6.1数列的概念
高中数学一轮复习 6.1 数列的概念与简单表示
第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n －12.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.考点二 由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________．[题组训练]1.(累加法)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________. 2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.3.(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________． 考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝na nb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减 D ．先减后增2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2 [课时跟踪检测]1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．232．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( ) A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )A ．10B ．15C ．－5D ．205．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( ) A ．[1,3) B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,3) 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.8．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________． 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．10．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。
2023版高考数学一轮总复习6-1数列的概念及表示课件
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三 数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列 或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.
6.1数列的概念和表示法
,__13_,
1 4
,
1 5
,
1 6
1 , __7_
练习
1、 根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an 1n n
方法：类似于求函数值，在通项公式中依次取 n=1、2、3、4、5得到数列的前5项
2 根据6.下1 列数各列无的穷概数念列的前4项, 写出数列的 一个通项公式.
(1)5,10,15,20，…；
1
−1
1
，答案不一 定是唯一的
关系 (1)1 (1)2 (1)3 (1)4
．
由此得到，该数列的一个通项公式为
an (1)n．
3、 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1) _1__,4,9,16,25, _36__,49;
(2) 1, 2, __3_,2, 5, （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n an 关系
1
2
3
4
5
10
15
20
5 5 1 10 5 2 15 5 3 20 5 4
由此得到，该数列的一个通项公式为
an 5n．
6.1 数列的概念
(2) 1，1，1，1，L ； 2468
解： (2) 数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
数列
概念形成
疏理归纳有关概念
◆按一定次序排列的一列数叫数列 ◆数列中的每一个数叫做这个数列的项 ◆各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），
第2项，······， 第n项，······
◆数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…简记为{an}，其中an是数列 的第n项。
◆数列分类： 有穷数列,无穷数列;
中职数学人教版基础模块下册第六章数列《数列的概念》课件
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
数列的概念与简单表示法
第六章 数 列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_____a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一 数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.类型二 由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝ ．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三 由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n .(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四 数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．解：令a na n －1≥1(n ≥2)， 即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n＝9或10时，a n ＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2.9．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得b n＋1＝pb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝b9950，则b50＝2. b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1，求a n.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1), a1适合此式，∴a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。
2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第六章 6.1 数列的概念与简单表示法 Word
姓名，年级：时间：§6。
1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)．2。
了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。
1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系能用公式a n ＝f （n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列｛a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和2。
数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f （a n）或a1,a2和a n＋1＝f (a n,a n－1)等表示数列的方法n n若数列｛a n}的前n项和为S n,则a n＝错误!4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N＊递减数列a n＋1〈a n常数列a n＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N＊，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ×）（2)所有数列的第n项都能使用公式表达．（×）(3）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√）(4)1,1，1，1，…不能构成一个数列．（×)题组二教材改编2．在数列{a n｝中,已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________。
第六章6.1 数列的概念及简单表示法
数学 R A（理）
§6.1数列的概念及简单表示法
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数称为 数列，数列中的每一个数叫做这个 数列的 项 ．
2．数列的分类
分类 原则
类型
满足条件
