四川省资阳市高三第二次高考模拟考试数学(文)试题 (资阳二模)

资阳市高中三年级第二次高考模拟考试数 学（文史财经类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：球的表面积公式 24S R π=（其中R 表示球的半径），球的体积公式 343V R π=（其中R 表示球的半径）．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，B ={3，5}，则()U A B =ð （A ）{1，2，4，5} （B ）{1，5} （C ）{2，4} （D ）{2，5}2．函数12()1f x x =-的图象大致是3．下列命题为真命题的是（A ）若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题（B ）“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件（C ）命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2230x x --≤” （D ）命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-> 4．已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 （A ）若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α （B ）若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m （C ）若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m （D ）若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α 5．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 （A ）22(2)4x y -+= （B ）22(1)4x y -+= （C ）22(2)2x y -+=（D ）22(1)2x y -+=6．式子253221log (log 16)8()2--+⨯=（A ）4 （B ）6（C ）8 （D ）107. 实数x ，y 满足不等式组0,0,22,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则x y +的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）12（D ）08．下列不等式成立的是 （A ）3sin()sin()105ππ->- （B ）sinsin1810ππ>（C ）9tan()tan()86ππ>（D ）723cos()cos()45ππ->-9．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7（D ）9（C ）当[2,4]x ∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为2 （D ）存在实数0x ，使得不等式00()6x f x >成立第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若3i(8)ix x y-=-，则x y+=________．12．双曲线2216416y x-=上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于．13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为.14．观察以下各等式：223sin30cos60sin30cos604++=，223sin20cos50sin20cos504++=，223sin15cos45sin15cos454++=．试写出能反映上述各等式一般规律的一个等式．15．如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①2OA OB+；②1123OA OB+；③3143OA OB+；④3145OA OB+；⑤3243OA BA OB++．其中终点落在阴影区域内的向量的序号是_____________（写出满足条件的所有向量的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2sin0c A-=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=ABC，求a＋b的值.17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到右图所示的频率分布表：（Ⅰ）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；（Ⅱ）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加“幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．(90，100] 218．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，∠BAC =90︒，1AA ⊥平面ABC ，D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （Ⅰ）求证：EF ∥平面1BDC ；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:31，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12334n n a S n ++=+（*n ∈N ）．（Ⅰ）求证：数列{1}n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a n λλ=--，若212n n b b ->恒成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)经过(1,1)与两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MA MB =．求证：222112||||||OA OB OM ++为定值．21．（本小题满分14分）设函数32()3f x x x =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x m =-在[1,2]-上有三个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设函数()ln a g x x x x =+，如果对任意的1x ,21[,2]2x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（文史财经类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1－5. CABCB ；6－10.DADCC.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．3； 12．17； 13．2412π+；14．223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++++=； 15．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解析 2sin 0c A -=及正弦定理，得2sin sin 0A C A -=（sin 0A ≠），∴sin C =，∵△ABC 是锐角三角形， ∴3C π=． ··························································································· 6分（Ⅱ）∵c =3C π=，∴△ABC 的面积1sin 23ABC S ab π∆=∴6ab =． ① ············································································ 8分由余弦定理，222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=．