《降次--解一元二次方程》教案
降次解一元二次方程教案 人教版数学
降次解一元二次方程教案人教版数学
降次——解一元二次方程教案人教版数学
降次解一元二次方程教学设计
教学设计思想
解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。
教学目标
知识与技能：
1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：
1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，。
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
-将现实问题抽象为一元二次方程，并运用所学知识解决。
举例解释：
-配方法中的移项和加、减同一个数以形成完全平方的过程，如将x²-6x+9转化为(x-3)²；
-在公式法中，对于方程2x²-5x+2=0，学生需要计算判别式Δ=(-5)²-4*2*2=25-16=9，并理解Δ>0时方程有两个不同实数根；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的四种解法：直接开平、配方法、公式法和因式分解法。对于难点部分，如配方法和公式法，我会通过具体方程的求解过程来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过图形的折叠和剪裁，学生可以直观地理解配方法中的完全平方概念。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案：
1.掌握一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.了解求解一元二次方程的四种方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法；
我也观察到，在总结回顾环节，有些学生对所学知识的掌握并不牢固，可能需要更多的复习和练习。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些巩固性的练习，特别是针对那些难度较大的解法，以确保学生能够扎实掌握。
最后，我认识到，教学过程中要不断关注学生的反馈，根据他们的学习情况调整教学策略。在今后的教学中，我会更加注重因材施教，针对不同学生的学习能力和兴趣，设计更加个性化的教学活动。同时，我也会鼓励学生提出自己的疑问，并及时给予解答，帮助他们克服学习中的困难。
22.2.1《降次——解一元二次方程》第2课时教案1.
22.2.1《降次——解一元二次方程》第2课时一、教材分析1、教材的地位和作用配方法是数学中一种很重要的式子变形，它隐含了创造条件实现划归的思想。
这种思想对培养学生的数学能力影响很大。
配方法是一元二次方程的一种基本解法，它是从开平方延伸而来，又是学习公式法接一元二次方程的基础，更是以后讨论二次函数等数学问题离不开的一种方法。
因此本节课在本章中是重点内容之一，在教材中也占有重要的地位。
2、学生学情学生前面已经学习了完全平方公式，开平方运算并利用开平方能够求得特殊形式的一元二次方程的解。
所以他们已经具备了继续探究接一元二次方程的新方法（配方法）的基础。
3、教学目标（1）知识技能经历一元二次方程解法的探究过程，培养学生自主探究、归纳总结的能力。
要求学生能够理解配方的方法，体会划归的思想，获取一些转化的技能，能熟练的用配方法解一元二次方程。
（2）过程和方法以实际问题为背景，回顾第一课时解方程的方法，引导学生探究解决问题的新方法通过分析归纳得到接一元二次方程的基本方法——配方法。
（3）情感态度和价值观通过学习让学生认识到科学探究是解决实际问题的需要，学数学是为更好地服务于生活；同时培养学生具有创造条件进行探索的意识。
（4）教学重点、难点重点：会用配方法解数字系数的一元二次方程难点：配方过程的探究二、教法、学法主要采用启发式和利用多媒体辅助。
用“问题情景——方法探究——归纳概括——知识应用——拓展升华”的模式教学，积极参与，让学生进行自主探究，合作交流。
三、教学过程1、知识回顾(多媒体展示)（1）一元二次方程的一般形式是什么（2）解方程2 x2-8=0 ( 2x-1) 2 = 325 x2-10x+1=0 x2+6x+9=2(3)下列关于x的二次三项式是完全平方式吗？如果是分析它们的系数特征x2+6x+9 x2-x+1/4 x2+2mx+ m2(4)填空x2+10x+（）=(x+ )2 x2 - 12x+ ( )=(x- ) 2x2 +5x +（）= (x+ )2 x2 -2/3x +（）= (x+ ) 22、创设情景，探究新知问题：要使一块矩形场地长比宽多6米，并且面积为16 m2，场地的长、宽应分别是多少？3、启发探究、归纳总结引导学生回顾方程(x-3) 2 = 2 x2-6x+9=2 x2-6x+7=0的解法，启发学生找到解决问题的途径。
22.2降次---解一元二次方程教学设计
教学课时建议：教学课时建议：本小节新授课可分为六学时，其中第一二学时主要让学生理解一元二次方程的解法—配方法；第三四学时主要让学生理解一元二次方程的解法—公式法；第五六学时主要让学生理解一元二次方程的解法—因式分解法.具体的教学设计如下：22.2 降次一、教学目标知识技能：理解掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.通过对一元二次方程解法的探索,体会“降次转换”的基本思想.数学思考：通过配方过程将一元二次方程分解为两个一元一次方程,从而达到降次的目的,体会转化的数学思想方法;通过求根公式的推导过程体会由特殊到一般的数学思想方法,领会配方法事推导求根公式的关键;通过总结解一元二次方程的因式分解法,进一步体会解方程过程中所蕴含的化归思想．问题解决：会用配方技巧将方程变形为(x+m)2=n的形式,明确这一变形的关键是配常数;会准确运用求根公式求解一元二次方程.通过解一元二次方程来提高运算技能．情感态度：感悟数学问题的探索性与条理性,分享成功的喜悦;通过观察、运算和归纳总结的过程,体验数学问题的探究性与规律性,增强学习数学的兴趣;体会知识间的互相联系、互相转化的辩证关系．二、重难点分析教学重点：用配方法解一元二次方程．应用公式法求一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程．配方法是初中教学中的重要内容，也是一种重要的数学方法.配方的方法在以后的学习中经常用到，如在二次根式、代数式的变形及二次函数中有广泛应用.对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，同时它又是推导公式法的基础.公式法的意义在于:对任意的一元二次方程,只要将方程化为一般形式,然后确定a、b、c的值，在b-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入公式即可求出解.因式分解法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法.用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法. 配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 在此基础上，介绍了用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程ax + bx + c = 0 的要求和步骤.教学时，要按照由具体到抽象，前后呼应的特点，讲清用配方法解一元二次方程的基本思路和步骤.另外要理解因式分解法解一元二次方程的根据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0．教学难点：用配配方法解一元二次方程的步骤.求根公式在解决实际问题过程中的应用.掌握用因式分解法解一元二次方程.灵活运用各种方法解一元二次方程．学生可以比较容易的掌握直接开平方解一边是完全平方式的一元二次方程的方法，可是大部分一元二次方程方程不具备上述结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，因此对配方方法的探索是本节课的教学难点.掌握了配方法后学生可以很容易的理解求根公式的推导.为了突破本节的教学难点：发现和理解配方的方法，在教学中主要以启发学生进行探究的形式展开，目的是想通过学生对方程解法的探索，能够体会和联想到完全平方公式，从而对配方法的完全理解.