2017中考数学解答题突破——代数综合题学案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案一、教学目标：1. 让学生掌握代数应用性问题的基本类型及解题方法。
2. 提高学生将实际问题转化为代数问题的能力。
3. 培养学生运用代数知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 代数应用性问题的基本类型：方程问题、不等式问题、函数问题。
2. 解题方法：列方程、列不等式、列函数关系式。
3. 实际问题转化为代数问题的步骤：（1）理解实际问题的背景，找出关键信息。
（2）设未知数，找出已知数。
（3）根据实际问题建立代数模型。
（4）解代数方程（不等式、函数）。
（5）检验解的合理性，解释实际意义。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：代数应用性问题的基本类型及解题方法。
2. 教学难点：实际问题转化为代数问题的步骤，解题方法的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引发学生对代数应用性问题的思考。
2. 讲解：介绍代数应用性问题的基本类型及解题方法，结合实际问题引导学生转化为一元一次方程、一元一次不等式、函数关系式。
3. 案例分析：分析几个典型代数应用性问题，引导学生掌握解题思路。
4. 练习：布置一些代数应用性问题，让学生独立解答，巩固所学知识。
五、课后作业：1. 总结代数应用性问题的解题步骤。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 收集一些实际问题，尝试将其转化为代数问题，提高解决实际问题的能力。
六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体案例，让学生了解代数应用性问题的特点和解题方法。
2. 问题驱动：引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生解决问题的兴趣。
3. 分组讨论：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
4. 反馈与评价：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高课堂效果。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对代数应用性问题的理解和掌握程度。
【人教版】2017年中考数学专题冲刺：(4)代数(综合题)-ppt教学课件
代数综合题是以代数知识为主的一类综合题。近5年 广东中考试题的第23题一般考查一次函数与反例函数综 合题。解决一次函数与反比例函数相结合的问题时，关 键是要熟练掌握待定系数法求函数的解析式，函数图象 上的点一定满足函数解析式，认真求解所列的方程或方 程组，会求函数与坐标轴的交点坐标，善于通过图象观 察出对应的点的横坐标和纵坐标的特点，然后根据函数 的相关性质求解．
x＞0 )的图 例1(2015•广东)如图，反比例函数 ( k ≠0 ， 象与直线 相交于点C，过直线上点A(1，3)作 AB⊥x轴 于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. (1) 求k的值； (2) 求点C的坐标； (3) 在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和 d=MC+MD，求点M的坐标.
1 2
3．（2016•湘西州）如图，已知反比例函数y= 的图象 与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交 点为B． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求△AOB的面积．
k x
解：（1）把A（1，4）代入y= 所以反比例函数的解析式为y= ； x 把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5， 所以直线解析式为y=﹣x+5； （2）当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0）， 1 所以△AOB的面积= 2 ×5×4=10．
解：（1）∵点A（﹣4例函数的表达式为y= x ； ∵点B（m，4）在反比例函数y= 的图象上， ∴4m=8，解得：m=2， ∴点B（2，4）． 将点A（﹣4，﹣2）、B（2，4）代入y=﹣ax+b中，
ì ì ï 4a + b = - 2 ï a =-1 í 得：í - 2a + b = 4 ，解得： ， b = 2 ï ï î î
中考数学代数综合题解题方法探究
中考数学代数综合题解题方法探究一、问题解析和示例探究在中考数学中，常常会出现代数综合题，要求学生利用代数知识解决实际问题。
解决这类问题通常需要学生将实际问题转化为代数表达式，并通过代数运算来求解。
本文将探究解决代数综合题的方法，并通过具体示例来进行说明。
假设有一个代数综合题：甲、乙两人共有80个苹果，已知甲比乙多10个苹果，那么甲和乙各有多少个苹果？我们可以通过以下步骤来解决这个问题：步骤一：设甲拥有苹果的个数为x，乙拥有苹果的个数为y。
步骤二：根据题目中的条件，可以得到一个等式：x + y = 80，另一个等式：x - y = 10。
步骤三：将这两个等式联立，解方程组。
我们可以通过消元法来解这个方程组：将第一个等式乘以-1，得到-x - y = -80。
将第二个等式与之相加，得到2x = -70。
解这个方程可以得到x = -35。
将x = -35代入第一个等式，可以得到-35 + y = 80，解得y = 115。
所以，甲拥有的苹果个数为-35个，乙拥有的苹果个数为115个。
通过这个示例，我们可以看到解决代数综合题的方法是：先设出未知数，再根据题目条件得到一个或多个等式，最后通过运算解方程得到未知数的值。
二、进一步讨论和补充说明在解决代数综合题时，还有一些常见的解题方法。
1. 代入法：当题目中给出一个等式，而另一个等式较为复杂时，我们可以利用已知等式将其中一个未知量表示出来，再代入另一个等式求解。
这种方法一般适用于两个未知量的情况。
2. 几何解法：在某些代数综合题中，可以利用几何图形的性质来解决问题。
这种方法一般适用于几何问题和图形问题。
3. 变量代换法：有时候，我们可以引入一个新的变量来进行代换，以简化问题。
这种方法可以减少运算步骤，使问题更易于解决。
除了以上方法，解决代数综合题还需要学生具备一些基本的代数知识和解题技巧。
首先，学生要熟练掌握代数表达式的运算规律，包括基本的四则运算、指数运算和分数运算等。
广东省2017中考数学复习检测专题训练八解答题突破_代数综合题试题
专题训练八 解答题突破——代数综合题1．如图1，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝k x(k ≠0，x ＞0)的图象交于点A (1，a )，B 是反比例函数图象上一点，直线OB 与x 轴的夹角为α，tan α＝12.图1(1)求k 的值； (2)求点B 的坐标；(3)设点P (m,0)，使△PAB 的面积为2，求m 的值．2．(2016·泰安)如图2，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0,3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D ，M 分别在边AB ，OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx的图象经过点D ，与BC的交点为N .图2(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标． 3．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m .(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；(2)如图3，二次函数的图象过点A (3,0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．图34．(2016·安徽)如图4，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A (2,4)与B (6,0)．图4(1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x (2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．5．(2016·贺州)如图5，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(10,8)，沿直线OD 折叠矩形，使点A 正好落在BC 上的E 处，E 点坐标为(6,8)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O ，A ，E 三点．