上海工程技术大学概率论作业答案
上海工程技术大学概率论与数理统计模拟试卷4
概率论与数理统计模拟试卷4一、是非题（本题满分10分，每题1分）1．如果随机事件A 的概率为0.3，那么在 0次重复独立试验中，A 必将发生3 次。
（ ）2．连续型随机变量的概率密度一定是连续函数。
（ ）3．二维正态分布的边缘分布必定是一维正态分布。
（ ）4．对于两个概率非零的事件，互不相容必定不相互独立。
（ ）5．常数C 的方差等于0，而方差等于0的随机变量X 必等于常数C 。
（ ）6．正态总体下的样本均值X 与样本方差2S 是两个相互独立的统计量。
（ ）7. 假设检验中的检验水平α 也就是原假设0H 不成立的概率。
（ ）8．概率很小的事件，在个别的试验中通常是不可能发生的。
（ ）9．由二维随机变量的联合分布可唯一的确定边缘分布，反之亦然。
（ ）10．随机变量X 与Y 相互独立是它们不相关的充分条件。
（ ）二、选择题（本题满分16分，每题2分）1．若 A ，B 为随机事件，且 P(AB) = 0, 则 。
（A ）A 与 B 相互对立； （B ）AB 是不可能事件；（C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A) = 0或P(B) = 02．设 X 服从（0，2）上的均匀分布，则其标准差为 。
（A ）22 （B ）2 （C ）3 （D ）33 3．设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是4．如果随机变量 X 与 Y 满足 D （X+Y ）=D （X －Y ），则必有 。
（A ）X 与Y 不相关 （B ）X 与Y 相互独立（C ）D （Y ）=0 （D ）存在a,b 使 P{Y=a X+b }=1.5．设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N 的容量为n+m 的样本，则统计量2121n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是（A) (,)F m n （B) (1,1)F n m -- （C) (,)F n m （D) (1,1)F m n --6．设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ 是来自X 的样本，则2σ的无偏估计量是（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 7．假设检验中所可能犯的第一类错误的概率α与第二类错误的概率β之间的关系为 。
上海工程技术大学概率论与数理统计复习题(17-18(一))-答案
5．某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率． 解： （1） p P 10 (3) C10 (0.6) (0.4) 0.0425
10
10
0
2 1 0.97 0.98 0.9733 3 3
7．设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3．现假定从 8 支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率． 解：设事件 A ：射击中靶，事件 B ：所用的枪是已校正过的
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
1 1 1 1 4 6 12 3
3. 甲乙二人独立地去破译一份密码， 已知各人能译出的概率分别为 1/5 和 1/3， 求密码被译 出的概率. 解：设A:甲译出密码，B:乙译出密码，C:密码被译出. 则 C A B
a a a 解：由规范性得： k 3 1 1 2 3 k 1 1 3
a , 3k
k 1, 2, ，求常数 a ．
a2
k cos x, 9．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 0,
(2) P0 X ； 解： (1)
x
概率论与数理统计复习题
1 1 ， P( B) ，试分别在下列三种情况下求 P ( A B ) 的值： 3 2 1 (1) A, B 独立； (2) A, B 互斥； (3) A B ； (4) P( AB) ． 8
概率论与数理统计期终考试试卷A及参考答案
上海应用技术学院2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073 学分: 3 考试时间: 100 分钟 课程序号: 112-7244、7246、7248、7249、7251、7254、7255、7257、7258等共9个教学班 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1、有321,,R R R 三个电子元件，用321,,A A A 分别表示事件“元件i R 正常工作”)3,2,1(=i ，试用321,,A A A 表示事件“至少有一个元件正常工作”：_______________。
2、连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x x x x ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩则(0.5 1.5)P X <<=_____。
3、设随机变量X 服从(3,7)F 分布，则随机变量1~Y X=____________。
4、设()28,10~N X ，()=<<200X P （用()Φ表示）。
5、已知随机变量,X Y ，有cov(,)5X Y =，设31U X =+，24V Y =-，则cov(,)U V =____。
6、设随机变量,X Y 相互独立~(5,0.5)X N ，~(2,0.6)Y N ，则()E XY =___________。
二、选择题（每题3分，共计18分）1、设S 表示样本空间，下述说法中正确的是（ ）（A ）若A 为一事件，且()0P A =，则A =∅（B ）若B 为一事件，且()1P B =，则B S = （C ）若C S =，则()1P C =（D ）若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =+2、设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ。
概率论及数理统计 练习题及答案
1.5221031314567892.110013.2(5)AB；(6)AB AB4.3 1 1 1 2 2(1)A B C,(2)AB C A B C A B C,(3)AB C ABC A B C A B C,(4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC,(5)ABC A B C,(6)A B C++⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++++++⋅⋅或或1.10出生年份1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计 男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29311女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28267 总计 6 000 4 883 5 975 5 826 5 632 5 793 5 975 5 787 5 845 5 862 57578 据此估计此地区生男孩、女孩的概率.（，）2.掷两枚均匀的骰子，求下列事件的概率(1)点数和为1； (2)点数和为5；(3)点数和为12； (4)点数和大干10；(5)点数和不超过11.解：11135(1)0,(2),(3),(4),(5)93612363.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.344.在100件同类产品中，有95件正品，5件次品，从中任取5件.求(1)取出的5件产品中无次品的概率；（）(2)取出的5件产品中恰有2件次品的概率；（）5.从0，1，2，…，9这10个数字中每次任取1个，然后放回，共取5次.求下列事件的概率(1)A={5个数字各不相同}；(2)B={5个数字不含0和1}；(3)C={5个数字中，1恰好出现2次}.6.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率11.P(A B)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.50.60.50.60.8+=+-=+-=+-⨯=2.40321237240C 10.146C -= 3.5046432346350C 10.2255C -=23211246464464333505050C C C C C 0.9998C C C ++=4.1009592871P(AB)=P(A|B)=P(AB)/P(B)=÷= P(B|A)=P(AB)/P(A)=÷=5.111232111P(AB)P(A)P(B |A)2241117P(A B)P(A)P(B)P(AB)23412P(AB)1/43P(A |B)P(B)1/34==⨯=+=+-=+-==== 6.3211113390.365525⨯== 3260.35420⨯== 7.12112312()()()()P(A)0.02,P B |A 0.03P A B P A P B |A 0.980.970.9506==⋅==⨯=8.13221221A ：{任取一件是合格品}，A i ：{任取一件是i 车床零件} P(A 1)=2/3，P(A 2)=1/3，P(A|A 1)=，P(A|A 2)= P(A)=P(A 1)P(A|A 1)＋P(A 2)P(A|A 2)=2/3×+1/3×=9.甲：{任取一件是甲厂产品}，A 甲：{任取一件是甲厂合格品} 乙：{任取一件是乙厂产品}，A 乙：{任取一件是乙厂合格品} 丙：{任取一件是丙厂产品}，A 丙：{任取一件是丙厂合格品} P(甲)=，P(乙)=，P(丙)=,P(A 甲)=，P(A 乙)=，P(A 丙)= P(A)=P(甲)P(A 甲) P(乙)P(A 乙)＋P(丙)P(A 丙) =×+×+×=1.11 1 (1)P(AB)= P(A)P(B)=×=(2)P(A ＋B)= P(A)＋P(B)－P(AB)= P(A)＋P(B)－P(A)P(B) =＋－×=(3)()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B 0.20.70.80.30.38+=+=⨯+⨯= 2.33= 1－=1－= 3. 4 444544455C p (1p)C 0.80.20.4096--==44545555445505555C p (1p)C p (1p)C 0.80.2C 0.80.20.7373---+-=+=4.2055333335333255P(k 3)C p (1p)C 0.20.80.0512-==-== 34455551P(k 4)P(k 5)1C 0.20.8C 0.20.0579-=-==--= 5.1222212222101212P(k 2)C p (1p)C 0.30.70.1678-==-== 6.32323P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(BC)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(A)P(B)P(C)0.20.30.50.20.50.30.50.20.30.20.30.50.0969++=++---+=++---+=++-⨯-⨯-⨯+-⨯⨯=1.31U={(AB,0,0),(A,B,0),(A,0,B),(B,A,0),(0,AB,0),(0,A,B), (B,0,A),(0,B,A),(0,0,AB),}；4/9，2/3。
概率论与数理统计期终考试试卷及参考答案
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073/B2220071 学分: 3 考试时间: 100 分钟课程序号: 1441、1447、1451、1455、1456、1457、1458、1459、1460、1461、1976 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、填空题（每题3分，共计18分）1、设A 、B 、C 为三事件，则事件“A 、B 、C 不都发生”可表示为_______________。
2、设()4.0=A P ，()7.0=+B A P ，若B A ,相互独立，则()=B P ___________。
3、100件产品中有5件次品，任取10件，恰有2件为次品的概率为______________。
4、设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧≤≤=其他,0,10,32x x x f ，则()=X E __________。
5、设由总体~(,)X F x θ（θ未知）的样本观察值求得9.0}5.455.35{=<<θP ，则称区间[35.5，45.5]为θ的一个置信度为________的置信区间。
6、设Z Y X ,,相互独立，X 在]6,0[上服从均匀分布，)4,1(~N Y ，Z 服从参数2=λ 的泊松分布，32+--=Z Y X W ，()D W = 。
二、选择题（每题3分，共12分）1、对于任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。
（A ）)()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ （C ）X 和Y 相互独立（D ）X 和Y 不独立2、设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量1123131ˆ5102X X X μ=++，2123115ˆ3412X X X μ=++，3123111ˆ362X X X μ=++其中方差最小的估计量是（ ）。
概率论 模拟题(一)及答案
上 海 金 融 学 院_概率论与数理统计（理工）模拟题一课程代码：13330075_考试形式：闭卷 时间: 120 分钟考试时 只能使用简单计算器(无存储功能)试 题 纸 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）1． 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.3. 设X 为随机变量，且2()0.7,()0.2,E X D X ==则 式一定成立：A ．13{}0.222P X -<<≥ B．{0.6P X ≥C．{00.6P X <<≥ D．{00.6P X <<≤ 4. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本均值和标准差，则 成立。
