精品解析：北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(理)试题解析(教师版)
北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题 理 北师大版
北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题2013.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x +-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）EC 1B 1A 1CBA已知函数e ().1axf x x =- （I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为21()cos cos 2222x x x f x +-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分 (Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =………………10分由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1s i n 2B =………………12分又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =………………13分16.（本小题满分13分） 解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 (3)分（II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125………………9分设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48………………12分一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分17.（本小题满分14分）(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线， 所以1//EO A B………………2分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM = ………………8分（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==， 设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则有10AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………………10分因为AC ⊥平面1A B B A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC = ………………11分所以c o||A CAC A C ⋅<>………………13分平面1AEC 与平面1A B B A 1所成锐二面角的余弦值为………………14分 18. （本小题满分13分）解：当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x x f x x -=- ………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分（II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=-当0a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1-∞+∞ ………………6分当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+= ………………7分当0a >时，11a x a+=>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+， 单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞， 单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x=，焦点坐标为1(,0)2………………3分（Ⅱ）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………6分 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分 又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0= ………………13分 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………14分 法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m=-+=………………6分 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分 又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………13分20. （本小题满分14分）解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω， 即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分 而2()()2f x h h x x h x x ==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1hh x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++ 所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++， 所以4()af a d a b c=<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()cf c t a b c=<++三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++所以2d t +-<………………6分 因为,d d a b <所以()0,b a d ab-< 而0a b <<， 所以0d < 所以(d d +-………………8分(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >， 记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数. 所以当0x x >时，022()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解 假设存在20x >，使得2()0f x =，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x 是增函数 一定存在320x x >>，322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾 所以()0f x =在(0,)+∞上无解综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x-=在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ， 而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k >所以M的最小值 为0 ………………13分。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题(物理)(精)
七彩教育网 免费供给Word 版教课资源北京市海淀区 2012 届高三上学期期末考试物理说明：本试卷共8 页，共100 分。
考试时间 90分钟。
一、此题共10 小题，每题 3 分，共 30分。
在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。
所有选对的得 3 分，选不全的得 2分，有选错或不答的得 0分。
把你以为正确答案的代表字母填写在题后的括号内。
1．以下说法中正确的选项是（）A．在静电场中电场强度为零的地点，电势也必定为零B．放在静电场中某点的查验电荷所带的电荷量q 发生变化时，该查验电荷所受电场力F 与其电荷量q 的比值保持不变C．在空间某地点放入一小段查验电流元，若这一小段查验电流元不受磁场力作用，则该地点的磁感觉强度大小必定为零D．磁场中某点磁感觉强度的方向，由放在该点的一小段查验电流元所受磁场力方向决定2．一只电饭煲和一台洗衣机并联接在输出电压u=311sin314 tV的沟通电源上（其内电阻可忽视不计），均正常工作。
用电流表分别测得经过电饭煲的电流是，经过洗衣机电动机的电流是 0.50A ，则以下说法中正确的选项是（）A ．电饭煲的电阻为 44Ω，洗衣机电动机线圈的电阻为B．电饭煲耗费的电功率为 1555W ，洗衣机电动机耗费的电功率为C．1min 内电饭煲耗费的电能为 6.6 ×104J，洗衣机电动机耗费的电能为 6.6 ×103D．电饭煲发热功率是洗衣机电动机发热功率的10 倍3．如图 1 所示，在一固定水平搁置的闭合导体圆环上方，有一条形磁铁，从离地面高h处，由静止开始着落，最后落在水平川面上。
磁铁着落过程中一直保持竖直方向，并从圆环中心穿过圆环，而不与圆环接触。
若不计空气阻力，重力加快度S N为 g，以下说法中正确的选项是（）导体圆环A ．在磁铁着落的整个过程中，圆环中的感觉电流方向先逆时针后顺时针（从h上向下看圆环）B．磁铁在整个着落过程中，所受线圈对它的作使劲先竖直向上后竖直向下图 1 C．磁铁在整个着落过程中，它的机械能不变D．磁铁落地时的速率必定等于2gh4．如图 2 甲所示，一个理想变压器原、Ⅰ ⅡⅢ副线圈的匝数比 n1： n2=6： 1，副线圈两头接三条支路，每条支路上都接有一只灯泡，uL电路中 L 为电感线圈、 C 为电容器、 R 为定R值电阻。
【精品解析】北京市海淀区2012届高三期末考试物理试题解析(教师版)
一、本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。
全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
把你认为正确答案的代表字母填写在题后的括号内。
1．下列说法中正确的是（）A．在静电场中电场强度为零的位置，电势也一定为零B．放在静电场中某点的检验电荷所带的电荷量q发生变化时，该检验电荷所受电场力F与其电荷量q的比值保持不变C．在空间某位置放入一小段检验电流元，若这一小段检验电流元不受磁场力作用，则该位置的磁感应强度大小一定为零D．磁场中某点磁感应强度的方向，由放在该点的一小段检验电流元所受磁场力方向决定答案：B解析：在静电场中电场强度为零的位置，电势不一定为零，选项A错误；放在静电场中某点的检验电荷所带的电荷量q发生变化时，该检验电荷所受电场力F与其电荷量q的比值保持不变，选项B正确；在空间某位置放入一小段检验电流元，若这一小段检验电流元不受磁场力作用，可能是电流元与磁场平行放置，则该位置的磁感应强度大小不一定为零，选项C错误；磁场中某点磁感应强度的方向由磁场决定，选项D错误。
2．一只电饭煲和一台洗衣机并联接在输出电压u=311sin314t V的交流电源上（其内电阻可忽略不计），均正常工作。
用电流表分别测得通过电饭煲的电流是5.0A，通过洗衣机电动机的电流是0.50A，则下列说法中正确的是（）A．电饭煲的电阻为44Ω，洗衣机电动机线圈的电阻为B．电饭煲消耗的电功率为1555W，洗衣机电动机消耗的电功率为C．1min内电饭煲消耗的电能为6.6×104J，洗衣机电动机消耗的电能为6.6×103D．电饭煲发热功率是洗衣机电动机发热功率的10倍答案：C解析：一只电饭煲和一台洗衣机并联接在输出电压u=311sin314t V 的交流电源上，电压为220V，电饭煲可视为纯电阻，电饭煲的电阻为R=U/I=44Ω，洗衣机主要元件是电动机，不能利用欧姆定律计算线圈的电阻，选项A错误；电饭煲消耗的电功率为P=UI=220×5W=1100W，洗衣机电动机消耗的电功率为P=UI=110W，选项B错误；1min内电饭煲消耗的电能为Pt=1100W ×60s=6.6×104J，洗衣机电动机消耗的电能为Pt=110W ×60s=6.6×103J，选项C正确。
