第三讲概率分布和抽样分布
第三讲 抽样分布和估计
x
Proportion p
p
Variance Difference
2
-
12
s2
__ x -x
12
30
联合食品公司的案例
针对“联合食品公司”的案例（P.44 案例2-1）， 我们假设调查的100个客户组成一个简单随机样 本。尝试回答下面的问题： 1）所有客户一次购买金额的平均值是多少?
第三讲
抽样分布和估计
1
概率论与统计学之间的关系
一个概率论的问题：
假定有一个大盒子中有 10,000个球，分布如下： 70%的黑球和 30%的白球
随机抽取100个球，得到60个黑球和40个白球的 概率是多少？
---- 给定一个总体（盒子中的所有小球）的已知 特征（70% 和30%），研究一个试验（抽取小球） 的可能的结果 (例如 60-40) 。
2
一个统计学的问题：
假定一个大盒子中有 10,000个小球（黑和白）。 随机抽取100个小球，发现其中有60个黑球和40个
白球。那么黑球在盒子中所占的比例是多少？
---- 观察到一个试验（抽取小球）的结果 (60-40), 推断出这个总体（盒子中的所有小球）的特征 （比例）
3
总体－样本理论 统计推断采用一个（有代表性的）子总体 （样本）来对总体的某些特征进行科学的 推断。
10 2 55 7.42
x 10.33 s 2 56.78 s 7.54
抽样分布
样本不同， x 值也不同。那么 x 取不同 值的可能性分别是什么？ x 的概率分布称作它的抽样分布。 抽样分布在统计推断中的中心地位。 抽样分布取决于总体的分布（模型）以 及抽样的方式。
抽样方式 总体分布===== 抽样分布
理论分布和抽样分布的概念
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
统计学的概率分布与抽样
统计学的概率分布与抽样统计学是一门研究数据的收集、分析和解释的学科，它在许多领域中起着重要的作用。
其中一个关键的概念是概率分布和抽样。
本文将介绍统计学中的概率分布和抽样方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、概率分布概率分布是指描述一个随机变量所有可能取值的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可列无限个值的分布。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布描述了在进行有限次的独立重复试验时，成功的次数的概率分布。
而泊松分布用于描述单位时间或者单位空间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量可以取任意实数值的分布。
其中最常见的是正态分布。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它是一个对称的钟形曲线，具有许多重要的特性。
二、抽样方法抽样是指从总体中选取样本的过程。
样本是指总体中的一个子集，通过对样本的研究和分析，可以推断总体的特征。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样。
随机抽样是指在总体中随机选择样本，使每个个体被选中的概率相等。
系统抽样是指按照一定的规则，选择样本中的个体。
分层抽样是将总体分为若干层次，然后在每个层次中进行抽样。
抽样方法的选择取决于研究的目的和总体的特点。
合适的抽样方法可以提高样本的代表性和可靠性，从而提高统计分析的准确性。
三、概率分布与抽样的应用概率分布和抽样在许多领域中都有重要的应用。
以下将介绍几个具体的例子。
1. 市场调研：在市场调研中，研究者通常需要从总体中选取样本，然后通过对样本的调查和分析来推断总体的特征。
这时候可以使用随机抽样或者分层抽样的方法，并根据样本数据的概率分布来进行统计分析。
2. 医学研究：医学研究中经常需要进行临床试验，以评估某种治疗方法的有效性和安全性。
在临床试验中，研究者需要随机选取一部分患者接受治疗，然后比较治疗组和对照组的结果。
这时候可以使用随机抽样的方法，并根据结果的概率分布做出结论。
3 理论分布与抽样分布
【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
Stata软件基础：概率分布和抽样分布
Stata软件基本操作和数据分析入门第三讲概率分布和抽样分布赵耐青概率分布累积函数1. 标准正态分布累积函数norm(X)2. t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度3. χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度4. χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度5. F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度6. F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度累积函数的计算使用正态分布计算X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96)display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。