所以在知识的探索阶段，应该设计几个既有联系又逐步递进的方程,本课的重点放在探究这几个方程的解法上，让学生从特殊方程的配方法进而转化到一般化的一元二次方程的配方，归纳出配方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程.在教学中，开展自主探究，合作交流的学习方式，通过学生的主动探究，掌握和理解配方法.三、学习者学习特征分析由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多.一元二次方程是初中数学的重点内容，学好一元二次方程意义深远．许多同学由于对这一部分内容理解不透，知识掌握不系统，以致学习中形成很大的学习障碍，常出现畏难情绪．教师在教学中应多注意观察学生的反馈情况，有针对性的解决．四、教学过程（一）创设情境，引入新课同学们，我们已经认识了一元二次方程，你知道如何解一元二次方程吗?本节课我们将要利用原有的知识储备来探索一元二次方程的解法.方程①②③④分别适宜于直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．（二）合作交流，探索新知1.配方法：[链接多媒体素材动画：配方法解一元二次方程]我们知道=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2即2t+1=2，2t+1=-2方程的两根为，问题(1)（学生活动）请同学们解下列方程（1）（2）（3）老师点评：上面的方程都能化成或（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．如：问题（2）：探索的求解过程和方法.这里要给学生充分的时间进行思考和交流，教师在学生小组交流后，组织全班进行讨论，通过观察方程的结构与完全平方式的联系找到问题的突破口.在问题（1）、（2）的基础上，学生获得了解决问题的基本思路，即将方程转化成的形式.学生通过观察方程结构，发现虽然不是完全平方式，但前两项具有完全平方式的特征，只要通过添加条件即可凑成完全平方式——即“配方”.因此，为避免干扰，先将常数项－16移项至方程右边，此时方程化为.对比完全平方式，学生不难发现，方程左边加上一个常数9，就能凑成完全平方式，因此可以根据等式性质在方程两边都加上9，将方程化为，即，从而成功地完成了由“不会解”到“会解”的转化.问题（3）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：１.化1：把二次项系数化为1；２.移项：把常数项移到方程的右边；３.配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；４.变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；５.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；６.求解：解一元一次方程；７.定解：写出原方程的解.2.公式法.[多媒体素材动画求根公式的推导]问题1：已知（a≠0）且，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：二次项系数化为1，得+x=-配方，得：即∵且∴≥0直接开平方，得：即x=∴，由上可知，一元二次方程（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3.判别一元二次方程根的情况：我们已经学过了一元二次方程的求根公式，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=，当时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的，即有两个不相等的实根．当-4ac=0时，•根据平方根的意义=0，所以，即有两个相等的实根；当-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即，．（2）当-4ac=0时，一元二次方程有两个相等实数根即．（3）当-4ac<0时，一元二次方程没有实数根．4.因式分解法：[链接：多媒体素材动画因式分解法解一元二次方程]教师提问：（1）2+x=0，3+6x=0上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2+x=x（2x+1），3+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.（三）应用新知，体验成功1.典型例题：利用媒体资源中的典型例题进行教学．2.练一练解下列方程1）2x2+1=2x2）3）(x-5)(x-1)=104) x -5）6）（四）课堂小结，体验收获通过本节学习你有哪些收获？教师可以进行引导和提示，让学生自主进行总结，并且教师应给予肯定.1.直接开平方法解一元二次方程.2.配方法解一元二次方程.3.公式法解一元二次方程.4.判别一元二次方程根的情况.5.因式分解法解一元二次方程．（五）拓展延伸，布置作业1.解下列方程（１）3x+5x-2=0（２）(2x-3)(x-1)=2（３）2x（x+5）=7x-1（４）2x -（５） x-4x -3=02.已知=20，求的值.分析：将视为整体，将方程化为关于的一元二次方程，再求解.注意验根.3.解关于x的方程：a+c=0（a≠0）注意：分类讨论解：方程a+c=0（a≠0）可变形为=当a、c异号时，﹥0，方程有两个实数根x=±；当a、c同号时，﹤0，方程无实数根；当c=0时，=0，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0五、教学评价：(一)选择题1.方程-0.36=0的解是（）（A）0.6．（B）-0.6.（C）±6.（D）±0.6.2.解方程:4+8=0的解为（）（A）. （B）（C）. （D）此方程无实根.3.方程2x(x-3)=5(x-3)的根为( )（A）. （B）x=3.（C）. （D）.4.若代数式4-2x-5与2+1的值互为相反数,则x的值为( )（A）1或.（B）1或. （C）-1或.（D）1或.5.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是( )（A）直接开平方法. （B）配方法. （C）公式法. （D）因式分解法.6.方程的根是( )（A）x=1.（B）.（C）. （D）以上均不对.(二)填空题7.方程=5的解是,方程=5的解是,方程=5的解是 .8.①=(x- )②=(x+ )9.把化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c= .10.一元二次方程当一边是,而另一边是时,方程就可以用因式分解法来解.11.方程的根是.(三)解答题12.设a、b为实数,求a+2ab+b-4b+5的最小值,并求此时a与b的值.13.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?答案：(一)选择题1.D；2.D；3.C；4.B；5.D；6.C.(二)填空题7.;8. 9. 1,10.两个关于未知数的一次因式之积,0 11.;(三)解答题12.解:a+2ab+2b-4b+5=(a+2ab+b)+b-4b+4+1=(a+b)+(b-2)+1 ∴当a+b=0,b-2=0时,原式有最小值, 即当a=-2,b=2时,原式有最小值1．13.设参加会议的有x人，则每个人与除自己以外的(x-1) 人均握一次手，而握手又是相互的，故共握手x(x-1)/2次，因而可列方程：∴x-x-420=0 解得：x1=21,x2=-20但x2=-20不符合题意，故x=21答：参加会议的有21人．。
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律． （1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0． 解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、 在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方； 作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。
降次——解一元二次方程的教案.