2011-2012学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2011-2012学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数52+i( )A.2−iB.25+15iC.10−5iD.103−53i2. 如图，正方形中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点．那么EF →=( )A.12AB →−13AD →B.14AB →−12AD →C.13AB →+12DA →D.12AB →−23AD →3. 若数列{a n }满足：a 1=19，a n+1=a n −3（n ∈N ∗），而数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为（ ） A.6 B.7C.8D.94. 已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则（ ） A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直5. 函数f(x)=A sin (2x +φ)(A, φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)=( )A.−12B.−√32C.−1D.−√36. 执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）A.5B.6C.7D.87. 已知函数f(x)=cos 2x +sin x ，那么下列命题中假命题是（ ） A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 B.f(x)在[−π, 0]上恰有一个零点 C.f(x)是周期函数 D.f(x)在(π2，5π6)上是增函数8. 点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（ ） A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支D.直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.(√x +1)5的展开式中x 2的系数是________．（用数字作答）若实数x ，y 满足{x +y −4≤0y −1≥02x +y −5≥0则z =x +2y 的最大值为________．抛物线x2=ay过点A(1,14)，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：∘C）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大的城市是________．知圆C：(x−1)2+y2=2，过点A(−1, 0)的直线l将圆C分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l的方程为________．已知正三棱柱ABC−A′B′C′的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．三、解答题（共6小题，满分80分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，sin B=√33．（1）求cos A及sin C的值；（2）若b=2，求△ABC的面积．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．（1）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，∠ABC=90∘，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥平面PBC；（2）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90∘）的大小；（3）在棱PB上是否存在点M使得CM // 平面PAD？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=e x(x2+ax−a)，其中a是常数．（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若存在实数k，使得关于x的方程f(x)=k在[0, +∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0, 1)，且离心率为√32，Q为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点(−65，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．(I)若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；(II)若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n∈N∗)，若集合A={a1,a2,a3,⋯,a m}(m∈N∗)，且对任意的b∈M，存在a i，a j∈A(1≤i≤j≤m)，使得b＝λ1a i+λ2a j（其中λ1，λ2∈{−1, 0, 1}），则称集合A为集合M的一个m元基底．(Ⅰ)分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；①A＝{1, 5}M＝{1, 2, 3, 4, 5}；②A＝{2, 3}，M＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}．(Ⅱ)若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m(m+1)≥n；(Ⅲ)若集合A为集合M＝{1, 2, 3, ..., 19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2012年北京海淀二模数学(理科)及参考答案
北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类） 2012．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、 若sin cos 0θθ<，则角θ是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角 2、 已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =，则p ⌝是（ ）A ．0x ∀∈R ，021x ≠B ．0x ∀∉R ，021x ≠C ．0x ∃∈R ，021x ≠D ．0x ∃∉R ，021x ≠3、 直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角大小为（ ）A ．π4-B ．π4C ．π2D ．3π44、 若整数x 、y 满足1132x y x y y ⎧⎪-⎪+⎨⎪⎪⎩≤≥≤，则2x y +的最大值是（ ）A ．1B ．5C ．2D ．35、 已知1F 、2F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2 D． 6、为了得到函数2log y =的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点（ ）A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度7、 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）左视俯视图主视图A ．203B ．43 C ．6 D ．48、 点(),P x y 是曲线C ：1y x=（0x >）上的一个动点，该曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 是坐标原点，给出三个命题：① PA PB =；② OAB △的周长有最小值4+③ 曲线C 上存在两点M 、N ，使得OMN △为等腰直角三角形． 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、 在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB △的面积大于等于14的概率是 ． 10、 已知()10210123111x a a x a x a x +=++++．若数列123,,,,k a a a a （111k ≤≤，k ∈Z ）是一个单调递增数列，则k 的最大值是 ．11、 在ABC △中，若120A ∠=︒，5c =，ABC △的面积为a = ．12、 如图，O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，75CP =，5PD =，1AP =，则DCB ∠= ．PDCBA PFEDC BA13、 某同学为研究函数()f x 01x ≤≤）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP P F f x +=．请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象对称轴方程是 ；函数()()49g x f x =-的零点的个数是 ．14、 曲线C 是平面内到定点()1,0A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴的交点的坐标是 ；又已知点(),1B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15、 （本小题满分13分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列．⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和公式．16、 （本小题满分14分）如图所示，PA ⊥面ABC ，点C 在以AB 为直径的圆O 上，30CBA ∠=︒，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM AC ∥．BA⑴ 求证：平面MOE ∥平面PAC ； ⑵ 求证：平面PAC ⊥平面PCB ；⑶ 设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．17、 （本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A 、B 两个项目可供选择：⑴ 投资A 项目一年后获得的利润1X （万元）的概率分布列如下表所示：且1X 的数学期望()112E X =；⑵ 投资B 项目一年后获得的利润2X （万元）与B 项目产品价格的调整有关，B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p （01p <<）和1p -．经专家测算评估：B 项目产品价格一年内调整次数X （次）与2X 的关系如下表所示：⑴ 求a ，b 的值； ⑵ 求2X 的分布列；⑶ 若()()12E X E X <，则选择投资B 项目，求此时p 的取值范围．18、 （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为()1,0F，且点1,⎛- ⎝⎭在椭圆C 上． ⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 19、 （本小题满分14分）已知函数()()21ln 2f x a x a x x =--+（0a <）．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 若()12ln 21a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； ⑶ 当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意[]120,0,x x x ∈，且211x x -=，都有()()21f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值．（本题可参考数据：ln20.7≈，9ln0.84≈，9ln 0.595≈） 20、 （本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12p a a a +++（p *∈N ）的形式，其中i a *∈N ，1,2,,i p =，且12p a a a ≤≤≤，记所有这样的表示法的种数为()f n （如44=，413=+，422=+，4112=++，41111=+++，故()45f =）． ⑴ 写出()3f ，()5f 的值，并说明理由；⑵ 对任意正整数n ，比较()1f n +与()()122f n f n ++⎡⎤⎣⎦的大小，并给出证明； ⑶ 当正整数6n ≥时，求证：()413f n n -≥．