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“次序” 排列的一列数，一个数列 不仅与构成它的“数”有 关，而且还与这些“数” 的排列顺序有关． (2)数列的项与项数：数列 的 项 与 项数是两个不同的
先观察各项的特点，然后归纳出其 通项公式，要注意项与项数之间的 关系，项与前后项之间的关系．
(4)3,33,333,3 333，….
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】写出下面各数列的一个通
思维启迪 解析 探究提高
(解2项)每公(一1式)项各：的项分减子去比1 分后母为少正偶1，数而，分所母以组an成＝数2n列＋12.1，22，23，24，…，所以
解析
探究提高
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
由数列的递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
解析
探究提高
＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
(1)可构造等比数列求解； (2)可使用累加法．
数列的概念ppt课件
例
故数列的一个通项公式为
题
an (1)n．
6.1.2 数列的通项公式
巩n
1 2n
,写出数列的前5项．
固 知
解
a1
1 21
1； 2
识
a2
1 22
1； 4
典 型 例
a3
1 23
1； 8
a4
1 24
1； 16
题
a5
1 25
1． 32
练习
1.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否
(4)
知
6.1.2 数列的通项公式
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
创
设 (1) 1,3,( 5 ),7,9, ( 11 ),13…
情 境
(2) 2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 )… (3) ( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49…
兴
趣 导
: 思考2 数列项与项数是何关系？
第6章 数列
6.1 数列的概念
6.1.1 数列的定义
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
(1)
创
将所有正偶数从小到大进行排成一列数为
设
2，4，6，8，10，…．
(2)
情 境
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数为
-1，1，-1，1，…．
(3)
兴
趣 导
17建筑施工3+2班学生的学号由小到大排成一列数为
运
为同一个数列？
用
知
不是
识
强
2.设数列 {an} 为“-5,-3,-1,1,3,5，…” ，指出其中a3、a6各是什么数？
第六章 §6.1 数列的概念-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§6.1数列的概念课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{a n }的前n 项和把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(√)(2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.(×)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(√)2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是()A ．21B ．33C ．152D ．153答案C解析由数列的通项公式得，a 1＝21，a 2＝33，a 12＝153.3．(选择性必修第二册P8T4改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n 等于()A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1答案B解析∵a 1＝S 1＝1＋1＝2，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，2n ＝2＝a 1，∴a n ＝2n .4．(选择性必修第二册P9T5改编)如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数1,5,12,22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________．答案92解析∵5－1＝4,12－5＝7,22－12＝10，∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，∴第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4等于()A ．27B ．81C ．93D ．243答案B 解析根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a 4＝a 1q 3＝34＝81.(2)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.答案2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析由已知，可得当n ＝1时，a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②，得na n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n(n ≥2)，当n ＝1时，不满足上式，∴a n 2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.思维升华a n 与S n 的关系问题的求解思路(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．(2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1(1)(2023·潍坊统考)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S m＋S n＝S m＋n，若a1＝2，则a20等于()A．2B．4C．20D．40答案A解析方法一a20＝S20－S19＝S18＋S2－(S18＋S1)＝S2－S1＝S1＝a1＝2.方法二令m＝1，∴S n＋S1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝S1＝2，∴a n＋1＝2，∴a20＝2.(2)(2023·深圳模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝3且当n≥2时，2a n＝S n·S n－1，则{a n}的通项公式a n＝________________.答案n≥2解析当n≥2时，由2a n＝S n·S n－1可得2S n－2S n－1＝S n·S n－1，化为1S n－1S n－1＝－1 2，因为1S1＝1a1＝13，是首项为13，公差为－12的等差数列，所以1S n＝13－12(n－1)＝－12n＋56所以S n＝65－3n，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝18(5－3n)(8－3n)，又因为a1＝3，不符合上式，故a nn≥2.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2若数列{a n}满足a n＋1－a n＝a1＝1，则数列{a n}的第100项为()A．2B．3 C．1＋lg99D．2＋lg99答案B解析因为a n＋1－a n＝lg n＋1n＝lg(n＋1)－lg n，所以a 100－a 99＝lg 100－lg 99，…a 3－a 2＝lg 3－lg 2，a 2－a 1＝lg 2－lg 1，以上99个式子累加得a 100－a 1＝lg 100，所以a 100＝lg 100＋1＝3.命题点2累乘法例3设在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则a n ＝________.答案2n解析∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2满足上式．思维升华(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法，即可求数列{a n }的通项公式．(2)形如a n ＋1a n＝f (n )的数列，利用累乘法即可求数列{a n }的通项公式．跟踪训练2(1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为______．答案a n ＝n 2＋n 2解析由题意得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时，a 1＝1也满足此式，∴a n ＝n 2＋n 2.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＋1＝2(n ＋2)a n ，则数列{a n }的通项公式为____________．