22.2降次——解一元二次方程（教师用）一、教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．二、教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．三、重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．四、教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？CQA老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1x2=可以验证，p2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2所以PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±即方程的两根为t1例题示范一：变式1：解方程x-25=0变式2：解方程4x-100=0变式3：解方程4x-7=0变式4：解方程(2x-1)2-25=0总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。
人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(4)》
【应用】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
过程
方法
从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
情感
态度
价值观
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
教学重点
理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
教学难点
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
学校教学设计九年级数学
章课题
一元二次方程
主备教师
参备教师
授课教师
课题
21.2降次——解一元二次方程（4）
教
学
目
标
知识
技能
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
二、探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。
教案：22.2降次——解一元二次方程(2)
22.2降次——解一元二次方程（2）配方法南通市观河中学 初二备课组一、教学内容本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
二、教学目标知识技能：探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．数学思考：（1）在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
（2）渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．情感态度：继续体会由未知向已知转化的思想方法．三、教学重点、难点重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把ax x 2形的代数式配成完全平方式.四、教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容五、 教学过程（一）复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=7老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】 教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．（二）探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。
《降次——解一元二次方程》教学设计方案
《降次——解一元二次方程》教学设计方案阳泉盂县秀水二中张海涛教学目标：一、情感态度与价值观1. 渗透转化的数学思想，培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
2. 增强学生学好数学的信心，体会用数学解决问题的乐趣。
二、过程与方法1. 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，并探究解法。
2. 类比迁移到解形如（mx+n）2=p (p≥0)或m2x2+2mnx+n2=p (p≥0)的方程3. 进行几个相关活动，熟练掌握本节内容。
三、知识与技能1. 理解并懂得类比、降次、转化等数学思想。
2. 会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p (p≥0)等方程。
教学重点、难点：1. 会运用开平方法解形如（mx+n）2=p (p≥0)的方程2. 利用平方根的意义将一元二次方程转化为一元一次方程即降次。
教学资源：教师课前准备，学生预习学习内容，教科书，多媒体课件等；教学环境为教室大屏幕。
教学过程：一、创设情境，提出问题：【课件】（1）导语：同学们，数学问题都是来自生活问题。
记得有位哲人说过，数学就是思维的艺术体操。
大家想想，有什么道理？（2）出示问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？（3）学生思考。
二、探索分析，解决问题：1、引导学生回忆：设未知数，列方程2、设问1：如何列方程？分哪些步骤？师生讨论分析：1)、设未知数。
设正方体的棱长为x dm.2）、找相等关系。
10×正方形的表面积=1500dm 23）、列方程：10×6x 2=1500由此可得：x 2=25.3、设问2：怎样解这个方程？如何将方程转化为x 2=a 的形式？学生观察、思考。
根据平方根的意义，得x =±5，即x 1=5，x 2=－5.4、设问3：5和－5是方程的两根，它们都符合问题的实际意义吗？ 学生讨论、回答：棱长不能为负数，所以正方体的棱长为 5 dm.三、拓广探索，比较分析：1、你认为应怎样解以下方程？（1）方程：(2x -1)2=5（2）方程：x 2+6x +9=22、学生比较方程之间的异同，从而获得解一元二次方程的思路。
人教版数学九上《降次──解一元二次方程》word教案
2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，
3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
七、教学反思
学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习：
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x
(3) 3x2-6x+4=0
教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？
5、配方的关键是什么？
交流与点拨：
重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（ ）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。
交流与点拨：
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（2）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2课时）
主备教师
授课教师
授课班级
备课时间
学习目标
21.2 降次——解一元二次方程同步教案
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2 降次——解一元二次方程第1课时教学设计教学目标：1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．教学时间：3课时第1课时教学过程一、温故互查1.填空（1）x2+6x+9=（x+____）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．2.若x2=a,那么x=_______。
3.0的平方根是______；正数a的平方根是_______。
二、新知探究问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？分析：（1）本题的等量关系是什么？（2）设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为______，根据一桶漆可刷的面积，可列方程为__________________，整理化简后得________________。
你知道它的解是多少吗？解：设正方体的棱长为x dm ,则一个正方体的表面积为______，根据一桶漆可刷的面积，可得10×6x 2=1500,化简得x 2=25根据平方根的意义，可得x =5±,即x 1=5，x 2=-5(不合题意，舍去)所以，盒子的棱长为5dm .2.如果x 换元为2x -1，即（2x -1）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2x -1变为上面的x ，那么2x -1=5±, 即512,512-=-=-x x方程的两根为215,21521+-=+=x x 上面的解法中，都是将一元二次方程“降次”，次数由2降到1，转化为两个一元一次方程，从而解决问题的。
22.2降次-解一元二次方程(七个课时)教案