图5(1)求此抛物线的解析式； (2)求AD 的长；(3)点P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标．参考答案：1．解：(1)把点A (1，a )代入y ＝2x ，得a ＝2，则A (1,2)． 把A (1,2)代入y ＝k x，得k ＝1×2＝2. (2)如图1，过B 作BC ⊥x 轴于点C .图1∵在Rt △BOC 中，tan α＝12，∴可设B (2h ，h )．∵B (2h ，h )在反比例函数y ＝2x的图象上，∴2h 2＝2，解得h ＝±1. ∵h ＞0，∴h ＝1，∴B (2,1)． (3)∵A (1,2)，B (2,1)，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3. 如图2，设直线AB 与x 轴交于点D ，图2则D (3,0)．∵S △PAB ＝S △PAD －S △PBD ＝2，点P (m,0)，∴12|3－m |×(2－1)＝2，解得m 1＝－1，m 2＝7.2．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C (0,3)， ∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°. ∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2.∴D (－3,2)．把D 坐标代入y ＝m x得：m ＝－6，∴反比例解析式为y ＝－6x.∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，即M (－1,0)．把M 与D 坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得：k ＝b ＝－1，则直线DM 解析式为y ＝－x －1.(2)把y ＝3代入y ＝－6x得：x ＝－2，∴N (－2,3)，即NC ＝2.设P (x ，y )，∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等， ∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM |y |，即|y |＝9，解得：y ＝±9， 当y ＝9时，x ＝－10，当y ＝－9时，x ＝8，则P 坐标为(－10,9)或(8，－9)．3．解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝22＋4m ＞0. ∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A (3,0)，∴0＝－9＋6＋m .∴m ＝3. ∴二次函数的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴B (0,3)． 设直线AB 的解析式为：y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线AB 的解析式为：y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为：x ＝1， ∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3得y ＝2.∴P (1,2)． 4．解：(1)将A (2,4)与B (6,0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3.(2)如图3，过A 作x 轴的垂线，垂足为D (2,0)，连接CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F .图3S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ， ∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)． ∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16. 5．解：(1)∵四边形ABCO 是矩形，B (10,8)，∴A (10,0)．又抛物线经过A ，E ，O 三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＋c ＝0，36a ＋6b ＋c ＝8，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝103，c ＝0.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋103x .(2)由题意可知：AD ＝DE ，BE ＝10－6＝4，AB ＝8， 设AD ＝x ，则ED ＝x ，BD ＝AB －AD ＝8－x ， 在Rt △BDE 中，由勾股定理可知ED 2＝EB 2＋BD 2， 即x 2＝42＋(8－x )2，解得x ＝5，∴AD ＝5. (3)∵y ＝－13x 2＋103x ，∴其对称轴为x ＝5.∵A ，O 两点关于对称轴对称，∴PA ＝PO .当P ，O ，D 三点在一条直线上时，PA ＋PD ＝PO ＋PD ＝OD ，此时△PAD 的周长最小， 如图4，OD 交对称轴于点P ，则该点即为满足条件的点P ，图4由(2)可知D 点的坐标为(10,5)，设直线OD 解析式为y ＝kx ，把D 点坐标代入可得5＝10k ，解得k ＝12，∴直线OD 解析式为y ＝12x .令x ＝5，可得y ＝52，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，52.。
中考数学代数综合型题两套资料培优教学案精编
中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（一）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合1．已知方程组2323,342 1.x y ax y a-=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.xy>⎧⎨<⎩求a的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．2．m 为何值时，222(2)21x m x m m --+++是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出1l ，2l 中变量y 随x 变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【变式】已知：如图，平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P(2，0)．(1)若a ＞0，且91tan =∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段38=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离．4．（门头沟区期末）已知：关于x 的方程mx 2+（3m+1）x+3=0． （1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx 2+（3m+1）x+3，如果当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，求代数式4a 2+12an+5n 2+16n+8的值． 【思路点拨】（1）注意对m 的取值进行分类讨论：即当m=0和m ≠0时；（2）先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，得m 的值；（3）由（2）得函数解析式，利用函数的对称性，得a 与n 的关系，然后再利用整体代入的方法计算．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝m的值和此时方程的两根．类型三、以代数为主的综合题5．（2017•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c 过A（1，0），B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN 的最大值．（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质.举一反三：【变式】如图，已知二次函数24=-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．