A. (0,1)X NB. (0,)nX N nC. 221(1)ni i X n χ=-∑ D.(1)Xt n S- 5. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体2(,)N μσ的一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是2σ的无偏估计。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X n μ=--∑ C. 211()1n i i X X n =--∑ D. 211()1n i i X n μ=-+∑二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则(1) )(AB P = ; (2) )(B A P -= ;(3) )(B A P ⋃= ; (4) )(B A P = . 2.若(0,1),()X N x x ϕΦ ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则ϕ（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X == ；{0}P X <= ；{0}P X >= 。
上海工程技术大学概率论作业答案
习题一1 •设 A, B,C 是三个事件，且 P (A) = P(B) = P (C)=」,P (AB) = P(BC) = O ,4P(AC) =!，求A,B,C 中至少有一个发生的概率.8解：；P(AB)=OP(AB)C 0 /. P(A"") =P(A) +P(B) + P(C) -P(AB)-P(BC) -P(AC) + P(ABC)1 1 1 1 5 + + 一0—0— +0= 4 4 4 882•设事件A,B 及AuB 的概率分别为p,q 及r ，求：P(AB) , P(AB) , P(AB)及P (AB).解：P( AB) = P(A)+P (B)-P (AuB)A)B- A)B-P( A3•设P (A)^1, P (B)=l ，试分别在下列三种情况下求32A UB ；P(AB) J • 8⑶卩二 1-0.8472-0.1458 = 0.0070 或 p== 0.0071p+q-rP(AB))的值:(1) A, B 互不相容;解:(1) P (AB)= P®」 2 (2) P(AB) = P(B) -P(A)1(3) P (AB) = P(B)-P( AB)=—2 4•盒子中装有同型号的电子元件(1) 4个全是正品的概率；其中有4个是次品•从盒子中任取 4个，求: 恰有一个是次品的概率；至少有两个是次品的概率.解:C 4⑵ P =0.8472⑵ p =C 96C^ =0.1458C 100C 1006解:2 P 7⑴P N 。
0181P =^^=0.12 10&房间里有4人，求：这4人的生日不在同一个月的概率； 至少有2人的生日在同一个月的概率.12(1) P =1 -r =0.9994124 解:A 49.已知 P(A)=丄,P(B| A)4=1 , P(A| BH 1，求 P(A LJ B) •3 2 1解：P(AB) = P(A)P(B| A)=—12P (B )=3J 」 P(A| B) 6/. P(AuB) =P(A) + P(B) -P(AB)=丄 +1-丄=!4 6 12 310.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解：设A:其中一颗为1点，B:点数之和为7,贝U6 1 2 1P(B )=666WP(AB)=6V1B -P(A|B"P (B )P(AB) 13 2 或 B ={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}，则5.从45件正品5件次品的产品中任取 3件产品，求其中有次品的概率.C 3解：P =1-二5 =0.2760C 53O6.从一副扑克牌(52张)中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率. 解：P =埠=0.1055C527 .某城市的电话号码由8个数字组成，第一位为5或6 .求随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率； 随机抽取的一个电话号码末位数是 8的概率.11.某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少 解：其中一个是女孩的样本空间为：｛（男，女），（女，男），（女，女）｝3则所求概率为： P （A 3A 1A 2HP （A ）卩（民1人）卩（£ I = 10 9 9015.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍， 求任意取出的一件产品是合格品的概率.解：设事件A :取得的产品是合格品，事件B i :取得的产品由第i 台车床加工，i =1,2则所求概率为： P(A) = P(B 1)P(A| B,) + P(B 2)P(A|B 2)= 2 097 + 1 098 = 0.97333 3故所求概率为12. 一盒子中装有 只不放回，求：两次都取得正品的概率；第一次取得正品，第二次取得次品的概率; 一次取得正品，另一次取得次品的概率； 第二次取得正品的概率. ,4、 5 4 10 7 6 21 5 2 5（2） P = — 一=—— 7 6 21,3）5 2 2 5 767 6 /、5 4 2 5（4） P =——一+——一_ 7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一 （1） ⑵ ⑶ 解:_10 "21513.袋中有红球和白球共次才取到红球的概率. 100个，其中白球有10个.每次从袋中任取一球不放回，求第三解：设A j 表示事件"第i 次取到白球”，i =1,2,314.某人忘记了电话号码的最后一个数字， 所需电话的概率•若已知最后一个数字是奇数,1丄9 1丄9或 P = + ” +10 10 9 10 3解：(1) P = 10 3(2) p=-因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对 那么此概率是多少？8 1 = 3 9 8 10100 99 98 "O.0083’佥三鲁0.81638 812个乒乓球，其中有 9个是新的.第一次比赛时从中任取 第二次比赛时再从盒中任取 3个，求第二次取出的球都是新球的概率.第二次取出的球全是新球事件B :第一次取出的球当中有i 个新球，i =0,1,2,33则所求概率为：P(A)=2： P(B i )P(A|B i )i z0=C 9C 3+坐 c ； 空 + CC0 01458C 132 C 132 G ； C 132 C 132 C 132•19.设事件A 与B 相互独立，且P(A) = p,P(B) = q .求下列事件的概率: (1) P(A ・B) ；(2) P(A ・B) ;(3) P(A ・B).解: (1) P(AU B ) =P(A)+P(B)-P(AB) =P(A) + P(B)-P(A)P(B) = p + q-pq (2) P(A UB) =P(A) + P(B) -P(A)P(B) = p +(1-q) - p(1-q) =1 -q + pq (3) Pg B) =P(AB) =1 -P(AB) =1 -P(A)P(B) =1 - pq16.设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红球，乙袋中装有 N 只白球，M 只红球.现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少 ？(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少？解：设事件 A :从乙袋取到白球，事件 (1)所求概率为：(2)所求概率为:B :从甲袋取到白球P(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P(A| B)n N +1mN= --------- F --------------- + -------- T ---------------m+n M+N+1 m + n M+N+1P(B|A)=迴P(A) nnN + n + mN "(m + n)(M+N+1)-m + n N +1M+N+1nN + nnN + n + mN17.设8支枪中有3支未经试射校正， 的概率为0.8,而用未校正过的枪射击时， 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率. 解：设事件 A :射击中靶，事件 B :所用的枪是已校正过的5只已经试射校正.一射手用校正的枪射击时，中靶 中靶的概率为0.3 .现假定从8支枪中任取一支进 则 所 求 概 率 为P(卄亍^B)P( B) _ P( _A| P(—A| "B )B) P( B)18.盒子中放有赛后仍放回盒中,解：设事件A :3个来使用，比nN + n +20.甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9,乙击中目标的概率是0.8.甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率.解：设事件A:甲击中目标，事件B:乙击中目标则所求概率为：P(AUB) =P(A)+P(B) -P(A)P(B) =0.9 + 0.8-0.9 0.8 = 0.9821•设每一门高射炮(发射一发)击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射(每炮射一发),若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮？解：事件A :第i门炮击中飞机，1 <i < n，则n nP(U A)=1 -P( JA) =1 -P(p瓦)=1-[P(瓦)]n =1-0.4n >0.99 ”n Alog0.4 0.01 =5.026 所以至少配备6门高射炮。
上海工程技术大学概率论考试卷201420152A练习
一、单项选择题(本题共7小题,每小题3分,共21分,将答案填在下面对应的空格中) 1.设,,A B C 表示三个随机事件,则A 不发生且,B C 中至少有一事件发生为( ). (A) ABC (B) AB C (C) ()A B C (D) A BC2.随机变量X 的分布函数20,0,1(),02,21,2x F x kx x x x ≤⎧⎪⎪=+<<⎨⎪≥⎪⎩,则系数k =( ).3、 把1,2,3,4,5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序所得三位数就是奇数的概率就是( ).(A) 0、6 (B) 0、4 (C) 0、5 (D) 0、3 4.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则2Y X =服从( ). (A) 参数为12的指数分布 (B) 参数为4的指数分布 (C) 参数为1的指数分布 (D) 以上答案对不对5、 设123,,X X X 就是取自总体就是服从正态分布(,1)N μ的样本,则下列μ的无偏估计量中哪个最有效( )、(A)、 1123111236X X X μ=++; (B) 2123124399X X X μ=++;(C) 3123112663X X X μ=++; (D) 4123111333X X X μ=++.6.设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从参数为3的泊松分布,Y 服从区间(0,6)上的均匀分布,则()321D X Y -+= ( )、(A) 39 (B) 4 (C) 40 (D) 15 7、 若X 服从自由度为1的t 分布,则1X服从( )分布、 (A) (1,1)F (B) 2(1)χ (C) (1)t (D) (0,1)N二、填空题(本题共7小题,每空格3分,共24分,将答案填在下面对应的空格中) 1.设事件,A B 相互独立,()0.3,()0.5P A P B ==,则()P B A -= .2.设二维随机变量(,)X Y 的分布律如右表,则()P X Y == 、3.设,X Y 就是直角三角形的两个锐角,则,X Y 的相关系数ρ=XY 、4.设随机变量X 服从参数为5的指数分布,则2()E X = .5、 已知男人中有5%就是色盲患者,女人中有0、25%就是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,发现就是色盲患者的概率就是 ;若已知一个人患色盲,则该色盲患者就是男性的概率为 . 6.设总体X 的分布律为1(),1,2,,,P X k k N N=== 其中N 为未知参数,12,,,n X X X 来自总体的样本,则N 的矩估计量N = 、 7.设1234,,,X X X X 就是来自总体X 的样本,1121122g X X =+,2123111333g X X X =++,3123411114444g X X X X =+++为总体均值μ的无偏估计量,则其中最有效的就是 ..三、(10分)某电子计算机主机有100个终端,每个终端有80%的时间被使用,若各个终端就是否被使用就是相互独立的,试用中心极限定理估算同时被使用的终端数在75到85之间的概率、四、(12分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为3,(,)G(,)40,x y f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他,其中2{(,)|01,}G x y x y x =<<<(1) 求关于X 、Y 的边缘概率密度()X f x 、()Y f y ,并由此判断X 与Y 就是否相互独立?(2) 求()E X ,()E Y ,()E XY ,并由此判断X 与Y 就是否互不相关？五、(10分)设总体X的概率密度为1()0,⎧>=⎩其他x f x (0θ>),求参数θ的极大似然估计.六、(10分)已知某种材料的抗压强度2(,)XN μσ,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469、 (1)求平均抗压强度μ的置信度为95%的置信区间。
上海工程技术大学概率论第一章答案
习题一2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （AB ）。
解： P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )]=1-[0.7-0.3]=0.6。
3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。
解：因为 ABC AB ⊂,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=34。
4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()84P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164P A ==，因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==.6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190P A ⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==． （2）145102!876445C P A ⨯⨯⨯⨯==．7．对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.解：基本事件总数为57，（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7;（2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，所求事件包含样本点的个数为65，故P （A 2）=5567=56()7; （3）设A 3={五个人的生日不都在星期日}，利用对立事件的性质，可得P （A 3）=1-P (A 1)=1-51()7.8．某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率。