22.2 降次——解一元二次方程课题：22.2.1配方法（第1课时）一、教学目标1.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）.2.培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）直接开平方法：第一步：化成什么2＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目.（师出示例1）例1 解方程：x2-4x+4=5.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：原方程化成(x-2)2=5.，开平方，得x-2=5x1=5+2，x2=-5+2.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例2）例2 解方程：x2+6x-16=0.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2＝常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么2＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得x2+6x=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：x2+6x+32=16+32），左边x2+6x+32等于什么？（稍停）等于(x+3)2（边讲边板书：(x+3)2），右边16+32等于25（边讲边板书：＝25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方＝常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得x+3=±5（边讲边板书：开平方，得x+3=±5），解一元一次方程，得到两个根，x1=2，x2=-8（边讲边板书：x1=2，x2=-8）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上32，把方程的左边配成(x+3)2.这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节3.填空：(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2；(2)x2-2·x·6+ =(x- )2；(3)x2+10x+ =(x+ )2；(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.（六）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么2＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业：6.填空：(1)x2-2·x·3+ =(x- )2；(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2；(3)x2-4x+ =(x- )2；(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.四、板书设计直接开平方法、配方法例1 例2第一步：化成什么2＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.课题：22.2.1配方法（第2课时）一、教学目标1.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）.2.培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .2.填空：(1)x 2-2·x ·13+ =(x- )2； (2)x 2+5x+ =(x+ )2； (3)x 2-32x+ =(x- )2； (4)x 2+x+ =(x+ )2.（订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方） （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 配方法第一步：化成什么2＝常数； 第二步：开平方降次； 第三步：解一元一次方程.师：（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么2＝常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例1. （师出示例1）（三）尝试指导，讲授新课 例1 用配方法解方程：x 2+5x+14=0. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：移项，得x 2+5x=-14. 配方 x 2+5x+252⎛⎫ ⎪⎝⎭=-14+252⎛⎫ ⎪⎝⎭，25x+=62⎛⎫⎪⎝⎭.开平方，得x+52=6±， x 1=5-+62，x 2=5--62.（四）试探练习，回授调节3.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-x-74=0.解：移项，得 .配方，.开平方，得，x1= ，x2= .（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例2）例2 用配方法解方程：2x2+1=3x.师：（指准方程）这个方程与例1这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例1这个方程的二次项系数是1，而这个方程的二次项系数不是1.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为1.下面大家自己先试着做一做.（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得2x2-3x=-1.二次项系数化为1，得231x-x=-22.配方2223313x-x+=-+2424⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231x-=416⎛⎫⎪⎝⎭开平方，得31x-=44±，x1=1, x2=12.（六）试探练习，回授调节4.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得 .配方，.开平方，得，x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？（指例2）先移项，再把二次项系数化为1，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方.（作业：P42习题2.3.）四、板书设计配方法例1 例2第一步：化成什么2＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.课题：22.2.1配方法（第3课时）一、教学目标1.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）.2.培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1.重点：先整理再用配方法解一元二次方程.2.难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得 .配方，. 开平方，得 ， x 1= ,x 2= . （二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授新课 （师出示例题） 例 用配方法解方程： (1)(x-2)(x+3)=6； (2)3x(x-1)=3x-4.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：(1)整理，得x 2+x-12=0. 移项，得x 2+x=12.配方 x 2+x+212⎛⎫ ⎪⎝⎭=12+212⎛⎫ ⎪⎝⎭，2149x+=24⎛⎫ ⎪⎝⎭.开平方，得x+12=72±， x 1=3， x 2=-4. (2)整理，得3x 2-6x+4=0. 移项，得3x 2-6x=-4.二次项系数化为1，得24x -2x=-3配方 224x -2x+1=-+13， ()21x-1=-3. 原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例2）第一步要把原方程化成什么2＝常数这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为1；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例1）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.（四）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 .二次项系数化为1，得 .配方，.开平方，得，x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说）（作业：P34练习2(5)(6)）四、板书设计（略）课题：22.2.2公式法（第4课时）一、教学目标1.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程.2.发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用.2.难点：一元二次方程求根公式的推导. 三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：（板书：ax 2+bx+c=0，并指准）这是一个一元二次方程，x 是未知数，a ，b ，c 都是常数，而且a ≠0（板书：(a ≠0)）.怎么用配方法来解这个一元二次方程？大家自己先试一试.（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）师：我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么2=常数这种样子，怎么化呢？