十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题（附详细答案解析）一、选择题。
1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B ．【解析】因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= AB ．2C ．D ．50 【答案】A ．【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A.【解析】法一、通解 如图所示，CB AD DB ED EB 2121+=+= ()()AC AB AC AB -++⨯=212121 3144=-AB AC ．故选A ．CB法二、优解111()222=-=-=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B.【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0【答案】C.【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3||BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3||CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ．6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A 1B 1C ．2D ．2 【答案】A.【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．NMOCBA因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．7.（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．8.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =， AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I【答案】C 。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面向量
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题06平面向量本专题考查的知识点为：平面向量，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的坐标表示，平面向量的数量积，平面向量基本定理，平面向量与充分必要条件综合问题等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以平面向量的数量积，平面向量基本定理为重点较佳.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝ ，y ＝ ．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝ ． 7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ=．8．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为 ．9．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝ ．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________．1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1B ．−1C ．4D ．−42．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0B ．1C ．√3D ．33．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（ ） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1B ．√3C ．2D ．与α有关5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b ⃑⃗为非零向量，“a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ⇀+b ⇀与c ⇀共线,则实数λ=（）A ．−2B ．−1C ．1D ．29．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a ⇀，b ⇀满足a ⇀+b ⇀=(3,1)，a ⇀⋅b ⇀=1，则|a ⇀−b ⇀|=() A ．2B ．√6C ．2√2D ．√1010．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃑⃗|=1则|a ⃗+2b⃑⃗|=（） A ．2B ．√7C ．2√7D ．2√311．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a ⇀=(1,−3),b ⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2B ．3C ．2√2D ．512．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（ ） A ．13B ．12C ．√33D ．2313．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a ⃗，b ⃑⃗，“(a ⃗+b ⃑⃗)⋅a ⃗=2a ⃗2”是“a ⃗=b ⃑⃗”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a ⃗|=1，则“a ⃗⊥(a ⃗+b ⃑⃗)”是“a ⃗⋅b ⃑⃗=−1”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a ⃗=(0,5)，b ⃑⃗=(4,−3)，c ⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是() A ．a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗为共线向量 B ．a ⃗−b⃑⃗与c ⃗垂直 C ．a ⃗−b⃑⃗与a ⃗的夹角为钝角 D ．a ⃗−b⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为锐角 16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（ ） A ．−83B ．−1C ．1D ．317．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12B ．1C ．2D ．318．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−4319．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±1220．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．10021．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b⇀|=________. 22．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】已知向量a ⇀=(2,4)，b ⇀=(−1,m)．若a ⇀//b ⇀，则a ⇀⋅b ⇀=__________．23．【2020届北京市顺义区高三二模】已知向量a ⃗=(−1,2)，b ⃑⃗=(x,1)，若a ⃗⊥b ⃑⃗，则实数x =___________. 24．【2020届北京市高考适应性测试】已知向量a ⃗=(1,m)，b ⃑⃗=(2,1)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则m =________． 25．如图所示，平面内有三个向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，其中OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为120°，OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为30°，且|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝1，|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝2√3.若OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋μOB⃑⃑⃑⃑⃑⃗(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．26．【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】已知向量a ⇀=(−4,6),b ⇀=(2,x)满足a ⇀//b ⇀,其中x ∈R ,那么|b⇀|=_____________ 27．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考】在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60∘,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=16DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为． 28．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(12,√32)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(√32,12)，则∠ABC =______. 29．【2020届北京市高三高考模拟】已知向量a ⃗=(1,1),b ⃑⃗=(−3,m)，若向量2a ⃗−b ⃑⃗与向量b ⃑⃗共线，则实数m =__________．30．【2020届北京市第十一中学高三一模】平面向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(4,2)，c ⃗=ma ⃗+b ⃑⃗（m ∈R ），且c ⃗与a ⃗的夹角等于c ⃗与b ⃑⃗的夹角，则m =.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件． 故选：C ．2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】解：∵“|a →−3b →|＝|3a →+b →|” ∴平方得|a →|2+9|b →|2﹣6a →•b →=9|a →|2+|b →|2+6a →•b →， 即1+9﹣6a →•b →=9+1+6a →•b →， 即12a →•b →=0， 则a →•b →=0，即a →⊥b →，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的充要条件， 故选：C ．3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】解：m →，n →为非零向量，存在负数λ，使得m →=λn →，则向量m →，n →共线且方向相反，可得m →•n →＜0． 反之不成立，非零向量m →，n →的夹角为钝角，满足m →•n →＜0，而m →=λn →不成立． ∴m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是m →•n →＜0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（ ）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】解：若“|a →|＝|b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是菱形； 若“|a →+b →|＝|a →−b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是矩形； 故“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的既不充分也不必要条件； 故选：D ．5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝ ，y ＝ ．【答案】解：由已知得到MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →−AC →)=12AB →−16AC →； 由平面向量基本定理，得到x =12，y =−16；故答案为：12，−16．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝ ． 【答案】解：设a →=（x ，y ）．∵向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ）， ∴λa →+b →=λ（x ，y ）+（2，1）＝（λx +2，λy +1）， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2＝5．解得|λ|=√5． 故答案为：√5．7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ= ．【答案】解：以向量a →、b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a →=（﹣1，1），b →=（6，2），c →=（﹣1，﹣3） ∵c →=λa →+μb →(λ，μ∈R)∴{−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ＝﹣2且μ=−12因此，λμ=−2−12=4故答案为：48．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为 ． 【答案】解：因为DE →⋅CB →=DE →⋅DA →=|DE →|⋅|DA →|cos ＜DE →⋅DA →＞=DA →2=1． 故答案为：19．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝ ．