2018版高中数学平面解析几何初步2.1.1直线的斜率学业分层测评苏教版
2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.1直线的斜率课件2苏教版PPT课件
1.理解直线倾斜角的定义，知道直线倾斜 角的范围；
2.掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系; 重点和难点：直线的斜率与倾斜角之间的
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一、知识回顾
分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（2,1），（3,1） k 0 （2）（2,3），（1,4） k 1 （3）（a,-2）, （1，a2 4）a 1时，k不存在，
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二、知识建构
直线的倾斜角与斜率的关系是
当直线与x轴不垂直时，k tan
问：当直线与x轴垂直呢？
y
斜率不存在， 900
o
x
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三、基础检测
1. 过两点A（2,3），B（1,4）的直线的斜率为 1 ， 倾斜角为 1350
2. 过两点A（4,2m+1），B（2,-3）的直线倾斜角45°，
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五、课堂小结
1.一个概念：倾斜角
2.一种关系：k tan（ 900）
3.一个思想：数形结合 4.两种题型：求求过直两线点的的倾直斜线角的与倾斜斜率角的的范值围
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谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
(x1, y1)A
o
N
x
k
y2 y1 x2 x1
BN AN
tan
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二、知识建构
(x2 , y2 )
B
N
o
y （2）当直线斜率为负时，直线的倾斜角为钝角
(x1, y1)
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学案苏教版
2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－－＝1，l的方程为y－1＝1·(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(×) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0×(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2×(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末综合测评苏教版必修220170722269
(二)平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．3 3 3【解析】l：y＝x＋，k＝，∴α＝30°.3 3 3【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】 2 33．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．|－1－m＋1| |m|【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝＝<1＝r.故直线l与圆C相m2＋1 m2＋1交．【答案】相交14．关于x的方程4－x2＝(x－2)＋3解的个数为________个.21 1【解析】作出y＝4－x2和y＝(x－2)＋3＝x＋2的图象(略)．可看出直线与半圆有两2 2个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．1【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为.又直线在x轴上31 的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即x－33y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 417．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．|0＋0－15| 【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.32＋42【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】(2,4)11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．a 3 1【解析】由l1∥l2可知＝≠，2 a＋1 1解得a＝－3或a＝2(舍)，∴a＝－3.1 ∴l1：－3x＋3y＋1＝0，即x－y－＝0，31 l2：2x－2y＋1＝0，即x－y＋＝0，21 1|－－2|35 2∴l1与l2间的距离d＝＝.2 1225 2【答案】1212．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是__________．【解析】由圆C的方程x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可得圆心C(－2,2)，由题意知直线l过OC 的中点(－1,1)，又直线OC的斜率为－1，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.【答案】x－y＋2＝013．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________．【解析】设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆1 5 的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋(y－2 )2＝，①4圆C：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．【答案】2x＋y－3＝014．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________.【解析】∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴2≤2－r，即0<r≤2－ 2.【答案】(0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求m的取值范围；(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．【解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.(2)圆心(1,2)，半径r＝5－m，|1－4－1|因为圆和直线相切，所以有＝5－m，12＋－229所以m＝.516．(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3 2，求直线l的方程．【解】若l在两坐标轴上截距为0，|4k－3|设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3 2.1＋k2333 解得 k ＝－6±.