ An ( pn ) k ε (k ) n =1 z − pn ⎦ n =1 ⎣
= ∑
+∞
f (k ) z
−k
= F ( z)
二、s平面与z平面之间的映射关系
Im[ s ]
Fδ ( s ) = F ( z ) z =esT
F ( z ) = Fδ ( s ) s = 1 ln z
T
z=e
sT
ω
σ
1 s = ln z T
Re[ s ]
假设： s = σ +∞
∞
F ( s )e skT ds
2π j ∫σ − j∞
skT
F ( z ) = Z { f (kT )} = ∑
k =0
1
σ + j∞
F ( s )e skT ds ⋅ z − k
=
2π j ∫σ
1
σ + j∞
− j∞
F ( s )∑ e
k =0
∞
F ( s) ds ⋅ z ds = sT − 1 ∫ 2π j σ − j∞ 1 − e z
3、因果稳定系统H(z)的极点只出现在z平面的单位圆内。 单位圆上有单阶极点是临界稳定 稳定反因果系统的极点只出现在z平面的单位圆外。 系统的收敛域包含单位圆→稳定
系统的收敛域包含单位圆→系统稳定 Im[z] 例6:判断稳定性
H (z) = − 2.5 z ( z + 0.5)( z − 2)
z z H (s) = − z + 0.5 z − 2
jw 0
z = eσT
σ
0
Re[ z ]
二、s平面与z平面之间的映射关系
z = eσT
θ = ωT
4、s平面上的多个点可以映射到z平面的一个点上，相角θ随w以 为周期重复。所以这种映射关系并不是一一对应的。
2π T
ω2 ω1
Im[ s ]
Im[ z ]
|z| σ
θ1
Re[ z ]
Re[ s ]
ω2 -ω1 =2π/T
m
m −1
系统传输函数的极点都在单位圆的内部或D(z)=0的特征根的 模小于1； 单位圆上有单阶极点，则系统是临界稳定的；
x(k)
h1(k)
h2(k)
…
hN(k)
y(k)
h(k)= h1(k) * h2(k) * h3(k) * … * hN(k)
系统并联 H(z)= H1(z) + H2(z)+ H3(z) + …+ HN(z) H1(z) X(z) H2(z) HN(z)
…
h1(k) ∑
…
Y(z)
x(k)
h2(k) hN(k)
(z2+5z+6)Y(z)= z2y(0)+y(1)z+5y(0)z
z 2 + 4z Y (z) = − 2 z + 5z + 6
例1：一线性因果系统
y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=e(k+1)+e(k)
且e(k)=0,y(0)=-1,y(1)=1,求响应y(k)
z + 4z Yzi ( z ) = − 2 z + 5z + 6
且e(k)=0,y(0)=-1,y(1)=1,求响应y(k) 时域法比z域法简单 解2：(1)特征方程 S2+5S+6=0 (2)通解 y(k)=[C 1(-2 )k+ C 2(-3 )k] (3)代入初始条件： C1 = −2, C 2 = 1 y(k)=[-2(-2 )k+ (-3 )k] ε(k) v1=-2 v2=-3
H ( z ) = Z {h( k )}
例2：已知一线性系统 y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=e(k+1)+e(k) 且 e(k)=ε(k), 求系统转移函数H(z),单位样值响应h(k)和系统零状态响应yzs(k)
零状态响应
Rzs ( z ) = E ( z ) • H ( z )
1 求H(z), H(z)=Z{h(k)} 2 z域相乘 Rzs(z)=H(z)E(z) 3 反z变换 rzs(k)=Z-1{H(z)E(z)}
yzi(k)=[C 1(-1 )k+ C 2(-2 )k] ε(k) =[(-1 )k- 2(-2 )k] ε(k)
例4：一线性因果系统
y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)= ε(k)
且y (-1)=0,y(-2)=1/2，求系统全响应y (k) 解二：零输入响应 yzi(k)=[C 1(-1 )k+ C 2(-2 )k] ε(k+2) y(-1)=-1 y (-2)=3 yzi (k)=[C 1(-1 )k+ C 2(-2 )k] ε(k+2) 零状态响应 C1=1 C2= -2 =[(-1 )k- 2(-2 )k] ε(k+2)
例3： F ( z ) =
3z z2 − z − 2
求原序列f(k)
§8-5 z变换(ZT)与拉普拉斯变换（LT）关系 一、理想抽样信号fδ(t)的LT与离散序列f(k)的ZT之间的关系。
Fδ ( s ) = F ( z ) z =esT
fδ (t ) = f (t ) ∑ δ (t − kT ) =
−k
1
σ + j∞
⎛ zF ( s ) ⎞ = ∑ Re s ⎜ sT ⎟ ⎝ z − e ⎠ F ( s )的诸极点 i
三、连续信号 f(t) 的拉普拉斯变换 F(s) 与它抽样后得到的离 散序列f(k)的z变换F(z)之间的关系。
⎛ zF ( s ) ⎞ F ( z ) = ∑ Re s ⎜ sT ⎟ ⎝ z − e ⎠ F ( s )的诸极点 i
F ( s) =
∑
i =1
n
Ki s − si
⎛ Ki z ⎞ F ( z) = ∑ ⎜ si T ⎟ ⎠ i =1 ⎝ z − e
n
可见：F(s)在 s1 处有极点，而F(z)在
e
s1T
处有极点。
1 例1:已知某连续信号f(t)的傅里叶变换为:F ( jω ) = 2 − ω 2 + j 3ω
按照取样间隔T=1对其进行取样得到离散时间序列f(k)， 求序列f(k)的z变换。
H ( z ) = H ( S ) |S = z
三 系统的全响应求解 例3：一线性因果系统 y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=e(k+1)+e(k) 2) y (0)=-1,y(1)=1
初始条件：1）yzi(0)=-1,yzi(1)=1
当 e(k)= ε(k),求在两种初始条件下系统全响应y (k)
Im[ z ]
1 σ = ln z T
z = eσT
|z| θ
1 ω= θ T
θ = ωT
Re[ z ]
二、s平面与z平面之间的映射关系 1、s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内； 2、s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外； 3、s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上；