师：先把常数项c 移到右边（板书：移项，得ax 2+bx=-c ）. 师：再把二次项系数化为1，得2bcx +x=-a a（板书：二次项系数化为1，得2b cx +x=-a a）.师：然后配方（板书：配方），怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：222b b c b x +x+=-+a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），左边是2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（板书：2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=），右边=222222222c b b c b 4ac b -4ac -+=-=-=a 4a 4a a 4a 4a 4a （边讲边在黑板的其它地方板演），所以2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=22b -4ac 4a （边讲边板书：22b -4ac 4a ）. 师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为1、配方，现在我们把原方程化成了什么2=常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板书：开平方，得），22b b -4acx+=2a 4a ±（边讲边板书：22b b -4ac x+=2a 4a ±），这个二次根式还可以化简，化简结果是2b -4ac2a （边讲边将上面的二次根式改写成2b -4ac2a）.师：（指准方程）把b 2a 移到方程右边去，可以解出x ，2-b b -4acx=2a±（边讲边板书：2-b b-4acx=2a±）.师：21-b+b-4acx=2a（边讲边板书），22-b-b-4acx=2a（边讲边板书）.师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是2-b b-4acx=2a±（在这个式子外加框）.师：（指ax2+bx+c=0）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数a、一次项系数b、常数项c代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程.（师出示例题）例利用求根公式解下列方程：(1)x2-4x-7=0； (2)5x2-3x=x+1；(3)2x2-22x+1=0； (4)x2+17=8x.师：（指(1)题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：(1)）师：（指(1)题）首先要找出这个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，这个方程的a，b，c等于什么？生：a=1，b=-4，c=-7（生答师板书：a=1，b=-4，c=-7）.师：找出了a，b，c，接下来干什么？接下来要计算b2-4ac的值（板书：b2-4ac=）. b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44（边讲边板书：(-4)2-4×1×(-7)=44）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了a，b，c，为什么不把a，b，c直接代入求根公式，而是先计算b 2-4ac 的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是b 2-4ac ，可见b 2-4ac 必须大于等于0.计算b 2-4ac 的目的是什么？目的是看一看b 2-4ac 的值是大于等于0还是小于0.如果b 2-4ac 的值大于等于0，下一步才把a ，b ，c 代入求根公式；如果b 2-4ac 的值小于0，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据b 2-4ac 值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把a ，b ，c 代入求根公式，先要求b 2-4ac 的值.师：（指准板书）这个方程的b 2-4ac 等于44，大于0（边讲边板书：＞0），所以下一步可以把a ，b ，c 代入求根公式.师：2-b b -4ac -(-4)444211x===2a 212±±±⨯（边讲边板书）. 师：1x =2+11，1x =2-11（边讲边板书）. （以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下） (2)整理，得5x 2-4x-1=0. a=5，b=-4，c=-1，b 2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0.2-b b -4ac -(-4)3646x===2a 2510±±±⨯，14+6x ==110，14-61x ==-105. (3)a=2，b=-22，c=1， b 2-4ac=(-22)2-4×2×1=0.2-b b -4ac -(-22)0220x===2a 224±±±⨯，122x =x =2. (4)整理，得x 2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17，b 2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0. 方程没有实数根.（二）试探练习，回授调节 1.完成下面的解题过程： 利用求根公式解方程：x 2+x-6=0. 解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.2-b b -4acx==___________________=_________2a，1x =_________，1x =__________. 2.利用求根公式解下列方程： (1)21x -3x-=04； (2)24x +45x+5=0； (3)3x 2-4x+2=0； （三）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：22.2.2公式法）.师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.（作业：P 42习题5(1)(2)(5)(6)） 四、板书设计（略）22.2.2公式法ax 2+bx+c=0(a ≠0) 例移项，得…… 二次项系数化为1，得……配方…… …… 开平方，得…… x 1=……x 2=……课题：22.2.2公式法（第5课时） 一、教学目标1.会较熟练地用公式法解一元二次方程.2.知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况. 二、教学重点和难点1.重点：根据判别式的值确定解的情况.2.难点：根据判别式的值确定解的情况. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程： (1)2x 2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = ＞0.2-b b -4acx==___________________=_________2a±，1x =_________，1x =__________. (2)x(2x-6)=6x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = .2-b b -4acx==__________________=_________2a±， 12x =x =_________. (3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＜0. 方程 实数根.（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）一元二次方程ax2+bx+c=0(1)当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2-4ac 时，方程没有实数根.师：刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是ax2+bx+c=0这样的形式.师：然后计算b2-4ac的值，（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当b2-4ac＞0时（多让几名同学回答，然后师填入：＞0）.师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当b2-4ac＝0时（多让几名同学回答，然后师填入：＝0）.师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当b2-4ac＜0时（生答师填入：＜0）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子b2-4ac决定，所以我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：b2-4ac 叫做根的判别式），记作△（板书：记作△）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目.（师出示下面的例题）例利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0；(2)4y2+9=12y；(3)5(x2+1)-7x=0.（师边讲解边板书，解题过程如下）解：(1)a=2，b=3，c=-4.△=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32＞0，方程有两个不相等的实数根.(2)整理，得4y2-12y+9=0a=4，b=-12，c=9.