y ax x c（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 如图所示，已知函数(0)y ax b a =+≠和y ＝kx(k ≠0)的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,.y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是( ) A ．42x y =⎧⎨=⎩ B ．42x y =-⎧⎨=⎩ C ．42x y =-⎧⎨=-⎩ D ．42x y =⎧⎨=-⎩2.（2016•河北模拟）如图，点A 是x 轴正半轴上的任意一点，过点A 作EF ∥y 轴，分别交反比例函数()1110k y y x =>和()2220k y y x =<的图象于点E 、F ，且53EA FA =，连接OE 、OF ，有下列结论：①这两个函数的图象关于x 轴对称；②△EOF 的面积为（k 1﹣k 2）；③1235k k =-；④当∠EOF=90°时，3OE OF =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．下列说法中x ＞1. ②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8. ④在反比例函数2k y x-=中，若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k ＞2. 其中正确的命题有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题4．如图所示，是二次函数21y ax bx c =++(a ≠0)和一次函数2y mx n =+(n ≠0)的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围____ ____．5．已知二次函数22(1)2(1)y x m x m =-++-．若此函数图象的顶点在直线y ＝-4上，则此函数解析式为 ．6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②4a+2b+c ＞0；③b 2﹣4ac ＜0；④b ＞a+c ；⑤a+2b+c ＞0，其中正确的结论有 ．三、解答题7．（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=﹣x上有一个动点P．求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值．8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．10. 已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ． （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（二）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）． (1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．类型二、函数与方程综合2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．xyO【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式； （2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2+bx+c ，α，β为方程120y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上． (1)若13α=，12β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为3112时，求t 的值；(3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．【思路点拨】第(1)问由120y y -=得2(1)0x b x c +-+=的两根为α，β，利用根的定义代入得到b ，c 的方程组可求出b ，c 值；第(2)问分别求出A ，B 两点坐标，利用直线y ＝x 与x 轴夹角为45°得到关于t 的方程； 第(3)问利用求差法比较T ，α，β的大小，注意对t 的范围进行分类讨论来的确定相应T ，α，β的大小关系．【总结升华】本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（）A．点G B．点E C．点D D．点F2．已知函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)3(1)5(31)1(22xxxx，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33.（2016秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题2三、解答题7．（2016•梅州）关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根x 1、x 2． （1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x 2=﹣x 1•x 2，求k 的值．8. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．9. 抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， 请说明116x <，2112x <<．10. 已知：二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-． （1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数1y nx am =+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若CD=6，求点C 、D 的坐标.。
2017年中考数学总复习专题(代数综合题)
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴ = ，
∴ = ，
解得：PO= ，
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（ ，0）．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；
（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．
解答：
解：（1）∵二次函数的图象习专题精练
代数综合题
1、（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3）；
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破十 几何综合题
(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°.
∵点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，
1
1
∴AE＝2AB，DF＝2CD，∴AE＝DF.
∵AE∥DF，∴四边形 AEFD 是平行四边形，
∵∠A＝90°，∴四边形 AEFD 是矩形．
(2)解：如解图①，连接 OA，AM， ∵点 A 关于 BP 的对称点为点 M， ∴BP 垂直平分 AM， ∴OA＝OM. ∵四边形 AEFD 是矩形， ∴EF⊥AB. ∵点 E 是 AB 的中点， ∴EF 垂直平分 AB， ∴OA＝OB，∴OB＝OM.
(3)证明：如解图，连接 AC，过点 B 作 BP∥AC 交 AF 的延长线于点 P， ∴△BFP∽△CFA， ∴BCFF＝BCPA， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠PBC＝∠ACB＝60°. ∴∠ABP＝120°，∴∠DAE＝∠ABP，
在△ADE 与△BAP 中， ∠DAE＝∠ABP， AD＝AB， ∠ADE＝∠BAF， ∴△ADE≌△BAP(ASA)，
∴AE＝BP，
又∵AC＝AD， BF AE
∴CF＝AD.
类型二：动点问题
(省卷：2017T23；昆明：2020T23)
(2020·岳阳)如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，动点 P，Q 分別从 C 点，A 点同时以每秒 1 个单位长度的速度出发，且分别在边 CA， AB 上沿 C→A，A→B 的方向运动，当点 Q 运动到点 B 时，P，Q 两点同时 停止运动．设点 P 运动的时间为 t(s)，连接 PQ，过点 P 作 PE⊥PQ，PE 与边 BC 相交于点 E，连接 QE.
