3.3.1函数的单调性与导数 课件

答案：C
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5．确定函数 f(x)＝x－x3 的单调区间．
3 3 解：f′(x)＝1－3x .令 1－3x >0，解得－ <x< . 3 3 3 3 因此，函数 f(x)的单调增区间为(－ ， )． 3 3 3 3 2 令 1－3x <0，解得 x<－ 或 x> . 3 3 3 3 因此，函数 f(x)的单调减区间为(－∞，－ )，( ，＋∞)． 3 3
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1 3 1 2 练 3 若函数 f(x)＝ x － ax ＋(a－1)x＋1 在区间(1,4) 3 2 上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取 值范围．
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[解] 解法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1， 由题意知 f′(x)≤0 在(1,4)上恒成立， 且 f′(x)≥0 在(6，＋∞)上恒成立． 由 f′(x)≤0 得 x2－ax＋a－1≤0.∵x∈(1,4)， 2 x －1 ∴x－1∈(0,3)，∴a≥ ＝x＋1. x－1 又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5.①
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1 2 (2)y′＝ (2x－1)′＝ . 2x－1 2x－1 2 1 令 y′＝ >0，解得 x> ， 2 2x－1 1 因此，y＝ln(2x－1)的单调递增区是为( ，＋∞)， 2 2 1 再令 y′＝ <0，解得 x< . 2 2x－1 1 这与 x 的定义域为{x|x> }矛盾． 2 所以此函数无单调递减区间.
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由 f′(x)≥0 得：x2－ax＋a－1≥0. ∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>0， 2 x －1 ∴a≤ ＝x＋1. x－1 又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7.② ∵①②同时成立，∴5≤a≤7. 经检验 a＝5 或 a＝7 都符合题意， ∴所求 a 的取值范围为[5,7]．
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解法二：函数 f(x)的导数 f′(x)＝x －ax＋a－1. 令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝a－1. 当 a－1≤1，即 a≤2 时，函数 f(x)在(1，＋∞)上为增函 数，不合题意， 当 a－1>1， 即 a>2 时， 函数 f(x)在(－∞， 1)上为增函数， 在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数． 依题意当 x∈(1,4)时，f′(x)<0， 当 x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0. ∴4≤a－1≤6，即 5≤a≤7. ∴a 的取值范围是[5,7].
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[点拨] (1)利用导数判定可导函数 f(x)在(a，b)内的单调性的方 法：①求 f′(x)；②确认 f′(x)在(a，b)内的符号；③作出结 论． (2)在区间(a，b)上，f′(x)>0(或 f′(x)<0)，f(x)在这个区 间上单调递增(或单调递减)，但当 f′(x)＝0 时，在区间(a， b)内存在有限个实数根时，不影响函数的单调性．
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练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝x3－2x2＋x； (2)y＝ln(2x－1)．
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[解] (1)y′＝3x2－4x＋1. 1 令 3x －4x＋1>0，解得 x>1 或 x< ， 3 3 2 因此，y＝x －2x ＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－ 1 ∞， )． 3 1 2 再令 3x －4x＋1<0，解得 <x<1. 3 1 3 2 因此，y＝x －2x ＋x 的单调递减区间为( ，1)． 3
[答案] B
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求函数的单调区间 例 2 求下列函数的单调区间： x e 2 (1)f(x)＝x －lnx；(2)f(x)＝ . x－2
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[解] 根据可导函数求单调区间的基本步骤求解． (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 1 2x－1 2x＋1 f′(x)＝2x－ ＝ . x x 2 因为 x>0，所以 2x＋1>0，由 f′(x)>0 得 x> ，所以 2 2 2 函数 f(x)的单调递增区间为( ， ＋∞)； 由 f′(x)<0 得 x< ， 2 2 2 又 x∈(0，＋∞)，所以函数 f(x)的单调递减区间为(0， )． 2
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[解] (1)由已知，得 f′(x)＝3x2－a. 因为在实数集 R 上 y＝f(x)单调递增， 2 所以 f′(x)＝3x －a≥0 对 x∈R 恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 综上，当 a≤0 时，y＝f(x)在实数集 R 上单调递增．
答案：A
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4．设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下 图甲所示，则 y＝f(x)的图象最有可能是( )
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解析：由图象可知，当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所 以函数 f(x)在(－∞，0)上递增；当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，所 以函数 f(x)在(0,2)上递减；当 x∈(2，＋∞)时，f′(递增．注意观察导函数 f′(x)的图 象的特征，根据图象划分好区间．
