3-4函数的单调性
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
3-4函数单调性与曲线的凹凸性
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
高等数学课件3-4单调性(monotonicity)的判别法
$3-4函数单调性的判别法
19
思考题解答
不能断定.
1 x 2 ( x ) sin f ( 0 x ) f ( 0) x f (0) lim lim x 0 x 0 x x
2
1 2 x 2 x sin , x 0 例 f ( x) x x0 0,
函数单调增加 .
0 0
列表 （tabulation)
x y y
( ,0)
$3-4函数单调性的判别法
( 0, )
+
5
例2(P182习题3-4，1） 讨论
的单调性,
y arctgx x
并求 单调区间.
2 x 1 0, 解 对x ( ,), y 2 2 1 1 x 1 x
8
列表
x
y
( ,0)
0
不存在
( 0, )
y
图形
注意（1）导数不存在的点可能是 单调区间的分界点;
y 3 x2
y
(2)(0,0)称为尖点（cusp). (3) 区间内个别点导数不存在但连 续,而其它点导数保号,不影响单调 性.如
3 '
x在（ - ， ） , 而y (0).
-0.1
x0
0.075 0.05 0.025
-0.05 -0.025 -0.05 -0.075
0.05
0.1
1 当 x 2k 时，
f ( x ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增．
$3-4函数单调性的判别法 21
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
2.1.函数的单调性-人教B版必修一教案
2.1.函数的单调性-人教B版必修一教案教学目标1.能够明确函数的单调性的概念和性质；2.能够运用一阶导数的正负判定函数的单调性；3.能够掌握二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数的单调性。
教学重点1.函数单调性的概念和性质；2.一阶导数的符号可以判断函数的单调性。
教学难点1.二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数的单调性的判定。
教学方法1.归纳总结法：学生自主学习单调性相关概念和性质，然后通过教师梳理和归纳总结掌握方法；2.讨论法：教师发起问题，学生分组讨论，多角度、多方面地讨论单调性相关问题和例题，从而进一步深化理解。
教学过程Step 1 引入新知识（5分钟）教师介绍本节课所要学习的内容：函数的单调性，并与前一节课所学习的函数解析式和研究真数域等相关概念进行联系。
Step 2 阐述概念（10分钟）教师向学生讲解函数的单调性的概念和性质，并较详细地说明一阶导数的正负判定函数的单调性的方法和步骤。
Step 3 分组讨论（15分钟）教师将学生分为若干组，每组分别拿到一组函数通式（二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数等），让学生研究和讨论这些函数的单调性，掌握如何根据一阶导数的符号判断这些函数的单调性。
Step 4 练习（20分钟）教师让学生自主完成若干关于函数单调性的例题，并在完成后进行对比和讨论，进一步令学生熟练掌握根据一阶导数符号判断函数单调性的方法和过程。
Step 5 小结（5分钟）教师让学生回答问题，总结今天所学的内容，强化学生的记忆和理解。
教学反思通过这节课的教学，学生在梳理和归纳总结中理解了函数单调性的相关概念和性质，掌握了一阶导数的符号判断函数单调性的方法和步骤，并通过讨论和练习深化了对单调性的理解和认识。
同时，学生也锻炼了自主学习和合作学习的能力，所以今天的教学取得了良好的教学效果。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
高等数学-3_4单调性
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
高一数学函数的单调性知识点
高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。
(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
高等数学第3章D3_4单调与凹凸
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内容小结
1. 可导函数单调性判别 f ′(x) > 0, x ∈I 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
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例1. 确定函数 令 f ′(x) = 0 , 得 x =1, x = 2
的单调区间.
′(x) = 6x2 18x +12 = 6(x 1)(x 2) 解: f
x
f ′(x) f (x)
故
(∞, 1)
1
(1, 2)
+
0
2 0
(2, + ∞) +
2
1
y
2 的单调增 单调增区间为 (∞, 1), (2, + ∞); 单调增 1 的单调减 单调减区间为 (1, 2). 单调减 O
作业
P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15
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备用题
x +1 1. 求证曲线 y = 2 有位于一直线的三个拐点. x +1 1 2x x2 (x2 +1) (x +1)2x 证明: 证明:y′ = = 2 2 2 (x +1) (x +1)2
且
证 x cos x sin x cos x f ′(x) = = 2 (x tan x) < 0 2 x x
tan x
x 1
因此 从而
G3_4单调性与凹凸性
x
y x图形位于切线下方
退出
高等数学（上）
3.4.2 曲线的凹凸性与拐点
出版社 理工分社
定义1 设曲线的方程为y=f(x)，定义域为D,且
曲线上的每一点都有切线.
(1)如果在某区间 I D 内,该曲线位于其上任 意一点切线的上边，则称曲线在该区间内是凹的；
(2)如果在某区间 I D 内,该曲线位于其上任 一点切线的下边，则称曲线在该区间内是凸的。
导数 不存在的点,从而得到单调区间的分界点； 步骤3：可结合表格讨论各区间导数的符号,从而
判定函数的单调增加,单调减小区间以及单调性。
退出
高等数学（上）
3.4.1 函数的单调性
出版社 理工分社
注意 如果函数在某区间内,只有个别点的导数等 于零或不存在,但该区间内其余各点的导数均大 于(或小于)零,则函数在这个区间内仍是单调增加 (或减少)的.
y f (x)
0
+
y f (x)
故函数在整个区间(, )内是单调增加的.