2017年全国中考数学真题分类二次函数代数方面的应用
2017年全国中考数学真题分类 二次函数代数方面的应用一、选择题1. （2017青海西宁，10，3分）如图3，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC - CB 以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （c m 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是A ．B ． D ．A ．B ．C ．D ．答案：A ，解析：当M 在AB 上移动，N 在DC 上时，△AMN 的面积为y =x x 23321=⋅⋅（0≤x ≤23）． 当M 在AB 上，N 在BC 上时，y =x x x x 3)26(212+-=-⨯⨯（x >23），故选A二、解答题1. （2017浙江温州，22， 10分）如图，过抛物线y ＝错误!未找到引用源。
上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另 一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2． （1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标.（2）在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D. ①连结BD ，求BD 的最小值.②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式.思路分析：考点二次函数与一次函数的综合应用，（1）知道抛物线的解析式，求对称轴：直线错误!未找到引用源。
＝错误!未找到引用源。
＝4，用待定系数法求出A（－2， 5），B（10， 5）（2）利用三角形三边关系可知当且仅当点O、D、B三点共线时，BD取得最小值；分类讨论点D的位置，利用待定系数法求出直线PD的函数表达式．解：（1）由抛物线的解析式y＝错误!未找到引用源。
，得对称轴：直线错误!未找到引用源。
＝错误!未找到引用源。
＝4由题意知点A的横坐标为－2，代入解析式求得y＝错误!未找到引用源。
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中考数学专题复习 代数综合题学案-人教版初中九年级全册数学学案
代数综合题【题型特征】综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题.以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能出差错,思维要宽,考虑问题要全面.类型一方程不等式型∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.则原式=1.【提醒】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出x的值,再把x的值代入进行计算即可.举一反三类型一1.(2013·某某乌鲁木齐)已知m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k2-8k+6的最小值为().A.-2B.0C.2D.2.52.(2015·某某某某)若-2x m-n y2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是.类型二函数型典例2(2015·某某某某)如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE,FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO 和x轴于点M,P,N,D,连接MH.(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G,O,E三点,则它的表达式为:;(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R,E两点之间(不含点R,E)运动,设△PQH的面积为S,当时,确定点Q的横坐标的取值X围.【全解】 (1)如图(1),过点G作GI⊥CO于点I,过点E作EJ⊥CO于点J,(1)∵A(2,0),C(0,2),∴OE=OA=2,OG=OC=2.∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°,∴G(-,3),E(,1).设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,∵经过G,O,E三点,(2)(3)【技法梳理】 (1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.(3)已知S X围求横坐标的X围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得表达式再代入,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R,E之间的限制.举一反三类型二3.(2015·某某某某)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元?(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?4.(2015·某某某某)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为点H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.(1)(2)(第4题)【小结】本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.类型一1.(2015·某某某某)若,则(x+y)2015等于().A.-1B.1C.32015D.-320152.(2015·某某某某)若a+b=2,ab=2,则的值为().A.6B.1C.3D.23.(2015·某某某某)若-2a m b4与5a n+2可以合并成一项,则m n的值是().A.2B.0C.-1D.14.(2015·某某某某)先化简,再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2015·某某某某)先化简,再求值:,其中x满足x2-4x+3=0.类型二6.(2015·某某某某)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值X围是().(第6题)③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.其中正确的结论是(把所有正确的结论的序号都填上).(第8题) (第9题)10.(2015·某某某某)如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B坐标;(2)联结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.(第10题)参考答案【真题精讲】1.D解析:∵m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,∴m,n,k最小为0,当n=0时,k最大为(第4题(1))(第4题(2))由☉E的半径为1,根据切线性质及勾股定理,得PQ2=EP2-1, 要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P坐标为(x,y),由勾股定理得EP2=(x-3)2+(y-2)2.又点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴P(5,1).【课后精练】1.B2.B3.D4.原式=÷=·=,不等式2x-3<7,解得x<5,其正整数解为1,2,3,4,当x=1时,原式=.5.原式=÷=·=-, 解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3.当x=1时,原式无意义;当x=3时,原式=-. 6.B7.a<-58.①④解析:作AE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F,(第8题)∵四边形OABC是平行四边形,∴S△AOB=S△COB.∴AE=CF.∴OM=ON.当∠AOC=90°,∴四边形OABC是矩形.∴不能确定OA与OC相等.而OM=ON,∴不能判断△AOM≌△O.∴不能判断AM=.∴不能确定|k1|=|k2|,所以③错误.若OABC是菱形,则OA=OC,而OM=ON,∴Rt△AOM≌Rt△O.∴AM=.∴|k1|=|k2|.∴k1=-k2.∴两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称,所以④正确.故答案为①④.,∴k=33=9.(2)如图,过点D作DM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N. (第9题)则∠DMA=∠ANB=90°.∵B(3,3),∴BN=ON=3.设MD=a,OM=b.∴△ADM≌△BAN(AAS).∴BN=AM=3,MD=AN=a.∴OA=3-a,即AM=b+3-a=3,得a=b,∵ab=4,∴a=b=2.∴OA=3-2=1.即点A的坐标是(1,0).10.(1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=(x-1)2-3, 顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,点A(0,-2),x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥AO于点E,过点M作MF⊥AO于点M,(第10题)∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°.同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF.。
中考数学代几综合型题两套资料2017培优教学案精编