X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则X服从N(μ,σ2)，则~(0,1)XYNμσ−=，因此对其他正态分布只要在函数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：X 服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下又如X 服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下χ2分布累积概率计算设X 服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X 服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下χ2分布右侧累积概率计算设X 服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X 服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下t 分布右侧累积概率计算设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下F分布累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：F分布右侧累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：概率分布的临界值计算正态分布的临界值计算函数invnorm(P)例如：双侧U0.05(即：左侧累积概率为0.975)，操作如下t分布的临界值计算函数invchi2tail(df,P)例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，α，操作如下χ2分布的临界值计算函数invchi2(df,P) 或invchi2tail(df,P)例如：计算自由度为1的χ2右侧累积概率为0.05的临界值χ20.05，操作如下：或者操作如下：F分布的临界值计算函数invF(df1,df2,P) 或invF(df1,df2,P)例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：或者操作为：产生随机数计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数(seed)，因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
概率论抽样分布
概率论抽样分布说明在概率论中，抽样分布是指从总体中选取样本并计算样本统计量的分布。
通过研究抽样分布，可以推断总体的性质和参数。
在这篇文档中，我们将介绍概率论抽样分布的基本概念、特性以及常用的分布类型。
抽样分布的定义抽样分布是由于从总体中抽取样本导致的统计量的分布。
在统计学中，统计量是从样本数据中计算得出的数值，如样本均值、样本方差等。
通过从总体中不断抽取样本并计算统计量的值，可以得到抽样分布。
抽样分布的特性抽样分布具有以下特性：1.中心极限定理：当样本容量足够大时，抽样平均值的抽样分布近似呈正态分布。
2.抽样分布的均值等于总体均值：样本均值的期望值等于总体均值。
3.抽样分布的方差等于总体方差除以样本容量：样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。
常见的抽样分布类型在概率论中，常用的抽样分布类型包括：1.正态分布：也称为高斯分布，是最常用的抽样分布。
当样本容量足够大时，均值的抽样分布近似呈正态分布。
2.t分布：用于小样本（样本容量较小）情况下对总体均值的推断。
相对于正态分布，t分布有更宽的尾部。
3.卡方分布：用于推断总体方差时的抽样分布。
卡方分布的形态由自由度决定。
4.F分布：用于比较两个总体方差是否相等的抽样分布。
F分布的形态由两个样本的自由度决定。
抽样分布的应用抽样分布广泛应用于统计学和概率论中的推断与检验问题。
通过从总体中抽取样本并计算统计量的分布，可以进行以下应用：1.参数估计：通过抽样分布，我们可以估计总体参数的取值，如总体均值、总体方差等。
2.假设检验：通过比较样本统计量与抽样分布的临界值，我们可以判断总体参数是否满足某个假设。
3.置信区间估计：通过计算抽样分布的分位数，我们可以得到总体参数的置信区间，从而评估参数的精确性。
总结抽样分布是概率论中的重要概念，用于推断总体的性质和参数。
具备了中心极限定理、均值和方差的性质等特点，常见的抽样分布类型包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
通过抽样分布，我们可以进行参数估计、假设检验和置信区间估计等应用。
概率分布与抽样分布
x 2.5
2 x
0.625
样本均值的抽样分布
一般的当总体服从 Nμσ二 时来自该总体的容量为n的 样本的均值X也服从正态分布X 的期望为μ方差为σ
二/n即X～Nμσ二/n
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
中心极限定理
中心极限定理：从均值为方差为 二的一个任意
§四.二.二 正态分布和有关概率计算
若随机变量 X 的概率密度为
f(x) 1 e2 12x2 , x
2
其中 和 都是常数，任意，>0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作 X~N(,2)
fx所确定的曲线叫作正态曲线
正态曲线图形的特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟
形曲线
决定了图形的中心位置；
0
不同自由度的t分布
tZ
§四.三.二 样本比例的抽样分布
设总体比例等于p则总体方差等于p一-p 重复抽样时样本比例 pˆ服从二项分布 中心极限定理：n很大时二项分布趋向于正态