2021年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案
2021年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题 1、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是11F (x ) = + — arctan x 2 兀【答案】B2、对于事件人，B,下列命题正确的是F (x ) = 1 + —B ） —(1 - e-x),0,D ）F (x )=Jx f (t )dt-s，其中 -s J+sf (t) dt = 1（A ） 若A ， B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ） 若A ，B 相容，那么X 与B 也相容。
（C ） 若A ， B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ） 若A ， B 相互独立，那么X与B 也相互独立。
【答案】D3、设X , X ，…X 为来自正态总体N （R ,。
2）简单随机样本, 12nX 是样本均值，记S 21-^―£(X - X )2， n -1 ii =1S 2 =1 £(X -X)22n ii =1S 2 = -L- £(X -^)2，3n -1 i i=1S 2 = -£ (X -^)2， 4n i则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是X - RA) t = ------ =^=S /%n -11B) t =S / nn -12C) X — R X — Rt =——D) t = ------------S / nn S 八n【答案】B4、设X ,X ，…,X 是取自总体X 的一个简单样本 12 n 则E （X 2）的矩估计是S 2 = 1—£(X - X)21S 2 =1£ (X - X)22n i(C)S T x 2 （D ）S ； + X 2【答案】D八 八 八5、设6是未知参数0的一个估计量，若E °W °，则6是0的 (A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计【答案】D6、已知X , X ，…,X 是来自总体的样本，则下列是统计量的是()12n1 V_ 1「一(A )X + X +A(B )——乙X 2(C )X + a +10(D )-X + aX +5n — 1 ，3 ii =1【答案】B7、设X 「X 2,…,X n 为来自正态总体N (禺02)的一个样本，若进行假设检验，当 时，一般采用统计量X - Nt~~s~r^【答案】C 8、总体X 〜N (从,o 2), o 2已知，n >时，才能使总体均值目的置信水平为0.95的置信区间长不大于L（A ）15o 2/L 2 （B ）15.3664 o 2/L 2 （C ）16o 2/L 2（D ）16【答案】B统计量的是（ ） （A ） _L （X 2 + X 2 + X 2）（B ） X + 3四o 21 2 31（C ）max （X ,X ,X ）（D ）1（X + X + X ）1233123【答案】A则统计量V = y —服从的分n £X 2ii =n +1布是 ____________（A ）日未知, 日已知，检验o 2= o 2(B)O 2未知，检验日=日o 2已知，检验N =R(D) 09、设5~ N Q,o 2)，其中自已知，o 2未知，X ,X ,X 为其样本，123下列各项不是10、设 X 1,X 2，…X n , X n+1,…,X 是来自正态总体N (0,o 2)的容量为n+m 的样本, n+m【^案】C 二、填空题1、设X , X ，…,X 是来自总体X ~ N （4,02）的简单随机样本，O 2已知，令X = 1-£X ，则统计量121616 ii =14X -16,,、，，一，、，，，，，，—— 服从分布为 （必须写出分布的参数）。
上海工程专业技术大学 概率论作业答案文件
习题一1．设C B A ,,是三个事件,且41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,81)(=AC P ,求C B A ,,中至少有一个发生地概率． 解：()0P AB = ()0P A B C ∴= ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ∴⋃⋃=++---+1111500044488=++---+= 2．设事件B A ,及B A ⋃地概率分别为q p ,及r ,求：)(AB P ,)(B A P ,)(B A P 及)(B A P ．解：()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-⋃=+-()()()P A B P A P A B r q =-=- ()()()P A B P B P A B r p=-=- ()1()1P A BP AB r=-⋃=-3．设31)(=A P ,21)(=B P ,试分别在下列三种情况下求)(B A P )地值： (1) B A ,互不相容； (2)B A ⊂ ；(3) 81)(=AB P ． 解：（１）1()()2P AB P B ==（２）111()()()236P AB P B P A =-=-= （３）113()()()288P AB P B P AB =-=-= 4．盒子中装有同型号地电子元件100个,其中有4个是次品．从盒子中任取4个,求： (1) 4个全是正品地概率；(2) 恰有一个是次品地概率； (3) 至少有两个是次品地概率．解：4964100(2)0.8472C p C == 319644100(2)0.1458C C p C == (3)10.84720.14580.0070p =--= 或 22314496496441000.0071C C C C C p C ++== 5．从45件正品5件次品地产品中任取3件产品,求其中有次品地概率．解：34535010.2760C p C =-=6．从一副扑克牌（52张）中任取4张,求4张牌地花色各不相同地概率．解：4452130.1055p C ==7．某城市地电话号码由８个数字组成,第一位为5或6．求 (1) 随机抽取地一个电话号码为不重复地八位数地概率； (2) 随机抽取地一个电话号码末位数是8地概率．解：7972(1)0.0181210P p ⋅==⋅ 67210(2)0.1210p ⋅==⋅8．房间里有4人,求：(1) 这4人地生日不在同一个月地概率； (2) 至少有2人地生日在同一个月地概率． 解：412(1)10.999412p =-= 4124(2)10.427112A p =-=9．已知41)(=A P ,31)|(=A B P ,21)|(=B A P ,求)(B A P ⋃． 解：1()()(|)12P AB P A P B A ==()1()(|)6P AB P B P A B ==1111()()()()46123P A B P A P B P AB ∴⋃=+-=+-=10．掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点地概率． 解：设Ａ：其中一颗为１点,Ｂ：点数之和为７,则6121(),(),6666618P B P AB ====⋅⋅()1(|)()3P AB P A B P B ∴==或 {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =,则21(|)63P A B == 11．某个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女孩,试问另一个也是女孩地概率是多少?解：其中一个是女孩地样本空间为：{（男,女）,（女,男）,（女,女）}故所求概率为1312．一盒子中装有7只晶体管,其中5只是正品,2只是次品,从中抽取两次,每次任取一只不放回,求：(1) 两次都取得正品地概率； (2) 第一次取得正品,第二次取得次品地概率； (3) 一次取得正品,另一次取得次品地概率； (4) 第二次取得正品地概率． 解：（1）54107621p =⋅= （2）5257621p =⋅= （3）522510767621p =⋅+⋅= （4）5425576767p =⋅+⋅= 13．袋中有红球和白球共100个,其中白球有10个．每次从袋中任取一球不放回,求第三次才取到红球地概率．解：设i A 表示事件“第i 次取到白球”,1,2,3i =则所求概率为：31212131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⋅⋅=14．某人忘记了电话号码地最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拔号不超过三次而拨对所需电话地概率．若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? 解：（1）310p =或 191981310109109810p =+⋅+⋅⋅= （2）35p =15．两台车床加工同样地零件,第一台出现废品地概率为0.03,第二台出现废品地概率为0.02．加工出来地零件放在一起,并且已知第一台加工地零件比第二台加工地零件多一倍,求任意取出地一件产品是合格品地概率．解：设事件A ：取得地产品是合格品,事件i B ：取得地产品由第i 台车床加工,1,2i = 则所求概率为：112221()()(|)()(|)0.970.980.973333P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅=16．设有甲、乙两个口袋,甲袋中装有n 只白球,m 只红球,乙袋中装有N 只白球,M 只红球．现从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任意取一球,问： (1) 取到白球地概率是多少?(2) 若已知取到白球,则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋地概率是多少? 解：设事件A ：从乙袋取到白球,事件B ：从甲袋取到白球 （1）所求概率为：()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+111()(1)n N m N nN n mNm n M N m n M N m n M N +++=⋅+⋅=+++++++++ （2）所求概率为：()(|)()P AB P B A P A =11()(1)n N nN nm n M N nN n mN nN n mN m n M N +⋅++++==+++++++17．设8支枪中有3支未经试射校正,5只已经试射校正．一射手用校正地枪射击时,中靶地概率为0.8,而用未校正过地枪射击时,中靶地概率为0.3．现假定从8支枪中任取一支进行射击,结果中靶,求所用地枪是己校正过地概率．解：设事件A ：射击中靶,事件B ：所用地枪是已校正过地 则所求概率为：()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+50.84080.816353490.80.388⋅===⋅+⋅18．盒子中放有12个乒乓球,其中有9个是新地．第一次比赛时从中任取3个来使用,比赛后仍放回盒中,第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出地球都是新球地概率． 解：设事件A ：第二次取出地球全是新球事件i B ：第一次取出地球当中有i 个新球,0,1,2,3i = 则所求概率为：3()()(|)iii P A P B P A B ==∑0331232133039399389379363333333312121212121212120.1458C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=19．设事件A 与B 相互独立,且q B P p A P ==)(,)(．求下列事件地概率： (1) )(B A P ⋃； (2) )(B A P ⋃； (3) )(B A P ⋃． 解：（1）()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B p q pq =+-=+-=+-（2）()()()()()(1)(1)1P AB P A P B P A P B p q p q q pq =+-=+---=-+（3）()()1()1()()1P A B P AB P AB P A P B pq ⋃==-=-=-20．甲、乙两人独立地向同一目标射击,甲击中目标地概率是0.9,乙击中目标地概率是0.8．甲、乙两人各射击一次,求此目标被击中地概率． 解：设事件A ：甲击中目标,事件B ：乙击中目标 则所求概率为：()()()()()0.90.80.90.80.98P AB P A P B P A P B =+-=+-⋅=21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机地概率为0.6,现若干门炮同时发射（每炮射一发）,若欲以99%地把握击中来犯地一架飞机,问至少需配备几门高射炮? 解： 事件i A ：第i 门炮击中飞机,1i n ≤≤,则111()1()1()1[()]10.40.99nnnn n i i i i i i i P A P A P A P A ====-=-=-=->0.4log 0.01 5.026n ∴>= 所以至少配备6门高射炮.22．如图,三个元件分别记作C B A ,,,且三个元件能否正常工作是相互独立地．设C B A ,,三个元件正常工作地概率分别为0.7,0.8和0.8,求该电路发生故障地概率．BAC解：设事件C B A ,,分别表示元件C B A ,,正常工作则所求概率为：1(1()())()1(10.20.2)0.70.328p P B P C P A =--⋅=--⋅⋅= 或 ()()0.30.70.20.20.328p P A P ABC =+=+⋅⋅=23．一大楼有5个同类型地供水设备,调查表明在任一时刻每个设备被使用地概率为0.1,问在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用地概率； (2) 至少有3个设备被使用地概率． 解：（1）22355(2)(0.1)(0.9)0.0729P C == （2）555(3)(4)(5)p P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=24．某人独立射击10次,每次射击地命中率均为0.6,求： (1) 击中三次地概率；(2) 至少有一次未击中地概率．解：（1）3371010(3)(0.6)(0.4)0.0425p P C === （2）101010101(10)(0.6)(0.4)0.9940p P C =-==习题二1.设随机变量X 地分布律为k ak X P 2}{==, ,2,1=k , (1)确定常数a ；(2)求}3{>X P ．解：（1）由规范性：11k k p ∞==∑得：11211212k k a a a ∞====-∑ 1a ∴=（2）}3{>X P 2311111{1}{2}{3}12228P X P X P X =-=-=-==---=2．