此时 l 的方程为 y ＝ x ；14(－6 ±14) 22 若 l 在两坐标轴上截距不为 0， x y设 l ： ＋ ＝1，a a|4＋3－a | 即 x ＋y －a ＝0，则 ＝3 2. 12＋12 解得 a ＝1或 13.此时 l 的方程为 x ＋y －1＝0或 x ＋y －13＝0.3综上，直线 l 的方程为 y ＝(－6 ±14)x 或 x ＋y －1＝0或 x ＋y －13＝0.217．(本小题满分 14分)一个长方体的 8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)， (3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标；(3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，3＋0 0＋1 0＋93 1 9所以球心坐标为(，即 . ， ， ， ， 2) (2)222 2(3)因为长方体的体对角线长 d ＝ －32＋12＋92＝91，d 91 所以其外接球的半径 r ＝ ＝ . 2 2 44 91391π 所以其外接球的体积 V 球＝πr 3＝ π＝.3(2 )913618．(本小题满分 16分)已知圆 C 的圆心与 P (0,1)关于直线 y ＝x ＋1对称，直线 3x ＋4y ＋ 1＝0与圆 C 相交于 E ，F 两点，且|EF |＝4.(1)求圆 C 的标准方程；(2)设直线 l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆 C 的交点 A ，B ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程． 【解】 (1)点 P (0,1)关于直线 y ＝x ＋1的对称点，即圆心 C 的坐标为(0,1)，|0＋4＋1| 圆心C到直线3x＋4y＋1＝0的距离为d＝＝1.5所以r2＝12＋22＝5，得圆C的方程为x2＋(y－1)2＝5.4(2)联立得Error!消去y，得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.由于Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20>0，故l与圆C必交于两点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则Error!1 2 1消去m，得(x2)＋(y0－1)2＝.0－41 2 1∴M点的轨迹方程为(x－2 )＋(y－1)2＝.419．(本小题满分16分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；n－3(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．m＋2【解】(1)由题意知，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2 2.又|QC|＝[2－－2]2＋7－32＝4 2>2 2，∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.n－3(2)因为表示直线MQ的斜率，m＋2n－3所以设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)(k＝m＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由题意知直线MQ与圆C有交点，|2k－7＋2k＋3|所以≤22，1＋k2解得2－3≤k≤2＋3，n－3所以的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.m＋220．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.图1x0－8 y0＋2【解】设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为( ， 2 )，由条件可得：2Error!得Error!5解得Error!即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．y－0 x－5故所求直线BC的方程为＝，4－0 6－5即4x－y－20＝0.6。
18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时点斜式学案苏教版必修2
第1课时点斜式学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？梳理思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？梳理类型一直线的点斜式方程例1 写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外.跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________________.类型二直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y轴上的截距相等，则l的斜截式方程为__________________________________________. 反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l 的斜截式方程. (1)直线l 经过点M (m ，n )，N (n ，m )(m ≠n )； (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形.类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率. (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y 轴上的截距.跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的直线方程.1.直线3x －y ＋m ＝0的倾斜角为________.2.已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |＝________.3.过点(1,0)且在y 轴上的截距为－12的直线方程是______________.4.已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________________________________________________________________________.5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________________________________________________________________________.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是x－x1整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.答案精析问题导学 知识点一思考1 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0， 则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理 斜率k k (x －x 0) 知识点二思考1 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得y ＝kx ＋b . 