△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=144-144=0，方程有两个相等的实数根.(3)整理，得5x2-7x+5=0a=5，b=-7，c=5.△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100＜0，方程没有实数根.（三）试探练习，回授调节2.利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2-5x=-7；(2)(x-1)(2x+3)=x；(3)x2+5=25x.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读）（作业：P42习题4.5(3)(4)）四、板书设计（略）一元二次方程ax2+bx+c=0 例(1)当b2-4ac＞0时……(2)当b2-4ac=0时……(3)当b2-4ac＜0时……课题：22.2.3因式分解法（第6课时）一、教学目标1.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次.2.培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：用因式分解法解一元二次方程.2.难点：式的变形. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3) 解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0. x=__________________=______， 1x =_________，2x =__________. （二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先整理得到了方程2x 2-3x=0（边讲边板书：2x 2-3x=0），然后用公式法求出两个根.师：（指2x 2-3x=0）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指2x 2-3x=0）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到x(2x-3)=0（边讲边板书：x(2x-3)=0）.师：（指准x(2x-3)=0）x 乘以2x-3等于0，这说明什么？ 生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准x(2x-3)=0）x 乘以2x-3等于0，说明x=0或者2x-3=0（板书：于是得x=0或2x-3=0）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由x=0得到x 1=0（板书：x 1=0），由2x-3=0，得到23x =2（板书：23x =2）.师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？生：因式分解.（多让几名同学回答）师：因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？生：（齐答）因式分解法.（师板书课题：22.2.3因式分解法）师：通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程.（师出示例题）例用因式分解法解下列方程：(1)x(x-2)+x-2=0；(2)5x2-2x-14=x2-2x+34；(3)(2y+3)2=(y-1)2.（师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第39页所示，(3)题解题过程如下） (3)移项，得 (2y+3)2-(y-1)2=0.因式分解，得(3y+2)(y+4)=0.于是得 3y+2=0或y+4=0，12y=-3，y2=-4.师：我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让两名学生归纳）师：（指准例(3)题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于0的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.师：按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：用因式分解法解方程：x2=23x.解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .3.用因式分解法解下列方程：(1)x2+x=0；(2)4x2-121=0；(3)3x(2x+1)=4x+2；(4)(x-4)2=(5-2x)2.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，它是通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程，从而达到降次的目的（边讲边板书：降次）.解一元二次方程的基本思路是什么？（稍停）基本思路是降次.配方法是通过配方来降次，因式分解法是通过因式分解来降次.降次是解一元二次方程的基本思路，这一点还希望同学们能好好理解，好好体会.（作业：P43习题6）四、板书设计（略）22.2.3因式分解法2x2-3x=0 例因式分解，得x(2x-3)=0于是得x=0或2x-3=0，x1=0，x2=3 2课题：22.2.3因式分解法（第7课时）一、教学目标1.通过基本训练，复习巩固解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）.2.会选择适当的方法解一元二次方程.二、教学重点和难点1.重点：复习巩固四种方法.2.难点：选择适当的方法解一元二次方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、 .2.完成下面的解题过程：(1)用直接开平方法解方程：2(x-3)2-6=0； 解：原方程化成 . 开平方，得 ， x 1= ，x 2= . (2)用配方法解方程：3x 2-x-4=0； 解：移项，得 .二次项系数化为1，得 . 配方 ， . 开平方，得 ， x 1= ，x 2= . (3)用公式法解方程：x(2x-4)=2.5-8x. 解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.2-b b -4acx==__________________=_________2a, x 1= ，x 2= . (4)用因式分解法解方程：x(x+2)=3x+6. 解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得 或 ， x 1= ，x 2= . （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下表）直接开平方法配方法公式法因式分解法过程简单复杂较简单简单适用某些所有所有某些师：前面我们学习了解一元二次方程的四种方法，哪四种方法？（指准表）直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.这四种方法各有各的特点，这个表反映了它们各自的特点.师：（指准表格）直接开平方法解方程的过程简单，但这种方法只能用于解某些一元二次方程.譬如，3x2-5=0，2(x+1)2=7（边讲边板书），这样的方程可以用直接开平方法来解.师：（指准表格）配方法解方程过程最复杂，但这种方法适用于所有的一元二次方程，也就是说，任何一元二次方程都可以用配方法来解.师：（指准表格）公式法解方程的过程比较简单，而且这种方法适用于所有的一元二次方程.师：（指准表格）因式分解法解方程的过程简单，但这种方法和直接开平方法一样只能用于解某些一元二次方程.譬如，x2+6x=0，x2=(2x+1)2（边讲边板书方程），这样的方程可以用因式分解法来解.师：知道了四种方法各自的特点，下面我们来看一道例题.（师出示例题）例指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)x2+3x-6=0；(3)2(x-4)2-5=0.师：解一元二次方程有四种方法，现在要你指出这几个方程用哪种方法来解比较适当，请大家自己先考虑考虑.（让生思考一会儿）师：谁来说说你的想法？生：……（多让几名同学发表看法，最好要说出理由）师：（指准表格）在四种方法中，用直接开平方法、因式分解法解方程最简单，所以先要看能不能用这两种方法来解.如果不能用直接开平方法来解，也不能用因式分解法来解，就要用公式法来解.因为公式法能解所有的一元二次方程，它是“万能”的，而且比较简单.师：根据这样的思路，我们来看这道例题.师：（指例(1)题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）能（板书：解：(1)因式分解法）.师：（指例(2)题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）不能.所以要用公式法解（板书：(2)公式法）.师：（指例(3)题）这个方程用什么方法解合适？生：（齐答）直接开平方法（生答师板书：(3)直接开平方法）.师：这个例题做完了，做完了例题有的同学可能会提出一个问题，什么时候用配方法解方程？（稍停）老师要告诉大家，因为用配方法解方程最复杂，所以我们一般不用配方法解方程.师：有的同学可能会接着问：既然不用配方法解方程，为什么要学配方法？（稍停）在四种方法中，公式法最有用，什么方程都可以用公式法来解，而且比较简单，但求根公式是怎么推导出来的？（稍停）求根公式是用配方法推导出来的，不学配方法哪有公式法？所以我们说，公式法最有用，配方法最基本，而直接开平方法、因式分解法最简单，但这两种方法只适用于某些特殊的一元二次方程.（三）试探练习，回授调节2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)(2x+3)2=-2x；(2)(2x+3)2=4(2x+3)；(3)(2x+3)2=6.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们复习了解一元二次方程的四种方法，这四种方法各有各的特点，但它们的基本思路是相同的.相同的思路是什么？（稍停）相同的思路是把一元二次方程化为一元一次方程，也就是降次（板书：降次）.不管用什么方法，降次是解一元二次方程的基本思路.课外补充作业：3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：(1)(2x-3)2=25；(2)(2x-3)2=5(2x-3)；(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程：x2+2x-1=0.四、板书设计表格例3x2-5=0 2(x+1)2=7x2+6x=0 x2=(2x+1)2。