【答案】解：a →−2b →=(√3，3) ∵a →−2b →与c →共线， ∴√3×√3=3k 解得k ＝1． 故答案为1．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________． 【答案】√5−1【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A (0,0)、B (2,0)、C (2,2)、D (0,2)， AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)， 则点P (2,1)，∴PD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)， 因此，|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(−2)2+12=√5，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×(−2)+1×(−1)=−1. 故答案为：√5；−1.1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1 B ．−1 C ．4 D ．−4【答案】D 【解析】向量a⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)， ∵a ⃗//b ⃑⃗，∴x =2×(−2)=−4 故选：D2．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0 B ．1C ．√3D ．3【答案】B 【解析】a ⃗−2b⃑⃗=(3,√3)因为a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，所以3k −√3×√3=0，解得：k =1 故选：B3．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（ ） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 【答案】C 【解析】解：a ⃗+b⃑⃗=(√3−12,√3−12)； ∴(a ⃗+b⃑⃗)•b ⃑⃗=3−√34−√3−14=2−√32≠0；∴a ⃗+b ⃑⃗不与b ⃑⃗垂直； ∴A 错误；(a ⃗+b ⃑⃗)•a ⃗=1−√34+3−√34=2−√32≠C ；∴a ⃗+b ⃑⃗不与a ⃗垂直； ∴B 错误；又(a ⃗+b ⃑⃗)•(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=1−1=0； ∴(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗)； ∴C 正确，D 错. 故选C ．4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1 B ．√3C ．2D ．与α有关【答案】B 【解析】根据题意，A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)). 则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα,sinα)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos(α+π3),sin(α+π3))， 则有OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα+cos(α+π3),sinα+sin(α+π3))，故|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=[cosα+cos(α+π3)]2+[sinα+sin(α+π3)]2 =2+2cosαcos(α+π3)+2sinαsin(α+π3)=2+2cos π3=3，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√3； 故选：B.5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b⃑⃗为非零向量，“a⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】a⃑⃗|b ⃑⃗|,b ⃑⃗|a ⃑⃗|分别表示与a ⃗,b ⃑⃗同方向的单位向量， a⃑⃗|b⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|，则有a ⃗,b ⃑⃗共线， 而a ⃗,b ⃑⃗共线，则a ⃑⃗|b ⃑⃗|,b⃑⃗|a ⃑⃗|是相等向量或相反向量， “a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的充分不必要条件. 故选:B.6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为(a ⃗−b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，所以(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=a ⃗⋅b ⃑⃗−b ⃑⃗2=0，所以a ⃗⋅b ⃑⃗=b ⃑⃗2，所以cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=|b ⃑⃗|22|b⃑⃗|2=12，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角为π3，故选B ．7．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a⃗=−12b⃑⃗时，|a⃗+b⃑⃗|=|−12b⃑⃗+b⃑⃗|=12|b⃑⃗|=|a⃗|，推不出|b⃑⃗|=0当|b⃑⃗|=0时，b⃑⃗=0⃑⃗，则|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗+0⃑⃗|=|a⃗|即“|a⃗|=|a⃗+b⃑⃗|”是“|b⃑⃗|=0”的必要不充分条件故选：B8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa⇀+b⇀与c⇀共线,则实数λ=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【解析】由题中所给图像可得：2a⃗+b⃑⃗=c⃗，又c⃗=，所以λ=2.故选D9．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a⇀，b⇀满足a⇀+b⇀=(3,1)，a⇀⋅b⇀=1，则|a⇀−b⇀|=()A．2B．√6C．2√2D．√10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则可知：|a⇀−b⇀|=√(a⇀+b⇀)2−4a⇀⋅b⇀=√32+12−4×1=√6.本题选择B选项.10．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a⃗,b⃑⃗的夹角为60°,a⃗=(√3,1),|b⃑⃗|=1则|a⃗+2b⃑⃗|=（）A．2B．√7C．2√7D．2√3【答案】D【解析】|a⃗+2b⃑⃗|=√(a⃗+2b⃑⃗)2=√a⃗2+4a∙⃑⃑⃑⃑⃗b⃑⃗+4b⃑⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3，故选D. 11．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a⇀=(1,−3),b⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2 B ．3C ．2√2D ．5【答案】A 【解析】因为a ⃗=(1,−3),b ⃑⃗=(−2,0)， 所以a ⃗+2b ⃑⃗=(−3,−3)， 因此|a ⃗+2b ⃑⃗|=√9+9=3√2. 故选A12．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（ ） A ．13 B ．12C ．√33D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由∠BAC =π3可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为π3，所以圆心角为2π3.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为12BC tanπ3=√36，即圆心为(0,√36)，半径为√(12)2+(√36)2=√33. 所以点A 的轨迹方程为：x 2+(y −√36)2=13，则x 2≤13，则−√33≤x <0，由AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的几何意义可得：AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影为|DP|=|x|， 则AQ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是√33，故选C．13．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a⃗，b⃑⃗，“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2 a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，则a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=2a⃗2，即a⃗⋅b⃑⃗=a⃗2，取|b⃑⃗|=2|a⃗|，〈a⃗,b⃑⃗〉=π，此时满足(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，而a⃗≠b⃑⃗；3当a⃗=b⃑⃗时，(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2.故“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的必要而不充分条件.故选：B.14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a⃗|=1，则“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】C【解析】由a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)，则a⃗⋅(a⃗+b⃑⃗)=0⇒a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0又|a⃗|=1，所以a⃗⋅b⃑⃗=−1若a⃗⋅b⃑⃗=−1，且|a⃗|=1，所以a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)所以“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的充要条件故选：C15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是()A．a⃗−b⃑⃗与c⃗为共线向量B．a⃗−b⃑⃗与c⃗垂直C．a⃗−b⃑⃗与a⃗的夹角为钝角D．a⃗−b⃑⃗与b⃑⃗的夹角为锐角【答案】B【解析】解：∵a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，∴a ⃗−b⃑⃗=(−4,8)， ∵−4×(−1)−(−2)×8≠0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗不是共线向量， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=−4×(−2)+8×(−1)=0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗垂直， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅a ⃗=−4×0+8×5=40>0，则a ⃗−b ⃑⃗与a ⃗的夹角为锐角， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=−4×4+8×(−3)=−40<0，则a ⃗−b ⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为钝角， 故选：B ．16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（ ） A ．−83B ．−1C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：EB=EC=√7， 又tan∠BED =BD ED=√3=2√33所以cos∠BEC =1−tan 2∠BED 1+tan 2∠BED=−17所以EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=|EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗‖EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cos∠BEC =√7×√7×(−17)=−1 故选B ．17．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】因为平行四边形ABCD 中,AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点， 设AB =x ,由AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3得，(AB⇀+BC ⇀)⋅(BC ⇀+12BA ⇀) =(AB⇀+AD ⇀)⋅(AD ⇀−12AB ⇀) =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=4+12|AB ⇀|×2×cos60∘−12AB ⇀2 =4−12x 2+12x =3即x 2−x −2=0解得x =2或x =−1（舍去）； 故选：C.18．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a ⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−43【答案】D 【解析】由题意b ⃑⃗在a ⃗上的投影为a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|=−163√22+(2√3)2=−43.故选：D.19．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±12【答案】A 【解析】设平面向量a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ，∵(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，可得|a ⃗|=|b ⃑⃗|， 在等式|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|两边平方得a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2=4a ⃗2−8a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2，化简得cosθ=35. 故选：A.20．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．100【答案】C 【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=5， 原式=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2×25=50. 故选C.21．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b ⇀|=________. 【答案】5 【解析】因为a ⃗=(2,1)，所以|a ⃗|2=5，因为|a ⃗+b ⃑⃗|=5√2，所以|a ⃗+b ⃑⃗|2=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=50， 即5+|b⃑⃗|2+20=50，|b ⃑⃗|=5。