分布 一般认为np≥五、n一-p≥五时可以用正态分布
来进行近似计算：
pˆ ~N(p, p(1p)) n
样本比例的抽样分布不重复抽样
Z=0.三一
对于已知的概率求X值
.六二 一七
.六二 一七
10
0
Z=0.三
5 X=
一
Xz5 0 .3* 1 0 5 .31
在Excel和 SPSS 中计算概率
在实际应用中现在可以直接使用Excel或统计软件 中的有关函数进行有关概率计算具体方法参见配 套教材
统计学 第3章 概率、概率分布与抽样分布
统计学
STATISTICS
1. 条件概率
在事件 B 已经发生的条件下事件 A 发生的概率，称为 已知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B)
事件A 事件B
P(AB) P(A|B) = P(B)
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
3－35
统计学
STATISTICS
3－28
统计学
STATISTICS
事件的补及其概率
事件的补(complement) 事件 A 不发生的事件，称为事件 A 的补事件 (或称逆事件)，记为A 。它是样本空间中所有 不属于事件A的样本点的集合
A
A
P(A)=1- P(A)
3－29
统计学
STATISTICS
广义加法公式
广义加法公式 对任意两个随机事件 A 和 B ，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个事 件交的概率，即
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
两个事件的并 两个事件的交
3－30
统计学
STATISTICS
广义加法公式
(事件的并或和)
事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事 件 B 的并。它是由属于事件 A 或事件 B 的所有样 本点的集合，记为A∪B或A+B
3－6
统计学
STATISTICS
2. 事件
1 ）事件：试验的每一个可能结果 ( 任何样本 点集合)
– – 掷一颗骰子出现的点数为3 用大写字母A，B，C，…表示
2）随机事件(random event)：每次试验可能出 现也可能不出现的事件
抽样检验-第三章概率、概率分布与抽样分布2 精品
概率抽样最基本的组织方式有：简单随机抽 样、分层抽样、系统抽样和整群抽样。
特点
能有效避免主观选样带来的倾向性误差（系统偏 差），使得样本资料能够用于估计和推断总体的 数量特征，而且使这种估计和推断得以建立在概 率论和数理统计的科学理论之上，可以计算和控 制抽样误差，能够说明估计结果的可靠程度。
优点： 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量；
调查的地点相对集中，节省调查费用，方 便调查的实施；
当群为总体的一个缩影时，抽样估计误差 小，否则误差较大。
五、多阶段抽样
又称多级抽样。前 4种抽样方法均为一次性直接从总体 中抽出样本，称为单阶段抽样。
多阶段抽样则是将抽样过程分为几个阶段，结合使用上 述方法中的两种或数种。例如，先用整群抽样法从北京 市某中等学校中抽出样本学校，再用整群抽样法从样本 学校抽选样本班级，最后用系统或纯随机抽样从样本班 级的学生中抽出样本学生。
灯泡的使用寿命可以看做是一个随机变量X，如 果能知道X的分布函数F(x)，那么F(1000)就是次品率。 但对每只灯泡测试寿命是行不通的。
我们往往会从总体中随机抽取一部分个体，比如 100只灯泡，进行测试，求得分布函数，次品率，并 由此对总体进行推断。
3.4 抽样分布
一、抽样分布的概念
总体与样本
一、简单随机抽样 (simple random sampling)
从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样 本，使得总体中每一个元素都有相同的机会 (概率)被抽中；
抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样； 常用方法：抽签法。
特点
简单、直观，在抽样框完整时，可直接从 中抽取样本；
用样本统计量对目标量进行估计比较方便。 局限性
三概率分布与抽样分布【共44张PPT】
下表是工商07级1班、2班某门课的考试成绩。
比如，有些产品出厂时不仅需要标注其性能参数均值，而且要标明均值的方差（标准差）。
二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。
其中N为产品总数，n为试验次数也即抽取出的产品数；
实际中，要求n≥30。
二项分布、几何分布都是贝努利试验导出的分布。
二项分布与几何分布都是在n重或可列重相互独立的贝努利试验中形成的。
概率是曲线下的面积
P（ aXb） bf（ x） dx a f(x)
ab
x
从概率的角度重新看这几个指标：
随机变量的均值 E(X)
n
xip(xi )
xif (x)dx
i1
(和的均值 均值之和)
随机变量的方差 var(X)
n
(xi E(X))2 p(xi )
(xi
E(X))2 f
中心极限定理(Central Limit Theorem)：
对于样本比例（成数）来说，中心极限定理也同样成立：
设从成数为P0的总体中抽取大小为n的样本，当n充分大
时，样本成数总是近似服从
N(P0,的P0正(1态n分P布0)。)即：
E(p)
P0，D（p）
n1P0(1P0)
p~N(P0,
n1P0(1P0))
P（AB）=P（B）P（A￤B） 将上式中A、B的位置对调，可得：
P（AB）=P（A）P（B￤A） 以上两式统称概率乘法公式。
全概率公式与逆概率公式：
1 1、完备事件组 、完备事件组