答案a n ＝(n ＋1)·2n －1(n ∈N *)解析∵(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，∴a n＋1a n＝2(n＋2)n＋1，则a n＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·a na n－1＝2n－1·a1×43×54×…×(n＋1)·2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝2满足上式，∴a n＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)．题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若数列{a n}为递增数列，则a n＋1－a n＝[(n＋1)2－3λ(n＋1)]－(n2－3λn)＝(n2＋2n＋1－3λn－3λ)－(n2－3λn)＝2n＋1－3λ>0，即3λ<2n＋1，由于n∈N*，所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1，反之，当λ<1时，a n＋1－a n>0，则数列{a n}为递增数列，所以“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件．命题点2数列的周期性例5若数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，则a2024的值为()A．2B．－3C．－12D.1 3答案D解析由题意知，a1＝2，a2＝1＋21－2＝－3，a3＝1－31＋3＝－12，a4＝1－121＋12＝13，a5＝1＋131－13＝2，a6＝1＋21－2＝－3，…，因此数列{a n }是周期为4的周期数列，所以a 2024＝a 506×4＝a 4＝13.命题点3数列的最值例6数列{b n }满足b n ＝3n －72n －1，则当n ＝________时，b n 取最大值为________．答案458解析方法一b n －b n －1＝3n －72n －1－3n －102n －2＝13－3n2n －1，∴当n ≤4时，b n >b n －1，∴{b n }单调递增，当n ≥5时，b n <b n －1，∴{b n }单调递减，故当n ＝4时，(b n )max ＝b 4＝58.方法二n ≥b n ＋1，n ≥b n －1，≥3n －42n ，≥3n －102n －2，解得103≤n ≤133，又n ∈N *，故n ＝4，故当n ＝4时，(b n )max ＝b 4＝58.思维升华(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{a n }的单调性．跟踪训练3(1)(2024·安康模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝a 2＝1，a 3＝a 4＝2，a n ＋a n＋4＝0，则()A ．S 23>S 21>S 22B ．S 21>S 22>S 23C ．S 21>S 23>S 22D ．S 23>S 22>S 21答案B解析因为a n ＋a n ＋4＝0，所以a n ＋4＝－a n ，所以a n ＋8＝－a n ＋4＝a n ，所以{a n }是以8为周期的周期数列，又a 1＝a 2＝1，a 3＝a 4＝2，所以a 6＝－a 2＝－1，a 7＝－a 3＝－2，所以S 22－S 21＝a 22＝a 6＝－1<0，S 23－S 22＝a 23＝a 7＝－2<0，所以S 22<S 21，S 23<S 22，故S 21>S 22>S 23.(2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N *，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项的值分别为________．答案3，－1解析a n ＝2n －192n －21＝2n －21＋22n －21＝1＋22n －21，当n ≥11时，22n －21>0，且单调递减；当1≤n ≤10时，22n －21<0，且单调递减．因此数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，则a 11＝3，a 10＝－1.课时精练一、单项选择题1．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为()A.(－1)n＋1n ＋1 B.(－1)nn ＋1C.(－1)n n D.(－1)n －1n答案A解析由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于|1n ＋1|，故此数列的一个通项公式为(－1)n ＋1n ＋1.2．(2023·北京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝n 2－1，则a 3等于()A ．－5B ．5C ．7D ．8答案B解析因为S n ＝n 2－1，所以a 3＝S 3－S 2＝(32－1)－(22－1)＝5.3．已知数列{a n }的首项为3，a n ＋1－a n ＝2n －8(n ∈N *)，则a 8等于()A ．0B ．3C ．8D ．11答案B解析由a n ＋1－a n ＝2n －8，得a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3.4．若数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于()A ．2n －1B ．n 2C.(n ＋1)2n 2 D.n 2(n －1)2答案D解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.5．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2024的值为()A ．2B ．1 C.12D.14答案A解析因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列，所以a 2024＝a 2＝2.6．已知数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是()A ．310B ．19C.119D.1060答案C解析令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥610，当且仅当x ＝310时，等号成立．因为a n ＝1n ＋90n，n ∈N *，所以1n ＋90n≤1610，所以当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．二、多项选择题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋，则下列说法正确的是()A ．a 1是数列{a n }的最小项B ．a 4是数列{a n }的最大项C ．a 5是数列{a n }的最大项D ．当n ≥5时，数列{a n }是递减数列答案BCD解析假设第n 项为{a n }n ≥a n －1，n ≥a n ＋1，＋2)≥(n ＋1)－1，＋2)≥(n ＋3)＋1，≤5，≥4，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故在数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574，当n ≥5时，数列{a n }是递减数列．8．(2023·扬州仪征中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a 2n ＋12，则下列说法正确的是()A ．a 2023>a 2022B ．4a 2n ＋1－1＝4a n ＋1a nC.1a 2n ＋15a 2n ＋1的最小值为8＋15D ．a n ≥1答案ABD解析因为a n ＋1－a n ＝a n ＋a 2n ＋12－a n ＝a 2n ＋1－a n2>0，即a n ＋1>a n ，所以a n ≥a 1＝1，故D 正确；因为a n ＋1>a n ，所以数列{a n }为递增数列，可得a 2023>a 2022，故A 正确；对于选项B ，因为a n ＋1＝a n ＋a 2n ＋12，则2a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1，两边平方整理得4a 2n ＋1－1＝4a n ＋1a n ，故B 正确；对于选项C ，因为数列{a n }为递增数列且a n ≥1>0数列，不存在最小值，故C 错误．三、填空题9．若a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是第________项．答案7解析由题意得，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，其对应的二次函数为y ＝－2x 2＋29x ＋3，函数y ＝－2x 2＋29x ＋3的图象开口向下，对称轴为x ＝294，因为n 为正整数，所以当n ＝7时，a n 取得最大值．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案－1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，所以a n a n －1＝－12，所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列，故a n －1.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，(n －1)a n ＝n ·2n a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝(1)(2)22n n n -+⋅解析当n ≥2时，有(n －1)a n ＝n ·2n a n －1，故a n a n －1＝n n －1·2n ，则有a n －1a n －2＝n －1n －2·2n －1，a n －2a n －3＝n －2n －3·2n －2，…，a 2a 1＝21×22.