东南大学高等数学(A)05-06-3期中试卷答案
大一高等数学期中资料整理
东南大学交通学院高等数学历年试卷——东南大学交通学院研学部整理第一部分 历年试卷2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='= x f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim)( 2，则=x x f )( 在 处间断，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x 处的带在1)(== 余项的三阶Taylor 公式为 。
4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=x ye xy x y y ，则=dy .5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f .6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 。
三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-.五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
东南大学考试卷(A)2005-2006学年高等数学期末试卷(后附答案)
共 6 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（B ）期末考试学期 05-06-3得分适用专业 选学高数（B ）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 150分钟一、 填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．设函数(,)z z x y =由方程e y zz x =确定，则d z = ；2．曲线23,,x t y t z t ===在对应于1t =-的点处的切线方程是 ；3．曲面e 3zz xy ++=在点(2,1,0)M 处的切平面方程为 ； 4．交换积分次序101d (,)d x x f x y y -=⎰ ；5．向量场22223342x yz xy z xyz =++A i j k 在点(2,1,1)处的散度div =A ；6．()221sin d d x y x x y x y +≤+=⎰⎰；7．空间区域Ω为2222x y z R ++≤，则V Ω的值为 ；8．已知曲线积分()()3ecos ()d e sin d xx Ly yf x x x y y ++-⎰与路径无关，则()f x = ； 9．已知()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z = 。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，满分32分） 10．设()20,e d x ytz f t t =⎰，其中f 具有一阶连续偏导数，求zx ∂∂及2z x y∂∂∂。
共 6 页 第 2 页第2页 11．计算二次积分：110d d x yx y ⎰12．问通过两直线223112x y z -+-==-和111121x y z -+-==-能否决定一平面？若能，则求此平面的方程。
13．设半球体:02z Ω≤-≤z μ=，试求半球体Ω的质量。
共 6 页 第 3 页三．（14）（本题满分10分）设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其面积记为S ，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值。
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
东南大学2009-2010学年高等数学A(期末)考试试题及答案
共 8 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学A 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分 ；2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ；3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ；4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==；5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ；6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 8 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y xz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂. 11．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12n nn x n∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 8 页 第 3 页三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。
东南大学08-09-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准.
08-09-3高数A期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛区间是；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.将函数在上展开为余弦级数，其和函数在点处的函数值；7. 设为圆周，取逆时针方向，则积分的值是；8.留数；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）判别级数的敛散性．解，（5分）由比值法得知级数收敛。