21.2 降次—解一元二次方程(5) 教学设计
21.2 降次—解一元二次方程（5）教学设计一、教学目标：1.了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程.2.能够根据方程得系数，判断出方程根得情况.3.根据根得情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围.二、教学重、难点：重点：求根公式的灵活应用.难点：根据根得情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围.三、教学过程：复习回顾1.按照下列要求解方程（1）3（x-5)2-15=0 (直接开平方法）（2）2x2-4x+1=0 (配方法）（3）2x2+5x-3=0 (公式法）知识精讲一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根；典例解析•例1.不解方程,判断方程2x2-6x=7的根的情况是( C)•A．有两个相等的实数根 B．没有实数根•C．有两个不相等的实数根D．无法确定【针对练习】变式1：下列一元二次方程有实数根的是( )A．x2+2=0 B．2x2-x+1=0C．x2-2x+2=0 D．x2+3x-2=0典例解析例2.已知关于x的方程（k-1)x2-6x+9=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围.（2）若方程有两个实数根，求k的取值范围.（3）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.（4）若方程有两个相等实数根，求k的值，并求此时方程的根.解：（1）由于方程有实数根，方程可以为一次方程，也可为二次方程. （ⅰ）当方程为一次方程，即k=1时，方程为-6x+9=0显然此时方程有实数根.（ⅱ）当方程为二次方程，且方程有实数根，须∆≥0即（-6）2-4×（k-1)×9≥0解得，k≤2综上所述，k的取值范围为k≤2.（2）由于方程有两个实数根，所以方程为一元二次方程.欲使此方程有两个实数根，须∆≥0即（-6）2-4×（k-1)×9≥0解得，k≤2∴当方程有两个实数根时，k的取值范围为k≤2.（3）∵方程有两个不相等的实数根∴∆>0即（-6）2-4×（k-1)×9>0解得，k<2∴当方程有两个不相等的实数根时，k的取值范围为k≤2.（4）∵方程有两个相等的实数根∴∆=0即（-6）2-4×（k-1)×9=0解得，k=2此时，方程即为x2-6x+9=0解得方程的两根为x1=x2=3故方程有两个相等的实数根时，k=2,此时方程的两相等的实根为x1=x2=3.【针对练习】已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是四、课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
22.2降次--解一元二次方程教案1(人教版九年级上册)
§23.2.1一元二次方程的解法(1)——因式分解法初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2010年___月__日学习目标：一、理解因式分解求解一元二次方程的方法在于降次，转化为一元一次方程求解；二、掌握用因式分解求解一元二次方程的四种类型1、平方差公式因式分解。
2、提取公因式因式分解；3、完全平方公式因式分解；4十字相乘法因式分解 重点：会进行因式分解来解方程。
难点：完全平方公式因式分解、十字相乘法因式分解学习过程：一、复习引入：（一）、什么是因式分解：（二）因式分解的方法：1、提取公因式法：ma mb mc ++= 。
因式分解（1）、23x x -= ，（2）、(2)2x x x -+-= 。
2、公式法：22x y -= ；222x xy y ++= ，222x xy y -+= ； 因式分解：（1）、29x -= ，（2）、241x -= ；（3）、22(4)(52)x x ---= = ；（4）、269x x ++= ，（5）、2363x x -+= 。
3、十字相乘法：2()x p q x pq +++= 。
因式分解：232x x ++= ，256x x --= 。
二、新课内容。
在解一元二次方程23x x -=0时，左边可以因式分解，将方程变为 (3)0x x -=于是得 =0或 =0所以有 。
思考，上面的二次方程是如何变成我们以前学习的一次方程的？象上面利用因式分解实现降次求解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
因式分解求解一元二次方程的条件：1、方程一边是两个式子的乘积形式；2、方程另一边为0。
三、例题和练习例1、解下列方程：（1）(2)20x x x -+-= （2）、221352244x x x x --=-+练习1、解下列方程（1）、20x x += （2）、20x -=（3）、264y = （4）、241210x -=（5）、22(4)(52)x x -=-（6）、3(21)42x x x +=+例2、解下列方程：1、2363x x -=-2、228x x -=练习2、（1）、231212x x -=-（2）、(2)10x x ++=（3）、(3)(1)5x x +-=（4）、(3)18x x +=（5）、24210x x --= （6）、24912x x +=B 组练习，解下列方程1、22(1)3(1)x x -=-2、2(2)4x x x -=-3、2(1)4(1)40x x ---+=4、242436y y -=-5、若代数式233x x -的值与2(1)x -的值互为相反数，求x 的值？6、x 为何值时，代数式239x x +-的值与52x -的值相等？C 组：1、已知代数式242x x +-的值为3，求代数式2285x x +-的值.2、已知2215500(0)x xy y y -+=≠，求x y 的值。
降次解一元二次方人教版数学九年级上册教案
降次解一元二次方人教版数学九年级上册教案降次，首先说次，指的是一个数，或一个数式，本身自我相乘。
如5的2次方就是5×5=25.降次，就是再把25还原回5的一种反运算。
以下是整理的降次解教案二次方人教版数学九年级上册一元，欢迎大家效法与参考!22.2降次——解一元二次方：教案教学内容本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标知识技能掌握一元二次方程求根公式的推导，会会运用不等式法解一元二次方程.21.2解一元二次方程同步测试1.分解因式：(1)x2-4x=_________; (2)x-2-x(x-2)=________(3)m2-9=________; (4)(x+1)2-16=________2.方程(2x+1)(x-5)=0的解是_________3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是___________4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1·x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于_______5.已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0;当x=________时，y的值等于24.6.方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________.7.若(2x+3y)2+3(2x+3y)-4=0，则2x+3y的值为_________.8.方程x(x+1)(x-2)=0的根是( )A.-1，2B.1，-2C.0，-1，2D.0，1，29.若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为( )A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=021.2可解一元二次方程同步练习25.(2021•德州)若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2= .26.(2021•连云港)已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是.27.(2021•抚顺)已知关于x的方程x2+2x﹣m=0有实数解，那么m的取值范围是.28.(2021•南京)已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p= ，q= .降次解一元二次方人教版数学九年级上册教案。
人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(5)》
【问题】
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
【探究】
通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？
态度
价值观
使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．
教学重点