思考2 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 梳理 y ＝kx ＋b 题型探究例1 解 (1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y －5＝2(x －2)． (2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0. (3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程． 跟踪训练1 (1)x ＝－3 (2)y ＋2＝3(x ＋1)例2 (1)y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 (2)y ＝－2x －2跟踪训练2 解 (1)由题意得直线l 的斜率为k ＝m －nn －m＝－1， 所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为－2， 所以l 与y 轴的交点为P (0，－2)， 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形， 又是直角三角形，所以l 与x 轴的交点为Q (－2,0)或(2,0)． 由过两点的斜率公式得k ＝－1或1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2或y ＝x －2. 例3 解 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ， 当y ＝0时，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.故直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.跟踪训练3 解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.当堂训练1．60° 2.3 3.x －2y －1＝0 4．x －2y ＝0 5.x ＝3。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.1 直线的斜率学业分层测评 苏教版必修2
2.1.1 直线的斜率(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法中，正确的是________．①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ②直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； ③若直线的倾斜角为α，则sin α>0；④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α.【解析】 α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin α＝0，故③错；④正确．【答案】 ④2．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则实数m 的值为__________． 【解析】 根据斜率公式得k AB ＝－1，k AC ＝6－2m3.∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴6－2m3＝－1.∴m ＝92.【答案】 923．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．【解析】 设直线l 的斜率为k ，当0°≤α<90°时，k ＝tan α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k ＝tan α<－1，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪[0，＋∞)4．若直线l 过原点，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是________.【导学号：41292064】【解析】 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．【答案】 90°≤α<180°或α＝0°5．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．【解析】 直线PA 的斜率k PA ＝2，直线PB 的斜率k PB ＝34，结合图象，可知直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤34.【答案】 k ≥2或k ≤346．若过点P (3－a,2＋a )和点Q (1,3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．【解析】 k ＝tan α＝3a －＋a 1－－a ＝2a －2a －2， ∵α为钝角， ∴2a －2a －2<0， ∴1<a <2. 【答案】 (1,2)7．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角用α表示为________．【解析】 设l 2的倾斜角为θ，当α＝0°时，θ＝0°； 当0°<α<180°时，θ＝180°－α. 【答案】 0°或180°－α8．已知过点(－3，1)和点(0，b )的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b 的取值范围是________．【解析】 因为30°≤α<60°，所以33≤k <3， 又k ＝b －13，所以33≤b －13<3，解得2≤b <4. 【答案】 2≤b <4 二、解答题9．△ABC 的三个顶点为A (1,1)，B (2,2)，C (1,2)，试求△ABC 三边所在直线的斜率和倾斜角．【解】 由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为k AB ＝2－12－1＝1，k AC 不存在，k BC ＝2－21－2＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.10．过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【导学号：41292065】【解】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－－3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－－－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 【答案】 (－2,1)2．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是__________． 【解析】 依题意，作出图形，k AO ＝2，k AB ＝0， 由数形结合可知k l ∈[0,2]．【答案】 [0,2]3．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y x的取值范围是________． 【解析】如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞4．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．【解】点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－13.设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13，解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.。
2018版高中数学平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学业分层测评苏教版