② ············································································· 10分 由①×3＋②，得2()25a b +=，故5a b +=． ················································ 12分············································· 3分 频率分布直方图：·········································································································· 3分 （Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A 1，A 2，A 3，（90，100]的2人分别是B 1，B 2，则全部基本事件有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2）（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（B 1，B 2）共10个，其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率63105P ==． ·············· 12分18．（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =，F ∴为AM 的中点，又E 为1AA 的中点，∴1//EF A M ，在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 1//A D BM ∴，且1A D BM =，则四边形A 1DBM 为平行四边形，1//A M BD ∴，//EF BD ∴，又BD ⊆平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D ，//EF ∴平面1BC D ． ··············································································· 6分 （Ⅱ）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰31，则111:1:32E AFG ABC A B C V V --=．1111113212E AFG ABC A B C AF AG AEV V AB AC A A --⨯⋅⋅=⋅⋅ 111134224AG AGAC AC =⨯⨯⨯=⋅， 112432AG AC ∴⋅=，即34AG AC =，所以符合要求的点G 存在． ······························ 12分 19．解析 （Ⅰ）由12334n n a S n ++=+，得12331n n a S n -+=+（2n ≥），两式相减得11223()3n n n n a a S S +--+-=，即123n n a a ++=， ····························· 2分∴11322n n a a +=-+，则111(1)2n n a a +-=--（2n ≥）， ···································· 4分由12a =，又21237a S +=，得212a =，则21111121212a a --==---， 故数列{1}n a -是以111a -=为首项，12-为公比的等比数列．则111111(1)()()22n n n a a ---=-⋅-=-，∴11()12n n a -=-+， ································ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，121211[()1]()22n n n b n n λλλ--=-+--=--，由题意得212n n b b ->，则有22221211()(21)()(2)22n n n n λλ----->--，即222211()[1()](21)(2)22n n n λ---->--，∴(41)46n n λ-⋅>-， ························· 10分而(41)46n n -⋅-对于*n ∈N 时单调递减，则(41)46n n -⋅-的最大值为(41)426-⨯-=-，故2λ>-． ··························································································· 12分 20．解析（Ⅰ）将(1,1)与代入椭圆C 的方程， 得2222111,331,24a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得23a =，232b =．∴椭圆C 的方程为222133x y +=． ······························································ 6分 （Ⅱ）由||||M A M B =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2b b a a b=++=+=． 同理，若点A 、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2a a b a b =++=+=． ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y kx =（0k ≠），则直线OM 的方程为1y x k =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22,21,33y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212312x k =+，2212312k y k =+， ∴222221123(1)||||12k OA OB x y k +==+=+，同理2223(1)||2k OM k +=+，所以222112||||||OA OB OM ++22222212122(2)23(1)3(1)3(1)k k k k k k +++=++=+++， 故222112||||||OA OB OM ++为定值2． ························································ 13分 21．解析 （Ⅰ）2()32(32)f x x x x x '=-=-，由()0f x '>时，解得0x <或23x >；由()0f x '<时，解得203x <<．故函数()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，2(,)3+∞；单调递减区间是2(0,)3． ········ 4分（Ⅱ）令()()h x f x m =-，则32()3h x x x m =---，∴2()32(32)h x x x x x '=-=-，由（Ⅰ）知，当函数()h x 在(,0)-∞上单调递增，在2(0,)3上单调递减，在2(,)3+∞上单调递增．函数()h x 在0x =处取得极大值(0)3h m =--，在23x =处取得极小值285()327h m =--，由函数()y f x m =-在[1,2]-上有三个零点，则有： (1)0,(0)0,2()0,3(2)0,h h h h -≤⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪≥⎪⎩即50,30,850,2710,m m m m --≤⎧⎪-->⎪⎪⎨-->⎪⎪-≥⎪⎩解得85327m -<<-， 故实数a 的取值范围是85(,3)27--． ···························································· 9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数()f x 在12(,)23上单调递减，在2(,2)3上单调递增，而125()28f =-，(2)1f =，故函数()f x 在区间1[,2]2上的最大值max ()(2)1f x f ==．∴只需当1[,2]2x ∈时，()ln 1ag x x x x=+≥恒成立即可，即等价于2ln a x x x ≥-恒成立，所以，记2()ln u x x x x =-，所以max ()a u x ≥，()12ln u x x x x '=--，可知(1)0u '=，当1(,1)2x ∈时，10x ->，2ln 0x x <，则()0u x '>，∴()u x 在1(,1)2上单调递增；当(1,2)x ∈时，10x -<，2ln 0x x >，则()0u x '<，∴()u x 在(1,2)上单调递减；故当1x =时，函数()u x 在区间1[,1]2上取得最大值(1)1h =，所以1a ≥，故实数a 的取值范围是[1,)+∞． ················································ 14分。