中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（一）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC ≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，即CE的长度．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE ≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B点坐标是解题的关键．【变式】如图，二次函数2(0)=++≠的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，y ax bx c a0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB的面积．类型三、动态几何中的函数问题3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O的坐标代入到y=ax2+bx+c得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB的长，就可得到AM+OM的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P的坐标；②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．类型四、直角坐标系中的几何问题4．（2015•阳山县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． （1）点A 的坐标是 ，点C 的坐标是 ； （2）当t= 秒或 秒时，MN=AC ； （3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．【思路点拨】（1）根据BC∥x 轴，AB∥y 轴即可求得A 和C 的坐标；（2）分成MN 是△OAC 的中位线和MN 是△ABC 的中位线时两种情况进行讨论；（3）根据时间t 值的范围不同，M,N 与矩形的两边相交构成不同的三角形，画出图形进行分类讨论，然后正确表示出△OMN 的面积即可.【总结升华】本题考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，直线平行的条件，正确利用t 表示出M 和N 的坐标是关键．5．一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标． 012 3 xy 1 23 …【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.举一反三：【变式】（2016•泰山区一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2017•河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2.如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C 与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）二、填空题3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝．4. （2017•宝山区一模）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC=8，tanA=，那么CF：DF= ．三、解答题5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.（1）试写出第n层所对应的点数；（2）试写出n层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？6.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．8.（深圳期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+3与坐标轴分别交于A、B两点，直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点．（1）直接写出A、B的坐标；A ，B ；（2）是否存在点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知：抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m-2交y 轴于点A （0，2m-7）．与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在右、C 在左）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得BFE CFE ∠=∠，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线OC 上有两个动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒，若△PMQ 与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m-2有公共点，求t 的取值范围．11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（二）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．【答案】类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B （1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.x类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD ，FB=AB ，可得四边形ABFD 是正方形，则可求点E 、F 的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E 、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P 的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B．C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值．。
中考数学复习：代几综合题—以代数为主的综合
1 / 29 代几综合题（以代数为主的综合）
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1 已知抛物线c bx ax y 2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、
C （5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达
抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径
最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n 经过(35)(02)P A ，，，两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；b5E2RGbCAP
（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．。
福建省2017年中考数学总温习 第二轮 中考题型突破 专题六 代数与几何综合讲义
标，进而得到抛物线的解析式；
（2）求出点 D 的坐标为（ 1 6 ，0），根据△AOE∽△DOA，
3
求出∠DAE=90°，判断出直线 l 与⊙E 相切于 A．
（3）过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P 作直
线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M．设 M(m， 3 m+4)，
∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°．
因此，直线 l 与⊙E 相切于 A.
（3）如图②，过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，
过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M.
设 M(m，3 m+4)，P(m， 1 m2+m-4)，则
PM
3
4 m
4
(
4
P(m， 1 m2+m-4)，得到 P M 3m 4(1m 2m 4)
16
4
16
1m 21m 81(m 2)231， 根据△PQM 的三个内角
16 4
16
4
固定不变，得到 PQ最小=PM最小·sin∠QMP=PM最小·sin∠AEO=
31 4 31 ， 从而得到最小距离． 45 5
2
函数化成顶点式，求出最大值；
（3）本问分 AP 为对角线和 AQ 为对角线
两种情况分别进行计算，若 AP 为对角线，
画出图形，求出点 P 的坐标，根据图形的
平移得出点 Q 的坐标，从而得出点 Q 关于直线 AM 的对称点
T 的坐标，若 AQ 为对角线，根据题意画出图形，得到点P 的
坐标，根据平移得到点 Q 的坐标，然后求出点 Q 关于直线
广东省中考数学疑难问题突破——代数综合题
广东省中考数学疑难问题突破——代数综合题一、题型分析代数综合题是广东中考数学第 23 题的内容，主要考查一次函数、反比例函数、二次函数以及三角函数的相关知识，突出考查待定系数法和方程思想的运用能力，数形结合和分类讨论的数学思想方法。
本题一般有三个小问，第（1）小问不会太难，起点低、入口宽，考生容易上手，在解答时此小问的分数要一定拿到；第（2）小问的难易程度中等，计算时要严谨，答题格式要规范，此小问的分数要力争拿到；第（3）小问偏难，留给学生的思考空间较大，要学会抢得分点，理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平。
这样就大大提高了本题的得分率。
二、学情分析学生在八年级时就学习了一次函数，九年级学习了反比例函数及二次函数，具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，在应用与理解时并不是很熟练、透彻，还需通过一些具体实例进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。
因此在教学时，教师应结合学生的实际和认知状况，选择典型的例题，启发学生从实例中归纳总结出代数综合题的解题策略，加深理解，轻松应考。
三、教学任务分析本题型以函数为背景，在考查函数基本性质的基础上更加注重考查学生的综合能力，根据学生实际情况的分析，我制定了以下教学目标：1.能通过函数图象获取信息，会用待定系数法求函数解析式；会用方程思想求特殊点的坐标；熟练求面积、求最值的方法。
2.在探究过程中，发展数形结合、分类讨论的思想方法，体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。
教学重点：1.掌握函数的图象与性质，会用待定系数法求解析式；2.掌握函数图象与几何图形的联系，会用方程思想求特殊点的坐标。
教学疑难点：熟练求面积、求最值的方法，会运用数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的方法解决问题。
四、教法与学法分析教学方法：针对九年级学生的年龄特点和本校的实际情况，遵循学生的认知规律，关注基础知识，关注基本技能，强化数学思想，采用引导发现法、讲练结合法为主的教学方法，让学生充分经历探究代数综合题的解答过程。
中考数学总复习 题型突破(05)代数综合数学课件
(2)当 AB=4 时:
图Z4-1
类型2 直线与抛物线交点类问题（针对2017 27题,2016 27题）
③当 0<n<3 时,函数 y=nx2-4nx+5n 的最小值为 n,抛物线与线段 BC 可能有一个交点,
3
如果抛物线 y=n(x-2)2+n 经过点 B(0,3),则 3=5n,解得 n= ,
5
由抛物线的对称轴为直线 x=2,可知抛物线经过点(4,3),
把 M 5,
2
11
11
2
1
代入 y=ax2-2ax-2,解得 a= .