第1课时直线的点斜式( 建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、填空题1．以下对于方程y＝ k( x－2)的说法正确的选项是______． ( 填序号 )①表示经过点( － 2,0) 的全部直线；②表示经过点 (2,0)的全部直线；③表示经过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线；④经过(2,0)且除掉x轴的直线．【分析】直线 x＝2也过(2,0)，但不可以用y＝ k( x－2)表示．【答案】③2．斜率与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程是 ________．【分析】直线 y＝2x＋1的斜率为2，1∴所求直线的斜截式方程为y＝－2x＋4.1【答案】y＝－2x＋413．方程y＝ax＋a表示的直线可能是图2－1－ 2 中的 ________． ( 填序号 )①②③④图 2－ 1－2【分析】直线＝ax ＋1的斜率是，在轴上的截距1.当 >0时，斜率a>0，在y轴y a ay a a11上的截距a>0，则直线y＝ax＋a过第一、二、三象限，四个都不切合；当a<0时，斜率 a<0，11在 y 轴上的截距a<0，则直线 y＝ax＋a过第二、三、四象限，仅有②切合．【答案】②4．直线kx－y＋ 1＝ 3k，当k变化时，全部直线都经过一个定点，则这个定点的坐标是________.【导学号： 41292069】【分析】直线方程可化为y－1＝ k( x－3)，∴直线过定点(3,1) ．【答案】(3,1)5．直线经过点(1,2) ，在y 轴上截距的取值范围是(0,3)，则其斜率k 的取值范围是__________．【分析】设直线 l 的方程为： y＝ kx＋ b.由已知2＝k＋ b，∴ b＝2－ k，∴ 0<2－k<3，∴－ 1<k<2.【答案】( － 1,2)6．如图 2－ 1－3 所示，在同向来角坐标系中，正确的表示直线l 1： y＝ax 与 l 2： y＝ x ＋a 图象的大概状况的是________．(1)(2)(3)(4)图 2－ 1－3【分析】直线 l 2：y＝ x＋ a 的斜率为1，则倾斜角为45°，故 (2)(4)不正确；若a>0，直线 l 1： y＝ ax 的图象在一、三象限，直线l 2的图象应在一、二、三象限，故(1) 不正确；若 a<0，直线 l 1的图象在二、四象限，直线l 2的图象在一、三、四象限，故(3) 正确 .【答案】(3)7．直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距b 知足的条件为k________0，b________0(填“>”或“<”)．【分析】由图象 ( 略 ) 知，直线y＝kx＋ b 过二、三、四象限时k<0， b<0.【答案】< <18．已知直线y＝2x＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．【分析】令 y＝0，则 x＝－2k.令 x＝0，则 y＝ k，则直线与两坐标轴围成的三角形的12面积为 S＝2| k|·|－2k|＝ k .由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，因此k 的取值范围是k≥1或 k≤－1.【答案】k≥1或 k≤－1二、解答题9．已知△ABC在第一象限中，A(1,1)， B(5,1)，∠ A＝60°，∠ B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边， BC边所在直线的方程．【解】(1) ∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线 AB的方程是 y＝1.(2) 由图可知，k＝tan 60 °＝ 3 ，AC∴直线 AC的方程是 y－1＝3( x－1) ，即 3x－y－ 3＋ 1＝ 0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线 BC的方程是 y－1＝－( x－5)，即 x＋y－6＝0.10．已知等腰△ABC的极点A( － 1,2) ，AC的斜率为3，点B( －3,2) ，求直线AC， BC 及∠ A的均分线所在直线的方程．【解】直线 AC的方程： y＝3x＋ 2＋ 3.∵AB∥x 轴， AC的倾斜角为60°，∴ BC的倾斜角为30°或120°.3当α＝30°时，BC的方程为y＝3 x＋2＋3，∠ A 均分线的倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－3x＋ 2－ 3.当α＝120°时，的方程为y ＝－ 3 ＋2－3 3.BC x∠ A 均分线的倾斜角为30°，33∴所在直线方程为y＝3x＋2＋3.[ 能力提高 ]1．直线l过点P( － 1,1)，且与直线 l ′：2x－y＋3＝0及 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，则直线 l 的方程为__________．【分析】依据题意可知，所求直线l 的斜率是－ 2. 又由于直线l 过点 P(－1,1)，所以直线 l 的方程为2x＋ y＋1＝0.【答案】2x＋y＋ 1＝ 012．直线y＝ax－a的图象如图2－1－ 4 所示，则a＝ ________.图 2－ 1－4【分析】由图象知，直线斜率为－1，在y轴上的截距为1，故a＝－ 1.【答案】－ 133．直线l1过点P( － 1,2) ，斜率为－ 3 ，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线 l 1和 l 2的方程．【解】直线 l 1的方程是3y－2＝－3( x＋1)．3∵ k1＝－3＝tanα 1，∴ α 1＝150°.如图， l 1绕点 P 按顺时针方向旋转30°，获得直线 l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴ k2＝tan 120°＝－3，∴ l 2的方程为 y－2＝－3( x＋ 1) ，即 3x＋y－ 2＋ 3＝ 0.4．过点 (4,6) 作直线l 分别交x，y轴的正半轴于，两点，P A B(1)当△ AOB的面积为64时，求直线 l 的方程；(2) 当△AOB的面积最小时，求直线l 的方程.【导学号： 41292070】【解】设直线 l 的方程为 y－6＝ k( x－4)( k<0)．6令 x＝0， y＝6－4k，令 y＝0， x＝4－k.(1) ＝1×(6 － 4)× 4－6＝ 64，S2k k19解得 k＝－2或 k＝－2.故直线 l 的方程为 x＋2y－16＝0或9x＋2y－48＝0.1618(2) S＝2×(6 － 4k) × 4－k＝ 24－8k－k，∴8k2＋ ( S－ 24) k＋18＝ 0.由＝ ( S－ 24) 2－4×8×18≥0，得S≥48或 S≤0.3∴面积的最小值为48，此时k＝－2.3∴直线 l 的方程为 y－6＝－2( x－4)．即 3x＋ 2y－ 24＝ 0.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1直线的斜率学案苏教版必修2