上述n －1个式子累乘，得a n a 1＝n －n …2n ·2n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＝(1)(2)22n n n -+⋅.因为a 1＝1，所以a n ＝(1)(2)22n n n -+⋅，而当n ＝1时，a 1＝1×20＝1，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝(1)(2)22n n n -+⋅.12．(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．现假设有n 个圆环，用a n 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的最少移动次数，且数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －2＋2n －1(n ≥3，n ∈N *)，则解开九连环最少需要移动________次．答案341解析由题意，a n ＝a n －2＋2n －1，故a 3－a 1＝22，a 5－a 3＝24，…a 2n －1－a 2n －3＝22n －2，以上各式相加，可得a 2n －1－a 1＝22＋24＋…＋22n －2＝41＋42＋…＋4n －1，即a 2n －1＝1＋41＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝4n －13，所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a 9＝45－13＝341.四、解答题13．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3.(2)方法一由a n ＋1＝2S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，故S n ＋1＝(S n ＋1)2.∵a n >0，∴S n >0，∴S n ＋1＝S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝1，则S n －S n －1＝1(n ≥2)，由累加法可得S n＝1＋(n－1)＝n，∴S n＝n2(n≥2)，又S1＝a1＝1，满足上式，∴S n＝n2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式，∴a n＝2n－1.方法二由a n＋1＝2S n＋1，得(a n＋1－1)2＝4S n，当n≥2时，(a n－1)2＝4S n－1，∴(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝4(S n－S n－1)＝4a n.∴a2n＋1－a2n－2a n＋1－2a n＝0，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－2)＝0.∵a n>0，∴a n＋1－a n＝2(n≥2)．a2－a1＝2，∴{a n}为等差数列，且公差为2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.14．已知在数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．解(1)∵2S n＝(n＋1)a n，∴2S n＋1＝(n＋2)a n＋1，∴2a n＋1＝(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n，即na n＋1＝(n＋1)a n，∴a n＋1n＋1＝a nn，∴a nn＝a n－1n－1＝…＝a11＝1，∴a n＝n(n∈N*)．(2)∵b n＝3n－λn2，∴b n＋1－b n＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{b n}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3n 2n＋1.令c n＝2·3n2n＋1，则c n＋1c n＝2·3n＋12n＋3·2n＋12·3n＝6n＋32n＋3>1，∴{c n}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．15．(多选)“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．“斐波那契数列”{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为S n，则下列结论正确的是() A．S7＝33B．S2024＋S2023－S2022－S2021＝a2026C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a2024D．a21＋a22＋a23＋…＋a22023＝a2022a2023答案ABC解析A项，S7＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，A正确；B项，S2024＋S2023－S2022－S2021＝a2023＋a2024＋a2022＋a2023＝a2025＋a2024＝a2026，B正确；C项，a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a4＋a5＋…＋a2023＝a6＋…＋a2023＝a2022＋a2023＝a2024，C正确；D项，a21＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，a23＝a3a4－a2a3，a24＝a4a5－a3a4，…，a22022＝a2022a2 023－a2021a2022，a22023＝a2023a2024－a2022a2023，所以a21＋a22＋a23＋…＋a22023＝a2023a2024，D错误．16．(2023·内江模拟)已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a31＋a32＋…＋a3n＝S2n，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为________．答案a n＝n解析a31＋a32＋…＋a3n＝S2n，①当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a31＋a32＋…＋a3n－1＝S2n－1＝(S n－a n)2，②①－②得a3n＝S2n－(S n－a n)2＝a n(2S n－a n)，因为各项均不为0，所以a2n＝2S n－a n，③a2n－1＝2S n－1－a n－1(n≥2)，④③－④得(a n＋a n－1)(a n－a n－1－1)＝0(n≥2)，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)，所以a n＝1＋n－1＝n.又a1＝1适合上式，所以a n＝n.。
6.1 数列的概念
1 1 1 1 , , , ,L 1 3 5 7
练习 写出下面数列的一个通项公式,使 它的前四项分别是下列各数
（ 1） 1,3,5,7， 1 2 3 4 （2） ， ， ， ， 2 3 4 5 （ 3） 0， - 2， - 4， - 6， 1 1 1 （ 4） 1, ， ， ， 4 9 16
1. 三角形数：1，3，6，10，··· 2. 正方形数：1，4，9，16，··· 3. 1, 2, 3, 4,……的倒数排列成的 一列数：
1 1 1 1, , , ,L 2 3 4
4. 斐波那契数列：1,1,2,3,5,8，··· 5.－1的1次幂, 2次幂, 3次幂, ……排列 成一列数：－1, 1, －1, 1, －1,… 6. 无穷多个1排列成的一列数： 1, 1, 1, 1, …
an
9 8
(n≤7)
数 列 的 图 象 是 一 群 孤 立 的 点
10
7
6 5 4 3 2 1
O
1
2
3
4
5
6
7
n
数列
an
1
1,
1 1 1 1 , , , , 3 2 4 5
用图象表示
1 2
1 4
1 8
O
1
2
3
4
5
6
7
n
小结：
本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式。
思考
由数列的有限项探求通项公式时，通项公式是唯一 的吗？
求数列的通项公式举例
1. 1，2，3，4，···
1 1 1 2. 1, , , ,L 2 3 4
3. 2，3，4，5，···
1 1 1 1 4. , , , ,L 2 3 4 5
§6.1 数列的概念及其表示法
解题导引
栏目索引
解析 由an(an-1+2an+1)=3an-1· an+1(n≥2,n∈N*), 可得 - =2
1 - 1 =3-1=2, a2 a1 1 1 an 1 an
1 an
1 , an1
∴数列
1 1 ∴ - =2n. an 1 an
栏目索引
解析 当n≥2时,an=2Sn-1, ∴an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, 即an+1=3an, ∴数列{an}的第2项及以后各项构成等比数列,a2=2a1=2,公比为3,∴an=2· 3n-2,n≥2,
当n=1时,a1=1,
∴数列{an}的通项公式为an= 答案
1, n 1 an= n2 2 3 , n 2 1, n 1, n2 2 3 , n 2.