北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学参考答案及评分标准（理工类）一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、1210、61112、45︒ 13、12x =；2 14、(0,±，7,574,152,11,1a a a a a a -⎪⎪+-<-⎨⎪--<>≤≤≤ 三、解答题15、（本小题满分13分）⑴ 设等差数列的公差为d ，则321333S a a d ==+，413a a d =+，13112a a d =+． ………………2分 从而由346S a =+，得113336a d a d +=++ ……① ………………3分 由1413,,a a a 成等比数列，得24113a a a =，于是()()2111312a d a a d +=+ ……② ………………4分 由①②，解得13a =，2d =． ………………5分 从而21n a n =+，n *∈N ． ………………6分 ⑵ ()()122n n a a S d n n +==+． ………………8分于是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()()111111132********n n n n ++++++⋅⋅⋅⋅-++ ………………9分111111111111123243546112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………11分 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭………………13分 16、（本小题满分14分） 法一AB⑴ E 点为线段PB 的中点，O 点为直径AB 的中点，∴OE PA ∥ ………………2分 又OM AC ∥ ………………3分 ∴平面MOE ∥平面PAC ………………4分 ⑵ ∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，从而BC AC ⊥ ………………5分 又PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥ ………………6分 因此BC ⊥平面PAC ， ………………7分 从而平面PAC ⊥平面PBC ………………8分 ⑶ 连接CM ，容易证明CM AB ⊥． ………………9分 设CM 交AB 于N ，过M 作MQ PB ⊥于Q ，连接NQ ．∵PA CM ⊥，CM AB ⊥，∴CM ⊥平面PAB又CN MN =，∴2MQN θ=∠． ………………10分 在PAB △中，32NB =，∴NQ在底面中，12MN CM = ………………11分因此tan MN MQN NQ ∠== ………………12分∴22tan tan tan 21tan MQNMQN MQNθ∠=∠==-∠ ………………13分从而1cos 5θ=． ………………14分 法二x⑴ 如图建系，()0,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2P ，()0,1,0O ，()0,1,1E ，………………1分1,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,02M ⎫⎪⎪⎝⎭． ………………3分()0,0,2AP =，1,,02AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0 ………………4分 ()0,0,1OE =，31,02OM ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，∴平面OEM 的一个法向量为()1,0 ………………5分因此平面MOE ∥平面PAC ． ………………6分 ⑵()0,2,2PB =-，3,,02BC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴平面PBC的一个法向量为),1,1- ………8分而)()1,11,00-⋅=，因此平面PAC ⊥平面PCB ． ………………10分⑶()0,2,2PB =-，3,,02MB⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴平面MPB 的一个法向量为)1,1- …………12分由题，二面角M BP C --为锐角，因此1cos 5θ==． ………………14分17、（本小题满分13分）⑴ 由概率和为1，得0.41a b ++= ………………1分 由()111120.41712E X a b =+⨯+= ………………2分 从而解得0.5a =，0.6b =．………………4分 ⑵ 分布列如下表：………………8分⑶ ()()12E X E X <，得()()()2212 4.1220.40111.761p p p p ⎡⎤<+⋅-++-⎣⎦………………10分化简得20.240p p -+<，解得0.40.6p <<．从而p 的取值范围为()0.4,0.6．………………13分18、（本小题满分13分）⑴ 221a b -=，()222211a b-⎝⎭+=，解得22a =，21b = ∴椭圆方程为2212x y += ………………4分⑵ 设当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l ：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0Q m ，则 QA QB ⋅=()()1122,,x m y x m y -⋅-()()()()2121211x m x m k x x =--+-- ………………6分联立直线与椭圆方程有()222212x k x +-=，即()()()2221211212x x k x -+-++-=∴()()12211121x x k --=-+ ………………8分()222212x k x +-=，即()()()()()()22222222112x p p x p p k x p p x p p ⎡⎤-+-++-+--+-=⎣⎦∴()()()22212221221p k p x p x p k +----=+ ………………10分从而()()22222222221122122121p k p p k p k QA QB k k ⎡⎤--+-+---⎣⎦⋅==++ 若QA QB ⋅为定值，则()22211221p p ---=，解得54p = ………………11分 此时716QA QB ⋅=-． ………………12分 经验证，当直线l 与x 轴垂直时，716QA QB ⋅=-也成立．综上，点Q 的坐标为5,04⎛⎫⎪⎝⎭． ………………13分19、（本小题满分14分）⑴ ()11f x a x x a'=⋅-+-()()21x a x x a a x a x x a x a --+-+-++==--，x a >． ………………2分 设()()21h x x a x =-++，则()0h a a =<，对称轴12a x a +=>，()21a ∆=+1°1a <-时，()h a 在(),a +∞有两个零点1a +和0，且10a +<∴()f x 在(),1a a +和()0,+∞上单调递减；()f x 在()1,0a +上单调递增． ………………3分 2°1a =-时，()h a 在(),a +∞上满足()0h a ≤∴()f x 在(),a +∞上单调递减 ………………4分 3°10a -<<时，()h a 在(),a +∞有两个零点1a +和0，且01a <+∴()f x 在(),0a 和()0,1a +上单调递减；()f x 在()0,1a +上单调递增． ………………5分 ⑵ 当()12ln 21a -<<-时，由⑴中3°情形，只需要证明()00f >同时()20f a +<． ……7分 而()()0ln 0f a a =-> ………………8分()()()22112ln 222ln 2122f a a a a a a +=-+++=--()()()212ln 21ln 212ln 2102<----=⎡⎤⎣⎦ 因此原命题得证． ………………9分⑶ 当45a =-时，()()()()21111f x f x f x f x -=+-()22111111441441ln 111ln 552552x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………10分11149441ln ln 55552x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设()49441ln ln 55552g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()24141151332194495555555x x g x x x x x ++'=⋅-⋅+=⋅⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ………………11分 因此()g x '在[)0,+∞上满足()0g x '>，∴()g x 在[)0,+∞()0,+∞上单调递增 ………………12分因此()()0g x g ≥49441491ln ln ln 0.1455552542=--=-≈ ………………13分也即当10x =，21x =时()()21f x f x -取得最小值为0.14，因此实数m 的最大值为0.14．………14分20、（本小题共13分）⑴ 33=，312=+，3111=++∴()33f = ………………2分55=，514=+，523=+，5113=++，5122=++，51112=+++，511111=++++，∴()57f = ………………4分⑵ ()11f =，()22f =，()33f =，()45f =，()57f =，()611f =，()715f =，…．()()()1122f n f n f n +++⎡⎤⎣⎦≤ ………………5分 只需要证明()()()()211f n f n f n f n +-++-≥，证明如下： ………………6分 注意到在n 的所有表示法()1n +前加上“1+”就可以得到()1n +的表示法中以1为第一项的表示法， 因此()1n +的表示法中以1为第一项的有()f n 种，因此不以1为第一项的有()()1f n f n +-种；类似的，()2n +的表示法中不以1为第一项的有()()21f n f n +-+种； ………………7分 在所有以()1n +的表示法中所有不以1为第一项的表示法中的最后一项加上1就可以得到()2n +的表示法中不以1为第一项的表示法，且这些表示法均不相同． ∴()()21f n f n +-+≥()()1f n f n +-综上，命题得证． ………………9分 ⑶ 法一根据⑵，()()()()211f n f n f n f n +-++-≥，而()611f =，()715f = ………………10分 ∴()()764f f -=，()()874f f -≥，()()984f f -≥，…，()()14f n f n --≥，其中k *∈N …11分 累加就有()()()646f n f n --≥，即()413f n n -≥． ………………13分 法二由于当6n =时，()611f =，命题成立；因此只需要证明当6n ≥时，()()14f n f n +-≥即可． ………………10分 在()1n +的表示法中，以1为第一项的有()f n 个； 考虑()1n +的表示法中不以1为第一项的，至少有三类 1个数的，()()11n n +=+，共1个；2个数的，()()121n n +=+-，()()132n n +=+-，…，()()111122n n n n ++⎡⎤⎡⎤+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，至少有2个； 3个数的，()()111112333n n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…，至少有1个． 从而()()14f n f n +-≥． ………………12分 累加即得()413f n n -≥． ………………13分。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试(有答案 )
北京市海淀区2012届高三年级期末考试语文试题 2012·1第一部分(共27分)一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1. 下列词语中，字形和加点的字读音全都正确的一项是 BA. 果腹珠联璧和合木讷．（nà）nè嘉言懿．（yì）行B. 奇葩独辟蹊径裹挟．（xié）曲．（qū）突徙薪C. 法码砝语焉不详信笺．（qiān）jiān舐．（shì）犊情深D. 雾霾认人唯贤任丰腴．（yú）握发吐哺．（fǔ）fǔ2. 下列句子中，加点的成语使用不正确的一项是 CA. 据报道，近日科学家们发现了迄今已知的两个最大的黑洞，它们的质量是太阳的100亿倍，整个太阳系在它们面前都显得相形见绌．．．．。
形：对照；绌：不够，不足。
和同类的事物相比较，显得远远不足。
B. 尽管如今搞收藏的人越来越多，但社会上不少拍卖会却与平民无关，普通的收藏者只能望洋兴叹．．．．，因为一般的藏品进不了拍卖会的门槛。
原指在伟大事物面前感叹自己的渺小。
现多比喻做事时因力不胜任或没有条件而感到无可奈何。
C.姜文在电影《关云长》中饰演曹操，他的表演栩栩如生．．．．，极具个性，有人评论他诠释了一个前所未有的带有“姜文”印记的曹操。
活泼生动的样子。
指艺术形象非常逼真，如同活的一样。
D.孙家栋院士如数家珍．．．．地向前来参观的人们介绍了我国绕月探测工程五大系统的特点，并特别强调这五大系统处处是“中国制造”。
好像数自己家藏的珍宝那样清楚。
比喻对所讲的事情十分熟悉。
3.下列句子中，没有语病的一句是 BA.为迅速平息“冰箱门事件”，西门子公司就此向消费者诚恳道歉，以避免对公司终端产品的销售和品牌形象造成更大的损毁。
（不合逻辑）B.德班气候大会举行期间，场外的示威抗议活动持续不断，环保人士高喊口号，要求各国政要在应对气候变化上做出更多努力。
C.在日本那些再现曲水宴的表演中，有着不少“中国元素”，但是由于现代年轻人对古代中国文化了解甚少，并不知道哪些元素来自中国。
2012北京海淀高考一模试卷深度解析
2012北京海淀高考一模试卷深度解析:数学2012年的海淀一模刚刚结束，这份试卷质量很高，题目总体难度不小，其中很多题目是情理之外，意料之中的好题。
对于高三学生的复习，查漏补缺起到了很好的作用。
一、第一感觉拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,试题的起点低，入手容易，最重要的是试题非常的亲切，可以说和学生在平时练习的题目还是比较接近的，在关注考试选拔功能的同时，更关注发展功能，考查出学生会什么，让所有学生尽可能多表现出数学学习的成果；但是有几个题目设计比较巧妙，试题给笔者留下了较深的印象。
