12十字相乘法
高中十字相乘法
高中十字相乘法
十字相乘法是因式分解中12种方法之一，另外十一种分别都是：1分组分解法，2.拆添项法，3.配方法，4.因式定理（公式法），5.换元法，6.主元法，7.特殊值法，8.待定系数法，9.双十字相乘法，10.二次多项式，11.提公因式法。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结
果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
第12章因式分解--十字相乘法课件人教版七年级数学下册
2x2 7x 3 2x2 7x 3 2x2 7x 6 3x2 7x 6
3x2 5x 2 5x2 3x 2
6x 2 5x 25 6x2 7x 3
因式分解：
x2 7x 6 x2 2x 15 y2 7 y 12 m2 7m 18 3x2 11x 10
5x2 7x 6 6x2 7x 5
把下列各式因式分解
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
因式分解：
2x2 5x 2 2x 2 5x 3 2x 2 3x 20
2x2 5x 7 2x2 7x 6 3x2 8x 3
5x2 6x 8
1. x4-13x2+36 2. x2+3xy-4y2 3. x2y2+16xy+48 4. (2+a)2+5(2+a)-36
5. x4-2x3-48x2
例4 把 6x2-23x+10 因式分解 十字相乘法的要领是：“头尾
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”
1. 8x2-22x+15
2. 14a2-29a-15 3. 4m2+7mn-36n2
课前墙壁书写
试卷20题（2） 试卷19题（1）（2） 试卷17题（1）（2）
十字相乘法
学习目标
会用十字相乘法进行因式分解。
一、计算：
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
（3）12= 1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
十字相乘法的运算方法
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7不成立继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
完整版)十字相乘法
完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。
对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。
以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。
二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。
例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。
在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。
同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。
还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。
十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。
对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。
另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。
对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。
例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。
十字相乘法完整版
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
= (a + d) (b – c)
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
分组分解法
十字相乘法
十字相乘法十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0。
十字相乘法
在数学其他领域的应用
线性代数：用于求解线性方程组 概率论与数理统计：用于求解概率分布 微积分：用于求解极限和导数 几何学：用于求解几何图形的面积和体积
十字相乘法的原理
第三章
十字相乘法的数学原理
原理：通过将方程组中的两 个方程相乘，得到新的方程 组
十字相乘法是一种解二元一 次方程组的方法
新的方程组可以通过十字相 乘法进行求解
几何学：十字相 乘法可以用于解 决几何问题，如 解三角形、解四
边形等。
概率论与数理统 计：十字相乘法 可以用于解决概 率论与数理统计 问题，如计算概
率、期望等。
微积分：十字相 乘法可以用于解 决微积分问题， 如求导、积分等。
十字相乘法的实际应用
第六章
在日常生活中的应用
Байду номын сангаас
解决二元一次方程组
解决线性规划问题
简化计算过程
观察题目，找出两个因数 找出两个因数的公因数 利用公因数进行分解 利用分解后的结果进行计算 得出答案
注意事项和常见错误
注意事项： a. 确保两个因式的符号相同 b. 确保两个因式的系数相同 c. 确 保两个因式的常数项相同