2010年高考数学试题分类汇编向量
2010年高考数学试卷分类汇编——向量（2010湖南文数）6.若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为 A. 300 B.600 C. 1200 D. 1500（2010全国卷2理数）（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试卷主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解读】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA 2=DB CB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==-，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（2010辽宁文数）（8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积等于（A 222()a b a b -⋅ （B 222()a b a b +⋅（C 222()a b a b -⋅ （D 222()a b a b +⋅解读：选C.222111(||||sin ,||||1cos ,||||1222||||OABa S ab a b a b a b a b a b ∆⋅=<>=-<>=-222()a b a b =-⋅（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于【答案】C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
【解读】三角形的面积S=12|a||b|sin<a,b>，而=11|||||||sin ,22a b a b a b =<>（2010全国卷2文数）（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a = 1 ，b = 2, 则CD =（A ）13a +23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 【解读】B ：本题考查了平面向量的基础知识∵ CD 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==，∵AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b==-，∴22213333CD CA AD b a b a b=+=+-=+（2010安徽文数）(3)设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是(A)a b = (B)22a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直 3.D【解读】11(,)22--a b =，()0a b b -=，所以-a b 与b 垂直. 【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.（2010重庆文数）（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为 （A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）6解读：60a b m =-=，所以m =6（2010重庆理数）(2) 已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ∙===，则2a b -=A. 0B.C. 4D. 8 解读：2a b -=22844)2(222==+⋅-=-b b a a b a（2010山东文数）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-，下面说法错误的是(A)若a 与b 共线，则0a b =(B)a b b a =(C)对任意的R λ∈，有()()a b ab λλ=(D)2222()()||||ab a b a b +∙=答案：B（2010四川理数）（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1解读：由2BC ＝16，得|BC |＝4AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=||＝4而AB ACAM ∣+∣=2∣∣ 故AM ∣∣=2 答案：C（2010天津文数）（9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，则AC AD ⋅=（A ）（B ）2 （C ）3（D【答案】D【解读】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量文(含解析)
专题06平面向量历年考题细目表填空题2012向量的模2012年新课标1文科15填空题2011平面向量的数量积2011年新课标1文科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足|｜＝2||,且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线,E 为AD的中点,则( ）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1文科02】已知点A(0，1），B(3，2）,向量（﹣4，﹣3）,则向量( ）A．(﹣7，﹣4）B．（7，4) C．（﹣1，4) D．（1，4)【解答】解：由已知点A(0,1），B(3,2），得到(3，1），向量（﹣4，﹣3），则向量（﹣7，﹣4)；故选：A．4．【2014年新课标1文科06】设D,E，F分别为△ABC的三边BC,CA，AB的中点，则（)A．B．C．D．【解答】解：∵D,E，F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，∴（)+（)（）,故选：A．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3）,（3，18）,则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设（x,y），∵a＝（4，3)，2a+b＝（3，18),∴∴cosθ，故选:C．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2)，(m，1），若向量与垂直，则m＝．【解答】解：∵向量(﹣1，2），（m，1），∴(﹣1+m，3）,∵向量与垂直，∴（）•（﹣1+m）×(﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．故答案为：7．7．【2016年新课标1文科13】设向量(x,x+1)，(1，2），且⊥，则x＝．【解答】解：∵;∴;即x+2（x+1）＝0；∴．故答案为：．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t)．若•0,则t＝．【解答】解:∵，,∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0,∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵，1∴∴｜2｜解得故答案为：310．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数,若向量与向量k垂直,则k＝．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k ＝1故答案为：1考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为:平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳。
专题10 平面向量丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共40页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量目录题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1题型二：平面向量的基本定理....................................................................3题型三：平面向量的坐标运算....................................................................9题型四：平面向量中的平行与垂直.........................................................13题型五：平面向量的数量积与夹角问题.................................................14题型六：平面向量的模长问题..................................................................32题型七：平面向量的综合应用 (37)题型一：平面向量的概念及线性运算一、选择题1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B解析:若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b = ，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件,故选B ．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=()A ．2CD CA +B ．2CD CA-C ．2CD CA-D ．2CD CA+【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=()A ．32m n -B ．23m n-+C ．32m n+D ．23m n+【答案】B解析：因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．4．(2019·上海·第13题)已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是()A.)1,2(-B ．)1,2(C ．)2,1(-D ．)2,1(【答案】D【解析】依题意：)1,2(-为直线的一个法向量，∴方向向量为)2,1(，选D .【点评】本题主要考查直线的方向量．5．·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为12(10.6182≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．二、填空题1．(2020北京高考·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD =_________．【答案】(1)．(2)．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =-，因此，PD ==，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-．故答案为：；1-．2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量a 、b 满足|a |=1,b =(2,1),且0a b λ+=(R λ∈),则||λ=．【答案】5解析：∵0a b λ+= ，∴a b λ=-，b aλ∴==3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．题型二：平面向量的基本定理一、选择题1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a表示出来的是()A ．)2,1(),0,0(21==e eB ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B解析：根据12a e e λμ=+ ，选项A ：()()()3,20,01,2λμ=+，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：()()()3,21,25,2λμ=-+-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：()()()3,23,56,10λμ=+，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：()()()3,22,32,3λμ=-+-，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则()A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC=- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC=-【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A ．