2.1.1 直线的斜率【学习目标】1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性.3. 了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率ET问题导学 ------------------------------ 知识点一直线的倾斜角思考i在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢?思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？梳理(1)倾斜角的定义①在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________ 旋转到和直线重合时所转过的____________ 称为这条直线的倾斜角.②与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2) 直线的倾斜角a的取值范围为_____________ .(3) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1在日常生活中，我们常用“升册量”表示“坡度”，图(1) (2)中的坡度相同吗?思考2思考1中图的“坡度”与角 a , 3存在等量关系吗?梳理 （1）直线的斜率把一条直线的倾斜角 a 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 tan a .（2）斜率与倾斜角的对应关系图示J r n7^Cjrno倾斜角 （范围） a = 0°0°< a <90° a = = 90°90°< a <180°斜率（范围）k = 0k >0不存在k <0知识点三过两点的直线的斜率公式已知两点 Rx i,yJ ,Qx 2,y 2），如果x i ^X 2,那么直线 PQ 的斜率为k = __________________ （x 1^ X 2）.题型探究类型一直线的倾斜角反思与感悟（1）解答此类问题要注意倾斜角的概念及倾斜角的取值范围k 表示，即 k =图中开 雋(2)求直线的倾斜角主要根据定义，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论•跟踪训练1已知直线I向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角a .(1) A(2,3) , B(4,5)；⑵C( —2,3) , D(2 , - 1)；⑶P( —3,1) , Q —3,10).反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是"X1^X2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P , F2的先后顺序无关，也就是说公式中的X1与X2, y1与y2可以同时交换位置•⑵在0°< a <180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记倾斜角a0°30°45°60°120°135°150°斜率k031-羽—1並3跟踪训练2如图所示，直线丨1,丨2,丨3都经过点F(3,2)，又丨1,丨2,丨3分别经过点Q( —2, —1) , Q(4 , —2) , Q( —3,2)，计算直线I 1, I 2, I 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角•类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1) , B( —2, m) , C(6,8)在同一条直线上，求m的值•反思与感悟 斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的•直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等， 这正是利用斜率相等可证点共线的原因•跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点 A (2m,3)，B(2，- 1)，则m 的值为 _________________ 命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围 例4已知直线I 过点R1,0)，且与以A (2,1),巳0,3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围•反思与感悟(1)直线的倾斜角与斜率的关系nI Itan a , a € [0 , — U k =丿n不存在， a =~2 •具体变化规律:① 当倾斜角a 为0°时，斜率k 为0，直线平行于X 轴或与X 轴重合； ② 当倾斜角a 为锐角时，斜率k 为正且随着倾斜角 a 的增大而增大； ③ 当倾斜角a 为90°时，斜率k 不存在，直线平行于 y 轴或与y 轴重合；④ 当倾斜角a 为钝角时，斜率k 为负且随着倾斜角的增大而增大，其值可以由与之互补的 锐角求得• (2)研究直线的斜率的变化规律，通常先研究直线倾斜角的变化情况，再根据它们之间的关 系求出斜率的范围•y ——V o(3)代数式x ——的几何意义表示动点F ( x , y )与定点Qx 0, y °)连线的斜率.跟踪训练4已知A (3,3) , B ( — 4,2) , C (0，- 2).若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求 直线AD 的斜率的变化范围.当堂训练1. 对于下列说法：① 若a 是直线I 的倾斜角，贝U 0°W a <180°； ② 若k 是直线的斜率，则 k € R;I 7t③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确的有_________ 个.2. 若经过A(m,3),巳1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m= ______________________ .13. 若三点A(2,3) , B(3,2) , C(2, m)共线，则实数m的值为__________ .4. 经过A(m,3) , B(1,2)两点的直线的倾斜角a的取值范围是__________ .(其中m> 1)5. 已知交于点M8,6)的四条直线I 1, I 2, I 3, I 4的倾斜角之比为 1 : 2 : 3 : 4,又知I 2过点N5,3)，求这四条直线的倾斜角.七规律与方法所以 —1 — 2 k1= —2—3 3 5,问题导学知识点一 思考1 不能. 思考2 不同.梳理(1)①逆时针最小正角 (2)0 ° < a <180° 知识点二3 2思考1不同，因为㊁工~2知识点三屮一yX 2 — X 1题型探究例2解(1)存在.直线AB 的斜率 5— 3k AB = = 1，即 tan a = 1,4— 2 又0°W a <180°，所以倾斜角a = 45°.—1 — 3⑵存在.直线 CD 的斜率k cD = 2— ^^=— 1,即tan a =— 1,又0°< a <180°,所 以倾斜角a = 135°⑶ 不存在.因为X P = X Q =— 3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角a = 90跟踪训练2解 设k 1, k 2 , k 3分别表示直线丨 1 ,丨 2 ,丨3的斜率. 由于QQ , Q , QQ 的横坐标与P 点的横坐标均不相等，合案精析思考2存在，图(1)中，坡度= tan a ,图(2)中，坡度=tan 3 •图②中图③中 图④中 跟踪训练 设直线l 的倾斜角为，结合倾斜角的定义可知， 图①中a 是直线l 的倾斜角,不是直线 l 的倾斜角， 但 a 与3 互补，即有3 = 180° — a 不是直线l 的倾斜角， 但 a 与3 是对顶角，故 3 = a . 不是直线 l 的倾斜角，但3 = 90°+ a ・1 60° 或 120°由k i >0知，直线l i 的倾斜角为锐角；由 k 2<0知，直线丨2的倾斜角为钝角；由 k s = 0知，直 线13的倾斜角为0m — 1 1 — mkAB=—2—2 =~T ，A ,B ,C 二点共线，k AB = k Ac,1 — m 7 即 =-,A m =— 6. 4 4 跟踪训练31例4解如图所示.••• k € ( —a, — 3] U [1 ,+s ),• •• 45°< a < 120°.跟踪训练4解如图所示.当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k Ac ,所以直线AD 的斜率的变化范围是 〔7’ I ] 当堂训练 1. 3 2.23.|4.(0 ° , 90°] 5•解 丨2的斜率为8^| = 1,二丨2的倾斜角为45°，由题意可得：k s = 2—23 —3 — 30.k AC = 8— 1 6—2k BP =边-0=0— 1 =11的倾斜角为22.I8 —513的倾斜角为67.5 ° , 14的倾斜角为90°。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.1 直线的斜率学案 苏教版必修2(2021年最新整理)