二、亮点分析（以理科试卷为例）：此题考查排列组合，虽然难度不大，但是充满了智慧，此题可以直接分类解答，但是采用“间接法”解答更妙，可以先数总数，减去甲在首位的，则立刻出答案D。
这与2011年北京高考数学的用“1,2”排四位数包含“1,2”的有几种很相似，也是数出总数，减去都是“1”和都是“2”的两种，一步出答案。
历年考题，无论是京内还是京外，都青睐考察“间接”不无联系，间接的思想不管是在排列组合还是概率中都有较多的考察，概率中最典型的提问就是“至多至少”，本质上这就是间接法，考查思维非常巧妙。
此题本身难度不小，利用数形结合思想可以得出结论，但是从小题小做的角度，采用“特值排除法”更妙，带入a=0满足条件很容易排除掉B，D两个选项，再令a= ，也满足条件则排除C选项。
在新东方的课堂上讲解过很多这样的例子，考试结束后很多学生反馈虽然题目很难，但是还是很顺利的解答了此题。
其实2011年海淀的一模中选择8也是类似的题目，同学们可以尝试一下，题目如下：(2011海淀一模理8)已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是A．B．C．D．（答案D）这道选择的压轴题目思路非常巧妙，整体和北京2009年的选择8非常相似，表面看是计算45°角的个数，但是本质是计算出B点与其他各7个顶点连线与AC'的夹角，除B点外，7个顶点连线中，第一组BA，BC，BB'。
北京市9区2012届高三上学期期末考试试题--数学AnllAP
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数 学（文）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --（2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r（A ）1122AB AD u u ur u u u r +（B ）1122AB AD -u u ur u u u r - （C ）1122AB AD -u u ur u u u r + （D ）1122AB AD u u ur u u u r -（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+?R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12- （B ）1- （C ）32- （D ）3-FEDA 开始 i =1,s =0 s =s +2 i -1i s ≤100i = i +1 输出i 结束是否（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+?（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-?（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-?（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+-?ïïï+-?íïï-?ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .甲城市 乙城市9 087 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.（17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，BCDOAPAC BD O =I .（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分）若集合A 具有以下性质： ①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙 （13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分. 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin 3B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =. ………………………………………5分 所以sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =，.所以a =. ………………………………………10分由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D .所以110cos cos 233c a Bb A=???. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. ………………………………………2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D =I ，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.因为 平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC I 平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分 因为 底面ABCD 是菱形， 所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分 假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ，因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B =I ，所以 平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.MBCDO AP所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 的最小值为2((2))e a f a +-+=. ……………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以 椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-. ……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690my my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积12111322S PF y y =-=创 ……………………………………9分= ………………………………………10分 因为PAB ∆的面积为3613，213=.令t =22(1)3113t t t =?+.解得116t =（舍），22t =.所以m =?.所以直线AB 的方程为10x -=或10x --=.……………………………………13分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B -?，B ∈1，所以112B --=-?. 这与2B -?矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y -?Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分 （Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分 （Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分 对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î， 若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x-?-，即1(1)A x x Î-. 所以 (1)x x A -?.由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+?，即2x A Î. 同理可得2y A Î.若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +?. 若0x y +?且1x y +?，则2()x y A +?. 所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2.所以 A xy ∈21. 由（Ⅱ）可得：A xy xy xy ∈+=21211.所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A x Î.所以 1y y A x x =孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。
2012届高三数学上学期期末教学统一检测 理 北师大版
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22-（C ）1i22-+ （D ）1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83 （C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若32PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ； （Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n --； 13.，6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-）………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-+. (13)分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)32x -=-. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===； 2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B . 所以 (1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC =. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=. ………………12分即12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分（Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………………7分设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+--11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =. 由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+ 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--， 1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-， 所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列.Ω是等差数列.即1Ω成等差数列. (13)所以i分。
2012北京海淀高考一模数学理(含解析)