4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图则()0,0A ，()1,0B ，()0,2D ，()1,2C ，连结BD ，过点C 作CE BD ⊥于点E在Rt BDC ∆中，有BD ==1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△即112512225CE CE ⨯⨯=⇒=所以圆C 的方程为()()224125x y -+-=可设1cos ,2sin 55P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭由AP AB AD λμ=+ 可得()1cos ,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以1cos 51sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2cos sin 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=所以λμ+的最大值为3，故选A ．法二：通过点C 作CE BD ⊥于E 点，由1AB =，2AD =，可求得BD ==又由1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△，可求得255CE =由等和线定理可知，当点P 的切线(即FH )与DB 平行时，λμ+取得最大值又点A 到BD 的距离与点C 到直线BD 的距离相等，均为255而此时点A 到直线FH 的距离为25252565225555r +=+⨯=所以6553255AFAB ==，所以λμ+的最大值为3，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P 点在如图所示位置时，λμ+最大，且此时若AG x AB y AD =+，则有x y λμ+=+，由三角形全等可得2AD DF FG ===，知3,0x y ==，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB ADλμ=+ 即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．法四：由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系则C 点坐标为(2,1)．∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+=．BD 切C 于点E ．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255．∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0151cos 25x μθ==+，02155y λθ==+．两式相加得：2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题1．(2023年天津卷·第14题)在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】①．1142a b + ②．1324解析：空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED ADAE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加，可得到2AE AD AC =+，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC ACAF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+，即32AF a b =+，即2133AF a b =+ ．于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭．记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅有最大值1324．故答案为：1142a b + ；1324．2．(2015高考数学北京理科·第13题)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．【答案】11,26-解析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC = ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-．3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为2,OA与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+ (,)m n ∈R ,则m n +=______．【答案】3解析:由tan 7α=可得72sin 10α=,2cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩,即2222102720210n m n +=⎪⎪⎪-=⎪⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=．题型三：平面向量的坐标运算一、选择题1．(2023年北京卷·第3题)已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，则22||||a b -=()αA CBO(第12题)A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B解析：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D解析：因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量)1,2(),4,1(),3,(===c b k a ，且(23)a b c -⊥,则实数k =()A ．92-B ．0C ．3D ．152【答案】C解析：(23)a b c -⊥ (23)0a b c ⇒-= 230a c b c ⇒-= 2(23)360 3.k k ⇒+-⨯=⇒=C ．13r R ≤<<D ．13r R<<<【答案】A解析：因为||||1a b == ，且0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,1)b =，则由)OQ a b =+得Q 曲线C:设(,)P x y ，则(1,0)cos (0,1)sin (cos ,sin )OP θθθθ=+=，02θπ≤<，则cos ,(02)sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆；区域Ω：设(,)P x y ，则由||r PQ R ≤≤，则有：2222(2)(2)r x y R ≤-+-≤，表示以(2,2)为圆心，分别以r 和R 为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，若使得C Ω 是两段分离的曲线，则由图像可知：13r R <<<，故选A ．5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,)22BA = ,31(,)22BC = ,则ABC ∠=()A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC ⨯+⋅∠===⨯⋅ ,所以30ABC ∠=︒,故选A.6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =()A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】由()a b b ⊥ +可得：()0a b b +=，所以20a b b += ，又(1,)(3,2)a mb =- ，=所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m =，故选D ．二、填空题1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．(2020江苏高考·第13题)在ABC ∆中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数)，则CD 的长度是________．【答案】185【解析】,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=> ，32PA mPB m PC ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，32PD mPB m PC λ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+=，即32λ=，9AP = ，3AD ∴=，4AB = ,3AC =,90BAC ∠=︒，5BC ∴=，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-．∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，()cos cos 0θπθ+-= ，()()2570665x x x --∴+=-，解得185x =，CD ∴的长度为185．当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去．故答案为：0或185．3．设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-，，则cos θ=．【答案】31010解：设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- ∴(1,2)b =，则cos θ=||||a b a b ⋅==⋅31010。
2010年全国各省高考数学试题分类(理科)__第7部分 平面向量
【答案】B
【解析】因为 F (2, 0) 是已知双曲线的左焦点，所以 a2 1 4 ，即 a2 3 ，所以双曲线方程为
x2 3
y2
1，设点
P (x0 ,
y0 )
，则有
x02 3
y02
1(x0
3)
，解得
y02
x02 3
1( x0
3) ，因为
A. [3-2 3, ) B. [3 2 3, )
C. [- 7 , ) 4
D. [7 , ) 4
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线0生高不产中仅工资22艺料22高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料22荷试，下卷而高总且中体可资配保料置障试时23卷，23调需各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看2工且55作尽22下可2都能护1可地关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编5试求写、卷技重电保术要气护交设设装底备备4置。高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并3设试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)
解法二 由 b2 4e b 3 0 得 b2 4e b 3e2 (b e) (b 3e) 0 ．
设 b OB ， e OE ， 3e OF ，所以 b e EB ， b 3e = FB ，
7.（2017 北京）设 m , n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n ”是“ m n 0 ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【 解 析 】 因 为 m, n 为 非 零 向 量 ， 所 以 m n | m || n | cos m, n 0 的 充 要 条 件 是
cos m, n 0 ．
因 为 0 ， 则 由 m n 可 知 m, n 的 方 向 相 反 ， m, n 180 ， 所 以
法二、优解
EB
AB
AE
AB
1
AD
AB
1
1
(AB
AC
)
2
22
3
AB
1
AC
．故选
A．
44
4.（2018 全国卷Ⅱ）已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b)
所以 cos a, b b 2 b 2 1 ． ab 2b 2
又因为 a, b [0，π] ，所以 a, b π ．故选 B． 3
2.（2019 全国Ⅱ文 3）已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx
A．1
B．2
C．3
D．4
31（. 2017Ⅲ理 1）已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ，B = (x, y) y = x ，则 A I B 中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
32.（2018Ⅰ文 1）已知集合 A = 0，2 ， B = -2，-1，0，1，2 ，则 A I B = ( )
A．（-14，16）
B．（-14，20）
C．（-12，18）
D．（-12，20）
x-3 2.（2010Ⅱ文 2）不等式 0 的解集为( )
x+2
A．{x｜-2< x<3} B．{ x｜x<-2}
C．{ x｜x<-2,或 x>3} D．{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5
理
3）若变量
x，y
1.集合
1.（2010Ⅰ文理 1）已知集合 A = x | x 2，x R，B = x | x 4，x Z ,则 A I B ＝( )
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2.（2010Ⅱ文 1）设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则 CU A U B ＝( )
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．{0，1，2}
