【配套K12】高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题二 三角函数与平面向量专题限时训练8 文

专题限时训练(八) 三角函数的图象与性质

(时间：45分钟 分数：80分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．(2015·北大附中模拟)函数f (x )＝2sin 2

x －1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 答案：D

解析：f (x )＝2sin 2

x －1＝－cos 2x ， 所以最小正周期为T ＝2π

2

＝π.

f (－x )＝－cos[2(－x )]＝－cos 2x ＝f (x )为偶函数．

2．(2015·陕西西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *

)图象的一个对称中心是

⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

答案：B

解析：由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *

，∴ωmin ＝2.

故选B.

3．(2015·云南统考)已知函数：①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( )

A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4，0中心对称

B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π

4

轴对称

C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 答案：C

解析：设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4，

g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，

对于A ，B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4＝－2≠0，易知A ，B 都不正确． 对于C ，由－

π2＋2k π≤x ＋π4≤π

2

＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递

增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．

对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C. 4．(2015·山西太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)

⎝

⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象

关于原点对称，则函数f (x )的图象( )

A ．关于直线x ＝π

12对称

B ．关于直线x ＝5π

12对称

C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称

D ．关于点⎝

⎛⎭

⎪⎫5π12，0对称

答案：B

解析：f (x )的最小正周期为π，∴2π

ω＝π，ω＝2，

∴f (x )的图象向右平移

π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π

3＋k π，k ∈Z ，

又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，

2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π

2

，∴B 正确，D 错误．

5．为了使变换后的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π12，0成中心对称，只需将原函数y ＝

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．向左平移π

12个单位长度

B ．向左平移π

6个单位长度

C ．向右平移π

12

个单位长度

D ．向右平移π

6个单位长度

答案：C

解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )，其中距离点

⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π6，0，

故只需将原函数的图象向右平移π12个单位长度即可．

6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0

A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈Z

B ．[6k －3,6k ]，k ∈Z

C ．[6k,6k ＋3]，k ∈Z

D ．无法确定 答案：C

解析：由已知，得T ＝8－2＝6， 则ω＝2πT ＝2π6＝π

3

，

又由已知，得图象关于x ＝3或x ＝6对称， 得π3×3＋φ＝π2，得φ＝－π

2， 所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

3

x －π2，

又A >0，由2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π

2，k ∈Z ，

解得6k ≤x ≤6k ＋3，k ∈Z . 二、填空题(每小题5分，共15分)

7. (2015·济南模拟)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)

⎝ ⎛⎭

⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M

为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为________．