海淀区第二学期期中练习 高三数学试卷（理科) 2012．04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R U ，那么m 的值可以是（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．22．在等比数列{}n a 中，18a =，435=a a a ，则7a =（ ）．A ．116 B ．18C ．14D ．123．在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）． A ．sin 2ρθ=- B ．cos 2ρθ=-C ．sin 2ρθ=D ．cos 2ρθ=4．已知向量()()1,,1,x x =-a =b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）．A B C ．2 D ．45．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．76．从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ）． A ．12 B ．24 C ．36 D ．487．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <-8．在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45︒的点P 的个数为（ ）． A ．0 B ．3 C ．4 D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 9．复数2i1ia +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数=a ．10．过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ．11．若1tan 2α=，则cos(2)=απ+2 ．12．设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 ．13．如图，以ABC △的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC于点E ，EF AB ⊥于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么=CDE ∠ ，=CD ．D ’C ’B ’A ’DCBAC DEBF A14．已知函数()1,,0,,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩R Q Q ð则（Ⅰ）(())=f f x ； （Ⅱ）给出下列三个命题： ①函数()f x 是偶函数；②存在(1,2,3)i x i ∈=R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在(1,2,3,4)i x i ∈=R ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形．其中，所有真命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C成等差数列． （Ⅰ）若b =3a =，求c 的值； （Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值．在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AB AD⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =．（Ⅰ）设平面PAB I 平面PCD m =，求证：CD ∥m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所，求PQ PB的值．DCBAP某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）x已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆G的上顶点，且145PFO ∠=︒． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线11:l y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线22:l y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示．（ⅰ）证明：120m m +=；（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-．已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =．（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆U ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区第二学期期中练习高三年级数学试卷（理科）参考答案及评分标准一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2 10．43200x y --= 11．45-12．(10,20) 13．060 14．1； ①③ 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+． 因为A B C ++=π， 所以3B π=． ………………………………………2分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=． ………………………5分 所以4c =或1c =-（舍去）． …………………………6分（Ⅱ）解：因为23A C +=π，所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )2A A A =+11cos 22()22A A -=+ 11sin(2)426A π=+-． ………………………10分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<．所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34．………………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB ∥CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB I 平面PCD m =，所以CD ∥m ． ……………………………………4分（Ⅱ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，D ，C ． (5)分所以(BD =-uuu r ，AC =u u u r， (0,0,4)AP =u u u r，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r， (4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=u u u r u u u r．所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥． 因为 AP AC A =I ，AC ⊂平面PAC ， PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ． ………………………………………9分 （Ⅲ）解：设PQPB λ=（其中01λ≤≤），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ． 所以PQ PB λ=u u u r u u r ．所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-．所以4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+．所以(42,44)CQ λλ=---+u u u r．………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(BD =-uu u r．……………12分因为 sin cos ,CQ BDCQ BD CQ BD θ⋅=<>=⋅uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r uu u r ，所以=． 解得7[0,1]12λ=∈． 所以712PQ PB =． ………………………………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以0.0125x =． ……………………………2分 （Ⅱ）解：新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ……………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． ……………………6分（Ⅲ）解：X 的可能取值为01,2,3,4.，……………………………7分 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为：…………………………………12分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或1414EX =⨯=） 所以X 的数学期望为1． ………………………………………13分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ．221'()e ()e (21)e [(2)2]kx kx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即'()e (2)(1)(0)kx f x kx x k -=--+<． ………………………………………2分 令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=． 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞．……3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k-∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k -．…………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-．………………………………………7分（Ⅱ）解：当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -．理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值．当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f k k k-=+， ……………8分令22241e ()3e k k --+=，即2413,k k +=解得 1k =-或43k =（舍）．…………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e(1)kf k-=-． ……………………10分因为 2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<．因为 221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -． …………………………12分综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -．………………13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．因为1(1,0)F -，145PFO ∠=︒， 所以1b c ==．所以2222a b c =+=． ……………………………2分 所以椭圆G 的标准方程为2212x y +=． ……………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ．（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=． 则2218(21)0k m ∆=-+>， 1122412km x x k +=-+，211222212m x x k -=+．………………5分所以 ||AB ==．同理||CD =． …………………………………7分因为||||AB CD =，所以=．因为12m m ≠，所以120m m +=． ………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ，则d =．因为120m m +=，所以d =． ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S =）所以当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S 取得最大值为……13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=． ………………………3分 （Ⅱ）解：根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C ∈且a X ∉，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-U ；②若a C ∉且a X ∉，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆+U ．所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2,4,8一定属于集合X ；1,6,1016，是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B U 之外的元素．所以 当X 为集合{}1,6,1016，的子集与集合{}2,4,8的并集时()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4 ． ………………8分（Ⅲ）解：因为{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以A B B A ∆=∆．由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅．所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅． 所以()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=． 