20.（2016Ⅰ文 1）设集合 A={1，3，5，7}，B＝{x| 2 x 5}，则 A∩B=( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
21.（2016Ⅰ理 1）设集合 A＝{x|x2－4x+3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则 A I B = ( )
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量 考试版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题06 平面向量1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.√2B.2C.5√2D.502.(2019·全国1·理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗C.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.05.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√37.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则( )A.2116B.32C.2516D.38.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.09.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-3C.-43D.-110.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.211.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b|12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434B.494C.37+6√34D.37+2√33413.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.11814.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8B.-6C.6D.815.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.216.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.218.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 219.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.620.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2121.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4)22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a,b 满足|a|=2√2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π624.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 25.(2014·全国1·文T6)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD⃗⃗⃗⃗⃗C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,√3),b=(3,m),若向量a,b 的夹角为π6,则实数m=( ) A.2√3B.√3C.0D.-√327.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.531.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b )·b=( ) A.-1B.0C.1D.232.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2B.√2C.1D.√233.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-92B.0C.3D.15234.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( ) A.√22B.12C.0D.-135.(2012·重庆·理T6)设x,y ∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a ⊥c,b ∥c,则|a+b|= ( ) A.√5B.√10C.2√5D.1036.(2010·全国·文T2)a,b 为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b 夹角的余弦值等于( ) A.865B.-865C.1665D.-166537.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a ⊥b,则m= .39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 40.(2019·全国3·理T13)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= . 41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为 1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是,最大值是 . 42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则AB AC的值是 .43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a ⊥(ma-b),则m= .44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= . 47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b 与a 垂直,则m= . 48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a ∥b,则λ= . 49.(2017·全国1·理T13)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .50.(2017·天津,理13文14)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m+n=. 52.(2017·山东·理T12)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .55.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 56.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a ⊥b,则x= .57.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(ta+b),则实数t 的值为 . 58.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a ∥b,则m= . 59.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .60.(2015·浙江·文T13)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b|= .61.(2015·全国2·理T13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 62.(2015·北京·理T13)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .63.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a +λb)⊥(a-λb),则实数λ= .64.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a ∥b,则tan θ= . 65.(2014·重庆·文T12)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a ·b= . 66.(2014·全国1·理T15)已知A,B,C 为圆O 上的三点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为. 67.(2014·湖北·文T12)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 68.(2013·江苏·T10)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .69.(2013·北京·理T13)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb(λ,μ∈R),则λ= .70.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b ·c=0,则t= . 71.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 72.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 .73.(2013·北京·文T14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为. 74.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= . 75.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= .76.(2011·全国·文T13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则k= .。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题06 平面向量 考试版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题06 平面向量1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.√2B.2C.5√2D.502.(2019·全国1·理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗C.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.05.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√37.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则( )A.2116B.32C.2516D.38.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.09.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-3C.-43D.-110.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.211.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b|12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434B.494C.37+6√34D.37+2√33413.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.11814.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8B.-6C.6D.815.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.216.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.218.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 219.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.620.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2121.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4)22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a,b 满足|a|=2√2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π624.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 25.(2014·全国1·文T6)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD⃗⃗⃗⃗⃗C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,√3),b=(3,m),若向量a,b 的夹角为π6,则实数m=( ) A.2√3B.√3C.0D.-√327.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.531.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b )·b=( ) A.-1B.0C.1D.232.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2B.√2C.1D.√233.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-92B.0C.3D.15234.