易错警示 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n≥2这一前提条件.
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方法 2 由递推公式求数列的通项公式
由递推公式求数列通项的常用方法 (1)形如an+1=an+f(n),常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
(n≥2,n∈N*)求解.
an a2 a3 * (2)形如an+1=an· f(n),常用累乘法,即利用an=a1· · · … · ( n ≥ 2, n ∈ N )求解. a1 a2 an1
栏目索引
若p=r,则 ,可用等差数列的通项公式求 , 是等差数列,且公差为
1 an
q p
1 an
进而求an;
若p≠r,则采用(3)的方法来求 ,进而求an. (5)形如an+2=pan+1+qan(p+q=1),常用构造等比数列法. 将an+2=pan+1+qan变形为an+2-an+1=(-q)· (an+1-an),则{an-an-1}(n≥2,n∈N*)是等 比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n)(n≥2,n∈N*),然后用累加法求an.
高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法
数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，…就是数列{a n }． 3．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间递增数列a n ＋1>a n其中的大小 关系递减数列 a n ＋1<a n n ∈N *常数列a n ＋1＝a n4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示 不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的通项公式是唯一的．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案 a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N *3．已知数列a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)．则a 2 022＝________.答案 －1解析 a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，所以数列{a n }满足a n ＝a n ＋3，所以a 2 022＝a 3＝－1.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－λn ＋1，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，3)解析 由题意得a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2－λ(n ＋1)＋1>n 2－λn ＋1. 化简得，λ<2n ＋1，n ∈N *，∴λ<3. 题组三 易错自纠5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋1，则{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2(n ∈N *) 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋1＋2(n －1)2－1＝－4n ＋2，a 1＝－1不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2，n ∈N *.6．若a n ＝－n 2＋9n ＋10，则当数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为________． 答案 9或10解析 要使S n 最大，只需要数列中正数的项相加即可， 即需a n >0，－n 2＋9n ＋10>0，得－1<n <10， 又n ∈N *，所以1≤n <10. 又a 10＝0，所以n ＝9或10.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1. 当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，① S n －1＝2a n －1＋1.②①－②，S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项a 1＝－1，q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝－2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.4．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则下列结论正确的是_______． ①a n ＝1n (n －1)②a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2③S n ＝－1n④数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列答案 ②③④解析 ∵a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，d ＝－1的等差数列，即1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，又a 1＝－1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． 方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解． 题型二 由数列的递推关系式求通项公式命题点1 累加法例1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． 命题点2 累乘法例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其首项a 1＝1，且满足3S n ＝(n ＋2)a n ，则a n ＝______. 答案n (n ＋1)2解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，① 3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，②由①－②得，3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， 即a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×31×1＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，满足a n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n (n ＋1)2.本例2中，若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝____________. 答案 n ·2n －1解析 由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得 n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0， 又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2(n ＋1)n， 又a 1＝1，∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2(n －1)n －2×2(n －2)n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n .又n ＝1时，a 1＝1适合上式，∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．(2)根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出a na 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n ，a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n ，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2222n n -+解析 ∵a n ＋1a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，……a 3a 2＝22，a 2a 1＝2， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·22(1)212222,n nn n -⋅-++==，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2222n n -+.题型三 数列的性质命题点1 数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 (单调性)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)． 思维升华 解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2 数列的周期性例4 (2021·广元联考)已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则{b n }的前2 022项的和为( ) A ．0 B ．1 C ．－5 D ．－1 答案 A解析 ∵b n ＋2＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，b 2＝－2， ∴b 3＝b 2－b 1＝－2－1＝－3， b 4＝b 3－b 2＝－1，b 5＝b 4－b 3＝－1－(－3)＝2， b 6＝b 5－b 4＝2－(－1)＝3， b 7＝b 6－b 5＝3－2＝1.∴{b n }是周期为6的周期数列， 且S 6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S 2 022＝S 337×6＝0.思维升华 解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和． 命题点3 数列的最值例5 已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( )A.293 B ．47－1 C.485 D.274 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝n 2－n ＋28， ∴a n n ＝n ＋28n－1， 设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293，故选C.思维升华 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1；若有a n＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1<a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1.跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，∴选A.(2)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，则a 2 021等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 由题意，数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ， 且a 1＝1，a 2＝2，当n ＝1时，可得a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1； 当n ＝2时，可得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1； 当n ＝3时，可得a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2； 当n ＝4时，可得a 6＝a 5－a 4＝－2－(－1)＝－1； 当n ＝5时，可得a 7＝a 6－a 5＝－1－(－2)＝1； 当n ＝6时，可得a 8＝a 7－a 6＝1－(－1)＝2； ……可得数列{a n }是以6为周期的周期数列， 所以a 2 021＝a 336×6＋5＝a 5＝－2. 故选A.(3)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }的最大项是第________项． 答案 6或7解析 a n ＋1a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n＝78×n ＋2n ＋1≥1.得n ≤6，即当n ≤6时，a n ＋1≥a n ， 当n >6时，a n ＋1<a n ，∴a 6或a 7最大．课时精练1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 答案 C解析数列3，3，15，21，33，…，可化为3，9，15，21，27，…，则数列的通项公式为a n＝6n－3，当a n＝6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.2．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n等于()A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2答案A解析∵a n＋1－a n＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，a n－a n－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，a n－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝2(1－2n－1)1－2＋n－1＝2n＋n－3，∴a n＝2n＋n－2，选A.3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于()A．