应用分解因式法解一元二次方程．
教学难点
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
一、复习引入
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【应用】
例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为
．
你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？
三、反馈练习
教材P4045 练习第1、2题
补充练习
解下列方程．
1．12（2-x）2-9=0 2．X2+x（x-5）=0
四、拓展提高
例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
21.2降次—解一元二次方程(6)教学设计
21.2 降次—解一元二次方程（6）教学设计教学目标：1.掌握用因式分解法解一元二次方程；2.会用因式分解法解决一些具体问题；3.让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便重点：掌握用因式分解法解一元二次方程难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便一、合作探究引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度(单位：m)为 10x －4.9x 2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m ， 列方程为：10x -4.9x 2 = 0 ① 用配方法和公式法解方程① ？ 配方法解：解：x 2−10049x =0 x 2−10049x +(−5049)2=0+(−5049)2 (x −5049)2=(−5049)2x −5049 =±5049 x 1=10049 , x 1=0公式法解：解：4.9x 2 - 10x = 0.a = 4.9，b = -10，c = 0.∴ Δ = b 2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 = 100.方程有两个不相等的实根x =−b ±√b 2−4ac 2a =10±√1009.8 x 1=10049 , x 1=0思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？二、新知讲解（一）因式分解法的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（二）：简单十字相乘法——pq 型的因式分解(x +p)(x + q ) = x 2 + (p + q )x + pq x 2 + (p + q )x + pq=(x +p)(x + q )一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积总结：若一元二次方程x2 + px + q =0中， q =a ×b; p = a + b ，那么 x2 + px + q=0 就可以用如上的方法进行因式分解.三、新知应用试一试 下列各方程的根分别是多少？(1) x (x －2)=0； x 1 = 0，x 2 = 2. (2) (y +2)(y －3)=0； y 1 =-2，y 2 = 3(3)(x+1)(x -1)=0 ; x 1 = -1，x 2 = 1. (4) (x +6)(2x －4)=0； x 1 = -6，x 2 = 2.例1 解下列方程：(1)220x x x ； (2) 2213522.44x x x x 解：(1)因式分解，得 (2) 移项、合并得：4x 2−1=0(x - 2)(x ＋1) = 0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x - 1) = 0.x - 2 = 0，或 x ＋1 = 0. 2x ＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. 解得 x 1 = 2，x 2 = -1. 解得x 1=−12,x 2=12总结：因式分解法的基本步骤：一移—— 使方程的右边为 0 ；二分—— 将方程的左边因式分解 ；三化—— 将方程化为两个一元一次方程 ；四解—— 写出方程的两个解 .例2 解方程x 2+6x -7=0.x 2 + 6x -7 -x +7x =6x解：因式分解得(x + 7)(x − 1) = 0.∴ x + 7 = 0，或 x − 1 = 0.∴ x 1= −7，x 2 = 1.三、随堂练习练一练1 解下列方程：(1) (x +1)2=5x +5； (2)x 2-6x +9=(5-2x )2．解：(x + 1)2 = 5(x + 1)， 解：方程整理得 (x − 3)2 − (5 − 2x )2 = 0，(x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. [(x −3)+(5−2x )][(x −3)−(5−2x )]=0， (x + 1)(x − 4) = 0 即 (2 − x )(3x − 8) = 0.∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0 ∴ 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0，即 x 1 = −1，x 2 = 4． 即 x 1 = 2，x 2 =83 .练一练2 解下列方程：(1)x 2-5x +6=0； (2)x 2+4x -5=0；解：(x -2)(x -3)=0， 解得x 1=2，x 2=3；(3)(x +3)(x -1)=5； (4)2x 2-7x +3=0.解：(x + 4)(x − 2) = 0， 解得 x 1 = −4，x 2 = 2.四、课堂小结 xx7 -1 =(x +7)(x -7)步骤： ①竖分 二次项与常数项 与常数项 ； ①交叉 相乘 ，积 相加 ； ① 检验 确定， 横写 因式. 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.解：(x + 5)(x − 1) = 0，解得 x 1 = −5，x 2 = 1． 解：(2x − 1)(x − 3) = 0， 解得 x 1 = −5，x 2 = 1．五、作业布置见《精准作业设计》六、板书设计。
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《降次——解一元二次方程》教案
河南古传良
教学内容
本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．．
教学目标
知识技能
运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
数学思考
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
解决问题
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
情感态度
体会由未知向已知转化的思想方法．
重难点、关键
重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、复习引入
【问题】
求出下列各式中x的值，并说说你的理由．
（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．
二、探索新知
【问题情境】
一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？
【活动方略】
学生活动：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为6x 2 dm 2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程．在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．
老师活动：概括可用直接开平方法求解的一元二次方程的结构形式及其操作过程．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．
【思考】
对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？
（1）2(21)5x -=；
（2）2692x x ++= 【活动方略】
学生活动：
学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到215x -=±，于是得到2
51,25121-=+=x x 。
对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．
教师活动：
鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．
引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 即，如果方程能化成2x p =或2
()(0)mx n p p +=≥的形式，那么直接开平方可得x p =±或mx n p +=±．
【设计意图】
主体探究、归纳直接开平方法一般过程．
三、 反馈练习
教材P 31 练习．
补充习题：
解下列方程．
1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况.
四、应用拓展
例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握直接开门平方法。
五、小结作业
1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．
2．作业：课本，习题22．2 第1、2题
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。