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( ) A.√22B.12C.0D.-135.(2012·重庆·理T6)设x,y ∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a ⊥c,b ∥c,则|a+b|= ( ) A.√5B.√10C.2√5D.1036.(2010·全国·文T2)a,b 为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b 夹角的余弦值等于( ) A.865B.-865C.1665D.-166537.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a ⊥b,则m= .39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 40.(2019·全国3·理T13)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= . 41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为 1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是,最大值是 . 42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则AB AC的值是 .43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a ⊥(ma-b),则m= .44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= . 47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b 与a 垂直,则m= . 48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a ∥b,则λ= . 49.(2017·全国1·理T13)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .50.(2017·天津,理13文14)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m+n=. 52.(2017·山东·理T12)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .。
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学(20210417120444)
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题空间向量1. （2014 •全国2 •理T11）直三棱柱ABC-A6C 、中，N%4R00 ,MN 分别是A £, A6的中 点,则6y 与4V 所成角的余弦值为（） r 同 u.— 102. （2013 •北京•文T8）如图，在正方体被〃中，尸为对角线做的三等分点，尸到各顶点的距离的不同取值有（）3. （2012 •陕西•理T5）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱板。
1二8与纸则直线与直线必夹角的余弦值为（4. （2010 •大纲全国•文T6）直三棱柱ABC-ABQ 中，若NBAC =90° ,AB=AC=AA1，则异面直线BA ： 与AQ 所成的角等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. (2019 •天津•理 T17)如图,AE,平面 ABCD, CF 〃AE ， AD 〃BC, AD_LAB, AB=AD=1, AE=BC 二2.(1)求证:BF 〃平面ADE;B -l B. 4个C 5个 D.6个A.3个 C.这⑵求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;⑶若二面角E-BD-F的余弦值为京求线段CF的长.EB6.（2019 •浙江• T 19）如图，已知三棱柱ABC-A&C,平面 4月平面ABC, ZABC^0° , Z 区灰＞30° ,4月引。
泡尸分别是〃;43的中点.（1）证明:年J_6C;⑵求直线房与平面46。
所成角的余弦值.7.（2019 •全国1•理T18）如图，直四棱柱极〃的底面是菱形，例=1,止2, N 员切40° ,EM,V分别是比破,4。
的中点.⑴证明：/V〃平面C、DE;（2）求二面角力T4M的正弦值.8.（2019 •全国2 •理T17）如图，长方体力用a-4£4〃的底面月颜是正方形，点£在棱前［上，龙LEG.⑴证明:麻山平面微a；⑵若AE=A^求二面角B-EC-C的正弦值.9.（2019 •全国3 •理T19）图1是由矩形ADEB,Rt^ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60° .将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.（1）证明：图2中的A, C, G, D四点共面,且平面ABC_L平面BCGE;（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.10.（2018 •浙江• T 8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段AB 上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为01,SE与平面ABCD所成的角为82,二面角S-AB-C的平面角为83,则（）A.01<02<03B.03<02<61C.01<O3<02D.92<03<0111.（2018 •全国3 •理T19）如图,边长为2的正方形4加9所在的平面与半圆弧曲所在平面垂直,"是曲上异于的点.（1）证明：平面AMD_L平面BMC;⑵当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.12.（2018 •北京•理T16）如图，在三棱柱ABC-A瓜&中，CC_L平面ABCM & F, G分别为44：, AQ 4Q 能的中点，AB二BC二遍,AC=AA尸2.⑴求证:AC_L平面BEF;（2）求二面角B-CD-G的余弦值;16.(2018 •浙江• T9)如图，已知多面体ABCA瓜心, 44 £5 均垂直于平面ABC, Z板=120° , A.A^ GC=1, AB=BC=B-.B=^.(1)证明:四_L平面4A4;⑵求直线月a与平面月期所成的角的正弦值.17.(2018 •上海，T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设P0=4, 0A, 0B是底面半径,且NA0B=90° , M为线段AB的中点，如图,求异面直线PM与0B 所成的角的大小.18.(2017 •北京•理T16)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,平面PAD,平面ABCD, 点M在线段PB上,PD〃平面MAC, PA=PD二遍,AB=4.⑴求证:M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；⑶求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.19.（2017 •全国 1 •理 T18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中,AB〃CD,且NBAP=NCDP=90。
天津卷高考数学十年真题【平面向量】【文】
平面向量【文科】2010年 （9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，BC = BD ，1AD = ，则AC AD ⋅ =（A）（B（C（D2009年15. 若等边A B C ∆的边长为32，平面内一点M 满足→→→+=CA CB CM 3261,则=∙→→MB MA ________.2008年（14）已知平面向量(2,4)a = ，(1,2)b =- ．若()c a a b b =-⋅ ，则||c = _____________．2007年（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC = ．2006年12. 设向量a 与b 的夹角为θ，且a =（3，3），)1,1(2-=-a b ，则=θcos 。
2005年12．已知｜｜＝2，｜｜＝4，与的夹角为3π，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_______________．2004年4. 若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒18053=，则=A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-2003年8．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[|||(+∞∈+=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2002年12. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ）A. 5)2()1(22=-+-y xB. 01123=-+y xC. 02=-y xD. 052=-+y x2001年（5）若向量a =（3，2），b =（0，－1），c =（－1，2），则向量2b －a 的坐标是（A ）（3，-4） （B ）（-3，4） （C ）（3，4） （D ）（-3，-4）平面向量答案【文科】2010年（9）.D ||||cos ||cos ||cos()2||sin sin B AC AD AC AD DACAC DAC AC BAC AC BAC BC π∙=∙=∙=∙-=== ∠∠∠∠2009年（15）：-2 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(B A C这样利用向量关系式，求得M )21,233(，然后求得)25,23(),21,23(--=-=→→MB MA ，运用数量积公式解得为-2.2008年（14）||c = 因为(2,4)6(1,2)(8,8)c =--=-，所以||c = ．2007年（15）522006年（12）12.101032005年2（12）．32004年（4）. A2003年（8）．B2002年（12）D2001年（5）D。
数学-平面向量十年高考1
年份题号分值题型难度考点考查内容2010课标文25选择基础平面向量数量积的概念及其几何意义主要考查利用平面向量数量积的坐标运算及利用平面向量数量积计算向量模与夹角2011课标理105选择中档平面向量的综合应用主要考查利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题真假的判定文135填空基础平面向量数量积性质的应用主要考查利用平面向量数量积处理向量垂直问题2012课标理13文155填空基础平面向量数量积性质的应用主要考查平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模问题2013卷1理13文135填空基础平面向量数量积的概念及其几何意义主要考查平面向量数量积的概念及运算法则卷2理13文145填空基础平面向量数量积的概念及其几何意义主要考查平面向量数量积的运算法则2014卷1理155填空中档平面向量数量积的概念及其几何意义主要考查中点公式的向量形式及向量的夹角的概念卷2文4理35选择基础平面向量数量积性质的应用主要考查利用平面向量数量积处理向量模问题卷1文65选择基础平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量的线性运算2015卷1理55选择基础平面向量的综合应用主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算卷1理75选择基础平面向量基本定理及其应用主要考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理卷2理135填空基础平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量共线的充要条件.卷1文25选择基础平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐标运算卷2文45选择基础平面向量数量积的概念及其几何意义主要考查平面向量的坐标运算、平面向量数量积2016卷1理135填空基础平面向量数量积性质的应用主要考查平面向量的坐标运算及平面向量模公式卷2理35性质基础平面向量数量积性质的应用主要考查平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂直问题卷3理3文35选择基础平面向量数量积的概念及其几何意义主要考查平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量积求夹角卷1文135填空基础平面向量数量积性质的应用主要考查平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂直问题卷2文135填空基础平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要条件2017卷1理135填空基础平面向量数量积性质的应用主要考查利用平面向量数量积计算模理2理125选择难题平面向量的综合应用主要考查与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题平面向量高考真题平面向量考点一、平面向量的概念与线性运算1.（2020新高考Ⅱ.3）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →=（）A.2CD CA+B.2CD CA-C.2CD CA-D.2CD CA+2.（2020新课标I，理14.）设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=_____.3.（2014新课标I，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.BCB.12ADC.ADD.12BC解析在最后1.