4 711 B．4 712C．4 714 D．4 715答案C解析由题意可知a n a n＋1a n＋2＝8，则对任意的n∈N*，a n≠0，则a1a2a3＝8，∴a3＝8a1a2＝4，由a n a n＋1a n＋2＝8，得a n＋1a n＋2a n＋3＝8，∴a n a n＋1a n＋2＝a n＋1a n＋2a n＋3，∴a n＋3＝a n，∵2 021＝3×673＋2，因此a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝673×7＋1＋2＝4 714.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－11n ＋a n，a 5是数列{a n }的最小项，则实数a 的取值范围是( )A ．[－40，－25]B ．[－40,0]C ．[－25,25]D ．[－25,0]答案 B解析 由已知条件得a 5是数列{a n }的最小项， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5≤a 4，a 5≤a 6， 即⎩⎨⎧ 52－11×5＋a 5≤42－11×4＋a 4，52－11×5＋a 5≤62－11×6＋a 6，解得⎩⎨⎧a ≥－40，a ≤0. 故选B.5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k B ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列 答案 ABD解析 对于A ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k ，A 正确； 对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确．故选ABD.6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(a ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln n n ＋1答案 CD解析 对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对于D ，若a n ＝ln n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确． 故选CD.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增的，∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可， 所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)．9．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 答案 8164解析 ∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164. 10．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项． 答案 5解析 因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时，a n 的值最小．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1，n ∈N *；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3，n ∈N *.解 (1)∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.经检验，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝2n 2＋n ＋3(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 经检验，当n ＝1时，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2，n ∈N *. 12．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋9n ＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．解 (1)令a n ＝－107，－2n 2＋9n ＋3＝－107,2n 2－9n －110＝0，解得n ＝10或n ＝－112(舍去)．所以a 10＝－107. (2)a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058， 由于n ∈N *，所以最大项为a 2＝13.13．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024答案 C解析 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.故选C.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(2n ＋1)2－1B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(n ＋1)3答案 D解析 在4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n 中，令n ＝1，得8(a 1＋1)＝9a 1，所以a 1＝8，因为4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，①所以4n ·(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1(n ≥2)，②①－②得，4a n ＝(n ＋2)2n ＋1a n －(n ＋1)2n a n －1， 即n 2n ＋1a n ＝(n ＋1)2n a n －1，a n ＝(n ＋1)3n 3a n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1 ＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8 ＝(n ＋1)3(n ≥2)，又a 1＝8也满足此式，所以数列{a n }的通项公式为(n ＋1)3. 故选D.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5等于( ) A ．0 B.1764 C.564 D.2164答案 D解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ， 当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ， 即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164. 故选D.16．(2020·鹰潭模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n －S n ＝12n －12n 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a－5a n ，求数列{b n }中最小的项．解 (1)对任意的n ∈N *，由a n －S n ＝12n －12n 2，得a n ＋1－S n ＋1＝12(n ＋1)－12(n ＋1)2， 两式相减得a n ＝n ，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)得b n ＝2n －5n ，则b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－5(n ＋1)]－(2n －5n )＝2n －5. 当n ≤2时，b n ＋1－b n <0， 即b n ＋1<b n ，∴b 1>b 2>b 3； 当n ≥3时，b n ＋1－b n >0， 即b n ＋1>b n ，∴b 3<b 4<b 5<…，所以数列{b n}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.。
数列的概念及简单表示方法
§6.1数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1__>__a n其中n∈N＋递减数列a n＋1__<__a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1 n ≥2.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋－1n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55 答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上，a n ＝(－2)n －1.5． (2013·)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行， 且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1， a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3n －2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1. 题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启迪 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. (3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________． 思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n n ＋12＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n n ＋12 解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1. 又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ， 即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n n ＋12，又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12. 思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n (2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.－1n ＋12 B ．cos n π2 C ．cos n ＋12π D ．cos n ＋22π答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2． 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C.5． 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D ．30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n n ＋1， 所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题6． 已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.7． 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_____.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.8． 已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得 2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数， 故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9． 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n n ＋110n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1n ＋210n ＋1－9n n ＋110n＝9n 10n ·8－n10， 当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…， 故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项， 且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为 ( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2． 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2. ∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析由题意得⎩⎨⎧k k ＋423k≥k ＋1k ＋523k ＋1kk ＋423k ≥k －1k ＋323k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23n ＝11nn ≥2.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1 ＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
5.1数列的概念
写出下列各数列的一个通项公式: 例 1.写出下列各数列的一个通项公式: 写出下列各数列的一个通项公式 (1) -1,4,-9,16,-25, 36, ; ) , , , , , 解: a n = (-1) n n2 (2) 2, 3, 5, 9, 17, 33, ; ) , , , , , , 解:an = 2n- 1 + 1 .