（2分）12．（本小题满分8分）判别级数是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.解显然，记，令，得，当时，单调递减，由判别法得知级数收敛，（4分）且，而级数发散，由比较判别法得知级数发散，（3分）故条件收敛。
（1分）13. （本小题满分8分）将函数展开为以为周期的级数.解，（1分），（2分），（3分）于是由收敛定理得：（2分）三（14）．（本题满分7分）求幂级数的收敛域与和函数.解收敛域为，（1分）令，则（3+3分）四（15）。
（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.解（1+2分）（2+2分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）设，若存在常数，使得，则收敛.证由于，故正数列单调递减且有下界，数列收敛，（3分）从而得正项级数的部分和收敛，即收敛，再由比较判别法得收敛.（3分）或证由，得正项级数的部分和有上界，即得收敛，（3分）再由比较判别法得收敛.（3分）。
05-06-3高等数学B期中试卷答案 东南大学高等数学试卷
,
1 xn ln(1 x) （2 分+2 分） n1 n
故
n1
n2 1 xn n
x (1 x)2
ln(1
x)
(| x | 1) （1 分）
13．解： 12 5x 6 5x x2
1 1
x
1
（2 分） 1n
1 x
n0
xn 6n
xn , （2 分+2 分）
n0
6
12 5x
6 5x x2
（1 分）， a1 a2 AB 0 ， a1不平行于a2 ， 两直线相交（2 分）
n=a1 a2 0, 2, 1 （2 分） 得平面方程为 2y z 4 0 （2 分）
五．（16）（本题满分 8 分）方程两边对 x 求偏导： 5z4 z z4 4xz3 z 3yz2 z 0 (1)
an
an
an A
Sn有界 （4 分）
则级数
n1
1
an1 an
收敛.（1
分）
七．（18）（本题满分 7 分）
xn
fn (x)
n
C
e
x
fn
(1)
e n
fn (x)
xnex n
（3 分）
n1
fn (x)
n1
xnex n
ex
n1
xn n
ex ln(1 x) ,
x [1,1) （3 分+1 分）
6 yz
z y
z x
3yz2
2z xy
0,得
2z xy
（| 0，0）
3 25
（4 分）
六．（17）（本题满分 7 分）
an
单调递减，an 0
东南大学历年高数期中考试汇编
历年高数期中试卷汇总02-03非电下期中试卷一、 单项选择题（2143'=⨯'）在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是： （A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。
1．∑∞=-2ln )1(n n nn（ ）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n nu （ ）； 3．3sin313π∑∞=n n n n（ ）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p xdx（ ）。
二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设平面01472 =-++z y x ：π及直线32 ,1 ,31-=+==t z t y t x L ：， 332111 2--=+=--z y x L ：，则（ ）（A ）π∥1L ； （B ）1L ⊥π； （C ）π∥2L ； （D ）2L ⊥π。
2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕x 轴旋转而成的曲面方程为（ ）（A ）122222=++b z y a x ； （B ）122222=++b y a z x ； （C ）2222b y a x z +=； （D ）12222-+=by a x z 。
3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（ ） （A ）b a ⊥； （B ）c b ⊥； （C ）a c ⊥； （D ）共面 , ,c b a。
4．两非零向量a 及b 的方向角分别为 , ,γβα及γβα''' , ,，则=) ,cos(b a（ ）（A）γβαγβα'''+cos cos cos cos cos cos ； （B ）γγββαα'+'+'cos cos cos cos cos cos ；（C）)cos()cos()cos(γγββαα'++'++'+；（D ）)cos()cos()cos(γγββαα'-+'-+'-。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷4套
姓名
课程名称 适用专业
东南大学考试卷
高等数学 A（期中） 考 试 学 期 0 9 - 1 0 - 3 得分 选学高数 A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
得分
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．由方程 xyz + sin(π z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 (1, 0,1) 处的全微分 dz = ；
共4页
第2页
∫∫∫ 13． 求极限 lim 1
sin(x2 + y2 &# →0+
5 x2 + y2 +z2 ≤t2
∫∫ 14．计算 xdy ∧ dz + z2dx ∧ dy ，其中 S 为 z = x2 + y2 与 z = 1所围成的立体的表面， S
取外侧.
四（15）（本题满分 8 分）求密度为1，半径为 R 的上半球面对球心处单位质量质点的
(1, 1, 1)
¨
4. I =
|y − x2| max{x, y}dxdy.
0≤x≤1 0≤y≤1
‹
5.
(x2 + y)dS,
S
x2 + y2 ≤ z ≤ 1
S
.