设在15只同类型地零件中有2只次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样．以X 表示取出次品地只数,求X 地分布律．解：31331522{0}35C P X C === 2113231512{1}35C C P X C === 121323151{2}35C C P X C ===X ∴地分布律为：3．一射手每次射击地命中率为0.2,试问必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次地概率不小于0.9？解：设X 表示n 次射击中击中地次数,则~(,0.2)X B n{1}1{0}10.80.9n P X P X ≥=-==-≥ 11n ∴≥∴必须进行11次独立射击才能使至少击中一次地概率不小于0.9.4．一批产品中有20％地次品,进行重复抽样检查,共抽取5件样品,计算这5件样品中恰好有3件次品、至多有3件次品地概率．解：设X 表示5件样品中次品地件数,则~(5,0.2)X B则恰好有3件次品地概率为：3325{3}(0.2)0.80.0512P X C ==⋅⋅= 至多有3件次品地概率为：{3}1{4}{5}P X P X P X ≤=-=-=441550551(0.2)0.8(0.2)0.80.9933C C =-⋅⋅-⋅⋅=5．某高速公路每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天地某段时间内出事故地概率为0.0001,在某天地该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故地次数不小于2地概率是多少？（利用泊松定理计算）解：10000.00010.1np λ==⨯={2}1{0}{1}P X P X P X ≥=-=-=001000119991000100010.00010.99990.00010.9999C C =-⋅⋅-⋅⋅010.10.10.10.110.00470!1!e e --≈--=6．某电话交换台每分钟地呼唤次数服从参数为4地泊松分布,求： (1) 每分钟恰有8次呼唤地概率；(2) 每分钟地呼唤次数超过10次地概率．解：844(1){8}0.02988!P X e -===4114(2){10}0.002840!k k P X e k ∞-=>==∑7．设随机变量X 地分布律为412141211kp X-．求X 地分布函数．解：011114()312412x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩8．一口袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5．从袋中同时取3只,以X 表示取出地三只球中地最大号码,求随机变量X 地分布律和分布函数, 解：X 地可能取值为3,4,5351{3}0.1P X C ===,2335{4}0.3C P X C ===,2435{5}0.6C P X C ===∴X 地分布律为：3450.10.30.6k X P ∴X 地分布函数为：030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩9．设随机变量X 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,2,cos )(其它πx x k x f 求：(1) 系数k ；(2)X 地分布函数)(x F ；(3) {}π<<X P 0；解：222002(1)cos 2cos 2sin 21k xdx k xdx k x k ππππ-====⎰⎰ 12k ∴=（2）当22x ππ≤≤-时,211()cos (sin 1)22xF x tdt x π-==+⎰∴ X 地分布函数为：021()(sin 1)22212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩11(3){0}()(0)122P x F F ππ<<=-=-=10．设连续型随机变量X 地分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,0,0)(2x x kx x x F 求：(1) 系数k ；(2) {}3.13.0≤≤X P ；(3) 概率密度)(x f ．解：2111(1)lim ()lim lim ()1x x x F x kx k F x --+→→→==== 1k ∴= 2(2){0.3 1.3}(1.3)(0.3)10.30.91P x F F <<=-=-=201(3)()0x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他11．设K 在)6,1(上服从均匀分布,求方程012=++Kx x 有实根地概率． 解：方程有实根,即240,22k k or k ∆=-≥≥≤-∴所求地概率为：624{2}{2}0615p P k P k -=≥+≤-=+=- 12．设某种电子元件地使用寿命X （以小时计）地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.100,0,100,100)(2x x x x f某仪器内装有3个这样地电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立）,试求：(1) 使用地最初150小时内没有一个电子元件损坏地概率； (2) 这段时间内只有一个电子元件损坏地概率．解：最初150小时内一个电子元件损坏地概率为：15021001001{150}3P X dx x <==⎰设Y ：最初150小时内电子元件损坏地个数,则1(3,)3YB故0303128(1){0}3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213124(2){1}339P Y C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．设随机变量X 在)5,2(上服从均匀分布．现对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3地概率． 解：532{3}523P X ->==- 设Y ：三次观测中观测值大于3地次数,则2(3,)3YB故所求概率为：23233321220{2}33327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．设)16,1(~-N X ,试求：(1) {}5.1->X P ；(2) {}4<X P ；(3) {}11>-X P ． 解： 1.51(1){ 1.5}1()1(1(0.125))0.54984P X -+>-=-Φ=--Φ= (2){4}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X <=Φ-Φ-=Φ+Φ-= (3){11}{20}1(0.75)(0.25)0.8253P X P X or X ->=><=-Φ+Φ=15．某产品地质量指标),160(~2σN X ,若要求{}8.0200120≥<<X P ,允许σ最大为多少？解：404040{120200}()()2()10.8P X σσσ<<=Φ-Φ-=Φ-≥40()0.9σ∴Φ≥401.28(1.29),31.25(31.01)σσ≥≤16．测量至某一目标地距离时发生地随机误差X （M ）地概率密度为3200)20(22401)(--=x ex f π, )(+∞<<-∞x求在三次测量中至少有一次误差地绝对值不超过30M 地概率． 解：2(20,40)XN一次测量误差地绝对值不超过30M 地概率为：{30}(0.25)(1.25)0.4931P X <=Φ-Φ-=设Y ：在三次测量中误差地绝对值不超过30M 地次数,则(3,0.4931)YB所求概率为：3{1}1{0}1(10.4931)0.8698P Y P Y ≥=-==--=17．设随机变量X 地分布律为试求：(1) X Y 21-=；(2) 22X Y =地分布律．解：（（2）18．设随机变量)1,0(~N X ,求：(1) X Y arctan =地概率密度； (2) X Y =地概率密度．解：Ｘ地概率密度为：22()()x X f x x -=-∞<<+∞ （１）()arctan ,y g x x == 210,1y x '=>+ 且()tan ,x h y y == ()tan ,h y y '= (),()22g g ππ-∞=-+∞=故由定理可得,X Y arctan =地概率密度为：2tan 22sec ()220y Y y y f y ππ-⎧⋅-<<=⎩其他（２）Ｙ地分布函数为：2222020(){}00x x y y yY dx dx y F y P X y y ---⎧=>⎪=≤=⎨⎪≤⎩⎰⎰∴Ｙ地概率密度为：220()()00yY Y y f y F y y -⎧>'==≤⎩19．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布,求： (1) Xe Y =地概率密度； (2) X Y ln 2-=地概率密度．解：Ｘ地概率密度为：101()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他(1)(),x y g x e == 0,x y e '=>且()ln ,x h y y == 1(),h y y'=(0)1,(1)g g e == 故由定理可得,Xe Y =地概率密度为：11()0Y y e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(2)()2ln ,y g x x ==-20,y x'=-<且2(),y x h y e -==21(),2y h y e -'=-(0),(1)0g g =+∞=故由定理可得,X Y ln 2-=地概率密度为：210()200yY ey f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩习题三1． 一口袋中装有四个球,它们依次标有数字1,2,2,3．从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球,设每次取球时袋中每个球被取到地可能性相同．以Y X ,分别表示第一、二次取得地球上标有地数字,试写出随机变量X 和Y 地联合分布律． 解：2．设随机变量),(Y X 地概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=,,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f (1) 确定常数k ； (2) 求}3,1{<<Y X P ；(3) 求}5.1{<X P ；(4) 求}4{≤+Y X P ． 解：(1)2422(,)(6)(62)81f x y dxdy dx k x y dy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰ 18k ∴=(2)1310201173{1,3}(6)()8828P X Y dx x y dy x dx <<=--=-=⎰⎰⎰ (3) 1.541.50201127{ 1.5}(6)(62)8832P X dx x y dy x dx <=--=-=⎰⎰⎰ (4) 24220201112{4}(6)(46)8823xP X Y dx x y dy x x dx -+≤=--=-+=⎰⎰⎰ 3．设二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-,,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x(1) 求分布函数),(y x F ； (2) 求概率}{X Y P ≤．解：(1)(,)(,)y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰当0,0x y >>时,(2)220(,)22(1)(1)y xx yu v u v x y F x y e dudv e du e dv e e -+----===--⎰⎰⎰⎰当,x y 取其他值时,(,)0F x y =2(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --⎧-->>∴=⎨⎩其他(2) (2)2002{}2(1)3xx y x x P Y X dx edy e e dx +∞+∞-+--≤==-=⎰⎰⎰4．求第1题中随机变量),(Y X 地边缘分布律． 解：5. 设随机变量),(Y X 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103),(2y x xy x y x f ,求关于X和关于Y 地边缘概率密度. 解：2222()201()(,)330X xy x dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧+=+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 1201()02()(,)3360Y xyy x dx y f y f x y dx +∞-∞⎧+=+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他6．设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧<<=-,,0,0,),(其它y x e y x f y求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ． 解：0()(,)00y x x X e dy ex f x f x y dy x +∞--+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰00()(,)00yy y Y e dx yey f y f x y dx y --+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰7．设随机变量X 和Y 地联合分布律为试问：当βα,取何值时,X 与Y 相互独立？ 解：Ｘ与Ｙ相互独立,则有2121P P P ⋅⋅=⋅ 即111()993α=+⋅ 29α∴= 3131P P P ⋅⋅=⋅ 即111()18183β=+⋅ 19β∴=8．设随机变量),(Y X 在区域G 上服从均匀分布,其中G 由直线2,,=-==y x y x y 所围成． (1) 求X 与Y 地联合概率密度；(2) 求Y X 、地边缘概率密度； (3) 问X 与Y 相互独立吗？为什么？ 解：(1)Ｇ地面积14242A =⋅⋅= ∴X 与Y 地联合概率密度为：1||,02(,)40x y y f x y ⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(2) 2||11(2||)||2()(,)440x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他1102()(,)420y y Y dx y y f y f x y dx +∞--∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 (3) 不是相互独立地.因为不恒成立(,)()()X Y f x y f x f y =9．