(4)数列分类 ) ①按数列项数是有限还是无限分: 按数列项数是有限还是无限分: 有穷数列和无穷数列; 有穷数列和无穷数列; ②按数列项与项之间的大小关系分: 按数列项与项之间的大小关系分: 单调数列(递增数列,递减数列),常数 单调数列(递增数列,递减数列),常数 ), 列和摆动数列
�
y B5 B4 B3 B2 B1 0 C1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 x C2 C3 C4 C5
a1 = 3, a3 = a1 + 12 = a1 + 3 × 4, a5 = a3 + 20 = a3 + 5 × 4,
a2 = a1 + 1, a4 = a3 + 1, a6 = a5 + 1,
例2. 在数列{an}中,若a1 = a, 且 1 (n =1, 2, 3, ). an+1 = an + n(n +1) 求数列的通项公式. 求数列的通项公式.
1 1 1 = . 解:由递推式得 ak +1 ak = k (k + 1) k k + 1
令 k = 1 ,2 ,3 , ,n – 1 ,得
5<ak <8
8 . 则K=.
递推公式定义: 递推公式定义: 如果已知数列{a 的第 的第1项 或前几项 或前几项), 如果已知数列 n}的第 项(或前几项 , 且任一项a 与它的前一项a - 或前几项 或前几项) 且任一项 n与它的前一项 n-1(或前几项 间的关系可以用一个公式来表示,那么这 间的关系可以用一个公式来表示, 个公式就叫做这个数列的递推公式 个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式
2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】
『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】 根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公 比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列 无穷数列
项数 项数
有限 无限
递增数列 递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和 解析法 ． 4．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变 量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是 数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；
6.1 数列的概念
an n (n N* )
巩固知识 典型例题
例 根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项： （ 1）
n an n 1
（ 2）
an 1 n
n
分析：类似于求函数值，在通项公式中依次取 n=1、2、3、4、5得到数列的前5项
巩固知识 典型例题
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2 , 3，4，5，得到数列 {an}的前5项为
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
a1
a2
(1 )
a3
a4
a5
将2的正整数指数幂从小到大排成排成 一个数列的第n项an如果 能够用关于项数n的一个 一列数为 式子来表示，那么这个 2 3 4 5 式子叫做这个数列的通 2,2 ,2 ,2 ,2 , (2 ) 项公式. n * an 2 (n N )
问题3：2,2,2,2 · · · · · ·是数列吗？
数列具有： 确定性、 有序性、 可重复性
是， 数列中的数可以重复出现.
二、数列的分类：
动脑思考 探索新知
项数有限的数列叫做有穷数列； 如： 4，5，6，7，8，9，10； 项数无限的数列叫做无穷数列． 如: －1，1，－1，1，－1，…；
1 2 n
如数列（3）中
1
a 2 ， a 4 ，a 8
2
3
，……
注意：an表示 第n项，{an}表 示一个数列
动脑思考 探索新知
问题1：铅笔，圆珠笔，水笔，毛笔。它是一 个数列吗？
不是，它不是由数构成.
问题2：2,4,6,8 和 8,6,4,2是同一个数列吗?
不同，因为数的排列次序不同.
特点：1、均是一列数，2、有一定顺序
6.1数列
(1)若 an＝n －5n＋4， ①数列中有多少项是负数？
n 2
数列中的函数思想 ②n 为何值时，a 有最小值？并求出最小值．
(2)若 an＝n ＋kn＋4 且对于 n∈N＋，都有 an＋1 求出最小值．
N＋，都有 an＋1>an.求实数 k 的取值范围．
2×3n－1－1
＋2，则它的一个通项公式为 an ＝____________.