4
3
8
f (z) = u+iv
f (0) = −3i , f (z) . (
z)
,
u(x, y) = x2−y2+4x,
8
z = 2(x2 + y2) z = 3 − x2 − y2
z0
;
fx, fy, z = f (x, y)
高数电(期中)考试试题
1 / 4东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（A ）考试学期 05-06-3得分适用专业 选学高数（A ）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y xy x y +≤+=⎰⎰ ；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y t π=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ]2 / 4(A)π (B)π- (C)0 (D)π2 （第2页） 9． 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续； （B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界； （C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。
东南大学高等数学a教材答案解析
东南大学高等数学a教材答案解析高等数学A是一门重要的数学课程，它对于学生提高数学理论水平和解决实际问题具有重要意义。
然而，在学习高等数学A过程中，很多学生都会遇到一些难题，需要教材答案解析的帮助。
本文将根据东南大学高等数学A教材，对一些典型题目进行解析，帮助学生更好地理解和掌握高等数学A的知识。
第一章: 函数与极限1.1. 函数的概念与性质在这一章中，我们首先介绍了函数的概念与性质。
函数是一种映射关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
通过掌握这些性质，我们可以更好地理解函数的特点与行为。
1.2. 三角函数与函数的图像三角函数是高等数学A中的重要内容。
在这一小节中，我们重点介绍了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质以及它们的图像。
掌握三角函数的图像可以帮助我们更好地理解其周期性、振幅等特点。
1.3. 函数的极限与连续性函数的极限是高等数学A中的关键概念之一。
我们在这一小节中通过一些例子详细解析了函数极限的定义、性质以及计算方法。
同时，我们还介绍了函数的连续性与间断点的概念，帮助学生理解函数在某一点是否具有连续性。
1.4. 函数的导数与微分函数的导数与微分是高等数学A中的重要内容。
我们在这一小节中详细解析了导数的定义、计算方法以及导数的几何意义。
同时，我们还介绍了微分的概念与计算方法，帮助学生理解函数的变化率与微分之间的关系。
第二章：定积分与不定积分2.1. 定积分的概念与性质定积分是高等数学A中的重要内容。
在这一章中，我们首先介绍了定积分的概念与性质，包括定积分的定义、区间的选取以及定积分的性质。
帮助学生掌握定积分的含义及其计算方法。
2.2. 定积分的计算方法在这一小节中，我们重点介绍了定积分的计算方法。
通过具体的例子和详细的步骤，帮助学生理解和掌握定积分的计算过程，包括换元法、分部积分法等。
2.3. 不定积分的概念与计算方法不定积分是定积分的逆运算。
05东南大学高等数学试卷 期中试卷
14. 计算 x2 d s ，其中 L 是曲面 x2 y2 z2 9 与平面 z 5 的交线。
L
四（15）.（本题满分 7 分）求由曲面 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成的立体的表
面积。
五（16）.（本题满分 9 分）在曲面 x2 y2 z2 1 (x 0, y 0, z 0) 上求一点 P ，
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
05高A期中试卷
一. 填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1. 设 z z(x, y) 由方程 x cos y y cos z z cos x 2 所确定，则 dz
。
2. 设 z i1i ，则 Im z
6. 设 I1
1
dx
1
1 x2 0
xy 2
f
x2 y2 dy ，I2
2 d
0
1 f ( 2 ) d ，其中 f (t) 是连
0
续函数，则有
[]
(A) I1 I2
(B) I1 I2
(C) I1 2I2
(D) I1 I2
7.
曲线
x
2
y2
z2
6 在点 (1, 2,1) 处的切线必定平行于平面
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止 于 至 善
三. 计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）
10.
设z
f
x
sin
y,
x y
,
其中
f
具有二阶连续偏导数，求 2 z xy
东南大学高等数学期中期末试卷15页
第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学（非电） 考试学期 04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()=x f . 3.()()=-+⎰--x x x x xd e e1112005.4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,()x f 取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是[ ] (A)()()x x βα2 (B)()()xx x 1sin22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln(D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane 212+-++=x x x x y x的渐近线共有[ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条第 2 页3. 下列级数中收敛的级数是[ ] (A)∑∞=121n n(B) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n (C) ()nn nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=111(D)∑⎰∞=+1104d 1n n x xx4. 下列结论正确的是[ ](A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln limx t t t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x x x .5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设b a <<0,求证()ba ab a b +->2ln. xln第 3 页六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111<=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn n n n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分2 3. 