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2．1。
1 直线的斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)2．掌握过两点的直线斜率计算公式．（重点)3．了解直线的倾斜角的范围,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)［基础·初探］教材整理1 直线的斜率阅读教材P77~P78例1，完成下列问题．已知两点P（x1，y1)，Q(x2，y2),如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝错误!(x1≠x2),如果x1＝x2，那么直线PQ的斜率不存在．1．若直线过点（1,2)，(4，2＋错误!），则此直线的斜率是________．【解析】过点（1，2)，(4,2＋3)的斜率k＝错误!＝错误!.【答案】错误!2．若直线AB的斜率为－2，其中A（－2，－3），B(a,5),则a的值是__________.【解析】∵错误!＝－2，∴a＝－6。
【答案】－6教材整理2 直线的倾斜角阅读教材P78～P79，完成下列问题．1．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α〈180°.2．直线的斜率与倾斜角的关系（1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°），则直线l的斜率k＝tan_α。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时点斜式学案苏教版
第1课时点斜式学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？梳理思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？梳理类型一直线的点斜式方程例1 写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外.跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________________.类型二直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y轴上的截距相等，则l的斜截式方程为__________________________________________. 反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l 的斜截式方程. (1)直线l 经过点M (m ，n )，N (n ，m )(m ≠n )； (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形.类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率. (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y 轴上的截距.跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的直线方程.1.直线3x －y ＋m ＝0的倾斜角为________.2.已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |＝________.3.过点(1,0)且在y 轴上的截距为－12的直线方程是______________.4.已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________________________________________________________________________.5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________________________________________________________________________.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是x－x1整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.答案精析问题导学 知识点一思考1 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0， 则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理 斜率k k (x －x 0) 知识点二思考1 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得y ＝kx ＋b . 思考2 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 梳理 y ＝kx ＋b 题型探究例1 解 (1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y －5＝2(x －2)． (2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0. (3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程． 跟踪训练1 (1)x ＝－3 (2)y ＋2＝3(x ＋1)例2 (1)y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 (2)y ＝－2x －2跟踪训练2 解 (1)由题意得直线l 的斜率为k ＝m －nn －m＝－1， 所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为－2， 所以l 与y 轴的交点为P (0，－2)， 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形， 又是直角三角形，所以l 与x 轴的交点为Q (－2,0)或(2,0)． 由过两点的斜率公式得k ＝－1或1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2或y ＝x －2. 例3 解 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ， 当y ＝0时，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.故直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.跟踪训练3 解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.当堂训练1．60° 2.3 3.x －2y －1＝0 4．x －2y ＝0 5.x ＝3。
2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.1直线的斜率课件9苏教版必修2
y2 y1
x2 x1
（x2，y1） N
O
x2
x
NQ y2 y1 ( x x ) 直线的倾斜程度 1 2 PN x2 x1
问题5:你认为关于y 轴对称的两条直 线的倾斜程度有没有区别?
