2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学业分层测评苏教版

3.3 几何概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．用随机模拟的方法来估计圆周率π的近似值．在正方形中随机撒一把芝麻，如果撒了1 000颗芝麻，落在正方形内切圆内的芝麻点数为778颗，那么这次模拟中π的近似值是________．
【解析】 根据几何概型及用频率估计概率的思想，πR 2
4R 2＝π4＝778
1 000，其中R 为正方
形内切圆的半径，解得π＝3.112.
【答案】 3.112
2．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的
概率为________．
【解析】 欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，
∴x ∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝2
3.
【答案】 2
3
3．如图3­3­5，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是
________.
图3­3­5
【解析】 以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60°360°＝1
6
.
【答案】 1
6
4．若将一个质点随机投入如图3­3­6所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则
质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．
图3­3­6
【解析】 由题意AB ＝2，BC ＝1，可知长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，以AB 为直径的半圆的面积S 1＝12×π×12
＝π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝π22＝π4
.
【答案】
π4
5．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
【解析】 边长为3,4,5构成直角三角形，
P ＝
－1－＋
－1－＋－1－
3＋4＋5
＝
612＝12
. 【答案】 1
2
6．一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点
B 或顶点
C 的距离小于1的地方的概率为________．
【解析】 由题意知，三角形ABC 为直角三角形，
则S △ABC ＝1
2
×6×8＝24，
记“恰在到顶点A 或B 或C 的距离小于1”为事件A . 则事件A 发生的图形为图中阴影部分面积， 因为S 阴＝12×π×12
＝π2
所以P (A )＝S 阴
S △ABC ＝π
224＝π48
.
【答案】
π48
7．已知集合A ＝{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}，现在集合内任取一点，使得x 2
＋y 2
≤1的概率是________．
【解析】 集合A 表示的平面图形是如图所示的边长为1的正方形，其内切圆为x 2
＋y 2
＝1.
设“在集合内取一点，使得x 2
＋y 2
≤1”为事件A ，即所取的点在单位圆x 2
＋y 2
＝1上或内部．由几何概型知P (A )＝
π4
. 【答案】
π4
8．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC
＜1
2
V S ­ABC 的概率是________． 【解析】 如图，由V P ­ABC ＜1
2V S ­ABC 知，P 点在三棱锥S ­ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1
－
VS ­A 0B 0C 0V S ­ABC ＝1－18＝7
8
.
【答案】 78
二、解答题
9．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．
【解】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23
.
两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：
P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫132
12
＝89
. 10．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )．
(1)求当x ，y ∈R 时，点P 满足(x －2)2
＋(y －2)2
≤4的概率； (2)求当x ，y ∈Z 时，点P 满足(x －2)2
＋(y －2)2
≤4的概率．
【解】 (1)如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2
＋(y －2)2
≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．又
S 正方形ABCD ＝4×4＝16，
S 扇形＝π，
∴P 1＝
S 扇形
S 正方形ABCD ＝π
16
.
(2)若x ，y ∈Z ，则点P 的坐标有(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1,1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)， (2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共25个，满足(x －2)2
＋(y －2)2
≤4的有(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)共5个，∴点P 满足(x －2)2＋(y －2)2
≤4的概率P 1＝525＝15
.
[能力提升]
1.如图3­3­7，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．
图3­3­7
【解析】 由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92
－π×22＝77π cm 2
，故所求概率为77π81π＝7781
.
【答案】
7781
2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．
【解析】 由A ∩B ≠∅的概率为1知直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径1，即|a |
2
≤1.解得－2≤a ≤ 2.
【答案】 [－2，2]
3．在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1
内随机取一点P ，则点P 到点O 距离大于1的概率为________．
【解析】 与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面(如图)，
半球体积为V 1＝12×43π×13
＝2π3
.
“点P 与点O 距离大于1”事件对应的区域体积为23
－2π3，则点P 与点O 距离大于1
的概率是23
－
2π323
＝1－π
12
. 【答案】 1－π
12
4．设关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，
求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
【解】 设事件A 为“方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根”．
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根等价于Δ＝4a 2
－4b 2
≥0, 即a ≥b .
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝3
4.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．
构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．(如图阴影区域所示) 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3
.。