其中N为产品总数，n为试验次数也即抽取出的产品数；
若事件A 、A 、…A 互不相容（互斥），且其中之一必然 随机变量：离散型、连续型。
第三讲 概率分布和抽样分布
Stata软件基本操作和数据分析入门第三讲概率分布和抽样分布赵耐青概率分布累积函数1.标准正态分布累积函数norm(X)2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度累积函数的计算使用正态分布计算X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96)display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。
X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则X服从N(μ,σ2)，则~(0,1)=，因此对其他正态分布只要在函Y Nσ数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下χ2分布累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下χ2分布右侧累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下t分布右侧累积概率计算设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下F分布累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：F分布右侧累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：概率分布的临界值计算正态分布的临界值计算函数invnorm(P)例如：双侧U0.05(即：左侧累积概率为0.975)，操作如下t分布的临界值计算函数invttail(df,P)例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，α，操作如下χ2分布的临界值计算函数invchi2(df,P) 或invchi2tail(df,P)例如：计算自由度为1的χ2右侧累积概率为0.05的临界值χ20.05，操作如下：或者操作如下：F分布的临界值计算函数invF(df1,df2,P) 或invF(df1,df2,P)例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：或者操作为：产生随机数计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数(seed)，因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
第3章概率与抽样分布
z
表列数字是z左边的面积
z = - 0.44
z左边的面积为0.33
- 0.44
0.33
z
表列数字是z左边的面积
z = 0.44
z左边的面积为0.67
六、标准正态表
七、双侧临界值
在标准正态曲线图下， 右方与 左方的面积和为 a ,则称 为标准正态分布概率为 a 的双侧临界值。可查表。
1. 样本频率总是围绕概率上下波动 2. 样本含量n越大，波动幅度越小，频率越接近概率。
频率与概率的关系：
调查株数(n)
5
25
50
100
200
500
1000
1500
2000
受害株数(a)
2
12
15
33
72
177
351
525
704
棉株受害频率(a/n)
0.40
0.48
0.30
0.33
查附表，当u=－0.8时，FN(26)=0.2119，说明这一分布从－∞到26范围内的变量数占全部变量数的21.19%，或者说，x≤26概率为0.2119.
九、计算
[例3] 在应用正态分布时，经常要讨论随机变数x离其平均数的差数大于或小于若干个值的概率。例如计算离均差绝对值等于小于和等于大于1 的概率为：
Section 3.3 Normal Distributions 正态分布
一、特点
正态曲线 所有正态曲线都有相同的外型 具有对称、单峰及钟形的特性。 正态曲线所代表的分布即为正态分布(normal distribution) 每一正态分布都有其平均值μ 与标准差σ
m
s
一、特点
正态曲线σ较大
Stata操作入门(中文)
第一讲Stata操作入门第一节概况Stata最初由美国计算机资源中心（Computer Resource Center）研制，现在为Stata公司的产品，其最新版本为7.0版。
它操作灵活、简单、易学易用，是一个非常有特色的统计分析软件，现在已越来越受到人们的重视和欢迎，并且和SAS、SPSS一起，被称为新的三大权威统计软件。
Stata最为突出的特点是短小精悍、功能强大，其最新的7.0版整个系统只有10M左右，但已经包含了全部的统计分析、数据管理和绘图等功能，尤其是他的统计分析功能极为全面，比起1G以上大小的SAS系统也毫不逊色。
另外，由于Stata在分析时是将数据全部读入内存，在计算全部完成后才和磁盘交换数据，因此运算速度极快。
由于Stata的用户群始终定位于专业统计分析人员，因此他的操作方式也别具一格，在Windows席卷天下的时代，他一直坚持使用命令行／程序操作方式，拒不推出菜单操作系统。
但是，Stata的命令语句极为简洁明快，而且在统计分析命令的设置上又非常有条理，它将相同类型的统计模型均归在同一个命令族下，而不同命令族又可以使用相同功能的选项，这使得用户学习时极易上手。
更为令人叹服的是，Stata语句在简洁的同时又拥有着极高的灵活性，用户可以充分发挥自己的聪明才智，熟练应用各种技巧，真正做到随心所欲。
