三角形与四边形
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9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是；△BPD的面积是．
10．如图，∠AOB＝60°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，
9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色
梯形，它们的面积分别为 ， ， ， ，…．观察图中的规
律，求出第100个黑色梯形的面积 ＝_______________．
称这样的图案为L形，那么 小方格组成的方格纸上可以画出
不同位置的L形图案个数是（）
A．16 B．32C．48D．64
18．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．
例12.（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM≌△MDH．
∴FM = MH．
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．
∴FM⊥HM．
（2）证明：连接MB．MD，如图2，设FM与AC交于点P．
求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必
说明理由）
第四讲三角形与四边形同步练习
活动基地班级姓名
【基础巩固】
1.（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．
例10.（1）如图2，过点 作 ，
∵ 平分 ，∴ ．同理 ．
∴ 是四边形 的准内点．
（2）
平行四边形对角线 的交点 就是准内点，如图3（1）.
或者取平行四边形两对边中点连线的交点 就是准内点，如图3（2）；
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点 就是准内点．如图4.
（3）Fra Baidu bibliotek；真；假．
例11.5cm.
∴S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF
（2）过A点作AH⊥BE于H点。
∵S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF
又∵正方形ABCD的面积是25
∴ ，且AB=AD=5
又∵l1∥l2∥l3∥l4
∴E．F分别是AD与BC的中点
∴AE= AD=
∴在Rt△ABE中，
BE= 又∵AB·AE=BE·AH∴
7.如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点 是
正六边形的一个顶点，以点 为直角顶点作格点直角三角形
（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三
角形斜边的长
8．（06年河南省）如图3，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．
A.10个B.12个C.14个D.16个
例5．（09烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．
例6．（09深圳市）如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．
参考答案
第四讲三角形与四边形（典型例题）
例1.D .例2.B例3. .例4.D.例5．17.例6.120°.
例7.证明：如图，连结AC．BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ AC．同理MN AC．
∴MN PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，
AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，
A．1B．C．2D．
例3.如图，已知每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于.
例4．（07湖州）如图，点A是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于 的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是（）
19．(09吉林)两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线 上（如图①）， =2cm，将长方形 绕着点 顺时针旋转 角，将长方形 绕着点 逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点 、 重合时，连接 （如图②），求点 到 的距离；
（2）当 时（如图③），求证：四边形 为正方形．
20．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，OC=5，若点P在梯形内，且 ， ，求点P的坐标？
或 ．( )
例11．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90º，BC＝CD，E是AD延长线上一点，若DE＝AB＝3cm，CE＝4cm，求AD的长？
例12.（09河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
例7．（09兰州市）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
例8．（09丽水市）．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 ,l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（）
2．（2009湖州）如图，已知在 中， ， ，分别以 ， 为直径作半圆，面积分别记为 ， ，则 + 的值等于．
3．（2009湖州）如图，已知矩形 ，将 沿对角线 折叠，记点 的对应点为 ′，若 ′=20°，则 的度数为_．
4．(09淄博市)如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为
A． B．
C． D．7
例9．（09黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25.
（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等.
（2）求h的值.
例10．（09台州市）．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1， ， ，则点 就是四边形 的准内点．
11．(09江苏省)如图，在梯形 中， 两点在边 上，且四边形 是平行四边形．
（1） 与 有何等量关系？请说明理由；
（2）当 时，求证： 是矩形．
【能力拓展】
12.（09重庆市）．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：
二、典型例题
例1．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且 ，则CE的长是（）
A． B.
C． D.
例2．如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为( )
（1）如图2， 与 的角平分线 相交于点 ．
求证：点 是四边形 的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．
（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准内点．（）
②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）
③若 是任意凸四边形 的准内点，则
即∠AEC＝∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝ AC＝ BD＝PN∴□PQMN为菱形．
例8.A.
例9.解：连结EF
∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形
∴BE∥FD，BF∥ED
∴四边形EBFD为平行四边形
∴BE=FD
又∵l1．l2．l3和l4之间的距离为h
∴S△ABE= BE·h，S△FBE= BE·h，S△EDF= FD·h，S△CDF= FD·h
A.9B.10.5
C.12D.15
5．(09淄博市)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为
A. 8 B.
C. 4 D.
6．(09吉林)将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 的长是（）
A． cm B． cm C． cm D．2cm
∵B．D．M分别是AC．CE．AE的中点，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤
C．①③④D．③④⑤
13.（09江苏省）如图，已知 是梯形 的中位线， 的面积为 ，则梯形 的面积为cm2．
14.如图,在平行四边形ABCD中,A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3,B4分别是AB和DC的五等分点,C1,C2和D1,D2分别是AD和BC的三等分点,若四边形C1A4D2B1的面积为1,则SABCD=.
第四讲三角形与四边形
一、学习指引
1.知识要点：
三角形的性质，全等三角形的定义、判定和性质，结合等腰三角形、直角三角形以及平行四边形（含矩形、菱形、正方形），梯形等性质的应用，中位线的应用.
2.方法指导：
(1)处理有关三角形和四边形的问题，常转化成基本图形来考虑.
(2)解题过程中常需添加辅助线.
（3）折叠问题中应重视轴对称知识的应用.
