河北省平泉县第四中学八年级数学(人教版)下册导学案16.2 二次根式的除法(无答案)
人教版八年级数学下册第十六章 导学案 第2课时 二次根式的除法
第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法学习目标：1.了解二次根式的除法法则；2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算；3.能将二次根式化为最简二次根式.重点：理解二次根式的除法法则，能将二次根式化为最简二次根式.难点：会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.一、知识回顾1.二次根式有哪些性质？2.二次根式的乘法法则是什么？你能用字母表示出来吗？一、要点探究探究点1：二次根式的除法算一算计算下列各式，并观察三组式子的结果：4___________;_____;916___________;_____;2536___________;_____.49思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测_____0,0a b＞.要点归纳：（1）算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.（2）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，(____0,0,0_).a b n=≥>≠例1化简：方法总结: 类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.探究点2：商的算术平方根的性质要点归纳：把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:(_____,._00)a b =≥> 语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.例2 计算：)0;x >1.x 的取值范围是（ ） A ..x ≠2 B ..x ≥0 C ..x ＞2 D ..x ≥2探究点3：最简二次根式问题1你还记得分数的基本性质吗？这样的式子中分母的根号问题2吗？要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化. （2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.（（例3计算:23练一练在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．探究点4：二次根式除法的应用例4 设长方形的面积为 S ，相邻两边长分别为 a ，b . 已知 S b == ，求 a 的值.例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g 的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t 和高度h 近似的满足公式t =从100米高空抛物到落地所需时间t 2是从50米高空抛物到落地所需时间t 1的多少倍？二、课堂小结1.的结果是（）A．9B．3C．D．2.下列根式中，最简二次根式是（）A B C D3.k取值范围是（）A.k≥1B.k≥2C. 1＜k≤2D. 1≤k≤24.化下列各式的计算中，结果为52的是（）A.210÷B.52⨯C.40121÷D.58⨯5. 化简：6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：J)，I表示电流(单位：A)，R表示电阻(单位：Ω)，t表示时间(单位：s)，如果已知W、R、t，求I，则有I=若W=2400J，R=100Ω，t=15 s．试求电流I．范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是，而是刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？参考答案自主学习一、知识链接1.2(0)≥a a =，(0)≥a a =2.)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a()0,0≥≥⋅=b a b a ab二、要点探究探究点1：二次根式的除法 算一算24223;;393416445;;5255636667;.7497猜测 0,0aa b b＞ 例1======= (3)122⎛⎫=÷⨯ ⎪⎝⎭22=⨯（）4= 探究点2：商的算术平方根的性质要点归纳(0,0).a b =>≥ 例2 =10==5.3=== 5.3＝9.5x =(0,0,0).a b n >≠≥0.31339.0.814112⨯===⨯1.C2.解：====探究点3：最简二次根式问题1分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等. 即··( 0 ).=≠f fh hg g h问题23=例2解：1==2===3===（练一练解：只有(3) 是最简二次根式；=3=======5====探究点4：二次根式除法的应用例4 解：∵，S ab=Sab====例5 解:由题意得21tt===当堂检测1.B2.C3.B4.C5.===2=====9==== 6. 解：当 W = 2400，R = 100，t = 15 时，)A .I ==7.解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：按a ≥0，a - 3＞0 或 a ≤0，a - 3＜0，解得 a ＞3 或 a ≤0；而按 a ≥0，a - 3＞0，解得 a ＞3．。
人教版八年级数学下册16.2.2二次根式的除法 教案