y Q P O N x
Q
y
N O
P x
NQ y2 y1 ( x1 x2 ) PN x2 x1
问题4：能否用直线上任意两点的坐标来刻画这个倾斜 程度呢？
如图:已知两点 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) 如果 x1 x2 那么直线PQ的 倾斜程度如何刻画呢？
（x1，y1）
（x2，y2）
（x1，y1）
直 线 的 倾 斜 程 度
y
y2
y1
Q( x2 , y2 ) l
P( x1 , y1 )
现实世界中，到处有美妙的曲线． 从飞逝的流星到雨后彩虹，
从古代的石拱桥到现代的立交桥
……这些曲线都和方程息息相关．
那么，如何将曲线与方程联系起来呢？
引进平面直角坐标系，用有序数对(x，y)表示平面内点． 根据曲线的几何性质，可以得到关于x，y的一个代数方程 f(x，y)＝0． 反过来，把代数方程f(x，y)＝0的解(x，y)看做平面上点 的坐标，这些点的集合是一条曲线． 这种方法是解析几何的“精髓”所在，即用代数的方法研 究几何，它不同于大家以往学到的几何，同学们会在以后的学 习中逐步地体会这个最大的特点。
问题1：我们在初中已经学习了直 线和圆这两个基本的几何图形.
本章研究的主要内容：
直线和圆（基本的几何图形）
• 如何建立它们的方程？ • 如何通过方程来研究它们的性质？
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2.1.1 直线的斜率
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法中，正确的是________．
①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ②直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； ③若直线的倾斜角为α，则sin α>0；
④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α.
【解析】 α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin α＝0，故③错；④正确．
【答案】 ④
2．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，m 共线，则实数m 的值为__________． 【解析】 根据斜率公式得k AB ＝－1，k AC ＝6－2m
3.
∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴6－2m
3＝－1.
∴m ＝92.
【答案】 9
2
3．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．
【解析】 设直线l 的斜率为k ，当0°≤α<90°时，
k ＝tan α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k ＝tan α<－1，∴直
线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪[0，＋∞)
4．若直线l 过原点，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是________.
【导学号：41292064】
【解析】 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．
【答案】 90°≤α<180°或α＝0°
5．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．
【解析】 直线PA 的斜率k PA ＝2，直线PB 的斜率k PB ＝3
4，结合图象，可知直线l 的斜
率k 的取值范围是k ≥2或k ≤3
4
.
【答案】 k ≥2或k ≤3
4
6．若过点P (3－a,2＋a )和点Q (1,3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．
【解析】 k ＝tan α＝3a － 2＋a 1－ 3－a ＝2a －2a －2，
∵α为钝角， ∴
2a －2
a －2
<0， ∴1<a <2. 【答案】 (1,2)
7．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角用α表示为________．
【解析】 设l 2的倾斜角为θ，当α＝0°时，θ＝0°； 当0°<α<180°时，θ＝180°－α. 【答案】 0°或180°－α
8．已知过点(－3，1)和点(0，b )的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b 的取值范围是________．
【解析】 因为30°≤α<60°，所以3
3
≤k <3， 又k ＝
b －1
3
，
所以
33≤b －13
<3，解得2≤b <4. 【答案】 2≤b <4 二、解答题
9．△ABC 的三个顶点为A (1,1)，B (2,2)，C (1,2)，试求△ABC 三边所在直线的斜率和倾斜角．
【解】 由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为k AB ＝2－12－1＝1，k AC 不存在，k BC ＝
2－21－2＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.
10．过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求
直线l 的斜率k 的取值范围.
【导学号：41292065】
【解】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，
∵tan α1＝0－ －3
3－0
＝1，∴α1＝45°.
(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－ －3
－4－0
＝－1，∴α2＝135°.
所以直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；
当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．
[能力提升]
1．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 ∵k ＝a －1
a ＋2
且直线的倾斜角为钝角， ∴
a －1
a ＋2
<0，解得－2<a <1. 【答案】 (－2,1)
2．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是__________． 【解析】 依题意，作出图形，k AO ＝2，k AB ＝0， 由数形结合可知k l ∈[0,2]．
【答案】 [0,2]
3．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y x
的取值范围是________． 【解析】
如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－1
2
.
【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12
，＋∞
4．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．
【解】
点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－1
3.
设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13，解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，53.。