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
思考 判断函数y x ln x, x (1, )的增减性。
解 y 1 1 = x 1 0, x (1, ) xx
函数y x ln x在(1, )单调增加. 思考 判断函数y tan x cot x, x (0, )的增减性。
x
ee
lim
x
1
x
ee
1
0且
x
x
ee
0 lim x
f (x) .
e
退出
高等数学（上）
3.4.1 函数的单调性
人教A版高中数学必修第一册第三章3-4函数的应用(一)课件
分析：根据3.1．2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收 入额x的解析式t＝g(x)，再结合y＝f (t)的解析式③，即可得出y关于x 的函数解析式． 解：(1)由个人应纳税所得额计算公式，可得 t＝x－60 000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－9 600－560＝0.8x－70 160． 令t＝0，得x＝87 700． 根据个人应纳税所得额的规定可知，当0≤x≤87 700时，t＝0．所以， 个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为
√D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
) 题号
1 2 3 4
D [因为自行车为x辆，所以电动车为(4 000－x)辆，
存车总收入y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．]
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电
线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方 题号
1
故选C．]
2
3
4
2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车
存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车
存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
探究建构
探究1 一(二)次函数模型的应用 [典例讲评] 1．为了迎接五一小长假的购物高峰，某商场决定将一批 进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单 价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系．
高数3-4
f (0) f ( 3) (1 ) f (0) f (0) 2 6 ( 3) f (1 ) f (0) 即 1 f (0) ① 6 2 (3) f ( 2 ) f (0) f (0) f (0) 6 2 ( 3) f (0) f ( 2 ) 即 0 f (0) ② 2 6 ( 3) ( 3) f ( ) f ( 2 ) 1 ① -② : 1 6
注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 例3 当 x 0 时, 试证 x ln(1 x ) 成立 .
证 设 f ( x ) x ln(1 x ) ,
f ( x ) 在 [0, ) 上连续、 在 (0, ) 上可导且 x f ( x ) 0, 1 x 又 f (0) 0 , f ( x ) 在 [0, ) 上单调增； 当 x 0 时， f ( x ) x ln(1 x ) 0,
n1 x2 x3 x ln(1 x ) x ( 1) n o( x n 1 ) 2 3 n1 1 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x m ( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x 2! m ( m 1)( m n 1) n x o( x n ) n!
泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 , 则当
f
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n)
( x0 ) ( x x0 ) n n !
Rn ( x)
f ( n1) ( ) ( x x0 ) n1 其中 Rn ( x ) ( n 1) !
职校数学函数的性质ppt课件
课堂小结 • 利用定义判断函数单调性的四个步骤
①设
②作差、 变形
③定 符号
④下 结论
轻松一刻
清人徐子云《算法大成》中有一首诗： 寺内僧多少
巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧．
三百六十四只碗，众僧刚好都用尽．
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．
请问先生名算和尚吃一碗羹， 刚好用了364只碗，请问寺内有多少和尚？
函数在某区间上递增或递减的性质统称为函数的单调性
y y=|x|
o
x
函数在(-∞,0)上单调递减 函数在(0,+∞)上单调递增
单调减区间
单调增区间
4 函数的单调区间
• 试分析函数y=x2的单调性和单调区间
y y=x2
o
x
函数在(-∞,0)上单调递减 函数在(0,+∞)上单调递增
例题解析
例：判断函数f (x) 3x 2在(-， )上的单调性。
学习内容
• 1 增函数的定义 • 2 减函数的定义 • 3 函数的单调性 • 4 函数的单调区间
新课导入
1 请问使用图像法来表示函数，有什么优点？
答：图像法的优点是能直观形象地 表示出函数的变化情况
2 请问绘制函数图像的步骤？
答：列表、描点、连线
1 增函数的定义
如果设f(x)的定义域为D，对于属于D的区间上的任意两 个自变量的值x₁、x₂，当x₁<x₂时都有f(x1)<f(x2)。那 么就说f(x)在这个区间上是增函数。
y
x1 o f(x1)
y=x-1
f(x2)
x2
x
2 减函数的定义
如果设f(x)的定义域为D，对于属于D的区间上的任意两 个自变量的值x₁、x₂，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)。那 么就说f(x)在这个区间上是减函数。
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y x3
x
3 2 f ( x ) 2 x 9 x 12x 3 的单调区间. 确定函数 例2
解：函数的定义域为： ,
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1) x 2)
解方程： f ( x) 0
可得两个驻点： x1 1, x2 2. 这两个驻点将定义域分为三个部分区间：
解
y e x 1
令 y 0 x 0 显然当 x 0时，y 0, y在(,0]上单调减少；
当x 0时，y 0,
y在[0,)上单调增加。
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性. 例如,
第四节 函数单调性的判定法
一、函数单调性的判定 法 二、曲线的凹凸与拐点
三、小结、思考与练习
四、作业
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 若 (递减).
x y e x 1的单调性。 例1. 讨论函数
在[a,b]上连续，在（a,b) 内可导, 在 [a,b]上单调递增
( f ( x ) 0) ,则
,1 , 1, 2 和 2,
在区间 ,1 内，f ( x) 0 ，函数 f ( x) 单调增加； 在区间 1, 2 内， f ( x) 0，函数 f ( x) 单调减少； 在区间 2, 内，f ( x) 0 ，函数 f ( x) 单调增加.
tan 2 x 0 ,
从而 即
x (0 , ) 2
x tan x 0 ,
x (0 , ) 2
f ( x ) 0
因此 从而
四、作业
P152 3 5 8 (1) (1) (1) (2) (5)
例3. 证明
时, 有不等式
sin x 2 证: 令 f ( x ) , f( )0 x 2 x cos x sin x cos x 2 ( x tan x ) f ( x ) 2 ( x ) 1 sec x 且