原式=()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x第 4 页4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x xx=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x x π5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x xy -=,原方程的通解为x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e ),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e =ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f第 5 页()1,0112≥≥-=''t tt t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证. 分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时, ())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xtt f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式 闭考试时间长度 150分钟第 7 页4.下列结论正确的是 [ ]一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝ 。
(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准
高等数学(A) 06-07-3期中试卷参考答案及评分标准•填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1 .曲线xyz 1在点(1,1,1)处的切线方程为y 1 M ;x y 2 32.方程xyz x2y2、2所确定的函数z z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分为dz dx 2dy ；交换二次积分的积分次序0i d y21 yf (x, y)dx2 01 dx 1 x f(X,y)dy ;4. 设曲线C : x cost, y sin t, z 、3,0 t ，则c '■■■ x2 y2 z2ds5. 设曲面：x1，则b(x y)ds 加.二.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)6•设f(z) 2xy i x2那么D] (A) f (z)在原点解析(B)f(Z)在复平面上处处不可导(C) f (z)仅在原点可导(D) f (z)仅在实轴上可导cos7.二次积分df( cos ,sin )d可以写成1 (A) o dy1 (C) °dxy y21f(x, y)dyf(x, y)dx1 / y2(B) 0dy 0 f(x, y)dx1 4 X X2(D)0dx 0 f(x, y)dy&设由3x2y2乙z 1 x2所围成,f(x,y,z)dv C]1 (A) 4 2dx0 』1 4x2 1 x2dy3x2 y2f (x, y,z)dz (B)12 "dxi! 4x2R dy1 x23x2 y2f (x, y,z)dz1 (C) 21 dx2 -h4x2 1 x21 4x2 dy 3x2 y2 f (x, y, z)dz (D) 1 4x2—3x21 x2y2f(x, y, z)dz2x y9.函数f (x,y) x4 y2x2 x2(A )连续且偏导数存在y2y2在(0, 0)点处(B)连续但偏导数不存在24(C )不连续但偏导数存在 (D )不连续且偏导数不存在三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10.设 f (x,y),g(x,y)有连续的二阶偏导数，令(x) f(x,g(x,x 2))，求dx11.求函数u z 2、. x 2 2y 2在点M 0 1,1,1处沿曲面2方向上的方向导数•.6 ,6 - 1 2 26 3 33 3 3f (i).解dx 1f2 © 2xg 2)(3 分)d 2 dx 21122f 12 (g 1 2xg 2) f 22 © 2xg 2) f 2 (g1124xg 12 4x g 22 2g ?) (5 分)u(M 。
高数(A)期末试卷
共4 页
第2 页
13．计算第二型曲面积分 y( x z) d y d z x( z y) d x ，d其y中 S 为锥面
S
z x2 y2 被平面 z 1,
8
分）设 0
an
1 n
，则下列级数 (a)
；
x2 y2 z2 t2
封
作
弊
4．设闭曲线 C : x2 y2 1，取逆时针方向，则 ydx x2dy
；
C
此 答
5．设 S : x2 y2 z2 R2 ，则曲面积分
S
1
dS 的值是
x2 y2 z2
；
卷
无
6．已知 (ax sin y bx2 y)dx (x3 x2 cos y)dy 为某函数 u(x, y) 的全微分，则 a
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称
高等数学 A
考 试 学 期 1 0 - 1 1 - 3 得分
适 用 专 业 选学高数 A 的各专业 考 试 形 式
闭卷
考试时间长度 150 分钟
自
觉
题号
一
二
三
四
五
六
七
遵
得分
守
批阅人
考
一．填空题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 3 6 分）
场 纪 律
n1
an
，
(b) (1)n an ，
n1
(c)
an ，(d ) (1)n an2 中肯定收敛的是哪些级数？未必收敛的是哪些级数？对于肯
n 1
n1
定收敛的情形，请给出证明；对于未必收敛的情形，请举发散级数的例子，并予以说明.
06东南大学高等数学试卷 期中试卷
六（17）. （本题满分 6 分）设函数 z f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 fy 0 ，证明： 对任意常数 C , f (x, y) C 为一直线的充分必要条件是 ( f y )2 f xx 2 f x f y f xy f yy ( f x )2 0
止 于 至 善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10．设
f
(x, y), g(x, y) 有连续的二阶偏导数，令(x)
f
(x, g(x, x2 )) ，求
d 2 dx2
.