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思考探究 在区间(a，b)上，若 f′(x)>0，则 f(x)在此区间上单调递 增，反之也成立吗？
提示：不一定成立，比如 y＝x 在 R 上为增函数，但其 在 0 处的导数等于 0.也就是说 f′(x)>0 是 y＝f(x)在某个区间 上是递增的充分不必要条件．
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1.函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1 的单调递减区间为( A. (1,2) B. (2，＋∞) C. (－∞，1) D. (－∞，1)，(2，＋∞)
3．已知函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取 值范围的步骤 (1)求导数 y＝f′(x)； (2)转化为 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在 x∈[a，b]上恒成立 问题； (3)由不等式恒成立求参数范围； (4)验证等号是否成立．
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4．“函数变化快慢与其导数的关系”
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练 1 函数 f(x)＝xln x，x∈(0,5)( ) A. 是增函数 1 1 B. 在(0， )上是减函数，在( ，5)上是增函数 e e C. 是减函数 1 1 D. 在(0， )上是增函数，在( ，5)上是减函数 e e
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1 1 [解析] f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，由 f′(x)>0 得 x> ， x e 1 又 x∈(0,5)，所以函数的单调递增区间为( ，5)；由 f′(x)<0 e 1 1 得 x< ，所以函数的单调递减区间为(0， )． e e
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(2)假设 f′(x)＝3x2－a≤0 对 x∈(－1,1)恒成立， 则 a≥3x2 对 x∈(－1,1)恒成立． 2 因为－1<x<1，所以 3x <3.所以只需 a≥3. 综上可知，存在实数 a≥3， 使 y＝f(x)在(－1,1)上单调递减．
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[点拨] 已知函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤： (1)求导数 y＝f′(x)； (2)转化为 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在 x∈[a，b]上恒成立 问题； (3)由不等式恒成立求参数范围．
a 解析：f′(x)＝6x ＋2ax，由 f′(x)＝0 得 x＝0 或－ ， 3 a 由条件可知，－ ＝2 即 a＝－6. 3 答案：C
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3．若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则 函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
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解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则 函数 f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
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利用单调性求参数的取值范围 例 3 已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)若在实数集 R 上 y＝f(x)单调递增，求实数 a 的取值 范围； (2)是否存在实数 a，使 y＝f(x)在(－1,1)上单调递减？若 存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[ 分析 ] 由在实数集 R 上 y ＝ f(x) 单调递增，可知 f′(x)≥0 对 x∈R 恒成立，进而可以求出 a 的取值范围．
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1.函数的单调性与导数 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时， 应先确定函数 的定义域，解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函 数的单调区间． (2)一般利用使导数等于 0 的点来划分函数单调区间．
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(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不只一个， 那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而用“逗号”或 “和”字隔开． (4)若在某区间上有有限个点使 f′(x)＝0，在其余的点 恒有 f′(x)>0，则 f(x)在该区间仍为增函数． 在某一区间内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 f(x)在该区间 上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例 如 f(x)＝x3)
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利用单调性证明不等式 例 4 设 a，b 是正实数，e<a<b，其中 e 是自然对数的 b a 底．求证 a >b .
[分析] 这是一个指数形式的不等式，运用常规证明方 法比较困难．∵b>a>e，∴ab>ba⇔blna>alnb，故可尝试构造 lnx 函数 f(x)＝ 或 f(b)＝blna－alnb，用函数单调性来证明． x
判断函数的单调性 3 例 1 判断 y＝ax －1(a∈R)在 R 上的单调性．
[分析] 利用导数值的符号来确定函数的单调性．
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[解析] ∵y′＝3ax2. 当 x∈R 时，x2≥0， (1)当 a>0 时，y′≥0，则函数在 R 上单调递增； (2)当 a<0 时，y′≤0，则函数在 R 上单调递减； (3)当 a＝0 时，y′＝0 恒成立，则函数在 R 上不具有单 调性．
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