2
(3)对于该二次函数图象上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),设
∴该二次函数的表达式为
t≤x1≤t+1,当 x2≥3 时,均有 y1≥y2,请结合图象,直接写出 t
当 x=1 时,y=- ,∴N 1,- .
的取值范围.
(3)-1≤t≤2.
图Z5-2
类型1 确定参数取值范围类问题（针对2018 26题,2015 27题）
5.[2017·东城一模] 二次函数 y=(m+2)x2-2(m+2)x-m+5,其中 m+2>0.
(3)若对于每一个给定的 x 的值,它所对应的函数值都不小于 1,求 m 的取值范围.
(3)当 x=1 时,函数取得最小值,最小值为-2m+3,
2
解得 a≥ .
3
3-2 ≥ 0.
(ii)当 a<0 时,依题意,
2
综上,a<-2 或 a≥ .
3
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2017中考数学压轴试题复习第三部分专题一代数计算及通过代数计算进行说理问题
§ 3. 1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值.压轴题中的代数计算题，主要是函数类题.函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标.还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律.代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数•联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据？确定交点的个数.我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法.2如图1,已知直线y= x + 1与x轴交于点A,抛物线y = x - 2x- 3与直线y = x+1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标.几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C,那么tan / AO G 1.2作BEL x 轴于E,那么Bi =1 .设B(x, x2- 2x- 3)，于是x _2x-3胡.AE x+1请注意，这个分式的分子因式分解后，(X 忱-3)=1 .这个分式能不能约分，为什X +1么？因为x =- 1的几何意义是点A,由于点B与点A不重合，所以x M- 1,因此约分以后就是x- 3= 1.这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便.图1例1 2014 年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点(1,1 ), (-2, - 2) , (.、2,2),…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个.(1)若点p(2, m)是反比例函数y=» (n为常数，n z 0)的图象上的“梦之点”，求x这个反比例函数的解析式；(2)函数y = 3kx+ s- 1 ( k、s为常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；(3)若二次函数y = ax2 + bx+ 1 (a、b是常数，a>0)的图象上存在两个“梦之点”A(X1, X1)、B(X2, X2)，且满足一2 v X1 v2, | X1 —X2| = 2,令t 二b2 _2b - 157，试求t 的取48值范围.动感体验请打开几何画板文件名“14长沙25”,拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a,有两个对应的b和b',但是t随b、t随b'变化时对应的t的值保持相等.思路点拨1.“梦之点”都在直线y= x 上.2•第(2)题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况.3•第(3)题放弃了也是明智的选择•求t关于b的二次函数的最值，b的取值范围由“梦之点” 、—2 v X1V 2和| X1 —X2| = 2三个条件决定，而且—2v X1 v 2还要分两段讨论.图文解析(1)因为点P(2, n)是“梦之点”，所以R2, 2).所以y=4.x(2)“梦之点” 一定在直线y= x上，直线y = 3kx + s—1与直线y = x的位置关系有重①如图1,当直线y= 3kx + s —1与直线y= x重合时，有无数个“梦之点”.此时k = 1,3s= 1.②如图2，当直线y= 3kx+ s —1与直线y= x平行时，没有“梦之点” •此时k = 1 , s3③如图3，当直线y = 3kx + s — 1与直线y = x 相交时，有1个“梦之点”. 此时 心1，“梦之点”的坐标为 (1 -s 「s ).3 3k-1‘3k -1(3)因为A (X 1,X 1)、B (X 2,X 2)两点是抛物线与直线 y = x 的交点，联立y = ax 2+ bx + 1和 2 y = x ，消去 y ，整理，得 ax + (b —1)x +1 = 0.所以X 1X 2= 1> 0 .所以A B 两点在y 轴的同侧. a如图4,由|X 1 已知一2 v X 1 v 2,① 当A B 两点在② 当A B 两点在 综合①、②，不论所以o v 1 v 8 .所以a > 1 .a8考点伸展第(3)题我们也可以这样来讨论：—X 2| = 2,可知 A B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2.我们分两种情况来探求 a 的取值范围：y 轴右侧时，0v x i v 2, 2v X 2V 4 .所以 O v X 1X 2V 8.y 轴左侧时，一 2 v X 1 v 0, — 4v X 2<— 2.所以 O v X 1X 2< & O v X 1 v 2 或一2v X 1 v 0,都有 0 v X 1X 2V 8.21 —b由 ax + (b — 1)x +1= 0,得 X 1 + X 2 =a 由 | x 1 — X 2| = 2,得(X 1 — X 2)2= 4.所以(X 1 + X 2)2— 4x 1X 2= 4.2匸2 4=4 .整理，得(1 -b)2 =4a 2 4a . a a2 ±157 21 109 9± 109 x 2 ±61 t =b -2b = (b -1)= 4a 4a = (2a 1)484848485,这条抛物线的开口向上，对称轴是直线 a 1 ,在对称轴右侧，t 随a 的增大2t取得最小值，t = (— ■ 1^61 = 17. 448 61X l X 2 =a所以所以如图而增大.因此当a =1时,8所以t 的取值范围是 t > 17.一方面，由| x 1 —X2| = 2,得(x i—X2) 2= 4.所以(x i + X2)2—4X I X2= 4.所以4=4 .整理，得(1 _b)2=4a2• 4a .a a另一方面，由f(2) > 0, f( - 2) v 0，得f(2) f ( - 2) v 0. 所以[4a 2(b J) 1][4a —2(b —1) 1] v 0.