11. 求函数 u z2
x2
2y2
在点
M
0
1,
1 2
,1
处沿曲面
x2 4
y2
z2 2
1 在该点的外法线
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
06高A期中试卷
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．曲线
xyz x
y
1
2
在点
(1,1,1)
处的切线方程为
；
2．方程 xyz x2 y 2 z 2 2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0,1) 处的全微分
（A） 4 2 dx
0
0
dy
f (x, y, z)dz （B） 2 2 dx
dy
f (x, y, z)dz
3x2 y2
0
14 x2
3x2 y2
1
14 x2
1 x2
C）
2 1
dx
dy
14 x2
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05-06-3高等数学（A ）期中试卷参考答案 06。
4。
21
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1．sin cos sin cos d d cos sin cos sin z x y x y z
x y x y z x y z
--+--；2．22e k π
π+；3．(2)f ；4．0；5．12-
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）：6．C ；7．A ；8．B ；9．D 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分) 10．
121
sin z f y f x y
∂=+∂ 2111122212222211cos cos sin cos z x x f y f x y f y f f x y f x y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂=+--+- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭
⎝⎭()1211122222311cos sin 2cos sin 2x x
f y f f x y y y y f f y y y
=-
++-- 11．
e (cos sin cos )1x v u x y y y y y x
∂∂==-++∂∂，e (sin cos )()x v x y y y y x ϕ=+++， e (sin sin cos )x u v
x y y y y y x
∂∂=-++=-∂∂，()0,()x x C ϕϕ'==， e (sin cos )x v x y y y y C =+++，()e z f z z z C =++
12．由22
22
1
2x y x y x
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得3πϕ=，从而得积分区域为：12cos ,03πρϕϕ≤≤≤≤，2cos 330
1
d sin cos d d D
xy π
ϕ
σϕϕϕρρ=⎰⎰⎰⎰
9
16
=
13．
)
22cos 2
320
d d sin d d x y V V π
π
θ
ϕθθρρΩ
Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
85
π=
14．L 的参数方程为2cos ,2sin ,(02)x t y t z t π==≤≤，d 2d s t =
2220d 8cos d 8L
x s t t π
π==⎰⎰ 四（15）．（本题满分7分）所求曲面在xOy 平面的投影区域为22
:1D x y +≤，对曲面
2
2y
x
z+
=而言，
d d
S x y
=，对曲面2
2
2y
x
z+
-
=
而言，
d d
S x
y
=
，
21
00
d d
Sπϕρρπ
==
⎝
⎰⎰
五（16）．（本题满分9分）设(,,)(,,0)
P a b c a b c≥是椭球面上的一点，切平面方程为
1
419
x y z
a b c
++=，
1366
6
V
abc abc
=⋅=，
22
21
49
a c
F abc b
λ
⎛⎫
=+++-
⎪
⎝⎭
，令
2
0,20,0
29
a b c
a c
F bc F ac b F ab
λλ
λ
=+==+==+=，
22
21
49
a c
b
++=
解得唯一驻点：a b c
===
P
即为所求，
min
V=
六（17）．（本题满分7分）
()cos
()
x x
x
x x
ϕ
ϕ'+=，
sin
()
x C
x
x
ϕ
+
=，由2
2
π
ϕ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
得1
Cπ
=-，
sin1
()
x
x
x
π
ϕ
+-
=，
(,)(,)
(1,0)
(1,0)
sin1sin1(sin1)
cos d d1
x y x x y
x x y
x x x x
ππππ
πππ
π
+-+-+-
⎛⎫
-+==- ⎪
⎝⎭
⎰
七（18）．（本题满分6分）∑在yOz平面的投影区域为222
:,0
yz
D y z a z
+≤≤
，
23
10
2
2d2d d
3
yz
D
I y z a
π
π
ϕρπ
=-=-=-
⎰⎰，
∑在xOy平面的投影区域为222
:
xy
D x y a
+≤，
(()
22
223 200
11
d d d22d
6 xy
a
D
I a x y a a
a a
ππ
ϕρρρ==-=⎰⎰⎰⎰
3
122
I I I a
π
=+=-。