《二次根式除法》教学设计一、教学目标1.知识技能：（1）.会进行简单的二次根式的除法运算．（2）.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2.解决问题：引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．3.情感态度：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.二、重点难点重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．三、学情分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.四、教学过程设计1．复习提问，探究规律问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．2．观察思考，理解法则问题2 教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：.问题3 对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？师生活动 学生思考，回答。
学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了.【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误.问题4 对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？师生活动 学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数.【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算.问题5 对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？师生活动 学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即.利用该性质可以进行二次根式的化简.3．例题示范，学会应用例1 计算： （1）324； （2）181/23。
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》这一节，主要让学生掌握二次根式相除的方法。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和二次根式的乘法。
本节课的内容是在此基础上进行的，目的是让学生能够运用二次根式的除法解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和乘法有一定的了解。
但是，他们在处理二次根式的除法问题时，可能会感到困惑，对于如何将除法问题转化为乘法问题，以及如何在计算过程中保持二次根式的简洁性，还需要进一步引导和培养。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式相除的基本方法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.提高学生解决实际问题的数学应用能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式相除的方法和步骤。
2.教学难点：如何将除法问题转化为乘法问题，以及在计算过程中的简洁性处理。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次根式除法的方法。
2.利用多媒体手段，展示二次根式除法的运算过程，帮助学生直观理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中互相学习，共同进步。
六. 说教学过程1.导入新课：回顾二次根式的性质和乘法，引出二次根式的除法。
2.探究新知：学生自主尝试解决二次根式的除法问题，教师引导学生将除法问题转化为乘法问题，并讲解运算过程。
3.例题讲解：教师选取典型例题，讲解二次根式除法的步骤和方法。
4.巩固练习：学生独立完成练习题，教师及时给予反馈和指导。
5.拓展应用：学生分组讨论，将二次根式除法应用于实际问题，分享解题过程和心得。
6.总结归纳：教师引导学生总结二次根式除法的方法和步骤，以及注意事项。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式除法的方法和步骤。
主要包括以下内容：1.二次根式除法的定义。
2.二次根式除法的步骤。
最新人教版八年级数学下册 16.2 第2课时 二次根式的除法 导学案
.
.
课堂探究
(
____0,0,0
_).
a b n
=≥>≠
96探究点3：最简二次根式
思考
这样的式子分母的根号吗？
要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
例3 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
探究点4：二次根式除法的应用
例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g 的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从
高空抛物时间t和高度h
近似的满足公式t 从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的除法教学设计
§16.2二次根式的除法教学设计一、教学内容及内容解析：1、内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2、内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式。
二、目标和目标解析1、教学目标（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；（2）会进行简单的二次根式的除法运算；(3) 理解最简二次根式的概念。
2、目标解析（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算。
(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
3、教学重点二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
4、教学难点理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
三、教法建议1、本节内容是在学习了二次根式乘法的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质。
教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向。