所以(4a 1)2「4(b -1)2= (4a 1)2-4(4a2 4a) = 1 -8a v 0 .所以a>8例2 2014 年湖南省怀化市中考第23题设m是不小于一1的实数，使得关于x的方程x2+ 2(m-2)x+ n i-3耐3= 0有两个不相等的实数根X1, X2.(1)若丄•丄=1 ,求1的值；X j X2 3 — 2 m(2)求竺！■竺L _m2的最大值.1 -x1 1 -x2动感体验请打开几何画板文件名“ 14怀化23”，拖动x轴上表示实数m的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x轴有两点交点A、B.观察点D随m运动变化的图像，可以体验到，当m=- 1时，点D到达最高点.思路点拨1 .先确定m的取值范围，由两个条件决定.2.由根与系数的关系，把第(1)题的已知条件转化为关于m的方程.3.第(2)题首先是繁琐的式子变形，把m提取出来，可以使得过程简便一点.图文解析(1)因为方程x2 + 2( m- 2)x +吊一3ri^ 3 = 0有两个不相等的实数根，所以？>0.由？= 4( mr 2)2- 4( m-3m^ 3) =- 4m^ 4> 0,得m V 1.又已知m是不小于一1的实数，所以一K m< 1.由根与系数的关系，得x1 x^ -2(m -2) = -2m 4 , x1 x2 = m2「3m - 3 .若丄•丄=1，那么儿x^x1 x2.所以-2 m 4 = m2 - 3m 3 .x1x2整理，得m2-m-^0.解得心丁，或m=专(舍去).所以3-2m =3-(1 -、5)「5 2 .所以一=_1=、一5-2 .3 — 2m 寸5 +2⑵輕虽一m21 — X1 1 —X2 X1 X2 =m X1(1-X2)X2(1-X1)mI (1 - xj(1 - X2)- (X1 X2) -2X1X2 —m —_1 —(X1 X2) X1X21-m = m「(-2m+4)—2(m2|「2m 2+4m _2-2(m-1)2=m \ -------- 2 ------------ m = m \ ------------------- mm -m m(m —1)22=-2m 2「m = -(m 1) 3.所以当m=- 1时，它有最大值，最大值为 3 (如图1所示).考点伸展当m 变化时，抛物线 y = x 2+ 2( m- 2)x + m - 3m^ 3 = 0的顶点的运动轨迹是什么? 因为抛物线的对称轴是直线x =- (m- 2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y = ( m- 2)2- 2( m- 2)2+ 吊一3m+ 3= m-1.因为 x + y =- (m- 2) + m- 1 = 1 为定值，所以 y =— x +1.［一斗2所示).例3 2014 年湖南省湘潭市中考第 26题如图1,已知二次函数 y =— x 2+ bx + c 的对称轴为x = 2,且经过原点，直线 AC 的解析 式为y = kx + 4,直线AC 与y 轴交于点A 与二次函数的图象交于 B 、C 两点.(1)求二次函数解析式;(2)S ^BOC图1动感体验请打开几何画板文件名“ 14湘潭26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△ BM QA ONC思路点拨1•第(2)题先将面积比转化为 AB 与 BC 的比，进而转化为 B C 两点的横坐标的比. 2•第(2)题可以用直线的解析式表示 B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组.3•第(3)题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到 B C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程. 图文解析(1)因为原点O 关于直线x = 2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y = — x 2+ bx + c 的解 析式为 y = — x ( x — 4) = — x 2+ 4x .将点 巳 m km+ 4)、Q4 m 4 km+ 4)分别代入 y = — x (x — 4)，得km 4 = -m(m -4),①14 km 4 = -4m (4 m -4).②①—②十4,整理，得 吊=1.所以m= 1.将m= 1代入①，得k + 4= 3.解得k =— 1 .此时点C 落在x 轴上(如图3).(3)因为B 、C 是直线y = kx + 4与抛物线的交点，设 B (X 1,kx 1+ 4), C (x 2, kx 2 + 4).联立 y =— x 2+ 4x 和 y = kx + 4,消去 y ，整理，得 x 2+ (k — 4)x + 4 = 0.所以 X 1 + X 2= 4— k , X 1X 2= 4.(3)若以BC 为直径的圆经过原点，求 k 的值.(2)如图2，因为比AOB ==丄BOC BC 3所以空=丄.设X B = m 那么x c = 4m x c 4△ AOB求k 的值;如图5,若以BC为直径的圆经过原点，那么/ BOC= 90°.作BML y轴，CNL y轴，垂足分别为M N,那么△ BM0A ONCON 得 X i -(kx 2 +4)NC kx 1 4 x 2所以 X t X 2 =-(悩 +4)(kx 2 +4) =-[kXx ? +4k(% +x 2) +16].将 X i + X 2 = 4 — k , X 1X 2= 4 代入，得 4 = J4k 2 • 4k(4 _k)・16].解得 k =-第(2)题也可以先用抛物线的解析式设点 B C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组. 将点 B(m )—吊 + 4m )、C (4 n , — 16吊+ 16m )分别代入 y = kx + 4,得-m 2 4m = km 4,①j 16m 2 16m = 4km 4. ②①x 4—②，得12m = 12.所以 m= 1. 将m= 1代入①，得3= k + 4 .解得k =— 1. 例42014年湖南省株洲市中考第 24题已知抛物线 y =X 2 _(k 2)x 5k 2和直线 y =(k 1)x (k 1)2 .4(1) 求证：无论k 取何实数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；(2) 抛物线与x 轴交于A B 两点，直线与x 轴交于点C,设A 、B C 三点的横坐标分 别是X 1、X 2、X 3,求X 1 • X 2 • X 3的最大值；(3) 如果抛物线与X 轴的两个交点 A 、B 在原点的右边，直线与X 轴的交点C 在原点的 左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D E,直线AD 交直线CE 于点G (如图1),且CA GE =CG- AB 求抛物线的解析式.根据BMMO图1动感体验请打开几何画板文件名“ 14株洲24”，拖动y轴上表示实数k的点运动，可以体验到，抛物线与X轴总是有两个交点.观察X1 •X2 •X3随k变化的函数图像，可以体验到，X1 •X2 •X3是k的二次函数•还可以体验到，存在一个正数k,使得AD与BE平行.思路点拨1.两个解析式像庞然大物，其实第( 1)题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗.2 .