a. 确保两个因式的符号相同 b. 确保两个因式的系数相同 c. 确保两个因式的常数项相同
常见错误： a. 混淆因式的符号 b. 混淆因式的系数 c. 混淆因式的常 数项 d. 混淆十字相乘法的步骤和顺序 e. 混淆十字相乘法的应用范围
a. 混淆因式的符号 b. 混淆因式的系数 c. 混淆因式的常数项 d. 混淆十字相乘法的步骤和顺序 e. 混淆十字相乘法的应用范围
十字相乘法的扩展
第五章
十字相乘法可以快速、准确 地求解二元一次方程组
十字相乘法例题20道
十字相乘法例题20道一、12×24答案：288二、14×55答案：770三、7×21答案：147四、47×32答案：1504五、17×83答案：1411六、73×48答案：3504七、63×20答案：1260八、10×52 答案：520九、35×85 答案：2975十、19×38 答案：722十一、44×77 答案：3408十二、22×20 答案：440十三、93×36 答案：3348十四、53×73 答案：3889十五、6×99 答案：594十六、31×67十七、82×97答案：7954十八、42×58答案：2436十九、29×94答案：2726二十、84×19答案：1596以上是20道“十字相乘法”例题，其中，“十字相乘法”是一种历史悠久的数学算法，它是学习乘法的简便方法，也是熟练计算乘积的基础。
针对提出的20道十字相乘法例题，我们可以分别运用数字旁的法子来解决：首先是将乘数纵向排列，每行的数字的和作为乘积的一位，再将每行最后的答案按顺序相加，得出最终的结果。
以此例题来说，可以按照以下步骤完成计算：一、12×241224二、14×551455答案： 770三、7×21721答案：147四、47×324732答案：1504五、17×831783答案：1411六、73×487348七、63×206320答案：1260八、10×521052答案：520九、35×853585答案：2975十、19×381938答案：722十一、44×77 4477十二、22×20 2220答案：440十三、93×36 9336答案：3348十四、53×73 5373答案：3889十五、6×99 699答案：594十六、31×67 3167十七、82×978297答案：7954十八、42×584258答案：2436十九、29×942994答案：2726二十、84×198419答案：1596以上20道例题均可通过使用“十字相乘法”来进行计算，十字相乘法是一种简单实用的乘法算法，如果得到熟练掌握，能够大大节省计算运算时间，同时帮助学生迅速正确计算出乘积的结果。
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
相乘法十字相乘法
相乘法十字相乘法摘要：1.十字相乘法的定义和原理2.十字相乘法的计算步骤和实例演示3.十字相乘法在数学中的应用和优势4.十字相乘法与其他乘法方法的比较5.如何在日常生活中运用十字相乘法正文：十字相乘法是一种简单且实用的乘法方法，它可以帮助我们快速进行两位数与两位数的乘法计算。
这种方法的应用范围广泛，从数学课堂到日常生活都有涉及。
下面我们将详细介绍十字相乘法的定义、计算步骤、应用实例以及与其他乘法方法的比较。
1.十字相乘法的定义和原理十字相乘法是指将两个两位数分别写在一个矩形的四个角上，然后通过横向和纵向的乘法计算，得出这两个两位数的乘积。
这个方法的原理在于利用了乘法的交换律和结合律，将乘法运算拆分成四个较小的乘法运算，从而简化计算过程。
2.十字相乘法的计算步骤和实例演示以两个两位数12和15为例，使用十字相乘法进行计算：1.将12和15分别写在矩形的四个角上，形成一个十字形。
2.分别计算横向和纵向的乘积：- 12 × 5 = 60（写在矩形下方）- 12 × 1 = 12（写在矩形左边）- 1 × 15 = 15（写在矩形上方）- 1 × 6 = 6（写在矩形右边）3.将这四个乘积相加，得到最终结果：60 + 12 + 15 + 6 = 93。
因此，12 × 15 = 93。
3.十字相乘法在数学中的应用和优势十字相乘法不仅在简单的乘法计算中具有优势，还可以应用于更复杂的数学题目，如因式分解、解方程等。
它的优势在于将乘法运算拆分成更小的部分，使得计算过程更简洁、易懂。
4.十字相乘法与其他乘法方法的比较与其他乘法方法相比，十字相乘法具有以下优势：- 易于理解：通过图形化的方式进行乘法计算，更加直观易懂。
- 计算速度快：相较于列竖式计算，十字相乘法减少了乘数的抄写次数，提高了计算速度。
- 适用范围广：不仅适用于简单的两位数乘法，还可以应用于更复杂的数学题目。
十字相乘法
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
例如:例1、把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2、把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3、解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为 2 -53 ╳ 5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以 x1=5/2 x2=-5/3。
十字相乘法的步骤
十字相乘法的步骤
十字相乘法是一种数学运算方法，它可以用于解决两个数的乘法运算，尤其是在计算较大的数的乘法时，这种方法可以大大减少计算量。
下面将介绍十字相乘法的步骤。
第一步，将两个数分别写在两条竖线上。
例如，我们要计算12和13的乘积，就可以将12写在左侧的竖线上，将13写在右侧的竖线上。
第二步，将每一位上的数相乘，然后将结果写在相应的位置上。