所以()()A B C A B C ∆∆=∆∆．由()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆． 所以()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆． 所以P Q ∆∆∅=∅． 所以P Q ∆=∅，即P Q =． 因为,P Q A B ⊆U ，所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=．……………………14分北京市海淀区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】D【解析】解：当1m =-时，A B =U ()(),11,-∞-+∞U ，不满足题意； 当0m =时，A B =U ()(),10,-∞-+∞U ，不满足题意； 当1m =时，A B =U ()(),11,-∞+∞U ，不满足题意； 当2m =时，A B =U R ，满足题意． 故选D ．2．【答案】B【解析】解：由题意得32611a q a q =，18a =，可得311a q =，18a =，所以18a =，12q =， 故67118a a q ==． 故选B ．3．【答案】A【解析】解：由极坐标的知识可知点3(2,)2π 在直角坐标系下为33π(2cos,2sin )22π即(0,2)-， 故平行于极轴的直线方程为2y =-，在极坐标下为sin 2ρθ=-． 故选A ．4．【答案】C【解析】解：由题可知()23,x -a b =，若2-a b 与b 垂直，则()()()223,1,30x x x -⋅=⋅-=-+=a b b ，即x =，所以2=a ．故选C ．5．【答案】B【解析】解：如下列表故输出为5． 故选B ．6．【答案】D【解析】解：由题可知总的排列方法共有35A 60=种， 而甲排在首位的共有24A 12=种， 所以满足条件的共有601248-=． 故选D ．7．【答案】A【解析】解：本题可采用数形结合和分类讨论的方式得到结论，但对于小题，特征法排除法更有效， 当0a =时，如图一满足题意，故可排除B ，D ；当3a =-时，如图二满足题意． 故选A ．8．【答案】B【解析】解：本题只需知道点B 与棱上点P （异于点B）满足BP 与'AC 成角为45︒的点的个数，可分析点B 与其它7个顶点的连线与'AC 的夹角，可分为如下四组： 第一组,,'BA BC BB ，它们与'AC 所成角均大于45︒，姑且称,,'A C B 为“大点”； 第二组,'BD BA ，都和'AC 垂直，它们与'AC 所成角均大于45︒，'D,A 为“大点”； 第三组'BD ，与'AC 所成角余弦值为13，大于45︒，'D 为“大点”； 第四组'BC ，它们与'AC ，于小45︒，姑且称'C 为“小点”， 可知大小点之间一定存在一个点P ，故点',,'B C D 到点'C 的三条棱上存在三点． 故选B ．二、 填空题 9．【答案】2图一【解析】解：由()22i2i 2i 1i 1i 1i 1i 2a a a a -+++++=⋅=--+， 由于复数在虚轴上，故20a -=，即2a =． 故答案为2．10．【答案】43200x y --=【解析】解：可知双曲线的5c ==，故右焦点为()5,0，经过一、三象限的 渐近线的方程为43y x =，故所求直线的斜率为43，由点斜式可知()4053y x -=-． 故答案为43200x y --=．11．【答案】45-【解析】解：222π2sin cos 2tan 14cos(2)sin 212sin cos tan 1514αααααααα---+=-====-+++．故答案为45-．12．【答案】(10,20)【解析】解：由题可知'511005EQ Q pP EP Q p-=-=->-， 所以22010010202020p p p p p -->⇒<⇒<<--． 故答案为(10,20)．13．【答案】060【解析】解：2EF AB EF AF FB ⊥⇒=⋅Q ，又3AF FB =Q ，EF ∴=，在直角三角形EFB 中tan 60EF EBF EBF FB ∠==∠=o ， CDE ∠为圆的内接四边形ABED 的补角，故tan 60CDE EBF ∠=∠=o ；在三角形EFB 中易知2EB =，1BF=，EF = 在三角形ABC 中，易知3BC =，4AB =，故2222cos60132AB BC AC AC AC AB BC+-=⇒=⇒⋅⋅o由割线定理可知CD CA CE CB CD ⋅=⋅⇒==故答案为06014．【答案】1；①③【解析】解：（Ⅰ）1,,()0,,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩R Q Q Q ð，()f x ∴∈Q ，故(())=1f f x ；（Ⅱ）① 正确．当x ∈Q ，则x -∈Q ，易知()()1f x f x =-=； 当x ∈R Q ð，则x -∈R Q ð，易知()()0f x f x =-=， 综上()()()f x f x x =-∈R ．② 错误．以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形有如图两类情况：当以90BAC ∠=o 时，则()11(,1)A x x ∈Q ，()22(,0)B x x ∈R Q ð，()33(,0)C x x ∈R Q ð为顶点， 易知121x x -=，与已知矛盾（1x ∈R Q ð，2x ∈Q ，3x ∈Q 同理可证）；当以11190B AC ∠=o时，则()111(,1)A x x ∈R Q ð，()122(,0)B x x ∈R Q ð，()133(,0)C x x ∈Q 为顶点，易知12x x =，与已知矛盾（1x ∈Q ，2x ∈Q ，3x ∈R Q ð同理可证）； ③ 正确．如图设()11(,1)A x x ∈Q ， ()22(,0)B x x ∈R Q ð，()33(,0)C x x ∈R Q ð，()44(,1)D x x ∈Q 为顶点的四边形，由题可知41322x x x x -=-=，由于四边形ABCD 是菱形，所以0AC BD ⋅=u u u r u u u r，故21(2,1)AC x x =-+-u u u r ， 12(2,1)BD x x =-+uu u r，则()()2211212(2,1)2,141x x x x x x -+-⋅-+=---，即12x x -=当122,2x x ==1x ∈R Q ð，2x ∈Q ，3x ∈Q ，4x ∈R Q ð同理可证）． 故答案为1；①③．。
北京市海淀区2012 - 2013学年度高三第一学期期末考试
北京市海淀区2012 - 2013学年度高三第一学期期末考试数学（理科）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．化简复数i-12的结果为 ( ) i A +1. i B +-1. i C -1. i D --1.2．已知直线t t y t x l （⎪⎩⎪⎨⎧--=+=2,2:为参数）与圆⎩⎨⎧=+=θθsin 2,1cos 2:y x C θ(为参数），则直线L 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是 ( ))0,1(,4.πA )0,1(,4-⋅πB )0,1(,43.πC )0,1(,43.-πD 3．向量),2,(),4,3(x b a =-若|,|a b a =⋅则实数x 的值为 ( )1.-A 21.-B 31.-C 1.D 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n ，S 的值分别为( )30,4.==S n A 30,5.==S n B 45,4.==S n C 45,5.==S n D5．如图，PC 与圆0相切于点C ，直线PO 交圆0于A ，B 两 点，弦CD ⊥AB 于点E ．则下面结论中，错误的是( )DEA BEC A ∆∆~. ACP ACE B ∠=∠. EP OE DE C ⋅=2. AB PA PC D ⋅=2.6．数列}{n a 满足R r N n r a r a a n n ∈∈+⋅==*+,(,111且=/r ),0则，“”1=r 是“数列}{n a 成等差数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )144.A 120.B 108.C 72.D8．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为,,21F F 若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得 P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ( ))32,31.(A )1,21.(B )1,32.(C )1,21()21,31.( D 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．以y=±x 为渐进线 且经过 点(2，O)的双曲线方程为 ．10.数列}{n a 满足,21=a 且对任意的*,,N n m ∈都有=+m m n a a,n a 则=3a }{;n a 的前n 项和=n s 11．在62)31(x x+的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 12.三棱锥D-ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为13.点P(x ，y)在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤+⋅≥1,3,0x y y x x 表示的平面区域内，若点P(x ，y)到直线1-=kx y 的最大距离为,22则=k14.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点P 在正方体1111D C B A ABCD -表面上运动，且r PA =),30(<<r 记点P 的轨迹的长度为),(r f 则)21(f = ；关于r 的方程k r f =)(的解的个数可以为 ．（填上所有可能的值）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数+=2cos 2sin 3)(x x x f ,212cos 2-x △ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b,c ．(I)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若,1,3,1)(===+b a C B f 求角C 的大小．16.（本小题共13分）汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：(I)从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；(Ⅱ)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．17.（本小题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E AA AC AB BAC ,2,901====∠ 是BC中点．(I)求证：//1B A 平面;1AEC(Ⅱ)若棱1AA 上存在一点M ，满足,11E C M B ⊥求AM 的长；(Ⅲ)求平面1AEC 与平面11A ABB 所成锐二面角的余弦值18．（本小题共13分）已知函数⋅-=1)(x e x f ax（I ）当a=l 时，求曲线)(x f 在))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间．19.（本小题共14分）已知点E(2，2)是抛物线Px y C 2:2=上一点，经过点(2，O)的直线L 与抛物线C交于A ，B 两点(不同于点E)，直线EA ，EB 分别交直线x=-2于点 M,N ．(I)求抛物线方程及其焦点坐标；(Ⅱ)已知0为原点，求证：∠MON 为定值．20．（本小题共13分）已知函数)(x f 的定义域为),,0(+∞ 若),0()(+∞=在x x f y 上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(x x f y =在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,1Ω所有“二阶比增函数”组成的集合记为⋅Ω2(I)已知函数,2)(23hx hx x x f --=若,)(1Ω∈x f 且,)(2Ω∉x f 求实数h 的取值范围．(Ⅱ)已知1)(,0Ω∈<<<x f c b a 且)(x f 的部分函数值由下表给出，求证：.0)42(>-+t d d(Ⅲ)定义集合,)(|)({2Ω∈=ψx f x f 且存在常数k ，使得任意}.)(),,0(k x f x <+∞∈请问：是否存在常数M ，使得,0,)(（∈∀ψ∈∀x x f ),∞+有M x f <)(成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(理)试题解析(教师版)