2、引导学生思考“探究”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论，在这个过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法探究新知。
四、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行。
人教版数学八年级下册导学案：16.2-2二次根式的除法运算
__________ (0,0)a b =≥≥3-（）（）（24（（24___________________==（3___________==（1____=____=____（2_______________===（1______ (___0,___0)a b =第四课时：二次根式的除法运算（4）一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程 （一）知识准备1、二次根式的乘法法则：______ (0,0)b a b =≥≥即: 二次根式相乘:根号_______,被开方数___________. 2、积的算术平方根的性质：3、计算：14、化简 ：12（（二）自主学习知识点一:二次根式的除法法则是什么？1、计算：（1_____,_____;=（2______,_____;=（3_____,______;==2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能用数学表达式表示发现的规律吗？二次根式的除法法则:即: 二次根式相除:根号_______,被开方数___________. 3、例4 计算：4、巩固提高计算：(0,0)a aa b b b=≥>2 1.5（）1 26a a ÷（） (0,0)a a a b b b=≥>433（） (0,0)a aa b b b=≥> (0,0)a a a b b b=≥>知识点二:商的算术平方根有什么性质？1、 把公式 反过来，得到：即：商的算术平方根等于各个被开方数的算术平方根的商.2、例5 化简：31100（）75227（）例6 计算：3、巩固提高 化简：（三）知识梳理1、二次根式的除法法则：即: 二次根式相除:根号___________. 2、商的算术平方根的性质： （四）达标测试：1、计算：（1188 （2）41525（325136（4223x y xy2、化简：（1949 （2）224a bc(315(32227(832a。
八年级数学下册16.2第2课时二次根式的除法学案(新版)新人教版
第2课时 二次根式的除法【学习目标】1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算． 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算． 【学习重点】二次根式除法公式的理解、运用和逆运用． 【学习难点】发现规律，归纳出二次根式的除法公式．情景导入 生成问题旧知回顾：计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝67，3649＝67， (2)916＝34，916＝34，自学互研 生成能力知识模块一 二次根式的除法法则 【自主探究】阅读教材P 8，完成下面的内容： 思考：你发现什么规律？ 解：a b＝ab(a ≥0，b >0)． 归纳：一般地：a b＝ab(a ≥0，b >0)；a b ＝ab(a ≥0，b >0)． 【合作探究】1．化简：0.760.19＝2；82a＝＝4a ＝2a a . 2．计算：(1)945÷3212×32223；(2)a 2·ab ·b b a÷9b 2a. 解：(1)原式＝9×13×3245×25×83＝183；(2)原式＝a 2·bab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a.知识模块二 商的算术平方根的性质 【自主探究】阅读教材P 8，完成下面的内容： 化简：(1)179；(2)3c34a 4b(a>0，b>0，c>0)．解：(1)原式＝169＝169＝43；(2)3c 34a 4b ＝3c 3b 4a 4b2＝c 3cb2a 2b . 【合作探究】 1．若a 2－a ＝a 2－a，则a 的取值范围是( C ) A ．a<2 B ．a ≤2 C ．0≤a<2 D ．a ≥02．(济宁中考)如果ab>0，a ＋b<0，那么下面各式：①a b ＝ab；②ab·ba＝1；③ab ÷ab＝－b.其中正确的是( B )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③知识模块三 最简二次根式 【自主探究】阅读教材P 9，完成下面的内容：在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解：(1)(2)(4)(5)不是最简二次根式． ∵45＝35含有开得尽的数，13被开方数含有分母；0.5＝12被开方数含有分母；145＝95被开方数含有分母和开得尽的数．52是最简二次根式，被开方数既不含分母，也不含能开得尽的数． 【合作探究】先化简，再求值：2a －1＋a 2－4a ＋4a 2－1÷a －2a ＋1，其中a ＝1＋ 2. 解：原式＝2a －1＋（a －2）2（a ＋1）（a －1）×a ＋1a －2＝2a －1＋a －2a －1＝aa －1.当a ＝1＋2时，原式＝1＋21＋2－1＝2＋22.交流展示 生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 【展示提升】知识模块一 二次根式的除法法则 知识模块二 商的算术平方根的性质 知识模块三 最简二次根式检测反馈 达成目标【当堂检测】1．下列二次根式中的最简二次根式是( A )A .30B .12C .8D .122．计算：(1)2－1＋20÷5＝52；(2)－53÷554＝－ 3．已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，求b a＋ab的值． 解：∵a＋b ＝－3，ab ＝2，∴a<0，b<0.b a＋a b ＝ab －a ＋ab －b ＝－（a ＋b ）ab ab ＝－－322＝322. 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
人教版八年级下册数学 二次根式的除法(导学案)