除了操作方式简洁外，Stata的用户接口在其他方面也做得非常简洁，数据格式简单，分析结果输出简洁明快，易于阅读，这一切都使得Stata成为非常适合于进行统计教学的统计软件。
Stata的另一个特点是他的许多高级统计模块均是编程人员用其宏语言写成的程序文件（ADO文件），这些文件可以自行修改、添加和下载。
用户可随时到Stata网站寻找并下载最新的升级文件。
事实上，Stata的这一特点使得他始终处于统计分析方法发展的最前沿，用户几乎总是能很快找到最新统计算法的Stata程序版本，而这也使得Stata自身成了几大统计软件中升级最多、最频繁的一个。
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Stata 软件基本操作和数据分析入门第三讲 概率分布和抽样分布概率分布累积函数1. 标准正态分布累积函数norm(X)2. t 分布右侧累积函数ttail(df ，X) ，其中df 是自由度3. χ2分布累积函数chi2(df ，X) ，其中df 是自由度4. χ2分布右侧累积函数chi2tail(df ，X) ，其中df 是自由度5. F 分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度6. F 分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度累积函数的计算使用正态分布计算X 服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96) . display norm(1.96).9750021 即概率P(X<1.96)＝0.9750021display 可简写为 di ，如： di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。
X 服从N(0,1)，计算概率 P(X>1.96)，则 . di 1- norm(1.96).0249979 即概率P(X>1.96)＝0.0249979 X 服从N(μ,σ2)，则~(0,1)X Y N μσ−=，因此对其他正态分布只要在函数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下. di norm((111.76-100)/6).9750021 即：概率P(X<111.76)=0.9750021又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下. di 1-norm((90-100)/6).95220965χ2分布累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下. di 1-chi2(1,3.84).05004353 概率P(X>3.84)=0.05004353设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下. di chi2(3,5).82820288 概率P(X<5)=0.82820288χ2分布右侧累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下. di chi2tail(1,3.84).05004353 概率P(X>3.84)=0.05004353设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下.di chi2(3,5).82820288 概率P(X<5)=0.82820288t分布右侧累积概率计算设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下. di ttail(10,2.2).02622053 概率P(t>2.2)=0.02622053 (注意：这是右累积函数) 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下. di 1-ttail(10,-2).03669402 概率P(t<－2)=0.03669402F分布累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：. di F(3,27,1) 注意这里的函数是大写F，stata软件中是区分大小写的.59208514 概率P(F<1)=0.59208514设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：. di 1-F(4,40,3).02954694概率P(F>3)=0 .02954694F分布右侧累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：. di 1-Ftail(3,27,1) 注意这里的函数是大写F，stata软件中是区分大小写的.59208514 概率P(F<1)=0.59208514设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：. di Ftail(4,40,3).02954694 概率P(F>3)=0 .02954694概率分布的临界值计算正态分布的临界值计算函数invnorm(P)例如：双侧U0.05(即：左侧累积概率为0.975)，操作如下. di invnorm(0.975)1.959964 即U0.05＝1.959964t分布的临界值计算函数invttail(df,P)，操作例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，α如下. di invttail(28,0.025)2.0484071 临界值t28，α=2.0484071χ2分布的临界值计算函数invchi2(df,P) 