设X 和Y 是两个相互独立地随机变量,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,21)(2y y e y f yY(1) 求),(Y X 地概率密度),(y x f ；(2) 设含有t 地二次方程为022=++Y Xt t ,求t 有实根地概率． 解：(1) 101()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他X 与Ｙ相互独立,2101,0(,)()()20yX Y ex y f x y f x f y -⎧<<>⎪∴==⎨⎪⎩其他(2) 方程有实根,2(2)40X Y ∆=-≥即 2X Y ≥∴所求概率为：2211222001{}(,)(1)2y xx DP X Y f x y dxdy dx e dy e dx --≥===-⎰⎰⎰⎰⎰21211(1)(0))0.1445x dx -==Φ-Φ=10．设X 和Y 是两个相互独立地随机变量,其分布律分别为试分别求Y X Z +=1和),m ax (2Y X Z =地分布律．1Z X Y ∴=+地分布律为：2max(,)Z X Y =地分布律为11．设X 和Y 是两个相互独立地随机变量,X 在)2.0,0(上服从均匀分布,Y 地概率密度是⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y试求Y X Z+=地概率密度．解：500.2()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他()()()Z X Y X Y f z f f f x f z x dx+∞-∞∴=*=-⎰5()500.25()500,0,1555(1),0,51555(1),.5zz x z z x zz e dx e z e dx e e z ------⎧⎪≤⎪⎪=⋅=-<<⎨⎪⎪⋅=-≥⎪⎩⎰⎰12．设随机变量X 和Y 相互独立,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 在)2,0(上服从均匀分布,求),m ax (1Y X Z =和),m in(2Y X Z =地概率密度． 解：00()0111X x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩ 00()02212Y y y F y y y <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩2max 00012()()()12212X Y z z z F z F z F z z z z <⎧⎪⎪≤<⎪∴=⋅=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩m a x m a x 011()()1220z z f z F z z ≤<⎧⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎩其它2min 0031()1[1()][1()]1(1)(1)0122211X Y z z F z F z F z z z z z z <⎧⎪⎪∴=--⋅-=---=-≤<⎨⎪≥⎪⎩min min 3,01,()()20,z z f z F z ⎧-≤<⎪'==⎨⎪⎩其它．习题四1．设随机变量X 地分布律为41121616131212101kp X -,求)(),1(),(2X E X E X E +-．解：1111111()(1)01236261243E X =-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 1111112(1)210(1)36261243E X -+=⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅= 211111135()1014364612424E X =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=2．一口袋中共有8只球,其中5只白球,2只红球和1只黑球．从中随机地取出3只球,以X 表示这三只球中所含红球数,试求)(X E ．51533()0121428284E X ∴=⋅+⋅+⋅= 3．设随机变量X 地概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其它，,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(),(2X E X E ．解：121()()(2)1E X xf x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-=⎰⎰⎰122222017()()(2)6E X x f x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-=⎰⎰⎰4．某车间生产地圆盘其直径在区间),(b a 内服从均匀分布,试求圆盘面积地数学期望．解：圆盘直径地概率密度为：1()0a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他∴圆盘面积地数学期望为：22221()()()()2412b a x E S f x dx x dx a ab b b a πππ+∞-∞=⋅=⋅=++-⎰⎰5．设随机变量X 地概率密度为⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(x x e x f x求（1）X Y 21=,（2）Xe Y 22-=地数学期望．解：10()2()22(1)2x x E Y xf x dx x e dx x e+∞+∞+∞---∞==⋅=-+=⎰⎰2232011()()33xxxx E Y ef x dx ee dx e +∞+∞+∞-----∞==⋅=-=⎰⎰6．设二维随机变量),(Y X 地概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其它x y y y x f求)(),(22Y X E XY E +．解：112501()(,)1232xE XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx +∞+∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰1122222225003216()()(,)()12515xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy x dx +∞+∞-∞-∞+=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰7．设随机变量21,X X 相互独立,它们地概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2)(1其它x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--,5,0,5,)(52x x ex f x ）（ 求)(21X X E ． 解：11102()()23E X xf x dx x xdx +∞-∞==⋅=⎰⎰ (5)(5)2255()()(1)6x x E X xf x dx x e dx x e +∞+∞+∞-----∞==⋅=-+=⎰⎰12122()()()643E X X E X E X ∴==⋅=8．计算第1题,第3题中随机变量X 地方差及规范差．解：第１题方差：22235197()()[()]24372D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭规范差：()X σ==第３题方差：22271()()[()]166D XE X E X =-=-=规范差：()X σ==9．设随机变量X 服从参数为2地泊松分布,23-=X Z ,求)(),(Z D Z E ． 解：()2,()2E X D X ==()(32)3()24E Z E X E X ∴=-=-=2()(32)3()18D Z D X D X =-==10．设随机变量X 与Y 相互独立,且4)(,2)(,1)()(====Y D X D Y E X E ,求2)(Y X E +．解：()()()2,E X Y E X E Y +=+= ()()()D X Y D X D Y +=+=22()()[()]10E X Y D X Y E X Y ∴+=+++=11．设随机变量X 与Y 相互独立,且)30,720(~2N X ,)25,640(~2N Y ．设ZX Y =-,求Z 地概率分布,并求概率}{Y X P >． 解：()()()80,()()()1525E X Y E X E Y D X Y D X D Y -=-=-=+=~(80,1525)Z N ∴{}{0}{0}1(2.05)0.9798P X Y P X Y P Z ∴>=->=>=-Φ=Φ= 12．试证明：如果X 与Y 相互独立,则有[][])()()()()()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=．解：等式右边22()()[()]()D Y E X E Y D X =+222222{()[()]}()[()]{()[()]}E Y E Y E X E Y E X E X =-+-2222()[()][()]()E X Y E X E Y D XY =-=＝等式左边13．已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞平均数是7300,均方差是700．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间地概率p ．解：设Ｘ：每毫升血液中含白细胞数所求概率{52009400}{210073002100}p P X P X =<<=-<-<227008{|7300|2100}121009P X -<≥-=14．设随机变量Z 地分布律为：且设Z Y Z X cos ,sin ==,实验证X 和Y 是不相关地,但X 和Y 不是相互独立地．,()0,()0.4,()E X E Y E XY ===)()()()E X Y E XE Y =-=0XY ρ∴==X ∴和Y 不相关另一方面：X 和Y显然{1,0}P X Y P =-=≠ 15．设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ,试求)(Y X D +以及)(Y X D -． 解：()()()2cov(,)()()2D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ+=++=++ 253620.485=++⋅=()()()2c o v (D X Y D X D Y X Y-=+-= 16．设二维随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布,其中}0,10|),{(x y x y x G <<<<=,试求相关系数XY ρ．解：⎩⎨⎧<<<<=其他00,102),(xy x y x f322)(010==⎰⎰x xdy dx X E 312)(010==⎰⎰x y d y dx Y E 412)(010==⎰⎰x x y d y dx XY E212)(02102==⎰⎰x dy x dx X E 612)(02102==⎰⎰x dy y dx Y E361313241)()()(),cov(=⋅-=-=∴Y E X E XY E Y X1813221)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D 1813161)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D21)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ17．试证：)()(),(Y D X D Y X Y X Cov -=-+．证：),cov(),cov(),cov(Y X Y Y X X Y X Y X -+-=-+ )()(),cov(),cov(),cov(),cov(Y D X D Y Y X Y Y X X X -=-+-=习题五1．根据以往地经验,某种电器元件地寿命服从均值为100小时地指数分布．现随机取16只,设它们地寿命是相互独立地,求这16只元件地寿命地总和大于1920小时地概率． 解：（1）设第i 个元件地寿命为16,,2,1, =i X i ,则2100)(,100)(==i i X D X E由中心极限定理得：)1,0(~40016001001610016161161N XXi ii i近似-=⋅⋅-∑∑==}8.04001600{}1920{161161≥-=≥∴∑∑==i ii i XP X P 2119.07881.01)8.0(1=-=Φ-≈2．某银行地统计资料表明,每个定期存款储户地存款地平均数为5000元,均方差为500元, (1)任意抽取100个储户,问每户平均存款超过5100元地概率为多少？(2) 至少要抽取多少储户,才能以%90以上地概率保证,使每户平均存款数超过4950元．解：（1）设第i 户储户地存款为,1,2,,100i X i =,则2()5000,()500i i E X D X ==1001005000~(0,1)iXN -⋅∑近似100100115000001{5100}{2}1005000i i i i X P X P ==-∴≥=≥∑∑1(2)10.97720.0228≈-Φ=-= （2）100100115000001{4950}{5000ii i i XP X P n ==-∴≥=≥∑∑1(0.9≈-Φ-=Φ>查表得： 1.282> 164.4n ∴> ∴ 至少要抽取165户储户,才能以%90以上地概率保证,使每户平均存款数超过4950元．3．有一批建筑房屋用地木柱,其中80%地长度不小于3M ．现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3M 地概率是多少？ 解：设短于3M 地根数为X ,则)2.0,100(~B X ,则168.02.0100)(,202.0100)(=⋅⋅==⋅=X D X E由中心极限定理得：)1,0(~4201620N X X 近似-=-0062.09938.01)5.2(1}5.2420{}42030420{}30{=-=Φ-≈≥-=-≥-=≥∴X P X P X P 4．设某电视台某项电视节目地收视率为%32,现任意采访500户城乡居民,问其中有170~150户收视该项节目地概率为多少？解：设收视该项节目地户数为X ,则)32.0,500(~B X ,则8.10868.032.0500)(,16032.0500)(=⋅⋅==⋅=X D X E由中心极限定理得：)1,0(~8.108160N X 近似-6630.018315.021)96.0(2}96.08.10816096.0{}170150{=-⋅=-Φ≈≤-≤-=≤≤∴X P X P5．设有1000台纺纱机彼此独立地工作,每台纺纱机在任意时刻都可能发生棉纱断头（其概率为02.0）,因而需要工人去及时接头．问至少应配备多少工人,才能以%95地概率保证,当纺纱机发生断头时有工人及时地去接头．解：设发生棉纱断头地纺纱机为X 台,则)02.0,1000(~B X ,则6.1998.002.01000)(,2002.01000)(=⋅⋅==⋅=X D X E由中心极限定理得：)1,0(~6.1920N X 近似- 设应该配备n 个人,则95.0)6.1920(}6.19206.1920{}{≥-Φ≈-≤-=≤∴n n X P n X P查表得：65.16.1920≥-n ,即3.27≥n∴至少配备28个工人,才能以%95地概率保证,当纺纱机发生断头时有工人及时地去接头．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
