卡尔曼滤波器-学术讲座

卡尔曼滤波简介
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• 背景介绍： • Kalman，匈牙利数学家。 • 卡尔曼滤波器源于他的博士论 文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线 性滤波与预测问题的新方法）。
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8.更新估计 9.X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^] 10.计算更新后估计协防差矩阵 11.C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[IK(k)×H(k)]‘+K(k)×R(k)×K(k)’ 12.X(k+1) = X(k) 13.C(k+1) = C(k) 14.重复以上步骤
分。一般来说，根据观测数据对随机量进
行定量推断就是估计问题，特别是对动态
行为的状态估计，它能实现实时运行状态 的估计和预测功能。比如对飞行器状态估 计。
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状态估计对于了解和控制一个系统具 有重要意义，所应用的方法属于统计学中 的估计理论。最常用的是最小二乘估计， 线性最小方差估计、最小方差估计、递推 最小二乘估计等。其他如风险准则的贝叶 斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法 也都有应用。
比如,在雷达中，人们感兴趣的是跟踪 目标，但目标的位置，速度，加速度的测量 值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利 用目标的动态信息，设法去掉噪声的影响， 得到一个关于目标位置的好的估计。这个估 计可以是对当前目标位置的估计(滤波)，也 可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以 是对过去位置的估计。
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卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用 状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡 尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。 卡尔曼滤波理论的提出，克服了威纳滤 波理论的局限性使其在工程上得到了广泛的 应用，尤其在控制、制导、导航、通讯等现 代工程方面。
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1.预估计X(k)^= F(k,k-1)· X(k-1) 2.计算预估计协方差矩阵 3.C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k1)×Q(k)×T(k,k-1)' 4.Q(k) = U(k)×U(k)' 5.计算卡尔曼增益矩阵 6.K(k) = C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)] ^(-1) 7.R(k) = N(k)×N(k)'
用FPGA硬件可以实现卡尔曼滤波器。
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硬件实现：卡尔曼滤波器有良好的滤波效果， 但由于其计算量大，当采样率高时，一个采样 周期内难以完成计算，且计算机的字长有限， 使计算中舍入误差和截断误差积累、传递，造 成数值不稳定，因此用MCU和DSP难以实现。 FPGA可以实现并行计算，它有多个乘法器和 累加器并行处理数据，采用FPGA实现的卡尔 曼滤波器，由于输入和输出数据计算同时进行 电路与系统研究所
受噪声干扰的状态量是个随机量，不可 能测得精确值，但可对它进行一系列观测， 并依据一组观测值，按某种统计观点对它进 行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值 ，这就是最优估计。真实值与估计值之差称 为估计误差。若估计值的数学期望与真实值 相等，这种估计称为无偏估计。
4.什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线
性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
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卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的 最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其 基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模 型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测 值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻 的估计值。它适合于实时处理和计算机运算 。
2．为什么要用状态估计理论
在许多实际问题中，由于随机过程的存在，常
常不能直接获得系统的状态参数，需要从夹杂着随 机干扰的观测信号中分离出系统的状态参数。例如 ，飞机在飞行过程中所处的位置、速度等状态参数 需要通过雷达或其它测量装置进行观测，而雷达等 测量装置也存在随机干扰，因此在观测到飞机的位 置、速度等信号中就夹杂着随机干扰，要想正确地 得到飞机的状态参数是不可能的，只能根据观测到 的信号来估计和预测飞机的状态，这就是估计问题 。
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基于现场可编程逻辑门阵列FPGA器件和 模数转换器设计的数据采集系统为硬件平台 ，进行算法设计。基于模块化设计思想，设 计时钟分频模块、AD转换芯片的FPGA控制 模块和卡尔曼滤波模块。卡尔曼滤波模块采 用DSP Builder设计，转换成硬件描述语言 VHDL后，应用软件Modelsim、QuartusII进 行仿真并完成硬件验证。