或invchi2tail(df,P)例如：计算自由度为1的χ2右侧累积概率为0.05的临界值χ20.05，操作如下：. di invchi2(1,0.95)3.8414591 临界值χ20.05=3.8414591或者操作如下：. di invchi2tail(1,0.05)3.8414591 临界值χ20.05=3.8414591F分布的临界值计算函数invF(df1,df2,P) 或invF(df1,df2,P)例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：. di invF(3,27,0.95)2.9603513 临界值F0.05(3,27)= 2.9603513或者操作为：. di invFtail(3,27,0.05)2.9603513 临界值F0.05(3,27)= 2.9603513产生随机数计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数(seed)，因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
设置种子数的命令为set seed 数。
每次设置同一种子数，则产生的随机序列是相同的。
产生(0,1)区间上的均匀分布的随机数 uniform()例如产生种子数为100的20个在(0,1)区间上的均匀分布的随机数，则操作如下：clear 清除内存set seed 100 设置种子数为100set obs 20 设置样本量为 20gen r=uniform()产生20个在(0，1)区间上均匀分布的随机数。
list 显示这些随机数结果如下r1. .71852962. .16467283. .92580414. .18337365. .00673276. .74133617. .35999438. .16345439. .44555310. .648904911. .379943112. .596489513. .025134614. .216440215. .684847916. .127001817. .646625818. .186928819. .452238420. .067132利用均匀分布随机数进行随机分组：例：某实验要把20只大鼠随机分为2组，每组10只，请制定随机分组方案和措施。
第一步、把20只大鼠编号，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。
并且标明。
第二步、用Stata软件制定随机分组方案，操作如下：clear 清除内存set seed 200 设置种子数为200set obs 20 设置样本量为20range no 1 20 建立编号1至20gen r=uniform() 产生在(0,1)均匀分布的随机数gen group=1 设置分组变量group的初始值为1 sort r 对随机数从小到大排序replace group=2 in 11/20 设置最大的10个随机数所对应的记录为第2组，即：最小的10个随机数所对应的记录为第1组sort no 按照编号排序list 显示随机分组的结果结果如下：no r group1. 1 .9512007 22. 2 .5249876 23. 3 .5129986 14. 4 .126439 15. 5 .5866161 26. 6 .7059209 27. 7 .2633286 18. 8 .5644688 29. 9 .1171033 110. 10 .954065 211. 11 .4822863 112. 12 .3347736 113. 13 .5678902 214. 14 .7994431 215. 15 .1180503 116. 16 .9834299 217. 17 .2807874 118. 18 .095245 119. 19 .9446051 220. 20 .3467524 1随机分组整理如下第一组编号 3 4 7 9 11 12 15 17 18 20第二组编号 1 2 5 6 8 10 13 14 16 19产生服从正态分布N(μ，σ2)的随机数invnorm(uniform())*σ+μ。
例如产生10个服从正态分布N(100，62)的随机数，操作如下: clear 清除内存set seed 200 设置种子数为200set obs 10 设置样本量为10gen x=invnorm(uniform())*6+100 产生服从N(100，62)的随机数list 显示随机数结果如下：x1. 109.93972. 100.37613. 100.19554. 93.139685. 101.31316. 103.2497. 96.20138. 100.97399. 92.8624410. 110.1137教学应用：考察样本均数的分布。
由于个体变异的原因，样本均数X的抽样误差(其定义为样本均数与总体均数的差值)是不可避免的，并且样本均数的抽样误差是呈随机变化的。
对于一次抽样而言，无法考察样本均数的抽样误差的规律性，但当大量地重复抽样，计算每次抽样的样本均数X，考察样本均数的随机分布规律性和统计特征。
举例如下：X利用计算机模拟产生100000个服从正态分布N(100,62)的样本，样本量分别为n=4，n=9，n=16，n=36，每个样本计算样本均数。
这里关键处是要清楚什么是样本量(每次抽样所观察的对象个数，也就是每个样本的个体数n)、什么是样本个数(指抽样的次数)，现以n=4为例，一条记录存放一个样本，样本量n=4，也就是每个样本的第1个数据放在第1列，第2个数据放在第2列，第3个数据放在第3列，第4个数据放在第4列，因此第1行是第一个样本，第2行是第2个样本，第100000行是第100000个样本，计算样本均数放在第5列，因此共有100000个样本均数。