概率论与数理统计复习题--上海工程技术大学
25． 设随机变量 X 与Y 相互独立， X ~ N ( 1 , 9 ) ， 且
Y ~ N ( 2 , 4 ) ，若 Z X Y
，则有（
） ．
(A) Z ~ N ( 1 ,13 ) (C) Z ~ N ( 3 , 36 )
(B) Z ~ N ( 1 , 5 ) (D) Z ~ N ( 3 ,13 )
26．设 E ( X ) , D ( X )
P { X 4 }
2
，试用切比雪夫不 ．
等式估计，可以得到概率
27．根据以往的经验，某种电器元件的寿命服 从均值为 100 小时的指数分布． 现随机取 16 只， 设它们的寿命是相互独立的， 求这 16 只元件的 寿命的总和大于 1920 小时的概率．
；
____
20．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X，Y 的分布律分别为 X P 0
1 4
1
3 4
Y P
1
2 5
2
3 5
（1）求二维随机变量（X，Y）的分布律； （2）求 P{X+Y=2}.
21．设随机变量 X 服从[0,1]上的均匀分布， Y 服从参数 ＝ 2 的指数分布，且 X 与 Y 相 互独立，则 D ( 3 X Y 1 ) ．
n
1
n
Xi，
i 1
则 E(X ) （
） D(X ) （ ，
） ．
32．设总体 X 服从(0-1)分布，即 X0 1 P 1-p p ,0<p<1, 求 p 的矩估计和极大似然估计. ．
33. 设总体X的概率密度为
（θ 1）x f ( x, θ ) 0
θ
0 x1 其它
(完整word版)《概率论与数理统计》复习题答案
上海第二工业大学《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是 独立 。
2．已知,A B 互相对立，则A B 与的关系是 互相对立 。
3.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。
4. 已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ⋃= 0.7 。
5.B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，()0.5P A B =，则()P B A =__23__。
6．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。
7. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。
8. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___61___。
9. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。
10．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。
11．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=_0.4_。
12.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。
13．随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ，则()3P X π<=。
14. 随机变量)1,04.1(~N X ，975.0)3(=≤X P ，=-≤)92.0(X P __0.025 。
上海应用技术学院 SIT 概率论与数理统计期终练习卷及参考答案
2 (2)
X1
X2
2
X3
2
2
~ t(2)
2(X1 )
~ t(2)
(X2 )2 (X3 )2
第5页
解：似然函数为： L 2 xi 1 i 1
ln L n ln 2
n
1 ln xi
i 1
-
令 d ln L n
d 2
1 2
n
ln xi
i 1
0
解得 的极大似然估计量为：
ˆ n2
n i 1
ln
2(X1 ) (X2 )2 (X3 )2
服从自由度为 2 的 t 分布。
解：
Xi
~
N ( ,
2 ) ，则
Xi
~
N (0,1) ， i
1,2,3 ，
X1
~
N (0,1) ，
X2
2
X 3 2
~
8 48
同理， EY 1 3 0 1 1 3 0
8 48
EXY 1 1 0 1 1 1 0
4 24
所以， covX , Y EXY EX EY 0 ，这表明随机变量 X 与Y 不相关．
第3页
但是， PX 0, Y 0 0 PX 0PY 0 1 1
X 服从__________分布， X 服从___________分布。 tn 1 ， N 0,1
Sn
n
8、设 ˆ1和ˆ2 为未知参数 的两个无偏估计，且满足__________，则称 ˆ1比ˆ2 更有效。
上海工程技术大学 概率论作业答案
习题一1．设C B A ,,是三个事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，求C B A ,,中至少有一个发生的概率． 解：()0P AB =Q ()0P ABC ∴=()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ∴⋃⋃=++---+1111500044488=++---+= 2．设事件B A ,及B A ⋃的概率分别为q p ,及r ，求：)(AB P ，)(B A P ，)(B A P 及)(B A P ． 解：()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-⋃=+- ()()()P AB P A P AB r q =-=- ()()()P AB P B P AB r p =-=- ()1()1P AB P A B r =-⋃=- 3．设31)(=A P ，21)(=B P ，试分别在下列三种情况下求)(B A P )的值： (1) B A ,互不相容； (2) B A ⊂； (3) 81)(=AB P ． 解：（１）1()()2P AB P B ==（２）111()()()236P AB P B P A =-=-= （３）113()()()288P AB P B P AB =-=-=4．盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品．从盒子中任取4个，求： (1) 4个全是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率； (3) 至少有两个是次品的概率．解：4964100(2)0.8472C p C == 319644100(2)0.1458C C p C == (3)10.84720.14580.0070p =--=或22314496496441000.0071C C C C C p C ++==5．从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率．解：34535010.2760C p C =-=6．从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率．解：4452130.1055p C ==7．某城市的电话号码由８个数字组成，第一位为5或6．求 (1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率； (2) 随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率．解：7972(1)0.0181210P p ⋅==⋅ 67210(2)0.1210p ⋅==⋅8．房间里有4人，求：(1) 这4人的生日不在同一个月的概率； (2) 至少有2人的生日在同一个月的概率． 解：412(1)10.999412p =-= 4124(2)10.427112A p =-=9．已知41)(=A P ，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ，求)(B A P ⋃． 解：1()()(|)12P AB P A P B A ==()1()(|)6P AB P B P A B == 1111()()()()46123P A B P A P B P AB ∴⋃=+-=+-=10．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率． 解：设Ａ：其中一颗为１点，Ｂ：点数之和为７，则6121(),(),6666618P B P AB ====⋅⋅()1(|)()3P AB P A B P B ∴== 或{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =，则21(|)63P A B ==11．某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：其中一个是女孩的样本空间为：{（男，女），（女，男），（女，女）}故所求概率为1312．一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率； (2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率； (3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率； (4) 第二次取得正品的概率．解：（1）54107621p =⋅= （2）5257621p =⋅=（3）522510767621p =⋅+⋅=（4）5425576767p =⋅+⋅=13．袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个．每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率．解：设i A 表示事件“第i 次取到白球”，1,2,3i =则所求概率为：31212131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⋅⋅=14．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少? 解：（1）310p =或191981310109109810p =+⋅+⋅⋅= （2）35p =15．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的一件产品是合格品的概率．解：设事件A ：取得的产品是合格品，事件i B ：取得的产品由第i 台车床加工，1,2i = 则所求概率为：112221()()(|)()(|)0.970.980.973333P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅=16．设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红球，乙袋中装有N 只白球，M 只红球．现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少?(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少? 解：设事件A ：从乙袋取到白球，事件B ：从甲袋取到白球 （1）所求概率为：()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+111()(1)n N m N nN n mNm n M N m n M N m n M N +++=⋅+⋅=+++++++++ （2）所求概率为：()(|)()P AB P B A P A =11()(1)n N nN nm n M N nN n mN nN n mN m n M N +⋅++++==+++++++17．设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3．现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率．解：设事件A ：射击中靶，事件B ：所用的枪是已校正过的 则所求概率为：()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+50.84080.816353490.80.388⋅===⋅+⋅18．盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率． 解：设事件A ：第二次取出的球全是新球事件i B ：第一次取出的球当中有i 个新球，0,1,2,3i = 则所求概率为：3()()(|)iii P A P B P A B ==∑0331232133039399389379363333333312121212121212120.1458C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=19．设事件A 与B 相互独立，且q B P p A P ==)(,)(．求下列事件的概率： (1) )(B A P ⋃； (2) )(B A P ⋃； (3) )(B A P ⋃．解：（1）()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B p q pq =+-=+-=+-U （2）()()()()()(1)(1)1P A B P A P B P A P B p q p q q pq =+-=+---=-+U （3）()()1()1()()1P A B P AB P AB P A P B pq ⋃==-=-=-20．甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8．甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率． 解：设事件A ：甲击中目标，事件B ：乙击中目标则所求概率为：()()()()()0.90.80.90.80.98P A B P A P B P A P B =+-=+-⋅=U 21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一发），若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮? 解：事件i A ：第i 门炮击中飞机，1i n ≤≤，则111()1()1()1[()]10.40.99n n nn n i i i i i i i P A P A P A P A ====-=-=-=->U U I0.4log 0.01 5.026n ∴>=所以至少配备6门高射炮。
上海工程技术大学答案——概率论与数理统计复习1
复习题简答： 第一章1、 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）B,C 都发生，而A 不发生； （2）A,B,C 中至少有一个发生； （3）A,B,C 中恰有一个发生； （4）A,B,C 中恰有两个发生； （5）A,B,C 中不多于一个发生； （6）A,B,C 中不多于两个发生。