向量的有关概念（1）向量:既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模);平面向量是自由向量；（2）零向量：长度为0的向量，记为→0；方向是任意的，模为0；（3）单位向量:长度等于1个单位的向量;与非零向量→a 方向相同的单位向量是a |a |；（4）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量；规定：→0与任一向量平行（共线）；（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量；两向量只有相等或不相等，不能比较大小；（6）相反向量:长度相等且方向相反的向量;→0的相反向量为→0.2．向量的线性运算（1）加法：求两个向量和的运算①运算法则：三角形法则：首尾相接；平行四边形法则：起点相同；②运算律：交换律：a ＋b ＝b ＋a ．结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．③一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．（2）减法：求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差（a-b ＝a ＋（-b ））①运算法则：三角形法则的起点的起点指向第二个向量，差向量为第一个向量终点相同：的终点的终点指向第一个向量，差向量为第二个向量起点相同：→→→=-→=→-→AC CB AB CB AC AB ②向量的三角性质：（共线且反向）共线且同向（共线且同向）共线且反向)()(+≤±≤-（3）数乘：求实数λ与向量a 的积的运算①大小;|λa |＝|λ||a |②方向：当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0③运算律：结合律：λ(μa )＝(λμ)a ；第一分配率：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；第二分配率：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ..定理的应用：（1）证明向量共线（平行）（2）证明三点共线：①→=→BC λAB （有公共点B）⇒A、B、C 三点共线②1,=+⇔+=→→→y x P B A OB y OA x OP 三点共线、、则若（3）证明两直线平行：CDAB CD AB CD AB CD AB ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒=→→→→不在一条直线上与λ考点二、平面向量基本定理及其应用1.（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =)A．3144AB AC- B．1344AB AC- C．3144AB AC+D．1344AB AC+2.（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A）1433AD AB AC=-+ (B)1433AD AB AC=-（C）4133AD AB AC=+(D)4133AD AB AC=-1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.①不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.②如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 21＝μ1，2＝μ2.③若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝02.平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点三、平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1.（2020•新课标Ⅰ，文14）设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+- ，若→→⊥b a ，则m =______.2.（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b = ，则||(a b -= )A．B．2C．D．503.（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =- ，(1,)c λ= ．若//(2)c a b + ，则λ=．4.(2016新课标，文13)已知向量a =(m ,4)，b =(3,−2)，且a ∥b ，则m =___________.5.（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=．1.平面向量的坐标运算（1）和(差)：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)（2）数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )（3）任一向量的坐标：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)2.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②已知b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb (λ∈R).3.分点坐标公式32,32(32,32()2()2,2()1(),(),,(21212212112121222111y y x x P P P y y x x P P P y y x x P y x P y x P ++++++的三等分点时：为靠近点点的三等分点时：为靠近点点三等分点坐标公式：中点坐标公式：设3,3()3(321321y y y x x x O ABC ++++∆的重心4.求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．考点四平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律1.（2020•新课标Ⅱ，理13）已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =____.2.（2020•新课标Ⅱ，文5）已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A.2a b + B.2a b + C.2a b -D.2a b - 3.（2020•新课标Ⅲ，理6）已知向量aba，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=-，则cos,=a a b +（）A.3135-B.1935-C.1735D.19354.（2020•新高考7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是（）A.()2,6-B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-5.（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量a ，b 满足||2||a b = ，且()a b b -⊥ ，则a与b 的夹角为()A．6πB．3πC．23πD．56π6.（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,2)a = ，(8,6)b =- ，则cos a <，b >= ．7.（2018•新课标Ⅱ，理4）已知向量a，b 满足||1a = ，1a b =- ，则(2)(a a b -= )A．4B．3C．2D．08.（2017•新课标Ⅱ，文4）设非零向量a，b 满足||||a b a b +=- 则()A．a b ⊥ B．||||a b = C．//a bD．||||a b > 9.（2016新课标，理3）已知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2321，BA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2123，BC 则∠ABC=（）(A)300(B)450(C)600(D)120010.（2014新课标Ⅰ，理15）已知A，B，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为.11（2014新课标Ⅱ，理3文4）设向量b a ,满足10||=+b a，6||=-b a ，则=⋅b a （）A.1B.2C.3D.512.（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.13.（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC的边长为2，E为CD的中点，则AE BD=.14.（2010新课，文2）a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（）（A）865（B）865-（C）1665（D）1665-1.定义已知两个非零向量a 和b ，我们把|a |·|b |cos θ叫做a 与b 的数量积(内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a |·|b |cosθ.其中θ是a 与b 的夹角(θ∈[0 ,180 ]).2.几何意义|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上的投影(b在a的方向上的投影).3.运算律乘法交换律a·b ＝b·a数乘结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )加乘分配律(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c注：有些实数的运算性质不能类推到向量的数量积运算：比如：(ab )c =a (bc ),但是（a·b ）·c 与a·（b ·c）不一定相等；常用公式①(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2；②(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2；③(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；④(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c .考点五.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.（1）数量积的坐标表示:a·b=x 1x 2＋y 1y 2（2）模：几何表示：|a |＝a·a ；坐标表示：|a |＝x 21＋y 21；（3）夹角：cos θ＝a·b|a||b|；cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22（4）a ⊥b 的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0;a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0（5）a //b 的充要条件;a//b ⇔x 1y 2-x 2y 1＝0（6）|a ·b |与|a ||b |的关系:|a ·b |≤|a ||b |;|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)5.求非零向量a，b的数量积的4种方法（1）定义法：若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算；（2）坐标法：若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解（3）基底法：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解（4）极化恒等式法：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅→→→→→→2241b a b a b a 6.三角形各心的向量表示（1）重心：三角形的三条中线的交点；O是△ABC的重心⇔→→→→=++0OC OB OA ；（2）垂心：三角形的三条高线的交点；O是△ABC的垂心⇔→→→→→→⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA ；（3）内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是△ABC的内心⇔(4)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O是△ABC的外心⇔→→→==OC OB OA (或222→→→==OC OB OA )；=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅→→→→→→→→→→→→→→→CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA 注意向量所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线))0(≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅→→→→λλAC AC AB AB一定过重心向量⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→AC AB λ考点五平面向量的综合应用1.（2020•新课标Ⅲ，文6）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线2.（2019•新课标Ⅱ，理3）已知(2,3)AB = ，(3,)AC t = ，||1BC = ，则(AB BC =)A．3-B．2-C．2D．33.（2017•新课标Ⅱ，理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A．2-B．32-C．43-D．1-4.（2017•新课标Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A．3B．D．25.（2015新课标Ⅰ，理5）已知M（x 0，y 0）是双曲线C：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF＜0，则y 0的取值范围是（）（C）（（D）（6（2011新课标，理10）.已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0,23π）2p :||1+>a b ⇔θ∈(23π,π]3p :||1->a b ⇔θ∈[0,3π）4p :||1->a b ⇔θ∈(3π,π]其中真命题是（A）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 1.