递推关系式求 an
(3) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ，前 n n＋ 2 项和 Sn＝ an.则{an}的通项 3
nn＋1 an＝ 2 公式为____________ ．
数列中的函数思想
典例：(12 分)已知数列{an}． (1)若 an＝n2－5n＋4， ①数列中有多少项是负数？ ②n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (2)若 an＝n2＋kn＋4 且对于 n∈N＋，都有 an＋1>an.求实数 k
观察法求通项
【例 1】 写出下面各数列的一 个通项公式： (1)3,5,7,9，…； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，…； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， － ，， － ，， …； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，….
an与Sn的关系
【 例 2】 已知下面数列 {an} 的前 n 项和 Sn，求{an}的通 项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.
小结论： 1，Sn An2 Bn C 2，Sn Aqn B 若C 0，则a n 为等差数列。 若A B 0，则a n 为等比数列。递Fra bibliotek关系式求 an
【例 3】 (1)设数列{an}中， a1＝2， an＋1＝an＋n＋1，则通项 an＝ _____________. (2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为 an ＝____________.
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三、归纳小结 按一定次序排列 ⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数 列. 每一个数 ⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的 项. 3.数列的一般形式： a1, a2 , a3 ,...,an ,... ，或简记为{an }，其中 an 是数列的第 n 项. 4.数列的通项公式：如果数列 {an } 的第n项 an 与n之间的 关系可以用 一个含有n的式子 来表示，那么 这个公式 就叫 做这个数列的通项公式. 5.根据数列项数的多少分 有穷 数列和 无穷 数列；
(2) 全体自然数按照从小到大的顺序组成一个数列：0， 1，2，3，4，… an= ？ （3）数列：2，4，6，8，10，… an= （4）数列：1，3，5，7，9，… a10= ？ ？
例1：据下面数列{an }的通项公式，写出它的前5 项： (1) an 2n 1 (2) an (1)n n
例题
(2) 全体自然数按照从小到大的顺序组成一 个数列：0，1，2，3，4，… 第十项 a10 ?
（3）数列：2，4，6，8，10，… 第十项 a10 ? （4）数列：1，3，5，7，9，… 第十项 a10 ? 上面的数列都有无限多项，称为无穷数列。
12
数列：31，28，31，30，31，30，31，31，30， 31，30，31只有 项， 其中 a2 ?, a4 ?, a6 ?, a9 ?, a11 ?
§4.1数列的概念
一、慧眼识珠：在括号里填上适当的数
1． 1，3，5，7，（ 2． 1， 4， 9， 16， ( 3． 1，4，( ），… )，…
)，10，13 ，…
4． 1，8，27，64， (
5． 1，0，1，1，2，3，5，( 6． 26，35，45，56，68，( 7． 56，66，78，92，( 8． 0，6，12，18，(
例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分 别是下列各数： 1 2 3 4 (1)1，3，5，7； (2)
2, 3, 4,，3，5，7都是序号的2倍 减去1，所以第n项是an=2n-1，即它的一个通项公式 是an=2n-1； (2) 这个数列的每一项都是分数，分子是 是 ，所以它的一个通项公式是an= ，分母 ；
a10 =
2 2 1 32 1 4 2 1 52 1 0, , , , ,... 的第十项 a10 = 10. 数列： 2 3 4 5
。
像这样项数有限的数列叫做有穷数列。
有时我们把上面的数列简记作 {an } ，
如果数列{an } 的第n项 an 与n之间的关系可以用一 个含有n的式子来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式。
分别指出例题中数列(1) (2) (3) (4)的通项公式.
通项公式
(1)全体正整数按照从小到大的顺序组成一个数列： 1，2，3，4，5，… an= ?.
6. 已知数列的通项公式为 an n(n 1) ,下列哪个数不是这 个数列中的一项（ ）. A. 20 B. 30 C.42 D. 48
7. 在横线上填上适当的数： 1， 6，
，16，21 ，… ，… 。
8. 在横线上填上适当的数：3，4， 6，9，
1 1 1 1 ... 的第10项 9.数列： 2, 4, 8, 16,
四：课堂检测：
1. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列.
2. 数列中不能重复出现同一个数. 3. 1，-1，1，-1，… 是有穷数列 . （ （
（
） ）
）
4. 已知数列：0，1，2，3，4，…，那么这个数列的第10 项是（ ） A.8 B. 9 C.10 D. 11
n 5. 已知数列的通项公式为an 2 ,那么这个数列的第5项是 （ ）. A.10 B. 25 C.30 D. 32
)，…
) ，… ) ，… ) ，… )，…
1 9． 2, 10． 1 2,
3 4, 1 4,
5 7 ( 6, 8, 1 1 ( 6, 8,
) ，… ) ，…
数列的概念
按一定次序排列的一列数叫做数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…， 第n项，…。 数列的一般形式可以写成 a1, a2 , a3 ,...,an ,... 例如 (1) 全体正整数按照从小到大的顺序组成一个数列： 1，2，3，4，5，…… 第十项是10，第n项是n， 即 a10 10, an n.