解:（1）BC A （2）C B A ⋃⋃（3）C B A C B A C B A ⋃⋃ （4）C B A BC A C AB ⋃⋃ （5）C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃ （6）ABC2、 把1，2，3，4，5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。
问：（1） 所得三位数是偶数的概率是多少？（2） 所得三位数不小于200的概率是多少？解：（1）5222524=A A （2） 5442524=A A 3、 甲乙丙三人去住三间房子。
求：（1） 每间恰有一个的概率； （2） 空一间的概率。
解: （1）923333=A（2） 1213323233C C C =4、 设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正。
一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今假定从8支枪中任取一支进行射击，求： （1） 中靶的概率；（2） 若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。
解: A ：中靶。
B ：已知中靶，所用这支枪是已校正过的。
80493.0838.085)(=⨯+⨯=A P 49403.0838.0858.085)(=⨯+⨯⨯=A B P5、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有2只白球1只黑球，乙盒内有1只白球5只黑球。
求从甲盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。
解: A ：从乙盒取出一球得白球。
B ：从甲盒中任取一白球放入乙盒。
22115()()(|)()P(A |B)373721P A P B P A B P B =+=⨯+⨯=6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%，35%，20%。
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1·习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
（完整版）概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）
（完整版）概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题⼀1.设A，B，C为三个事件，⽤A，B，C的运算式表⽰下列事件：（1）A发⽣⽽B与C都不发⽣；（2）A，B，C⾄少有⼀个事件发⽣；（3）A，B，C⾄少有两个事件发⽣；（4）A，B，C恰好有两个事件发⽣；（5）A，B⾄少有⼀个发⽣⽽C不发⽣；（6）A，B，C都不发⽣.解：（1）A CB或A-B-C或A-（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C）∪（AC B）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6）CY或CBA IA.B2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?；（2）AB+A B +A B+A B AB-= AB；（3）A-(B+C)=(A-B)-C.证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A发⽣但B不发⽣的概率；（2）A，B都不发⽣的概率；（3）⾄少有⼀个事件不发⽣的概率.解（1）P（A B）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2) P(B A)=P(BA )=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；(3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）⾄少购买⼀种电器的；（2）⾄多购买⼀种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书，⼀套3本，另⼀套4本。
概率论与数理统计试题和答案上海大学
概率论与数理统计试题和答案上海大学概率论与数理统计试题和答案上海大学上海大学2022～2022学年冬季学期试卷（A卷）课程名: 概率论与数理统计A 课程号：。
应试人应试人学号应试人所在院系一．是非题（每小题2分，5题共10分）B互不相容，若A不发生，那么B一定发生。
（）2、事件AB表示事件“A与B都没有发生”。
（）3、设和S2分别是总体X~N( , 2)的样本均值和样本方差，样本容量是n，和2是未知参数，但U （）仍是一个统计量。
4、如果X是一个连续型的随机变量，那么P(X x) 0。
（）5、如果X~ 2(n)，Y~ 2(m)，则一定有结论：F（）X/n~F(n,m)。
Y/m二．填空题（每空3分，共15分）和B的概率分别为P(A) 0.7和P(B) 0.5，且这两个事件独立，那么，P(B A) 。
7、设随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，则随机变量Y eX的数学期望EY DY 。
8、把5只球随机放入三个盒中，则每个盒子中至少有一球的概率为。
9、设X1,9,X10是来自总体X~N( , 2)的简单样本，当常数c 统计量c (Xi 1 Xi)2为参数2的无偏估计。
i 1三．选择题（每小题2分，5题共10分）概率论与数理统计试题和答案上海大学10、随机事件A和B的概率为P(A) 0.6，P(B) 0.4，则正确的是。
(A) A B；(B) A与B互不相容；(C) P(AB) 0；(D)上述结论不一定成立。
11、设随机变量X和Y服从指数分布，且相互独立，则下列分布一定服从指数分布的是。
(A) Z X Y；(B) Z min{X,Y}；(C) Z max{X,Y}；(D)Z XY。
12、设总体X~N( 1, 2)，总体Y~N( 2, 2)，且相互独立，X1,分别是它们的简单样本，那么不正确的是。
(A),Xn1和Y1,,Yn2~t(n1 n2 1)；(B)~t(n1 1)；~t(n2 1)。
~t(n1 n2 2)；(D)13、如果总体X服从正态分布N( , 2)，其中，已知，2未知，X1，X2，X3是取自总体的一个样本，那么是统计量的是。
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习题一1．设C B A ,,是三个事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，求C B A ,,中至少有一个发生的概率． 解：()0P AB =()0P ABC ∴=()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ∴⋃⋃=++---+1111500044488=++---+= 2．设事件B A ,及B A ⋃的概率分别为q p ,及r ，求：)(AB P ，)(B A P ，)(B A P 及)(B A P ． 解：()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-⋃=+-()()()P AB P A P AB r q =-=- ()()()P AB P B P AB r p =-=- ()1()1P AB P A B r =-⋃=-3．设31)(=A P ，21)(=B P ，试分别在下列三种情况下求)(B A P )的值： (1) B A ,互不相容； (2) B A ⊂； (3) 81)(=AB P ． 解：（１）1()()2P AB P B ==（２）111()()()236P AB P B P A =-=-= （３）113()()()288P AB P B P AB =-=-=4．盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品．从盒子中任取4个，求： (1) 4个全是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率； (3) 至少有两个是次品的概率．解：4964100(2)0.8472C p C ==319644100(2)0.1458C C p C == (3)10.84720.14580.0070p =--=或22314496496441000.0071C C C C C p C ++==5．从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率．解：34535010.2760C p C =-=6．从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率．解：4452130.1055p C ==7．某城市的电话号码由８个数字组成，第一位为5或6．求 (1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率； (2) 随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率．解：7972(1)0.0181210P p ⋅==⋅ 67210(2)0.1210p ⋅==⋅8．房间里有4人，求：(1) 这4人的生日不在同一个月的概率； (2) 至少有2人的生日在同一个月的概率． 解：412(1)10.999412p =-= 4124(2)10.427112A p =-=9．已知41)(=A P ，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ，求)(B A P ⋃． 解：1()()(|)12P AB P A P B A ==()1()(|)6P AB P B P A B == 1111()()()()46123P A B P A P B P AB ∴⋃=+-=+-=10．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率． 解：设Ａ：其中一颗为１点，Ｂ：点数之和为７，则6121(),(),6666618P B P AB ====⋅⋅()1(|)()3P AB P A B P B ∴== 或{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =，则21(|)63P A B ==11．某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：其中一个是女孩的样本空间为：{（男，女），（女，男），（女，女）}故所求概率为1312．一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率；(2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率； (3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率； (4) 第二次取得正品的概率．解：（1）54107621p =⋅= （2）5257621p =⋅=（3）522510767621p =⋅+⋅=（4）5425576767p =⋅+⋅=13．袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个．每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率．解：设i A 表示事件“第i 次取到白球”，1,2,3i =则所求概率为：31212131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⋅⋅=14．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少? 解：（1）310p =或191981310109109810p =+⋅+⋅⋅= （2）35p =15．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的一件产品是合格品的概率．解：设事件A ：取得的产品是合格品，事件i B ：取得的产品由第i 台车床加工，1,2i = 则所求概率为：112221()()(|)()(|)0.970.980.973333P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅=16．设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红球，乙袋中装有N 只白球，M 只红球．现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少?(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少? 解：设事件A ：从乙袋取到白球，事件B ：从甲袋取到白球 （1）所求概率为：()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+111()(1)n N m N nN n mNm n M N m n M N m n M N +++=⋅+⋅=+++++++++ （2）所求概率为：()(|)()P AB P B A P A =11()(1)n N nN nm n M N nN n mN nN n mN m n M N +⋅++++==+++++++17．设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3．现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率．解：设事件A ：射击中靶，事件B ：所用的枪是已校正过的 则所求概率为：()(|)(|)()(|)()P B P A B P B A P B P A B P B =+50.84080.816353490.80.388⋅===⋅+⋅18．盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率． 解：设事件A ：第二次取出的球全是新球事件i B ：第一次取出的球当中有i 个新球，0,1,2,3i = 则所求概率为：3()()(|)iii P A P B P A B ==∑0331232133039399389379363333333312121212121212120.1458C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=19．设事件A 与B 相互独立，且q B P p A P ==)(,)(．求下列事件的概率： (1) )(B A P ⋃； (2) )(B A P ⋃；(3) )(B A P ⋃． 解：（1）()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B p q pq =+-=+-=+-（2）()()()()()(1)(1)1P AB P A P B P A P B p q p q q pq =+-=+---=-+（3）()()1()1()()1P A B P AB P AB P A P B pq ⋃==-=-=-20．甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8．甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率．解：设事件A ：甲击中目标，事件B ：乙击中目标 则所求概率为：()()()()()0.90.80.90.80.98P AB P A P B P A P B =+-=+-⋅=21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一发），若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮? 解：事件i A ：第i 门炮击中飞机，1i n ≤≤，则111()1()1()1[()]10.40.99nnnn n i i i i i i i P A P A P A P A ====-=-=-=->0.4log 0.01 5.026n ∴>=所以至少配备6门高射炮。