从以上分析可以看出卡尔曼滤波就是 在有随机干扰和噪声的情况下，以线性最小 方差估计方法给出状态的最优估计值，卡尔 曼滤波是在统计的意义上给出最接近状态真 值的估计值。因此卡尔曼滤波在空间技术、 测轨、导航、拦截与通讯等方面获得了广泛 的应用。
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3．经典控制理论与现代控制理论
输入量
偏差
控制量
扰动量
r + - b

u
控制器 Gc 反馈量
n
受控对象 Go
输出量
c
反馈环节 H
经典控制系统的组成
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由于经典控制理论的上述局限性，随着 科学技术的发展，特别是空间技术和各类高 速飞行器的快速发展，要求控制高速度、高 精度的受控对象，控制系统更加复杂，要求 控制理论解决多输入多输出、非线性以及最 优控制等设计问题。这些新的控制要求经典 控制理论是无法解决的。
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估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理
2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 4. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的软硬件实现
6.卡尔曼滤波器的应用
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1.状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部
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卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统 的状态向量。它以“预测—实测—修正”的 顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干 扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值 从被污染的系统中恢复系统的本来面目。
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卡尔曼滤波特点： 卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与 预测的有力工具之一，它不需存储历史数据 ，就能够从一系列的不完全以及包含噪声的 测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波 是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状 态的估计值以及当前状态的观测值就可以计 算出当前状态的估计值，因此不需要记录观
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软件实现： 許多物理进程，如路上行驶的車辆、 围绕地球轨道运转的卫星、由绕组电流驱动 的电机轴或正弦射頻載波信号，均可用线性 系统來近似。线性系统是指能用如下两个方 程描述的简单进程： 状态方程： 输出方程：
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在上述方程中，A、B和C均为矩陣，k 是時間系数，x称为系統状态，u是系統的 已知輸入，y是所測量的輸出。w和z表示 噪音，其中变量w称为进程噪音，z称为測 量噪音，它們都是向量。 则卡尔曼滤波的算法流程为：
测或者估计的历史信息。
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卡尔曼滤波器与大多数我们常用的滤波 器不同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波 器，不需要像低通滤波器等频域滤波器那样 ，需要在频域设计再转换到时域实现。
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5.卡尔曼滤波器的软硬件实现
目前,卡尔曼滤波器已经有很多不同的实 现形式。卡尔曼最初提出的形式现在一般称 为简单卡尔曼滤波器。除此以外,还有施密特 扩展卡尔曼滤波器,信息滤波器以及平方根滤 波器。最常见的卡尔曼滤波器是锁相环 ，采
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一般，数字滤波器的FPGA实现是用
VHDL或Verilog HDL等硬件描述语言通过编 写底层代码实现。这种编程方式效率低，难 度大。利用Altera公司FPGA的DSP开发工具 DSP Builder 设计卡尔曼滤波器，比基于硬
件描述语言的设计 , 周期更短 , 设计更容易。
该算法可用C语言编程，在计算机上实现。
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6.卡尔曼滤波器的应用
卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而 研发的，目前已成功应用在許多领域中。卡 尔曼滤波器主要用来預估那些只能被系统本 身間接或不精確观測的系统状态。許多工程 系统和嵌入式系统都需要卡尔曼滤波。
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卡尔曼滤波器应用领域：
·自动驾驶仪 ·动态定位系统
·经济学, 特别是宏观经济学， 时间序列模型, 以及
计量经济学
·惯性引导系统 ·雷达跟踪器
·卫星导航系统
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谢 谢！
贵州大学
2008年11月24日
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经典控制理论只适应与单输入—单输 出的线性定常系统，研究方法是传递函数 。传递函数在本质上是一种频率法，要靠 各个频率分量描述信号。因此，频率法限 制了系统对整个过程在时间域内进行控制 的能力，所以经典控制理论很难实现实时 控制。同时，经典控制理论也很难实现最 优控制。