第(2)题X1 • X2 • X3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了.所以先求X1 • X2 • X3 关于k的函数关系式，就明白下一步该怎么办了. X1 • X2由根与系数的关系得到，X3就是点C的横坐标.3.第(3)题的等积式转化为比例式，就得到AG/ BE由此根据OD： OA= OE： OE列方程，再结合根与系数的关系化简.还是走走看，柳暗花明.图文解析(1)因为厶=(k -2)2-4 (5k 2) =k2 -k - 2 =(k-丄)2• 7>0，所以无论k 取何实4 2 4数值，抛物线与X轴有两个不同的交点.(2)由y =(k 1)X (k 1)2，得C -(k + 1), 0).所以X3=—(k +1).由根与系数的关系，得X1 • X2= (5k 2).4所以X1 • X2 • X3= _i(5k 2)(k 1) = -^(5k2 7k 2).4 4因此x 7当时，X 1 - X 2 - X 3取得最大值, 10(3)题中的条件“ CA- GE= CG AB'改为“ EC= EB',其他条件不变，那么抛物线 的解析式是怎样的呢？如图3,因为点E 在y 轴上，当EC = EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以 耳k +1, 0). 将点 B(k + 1,0)代入 y =x 2 -(k 2)x，得(k 1)2 _(k 2)(k1)=0 .44解得k = 2•所以抛物线的解析式为y = X 2— 4x + 3.最大值=-丄(5翌』2) = 80100 10(3)如图2, 由 CA- GE= CG AB 得 CA AB CGGE所以AG BE 即 AD / BE(5k 2)(5 k 2)所以OD =0£，即4_ OA OBx 1所以 X 2= k + 1，或一k — 1 (舍).又因为 X 1 + X 2= k + 2,所以 X 1 = 1，即 A (1,0). 再将点 A (1，0)代入 y = x 2 - (k 2)X―2，得 0=142 ----------------------------------(k 1).所以 一4—X 2 X 1 X 22(k“ .所以1 -2 X22 X25k 2 -(k 2)4(k 1)2 考点伸展把第解得。
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专题八 解答题突破——代数综合题
类型一 反比例函数与一次函数综合题
【例1】 (2016·东莞市模拟)如图1，反比例函数y ＝2
x 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图
象交于点A ，B ，点A ，B 的横坐标分别为1，－2，一次函数的图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D .
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数y ＝2
x
，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；
(3)在第三象限的反比例图象上是否存在一个点P ，使得S △ODP ＝2S △OCA ？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
【例2】 (2016·新疆内招)如图2，直线y ＝2x ＋3与y 轴交于A 点，与反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象交于点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1,0)． (1)求反比例函数的解析式；
(2)点D (a,1)是反比例函数y ＝k
x (x ＞0)图象上的点，在x 轴上是否存在点P ，使得PB ＋
PD 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
1．(2016·安徽模拟)如图3，一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数y 2＝m
x 的图象交于A ，B
两点．
图3
(1)求一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数y 2＝m
x 的解析式；
(2)观察图象写出y 1＜y 2时，x 的取值范围为____________； (3)求△OAB 的面积．
2．如图4，点A(m,6)，B(n,1)在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5.
图4
(1)求m，n的值并写出该反比例函数的解析式．
(2)点E在线段CD上，S△ABE＝10，求点E的坐标．
类型二二次函数综合题
【例1】(2016·淄博)如图5，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
图5
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
【例2】(2016·上海)如图6，抛物线y＝ax2＋bx－5 (a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为D.
图6
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)连接AB，BC，CD，DA，求四边形ABCD的面积；
(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标；
1．如图7，已知抛物线y ＝1
2x 2＋bx 与直线y ＝2x 交于点O (0,0)，A (a,12)，点B 是抛物
线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E .
图7
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
(3)以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为(m ，n )，求出m ，n 之间的关系式．
2．(2016·大连)如图8，抛物线y ＝x 2－3x ＋5
2与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点
C ，点
D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点
E .
图8
(1)求直线BC 的解析式；
(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．
3.如图9，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－4,0)，B (2,0)，与y 轴交于点C (0,2)． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 为该抛物线上的一个动点，且在直线AC 上方，当以A ，C ，D 为顶点的三角
形面积最大时，求点D 的坐标及此时三角形的面积图9。