22．如图，三个元件分别记作C B A ,,，且三个元件能否正常工作是相互独立的．设C B A ,,三个元件正常工作的概率分别为0.7，0.8和0.8，求该电路发生故障的概率．BAC解：设事件C B A ,,分别表示元件C B A ,,正常工作则所求概率为：1(1()())()1(10.20.2)0.70.328p P B P C P A =--⋅=--⋅⋅= 或()()0.30.70.20.20.328p P A P ABC =+=+⋅⋅=23．一大楼有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率． 解：（1）22355(2)(0.1)(0.9)0.0729P C == （2）555(3)(4)(5)p P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=24．某人独立射击10次，每次射击的命中率均为0.6，求： (1) 击中三次的概率；(2) 至少有一次未击中的概率．解：（1）3371010(3)(0.6)(0.4)0.0425p P C ===（2）1010010101(10)(0.6)(0.4)0.9940p P C =-==习题二1.设随机变量X 的分布律为kak X P 2}{==， ,2,1=k ， (1)确定常数a ；(2)求}3{>X P ．解：（1）由规范性：11k k p ∞==∑得：11211212k k a aa ∞====-∑1a ∴=（2）}3{>X P 2311111{1}{2}{3}12228P X P X P X =-=-=-==---=2．设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样．以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律．解：31331522{0}35C P X C ===2113231512{1}35C C P X C ===121323151{2}35C C P X C === X ∴的分布律为：3．一射手每次射击的命中率为0.2，试问必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设X 表示n 次射击中击中的次数，则~(,0.2)X B n{1}1{0}10.80.9n P X P X ≥=-==-≥11n ∴≥∴必须进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.4．一批产品中有20％的次品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，计算这5件样品中恰好有3件次品、至多有3件次品的概率．解：设X 表示5件样品中次品的件数，则~(5,0.2)X B则恰好有3件次品的概率为：3325{3}(0.2)0.80.0512P X C ==⋅⋅= 至多有3件次品的概率为：{3}1{4}{5}P X P X P X ≤=-=-=441550551(0.2)0.8(0.2)0.80.9933C C =-⋅⋅-⋅⋅=5．某高速公路每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：10000.00010.1np λ==⨯={2}1{0}{1}P X P X P X ≥=-=-=001000119991000100010.00010.99990.00010.9999C C =-⋅⋅-⋅⋅010.10.10.10.110.00470!1!e e --≈--=6．某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1) 每分钟恰有8次呼唤的概率；(2) 每分钟的呼唤次数超过10次的概率．解：844(1){8}0.02988!P X e -=== 4114(2){10}0.002840!k k P X e k ∞-=>==∑7．设随机变量X 的分布律为412141211kp X-．求X 的分布函数．解：011114()312412x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩8．一口袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．从袋中同时取3只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，求随机变量X 的分布律和分布函数， 解：X 的可能取值为3，4，5351{3}0.1P X C ===，2335{4}0.3C P X C ===，2435{5}0.6C P X C ===∴X 的分布律为：3450.10.30.6k X P ∴X 的分布函数为：030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩9．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,2,cos )(其它πx x k x f 求：(1) 系数k ；(2) X 的分布函数)(x F ；(3) {}π<<X P 0；解：222002(1)cos 2cos 2sin 21k xdx k xdx k x k ππππ-====⎰⎰12k ∴=（2）当22x ππ≤≤-时，211()cos (sin 1)22xF x tdt x π-==+⎰ ∴X 的分布函数为：021()(sin 1)22212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩11(3){0}()(0)122P x F F ππ<<=-=-=10．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,0,0)(2x x kx x x F 求：(1) 系数k ；(2) {}3.13.0≤≤X P ；(3) 概率密度)(x f ．解：2111(1)lim ()lim lim ()1x x x F x kx k F x --+→→→====1k ∴= 2(2){0.3 1.3}(1.3)(0.3)10.30.91P x F F <<=-=-=201(3)()0x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他11．设K 在)6,1(上服从均匀分布，求方程012=++Kx x 有实根的概率．解：方程有实根，即240,22k k or k ∆=-≥≥≤-∴所求的概率为：624{2}{2}0615p P k P k -=≥+≤-=+=- 12．设某种电子元件的使用寿命X （以小时计）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.100,0,100,100)(2x x x x f某仪器内装有3个这样的电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），试求：(1) 使用的最初150小时内没有一个电子元件损坏的概率； (2) 这段时间内只有一个电子元件损坏的概率．解：最初150小时内一个电子元件损坏的概率为：15021001001{150}3P X dx x <==⎰ 设Y ：最初150小时内电子元件损坏的个数，则1(3,)3YB故0303128(1){0}3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 213124(2){1}339P Y C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．设随机变量X 在)5,2(上服从均匀分布．现对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率． 解：532{3}523P X ->==- 设Y ：三次观测中观测值大于3的次数，则2(3,)3YB故所求概率为：23233321220{2}33327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．设)16,1(~-N X ，试求：(1){}5.1->X P ；(2){}4<X P ；(3) {}11>-X P ． 解： 1.51(1){ 1.5}1()1(1(0.125))0.54984P X -+>-=-Φ=--Φ= (2){4}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X <=Φ-Φ-=Φ+Φ-= (3){11}{20}1(0.75)(0.25)0.8253P X P X or X ->=><=-Φ+Φ=15．某产品的质量指标),160(~2σN X ，若要求{}8.0200120≥<<X P ，允许σ最大为多少？解：404040{120200}()()2()10.8P X σσσ<<=Φ-Φ-=Φ-≥40()0.9σ∴Φ≥401.28(1.29),31.25(31.01)σσ≥≤16．测量至某一目标的距离时发生的随机误差X （M ）的概率密度为3200)20(22401)(--=x ex f π，)(+∞<<-∞x求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30M 的概率． 解：2(20,40)XN一次测量误差的绝对值不超过30M 的概率为：{30}(0.25)(1.25)0.4931P X <=Φ-Φ-=设Y ：在三次测量中误差的绝对值不超过30M 的次数，则(3,0.4931)YB所求概率为：3{1}1{0}1(10.4931)0.8698P Y P Y ≥=-==--=17．设随机变量X 的分布律为试求：(1) X Y 21-=；(2) 22X Y =的分布律． 解：（1）（2）18．设随机变量)1,0(~N X ，求： (1) X Y arctan =的概率密度； (2) X Y =的概率密度．解：Ｘ的概率密度为：22()()x X f x x -=-∞<<+∞ （１）()arctan ,y g x x ==210,1y x '=>+ 且()tan ,x h y y ==()tan ,h y y '=(),()22g g ππ-∞=-+∞=故由定理可得，X Y arctan =的概率密度为：2tan 22sec ()220yY yy f y ππ-⎧⋅-<<=⎩其他（２）Ｙ的分布函数为：222220(){}0x x y y Y dx dxy F y PX y y ---⎧=>⎪=≤=⎨⎪≤⎩⎰⎰∴Ｙ的概率密度为：220()()00yY Y y f y F y y -⎧>'==≤⎩19．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求： (1) Xe Y =的概率密度；(2) X Y ln 2-=的概率密度．解：Ｘ的概率密度为：101()0X x f x <<⎧=⎨⎩其他(1)(),x y g x e ==0,x y e '=>且()ln ,x h y y ==1(),h y y'=(0)1,(1)g g e == 故由定理可得，Xe Y =的概率密度为：11()0Y y e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(2)()2ln ,y g x x ==-20,y x '=-<且2(),yx h y e -==21(),2y h y e -'=-(0),(1)0g g =+∞=故由定理可得，X Y ln 2-=的概率密度为：210()200yY ey f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩习题三1． 一口袋中装有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3．从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时袋中每个球被取到的可能性相同．以Y X ,分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，试写出随机变量X 和Y 的联合分布律． 解：2．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=,,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f (1) 确定常数k ； (2) 求}3,1{<<Y X P ；(3) 求}5.1{<X P ；(4) 求}4{≤+Y X P ． 解：(1)2422(,)(6)(62)81f x y dxdy dx k x y dy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰18k ∴=(2)1310201173{1,3}(6)()8828P X Y dx x y dy x dx <<=--=-=⎰⎰⎰(3) 1.54 1.50201127{ 1.5}(6)(62)8832P X dx x y dy x dx <=--=-=⎰⎰⎰(4)24220201112{4}(6)(46)8823x P X Y dx x y dy x x dx -+≤=--=-+=⎰⎰⎰ 3．设二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-,,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x (1) 求分布函数),(y x F ； (2) 求概率}{X Y P ≤．解：(1)(,)(,)y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰当0,0x y >>时，(2)220(,)22(1)(1)y xx yu v u v x y F x y e dudv e du e dv e e -+----===--⎰⎰⎰⎰当,x y 取其他值时，(,)0F x y =2(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --⎧-->>∴=⎨⎩其他 (2)(2)202{}2(1)3xx y x x P Y X dx edy e e dx +∞+∞-+--≤==-=⎰⎰⎰ 4．求第1题中随机变量),(Y X 的边缘分布律． 解：5. 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103),(2y x xy x y x f ，求关于X和关于Y 的边缘概率密度。