向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．2．平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．3．求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．平面向量高考真题答案考点一、平面向量的概念与线性运算1.()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=,故选：C 2.因为,a b为单位向量，所以1a b ==rr所以1a b +=,解得：21a b ⋅=-所以a b -=3.=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC + =AD ，故选C.考点二、平面向量基本定理及其应用1.在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+ 3144AB AC =-，故选A ．2.由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点三、平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1.由→→⊥b a 可得0a b ⋅= ，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+- ，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.2. (2,3)a = ，(3,2)b = ，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，||a b ∴-== A ．3. 向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=， (1,)c λ=，//(2)c a b +，142λ=，解得12λ=．4.因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．5. 向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+ ，∴12t tλ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=．考点四平面向量的数量积1.由题意可得：11cos 45a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k=2.由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯= .A：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠ ，所以本选项不符合题意；B：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠ ，所以本选项不符合题意；C：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠ ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-= ，所以本选项符合题意.故选：D.3.5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b + ，因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ .故选：D.4.AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.5.()a b b -⊥ ，∴2()a b b a b b -=- 2||||cos ,0a b a b b =<>-= ，∴2||cos ,||||b a b a b <>= 22||122||b b ==， ,[0,]a b π<>∈ ，∴,3a b π<>=，故选B ．6.由题知，2(8)264a b =⨯-+⨯=-，||a ==，||10b，cos a <，b =7.向量a ，b 满足||1a = ，1a b =- ，则2(2)2213a a b a a b -=-=+=，故选B ．8. 非零向量a，b 满足||||a b a b +=- ，∴22()()a b a b +=- ，即222222a b ab a b ab ++=+-，∴0a b = a b ⊥，故选A ．9.由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠==⨯ 30ABC ∠=︒，故选A．10.∵1()2AO AB AC =+，∴O为线段BC中点，故BC为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB与AC的夹角为090.11∵+=a b -=a b 2()10+=a b ……①，2()6-=a b ……②．由①-②得：1=⋅a b ,故选A.12. b c =[(1)]t t ∙+-b a b =2(1)t t ∙+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2.13.AE BD =1()()2AD AB AD AB +∙- =221||||2AD AB -=4-2=2.14.由a =（4，3），2a +b =（3，18）得，b =（－5，12），∴|a |=5，|b |=13，∙a b =16，∴cos a,b =||||∙a b a b =1665，故选C.考点五平面向量的综合应用1.设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y+-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 2. (2,3)AB = ，(3,)AC t = ，∴(1,3)BC AC AB t =-=- ，||1BC = ，30t ∴-=即(1,0)BC= ，则2AB BC =，故选C ．3.建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y=---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]24PA PB PC x y x y +=-+=+--，∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选B ．4.如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C， 动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC = ，1CD =，BD ∴∴1122BC CD BD r = ，r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为1θ+2)θ+，AP AB AD λμ=+，1θ∴+2)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴1θλ+=22θμ+=，2sin()2λμθθθϕ∴++=++，其中tan 2ϕ=，∵1)sin(1≤+≤-ϕθ，∴31≤+≤μλ，故λμ+的最大值为3，故选A ．5.由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF ∙ =0000(,),)x y x y -∙-=2220003310x y y +-=-<，解得0y <6.由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0,π]，∴θ∈[0,23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0,π]，∴θ∈(3π,π]，故选A.。
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4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()
A.4B.3C.2D.0
【答案】B
【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
5.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题06平面向量
1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()
A. B.2C.5 D.50
【答案】A
【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|= ,故选A.
2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()
所以λ+μ= x-y+1.
设z= x-y+1,即 x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2= 上,
所以圆心C到直线 x-y+1-z=0的距离d≤r,
即 ,解得1≤z≤3,
11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()
A.a⊥bB.|a|=|b|
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设△ABC的外心为D,则| |=| |=| |=2.
以D为原点,直线DA为x轴,过D点的DA的垂线
为y轴,建立平面直角坐标系,
则A(2,0),B(-1,- ),C(-1, ).
设P(x,y),由已知| |=1,得(x-2)2+y2=1,
∵ ,∴M .
∴ .
∴ ,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-3 )距离平方的 ,
A.3B.2 C. D.2
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1).
设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r= ,即圆的方程是(x-2)2+y2= .
易知 =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0).
由 =λ +μ ,
得 所以μ= ,λ=1-y,
A. -1B. +1C.2D.2-
【答案】A
【解析】∵b2-4e·b+3=0,∴(b-2e)2=1,∴|b-2e|=1.
如图所示,平移a,b,e,使它们有相同的起点O,以O为原点,向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则b的终点在以点(2,0)为圆心,半径为1的圆上,|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值,就是求圆上动点到定直线的距离的最小值,也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长,因此|a-b|的最小值为-1.
故 =（ ）·( )
=
×1×1× .
14.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()
7.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则
A. B.
C. D.3
【答案】A
【解析】如图,以D为坐标原点建立直角坐标系.连接AC,由题意知∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,则D(0,0),A(1,0),B（ ）,C(0, ).设E(0,y)(0≤y≤ ),则 =(-1,y), =（- ,y- ）,∴ +y2- y=（y- ）2+ ,∴当y= 时, 有最小值 .
C.a∥bD.|a|>|b|
【答案】A
【解析】由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.
12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC的边长为2 ,平面ABC内的动点P,M满足| |=1, ,则| |2的最大值是()
∴(| |2)max= +1]2= ,
故选B.
13.(2016·天津·文T7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为 ()
A.- B. C. D.则 )+ .
8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°, =2 =2 ,则 的值为()
A.-15B.-9
C.-6D.0
【答案】C
【解析】连接MN,∵ =2 =2 ,∴ =3 =3 .∴MN∥BC,且 ,∴ =3 =3( ),
∴ =3( )· =3( -| |2)=3 =-6.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.
所以cos<a,b>= ,
所以a与b的夹角为 ,故选B.
3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 =()
A. B.
C. D.
【答案】A
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.
∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.
∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.
6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()
9.(2017·全国2·理T12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 ·( )的最小值是()
A.-2B.-
C.- D.-1
【答案】B
【解析】以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.
可知A(0, ),B(-1,0),C(1,0).
设P(x,y),则 =(-x, -y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y).
所以 =(-2x,-2y).
所以 ·( )=2x2-2y( -y)=2x2+2 ≥- .
当点P的坐标为 时, ·( )取得最小值为- ,故选
10.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 =λ +μ ,则λ+μ的最大值为()