【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题2,4；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题3,7.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,11.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题13和解答题20等；（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如17题。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i( )（A ）2i （B ）21i 55 （C ）105i （D ）105i 33【答案】A 【解析】55(2)5(2)2.2(2)(2)5i i i i i i --===-++-故选A.（3）若数列{}n a 满足：119a ，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】B 【解析】113,3,{}n n n n n a a a a a +--=-∴-=-∴以19为首项，以-3为公差的等差数列，19(1)(3)223.n a n n ∴=+-⨯-=-设前n 项和最大，故有1022301922,,,,7.0223(1)033n n a n n n N n a n +≥-≥⎧⎧∴∴≤≤∈∴=⎨⎨≤-+≤⎩⎩故答案为B 。
（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 【答案】D【解析】A 错，如墙角的三个平面不满足；B 错，缺少条件直线应该在平面β内；C 错，直线l 也可能在平面内。
2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版(带答案)
2012海淀高三上学期理科数学期末试卷B版（带答案）海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2013.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数化简的结果为A.B.C.D.2.已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是A.B.C.D.3.向量,若,则实数的值为A.B.C.D.4.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为A.B.C.D.5.如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直于.则下面结论中，错误的结论是Ａ.∽B.C.D.6.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.用数字组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A.B.C.D.8.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.10.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.11.在的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.13.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则14.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数，三个内角的对边分别为.（I）求的单调递增区间；（Ⅱ）若，求角的大小.16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满足，求的长；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数（I）当时,求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.19.（本小题满分14分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.20.（本小题满分13分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ACABDACD9．10．11.12．13．14．二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又的单调递增区间为，所以令解得所以函数的单调增区间为，………………8分(Ⅱ)因为所以，又，所以，所以………………10分由正弦定理把代入，得到………………12分又，所以，所以………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为这辆汽车是A型车的概率为0.6………………3分（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………5分………………7分该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为………………9分（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02设为B型车出租的天数，则的分布列为145670.140.200.200.160.150.100.05………………12分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天.从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理.………………13分17.（本小题满分14分）(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以………………2分又平面，平面所以平面………………4分（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以，解得，所以………………8分（Ⅲ）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，………………10分因为平面,取平面的法向量为………………11分所以………………13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为………………14分18.（本小题满分13分）解：当时，，………………2分又，，所以在处的切线方程为………………4分（II）当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为………………6分当时，令，即，解得………………7分当时，，所以，随的变化情况如下表：无定义极小值所以的单调递减区间为，，单调递增区间为………………10分当时，所以，随的变化情况如下表：无定义极大值所以的单调递增区间为，单调递减区间为，………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为………………3分（Ⅱ）设，，，法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………………9分同理可得：………………10分又，所以………………13分所以，即为定值………………14分法二：设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得………………9分同理可得：………………10分又，………………12分所以，即为定值………………13分20.（本小题满分14分）解：（I）因为且，即在是增函数，所以………………1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得………………4分(Ⅱ)因为，且所以，所以，同理可证，三式相加得所以………………6分因为所以而，所以所以………………8分(Ⅲ)因为集合所以，存在常数，使得对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，，所以所以一定可以找到一个，使得这与对成立矛盾………………11分对成立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有所以的最小值为0………………13分。
【精品解析】北京市海淀区2012届高三数学5月高考二模试题解析 理 (教师版)
精品解析：北京市海淀区2012届高三5月高考二模数学（理）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试卷的题型分布与2011年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布， 6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了三角函数、立体几何、概率、函数大题、解析几何、新题型。
1．命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。
这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的 内容，考察内容十分分散。
其实，这是新课标的一个重要特点。
新课标的理科教材与原大 纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极 坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。
本套试题的小题1-6,9-13等试题 难度较低，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题较少，新颖试题难度较大。
这次试题中的7设计比较新颖，考查学生的空间想象 能力；8、14题都是综合问题，第8题是以函数为背景考查命题真假，计算量较大；第14 题考查抛物线的定义和轨迹问题，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。
3.解答题中规中矩，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 【答案】D 【解析】sin cos 0sin 0cos 0,sin 0cos 0,θθθθθθθθ，在第四象限；，在第二象限.<?>><（2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠【答案】A【解析】0x ∃∈⇒R 0x ∀∈R ，021x =⇒021x ≠，故答案为A.（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π （D ）34π 【答案】D【解析】将直线方程化为普通方程为2,1tan ,y x k θθ=-+\=-=\=34π. （4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3【答案】B【解析】画出可行域，可知2,z x y =+过点B 53(,)22时取得最大值5.（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D） 【答案】C【解析】根据椭圆的对称性可知，设P ¢是P 关于原点的对称点，也在椭圆上，故12=,PF PF PP ¢+显然当P ¢和P为短轴的两个端点时，取得最小值为2b=2.（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 （D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【答案】A 【解析】221log log (1),2y x =-22log log (1)y x yx \=?-?21log (1),2x -故纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数的图像，答案为A 。
2012北京海淀区高三二模试卷数学理----专家分析
2012北京高考二模试卷----专家分析试卷总体呈现的特点是：命题思路与风格很贴近2011高考，难度略高于高考真题。
考纲中有，但是最近几年高考没有出现过的考点，并没有在模拟试卷中大胆出现。
例如参数方程，二项式等。
整体沿袭了2011高考风格，所以说，这次模拟试卷贴近高考又相对保守。
试卷小题很常规，考点基本不变，而且难度不高，极坐标，集合不等式，程序框图，依然属于白给分的题目，第2题考查等比数列基础知识，第6题考查计数原理。
整体难度都不高，只要平时基础好，选择题拿到35分不是大问题。
小题第7题考察分段函数，难度不高，与2011高考很类似。
14题同样考察了分段函数，但是又结合了平面几何，所以难度上提高了一些，并且考察学生综合运用知识的能力。
小题第8题依然沿袭2011高考第8题的特点，以立体图形为载体，考察学生对动态变化图形的想象能力，是一个非常好的题目，只是难度高于真题，估计得分率很低复数的考查增加了参数，增加了一定的难度，只会复数运算但是对复数概念不是很清楚的学生，可能就容易失分了。
所以扎实的基础比应试技巧更靠谱。
填空题其它题目中，三角函数很常规，圆锥曲线出现了对双曲线渐近线的考查，几何选讲部分比较常规，但是结合了更多的初中的平面几何知识，难度有一定的提升，给轻视这部分基础知识的学生一点危机感。
15题重点考查了三角化简和解三角形，2011高考主要考查三角函数的图象和性质，所以搞定解三角形、三角化简、三角函数图象，不管2012年高考15题怎么考都不怕了。
16题表面上是一道很常规的立体几何题目，但是从第一问就有所创新，找到两个面的交线，需要学生对线面平行的性质定理非常熟悉。
理科生由于掌握了向量法解立体几何，所以对于基本的判定及性质定理不是很重视。