例如，第一位上的数是1和3，它们的积是3，我们就将3写在左上角的位置上；第二位上的数是1和1，它们的积是1，我们就将1写在左下角的位置上。
第三步，将每一位上的数相加，然后将结果写在相应的位置上。
例如，左上角的3加上右下角的2，它们的和是5，我们就将5写在中间的位置上；左下角的1加上右上角的3，它们的和是4，我们就将4写在中间的位置上。
第四步，将结果合并，得到最终的乘积。
例如，我们将中间的5和4合并，得到54，这就是12和13的乘积。
十字相乘法的步骤非常简单，但是需要注意的是，每一位上的数相乘和相加都要仔细计算，否则会导致结果错误。
此外，十字相乘法只适用于两个数的乘法运算，当需要计算多个数的乘积时，需要采用其他方法。
总之，十字相乘法是一种非常实用的数学运算方法，可以大大减
少计算量，提高计算效率。
学生们可以在课堂上学习并掌握这种方法，以便在解决数学问题时更加得心应手。
十字相乘法例题及答案
十字相乘法例题及答案1，什么是十字相乘法：十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法、2.公式法、3.双十字相乘法、4.轮换对称法、5.拆添项法、6.配方法7.因式定理法、8.换元法、9.综合除法、10.主元法、11.特殊值法、12.待定系数法、13.二次多项式。
2，十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
,3，因式分解解释把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。
它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
4，用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.5，把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2. 答案：1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1)；(3)(2x－1)(3x－5)；(4)(x－3)(7x+2)；(5)(3x－1)(4x－3)；(6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)；(3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a).。
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高效课堂 八年级 数学 导学案 编号： 使用时间：2011- -小组 姓名 小组评价 教师评价
1
课题: 十字相乘法
编制人: _____ 审核人： 包科领导： 学习目标：掌握形如x 2
+(p+q)x+pq 型式子的因式分解； 根据多项式的形式恰当选择因式分解的方法； 灵活运用因式分解求值计算； 学习重点：十字相乘法的运用； 学习难点：恰当选择方法，灵活运用； 学习过程： 一，知识回顾：
1，提公因式法分解因式是什么？
分解因式：x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=______________________;
2,恰当选择公式法分解因式;(1)2ax 3+12a 2x 2+18a 3x=_________________________;
(3)4x 2-4y 2+2ax+2ay=_______________________________;
二，课前预习：（课本P172页内容）
1，观察图形思考面积之间的关系，根据理解思考如何将式子
x 2+(p+q)x+pq
进行因式分解?
2，利用上面发现的规律总结某些二次项系数为1的二次三项的因式分解方法（即十字相乘法）。
3，学习例题总结方法，找出一次项系数与常数项之间的关系，例如：(分解因式) （1）x 2+5x+6, 6=_______, 5=______, 则x 2+5x+6=_____________________;
(2)x 2-4x-5=, -5=_________, -4=_________,则x 2-4x-5=___________________;
三，交流展示：
1，分解因式：（1）x 2+8x+7 (2)x 2-3x-4
（3）x 2+8x-20 (4)x 2-6x+8
2,分解因式：(1)x 2+(2a+1)x+2a (2)x 2-mx-nx+mn
3,若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则可能取到的整数值有哪些？
四，课堂小结：（1）掌握能用十字相乘法因式分解的式子特征；（2）十字相乘法的运用；
（2）灵活运用法则变换式子求值；
五，当堂检测：(A级题目)
1，课本P172页练习题将下列各式进行因式分解（将过程写在下面）；
（1）（2）
（3）（4）
(B级题目)1，若x2+mx-12在整数范围内分解，求所有满足题意的m的正整数值；
2,分解因式：（1）14x2-67xy+18y2 (2)2mx2-6mx-20m （C级题目）1，系数为1的某些二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，但有些系数不为1的二次三项式也可以用十字相乘法，例如：分解因式：2x2 +3x-9x;
二次项系数2=1×2，常数项 -9=3×（-3），且一次项系数3=2×3+1×（-3），用简图表示如下：
1 3
2 -
3 二次项系数3=2×3+1×（-3），则2x2+3x-9=(x+3)(2x-3)；
仿照上面方法将下列多项式进行因式分解：
（1）3x2+7x+2, (2)7x2+9x-10。