15．（09年宜宾市）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为___________
16.如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么 ∶ ＝。
17.如图，所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们
10．如图，∠AOB＝60°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，
9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色
梯形，它们的面积分别为 ， ， ， ，…．观察图中的规
律，求出第100个黑色梯形的面积 ＝_______________．
称这样的图案为L形，那么 小方格组成的方格纸上可以画出
不同位置的L形图案个数是（）
A．16 B．32C．48D．64
18．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．
例12.（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM≌△MDH．
∴FM = MH．
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．
∴FM⊥HM．
（2）证明：连接MB．MD，如图2，设FM与AC交于点P．
求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必
说明理由）
第四讲三角形与四边形同步练习
活动基地班级姓名
【基础巩固】
1.（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．
例10.（1）如图2，过点 作 ，
∵ 平分 ，∴ ．同理 ．
∴ 是四边形 的准内点．
（2）
平行四边形对角线 的交点 就是准内点，如图3（1）.
或者取平行四边形两对边中点连线的交点 就是准内点，如图3（2）；
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点 就是准内点．如图4.
（3）Fra Baidu bibliotek；真；假．
例11.5cm.
∴S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF
（2）过A点作AH⊥BE于H点。
∵S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF
又∵正方形ABCD的面积是25
∴ ，且AB=AD=5
又∵l1∥l2∥l3∥l4
∴E．F分别是AD与BC的中点
∴AE= AD=
∴在Rt△ABE中，
BE= 又∵AB·AE=BE·AH∴
7.如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点 是
正六边形的一个顶点，以点 为直角顶点作格点直角三角形
（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三
角形斜边的长
8．（06年河南省）如图3，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．
A.10个B.12个C.14个D.16个
例5．（09烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是．
例6．（09深圳市）如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．
参考答案
第四讲三角形与四边形（典型例题）
例1.D .例2.B例3. .例4.D.例5．17.例6.120°.
例7.证明：如图，连结AC．BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ AC．同理MN AC．
∴MN PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，
AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，
A．1B．C．2D．
例3.如图，已知每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于.
例4．（07湖州）如图，点A是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于 的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是（）
19．(09吉林)两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线 上（如图①）， =2cm，将长方形 绕着点 顺时针旋转 角，将长方形 绕着点 逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点 、 重合时，连接 （如图②），求点 到 的距离；
（2）当 时（如图③），求证：四边形 为正方形．
20．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，OC=5，若点P在梯形内，且 ， ，求点P的坐标？
或 ．( )
例11．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90º，BC＝CD，E是AD延长线上一点，若DE＝AB＝3cm，CE＝4cm，求AD的长？
例12.（09河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
例7．（09兰州市）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
例8．（09丽水市）．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 ,l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（）
2．（2009湖州）如图，已知在 中， ， ，分别以 ， 为直径作半圆，面积分别记为 ， ，则 + 的值等于．
3．（2009湖州）如图，已知矩形 ，将 沿对角线 折叠，记点 的对应点为 ′，若 ′=20°，则 的度数为_．
4．(09淄博市)如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为
A． B．
C． D．7
例9．（09黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25.
（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等.
（2）求h的值.
例10．（09台州市）．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1， ， ，则点 就是四边形 的准内点．
11．(09江苏省)如图，在梯形 中， 两点在边 上，且四边形 是平行四边形．
（1） 与 有何等量关系？请说明理由；
（2）当 时，求证： 是矩形．
【能力拓展】
12.（09重庆市）．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：
二、典型例题
例1．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且 ，则CE的长是（）
A． B.
C． D.
例2．如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为( )
（1）如图2， 与 的角平分线 相交于点 ．
求证：点 是四边形 的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．
（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准内点．（）
②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）
③若 是任意凸四边形 的准内点，则
即∠AEC＝∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝ AC＝ BD＝PN∴□PQMN为菱形．
例8.A.
例9.解：连结EF
∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形
∴BE∥FD，BF∥ED
∴四边形EBFD为平行四边形
∴BE=FD
又∵l1．l2．l3和l4之间的距离为h
∴S△ABE= BE·h，S△FBE= BE·h，S△EDF= FD·h，S△CDF= FD·h
A.9B.10.5
C.12D.15
5．(09淄博市)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为
A. 8 B.
C. 4 D.
6．(09吉林)将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 的长是（）
A． cm B． cm C． cm D．2cm
∵B．D．M分别是AC．CE．AE的中点，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤
C．①③④D．③④⑤
13.（09江苏省）如图，已知 是梯形 的中位线， 的面积为 ，则梯形 的面积为cm2．
14.如图,在平行四边形ABCD中,A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3,B4分别是AB和DC的五等分点,C1,C2和D1,D2分别是AD和BC的三等分点,若四边形C1A4D2B1的面积为1,则SABCD=.
第四讲三角形与四边形
一、学习指引
1.知识要点：
三角形的性质，全等三角形的定义、判定和性质，结合等腰三角形、直角三角形以及平行四边形（含矩形、菱形、正方形），梯形等性质的应用，中位线的应用.
2.方法指导：
(1)处理有关三角形和四边形的问题，常转化成基本图形来考虑.
(2)解题过程中常需添加辅助线.
（3）折叠问题中应重视轴对称知识的应用.
15．（09年宜宾市）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为___________
16.如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么 ∶ ＝。
17.如图，所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们