这道题提醒了大家，基础知识还是很重要的。
第三问依然使用向量法解决，关键是计算准确。
17 题形式上沿袭了2011高考，以统计图为载体对统计和概率的知识进行考查。
但是由于结合了2010高考的考查方向，离散型随机变量分布列，所以此题的含金量还是很高的。
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【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题2,4；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题3,7.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,11.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题13和解答题20等；（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如17题。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( )（A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33-【答案】A 【解析】55(2)5(2)2.2(2)(2)5i i i ii i --===-++-故选A.（3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】B【解析】113,3,{}n n n n n a a a a a +--=-∴-=-∴ 以19为首项，以-3为公差的等差数列，19(1)(3)223.n a n n ∴=+-⨯-=-设前n 项和最大，故有1022301922,,,,7.0223(1)033n n a n n n N n a n +≥-≥⎧⎧∴∴≤≤∈∴=⎨⎨≤-+≤⎩⎩ 故答案为B 。
（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 【答案】D【解析】A 错，如墙角的三个平面不满足；B 错，缺少条件直线应该在平面β内；C 错，直线l 也可能在平面内。
D 正确，因l 垂直平面，且l 在平面,αβ内，故由面面垂直的判定定理可知命题正确。
故选D 。
（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12- （B ）32-（C ）1- （D ）3-【答案】C 【解析】由图可知，(,2)3π为函数图象的最高点，2,()2,3A f π∴==2222sin()2,sin()1,2()3332k k Z ππππϕϕϕπ∴+=∴+=∴+=+∈ 12(),(0)2sin 2sin(2)2() 1.662k k Z f k ππϕπϕπ∴=-+∈∴==-+=⨯-=-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8【答案】A【解析】由框架图可知，当1,0i s ==时，112112121011;22145;s s s s --=+⨯=+==+⨯=+=31322351217;s s -=+⨯=+=414324173249;s s -=+⨯=+=5154254980129100, 5.s s i -=+⨯=+=>∴=故答案为A.（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数51()2cos (sin )cos cos (12sin ),(,),cos 0,sin 1,262f x x x x x x x x x ππ'=-+=-∈∴<<< ()cos (12sin )0,f x x x '=->故D 为真命题。
故答案为B.（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线【答案】D【解析】如图，A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点， 故AM=MP ，此时M 的轨迹为以A 圆心,半径为AM 的圆。
如图，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，在F 1P 截得|MP|=|MA|，1111,,PF r M F PM M F M A r F A =∴+=+=>设 由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点，过P 点延长使得|MP|=|MA|，则有11,,M F PM r M F M A r FA -=∴-=<由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为 焦点的双曲线的右支。
若M 落在以A 为端点在x 轴上的射线上，也满足条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）5(1)x +的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）【答案】 5【解析】5521555()1,=21,2rr rrr r r T C x C xr --+-=⨯=∴=∴令，2x 的系数为15 5.C =（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .【答案】 7【解析】根据不等式组画出可行域，如图所示为三角形， 目标函数12,,22z z x y y x =+∴=-+要是目标函数取得最大值，即直线的截距最大，【解析】由已知可得：211, 4.4.4a a x y =∴=∴=由抛物线的定义可知A 点到焦点距离为A 到准线的距离：151.244A p y +=+=（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.【解析】 设直线方程为(1),y k x =+即0,kx y k -+=圆心到直线的距离为2,1k k k ++因直为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'O O 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，O A 旋甲城市 乙城市9 08 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，O A 旋转所成的角为负角.【答案】 8；.3π【解析】由题意可知，要使得俯视图最大，需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时，此时俯视图面积最大，如图所示，俯视图为矩形A A C C ''，且3,4,B D A A '==则A C =3tan 3022,⨯⨯=故面积最大为248⨯=. 当棱柱在水平面内滚动时，因三角形ABC为正三角形，当绕着O O '旋转60 后其中一个侧面恰好在水平面，其俯视图的面积也正在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，3sin 3B =.（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b =，求A B C ∆的面积.【命题分析】本题考查解三角形、二倍角公式和正弦定理等内容，考查学生的转化能力和计算能力，第一问中利用二倍角公式和两角和正弦公式进行求解；第二问中利用正弦定理和三角形面积公式求解。
解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为3sin 3B =，所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分所以463a =. ………………………………………11分所以1202sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【命题分析】本题考查随机事件的概率和期望，考查学生的分析问题能力和计算能力。
结合排列知识和随机事件的概率公式进行求解.解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===，()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. …………………10分随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 P2531015110因为 231101231510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………13分 (17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90A B C ? ，所以 A B B C ⊥. ………………………………………1分 因为 平面P B C ^平面A B C D ，平面PBC 平面ABC D BC =，A B Ì平面A B C D ，所以 A B ^平面P B C . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取B C 的中点O ，连接P O . 因为P B P C =， 所以 P O B C ⊥.因为 平面P B C ^平面A B C D ，平面PBC 平面ABC D BC =，P O Ì平面P B C ，所以 P O ^平面A B C D . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，O B 所在的直线为x 轴，在平面A B C D 内过O 垂直于B C 的直 线为y 轴，O P 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形A B C D 中2A B P B P C B C C D ====可得(0,0,3)P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以 (1,1,3)D P =-，(2,1,0)D A =. 设平面P A D 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.D P D A ìï?ïíï?ïîm m所以 (,,)(1,1,3)0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî 即30,20.x y z x y ìï-+=ïíï+=ïî令1x =，则2, 3y z =-=-.所以 (1,2,3)=--m . ………………………………………7分取平面B C P 的一个法向量n ()0,1,0=.所以 2cos ,2⋅==-m n m n m n.所以 平面A D P 和平面B C P 所成的二面角（小于90°）的大小为4π.………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱P B 上存在点M 使得C M ∥平面P A D ，此时12P M P B=. 理由如下： ………………………………………10分取A B 的中点N ，连接C M ，C N ，M N . 则 M N ∥P A ，12A N A B =.因为 2A B C D =， 所以 AN C D =.因为 A B ∥C D ，所以 四边形A N C D 是平行四边形. 所以 C N ∥A D .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面M N C ∥平面P A D . ………………………………………13分 因为 C M Ì平面M N C ，所以 C M ∥平面P A D . ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表 x0 (0,(2))a -+(2)a -+ ((2),)a -++∞'()f x 0-+()f xa -↘24ea a ++ ↗由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为24((2))ea a f a ++-+=.………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]ea a a ++-. ……………………………………13分(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线A B 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100kx x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k kk k k kk-=+++-++=++.所以 Q A Q B ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则Q A Q B =. 取A B 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^. 记点6(,0)5-为N .(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b MÎ，存在,(1)i j a a A i jm危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .【命题分析】本题是一道以集合为背景的创新题，考查学生的理解能力和分析能力。