16.2 二次根式的乘除漂市一中钱少锋第2课时二次根式的除法一、新课导入1.导入课题设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，如果S=15，b=5，那么怎样求a呢？你能列出算式吗？2.学习目标（1）能归纳除法法则公式a ab b=(a≥0，b＞0)，知道a ab b= (a≥0，b＞0)与a abb=(a≥0，b＞0)的意义.（2）会运用公式ab=ab(a≥0，b＞0)和ab=ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算和化简.3.学习重、难点重点：a abb= (a≥0，b＞0)和a ab b= (a≥0，b＞0)的运用.难点：熟练运用法则进行化简和计算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：二次根式除法的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：由具体运算归纳一般的运算法则，注意法则中的条件. （4）探究提纲：①计算下列各式，并比较它们的结果：②从①中你发现了什么规律？请用一个等式表示这个规律.()0,0a aa b bb=≥>. ③用文字表示二次根式的除法法则是：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. ④计算：2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学 （1）师助生：①明了学情：了解学生是否能从具体运算中归纳出一般规律.②差异指导：引导从具体算式到一般形式；将除式写成分式；强调除数不为0. （2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，展示成果. 4.强化：强调二次根式的除法法则表达式及成立的条件.1.自学指导（1）自学内容：教材P8例4后面到P9例6的部分. （2）自学时间：5分钟. （3a abb=≥0，b ＞0)逆向变形外，还有没有其余方法？参看例6解法2. （4）自学参考提纲：①逆用法则a ab b＝化简二次根式的一般步骤是什么？②说说算式m a n b÷的计算方法是什么？③进行二次根式的除法运算时，所得结果应该怎样？④按课本例题的样子化简下列各式：2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否看懂例题的每步计算过程及依据，特别是教材P9例6的解法2.②差异指导：引导思考：27⨯(3) 是有理数，2a×(2a)是有理数等.（2）生助生：学生交流研讨疑难之处.4.强化(1)强调两种化简的方法和步骤.(2)回顾本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：教材P9例6后面到例7上面的部分内容.（2）自学时间：3分钟.3）自学方法：认真阅读课文中最简二次根式给定的两个条件，弄懂所给文字表达的具体含义.（4）自学参考提纲：①什样的二次根式是最简二次根式？②如果被开方数是一个多项式，该怎么判断其是否含有开得尽方的因数或因式？③二次根式的运算的结果必须达到的两点要求是：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.④下列二次根式是否是最简二次根式？为什？⑤化简列二次根式，并用最简二次根式的特点验证化简是否彻底.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握最简二次根式满足的条件，能否说明条件包含的具体内容.②差异指导：a.被开方数是小数的算不算，含分母的算不算.b.如何查找被开方数中有无开得尽方的因数或因式.（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误，展学习成果.4.强化（1）强调检验二次根式是最简二次根式的两条标准.（2）二次根式化简思路及方法.1.自学指导（1）自学内容：教材P9例7后面到P10练习上面的部分.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：体会列式、化简的过程，类比有理数的乘除混合运算顺序来考虑二次根式的乘除混合运算顺序.（4）自学参考提纲：m a a.②化简acabbcb③计算：11141552122(6⎛-÷⎝.答案：33.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学 （1）师助生：①明了学情：了解学生自学中存在的疑点问题.②差异指导：对个别学生在运算步骤不清和法则运用不当的地方进行引导. （2）生助生：相互交流，帮助矫正错误. 4.强化：（1）总结自学参考提纲第①题的化简方法. （2）总结自学参考提纲第②题的化简方法. （3）总结自学参考提纲第③题的运算技巧. （4）回顾本节所学知识点和数学思想方法. 三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己的学习方法、收获和困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法、成果和不足进行进行点评. (2)纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）.创设情境，不仅达到了复习之前所学二次根式的乘法法则的效果，还导入本课时所要学习的内容，通过类比学习的方法，使学生更容易学习二次根式的除法运算.由特殊到一般，循序渐进，让学生经历观察、思考、讨论、分析、归纳总结的过程，从而更加深刻学习，最后运用乘法检验，到达知识上下的连接，形成知识网络.(时间：12分钟满分：100分) 一、基础巩固（60分） 1.(10分)33xx x x =--成立，那么(B)A.x ≥0B.x>3C.x ≠3D.x ≥32.(10分)下列各式中，是最简二次根式的是(C)A.18B.2a bC.22a b +D.234.(10分)若m m n +和55是同类最简二次根式，则mn=6.5.(10分)已知方程324,x =则x=22.6.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=23,S △ABC=315,求AB 的长.二、综合运用（20分） 7.阅读理解与运用.(1)当x ≥0，y ≥0时，()()()()22x y xyx yx y -=-=+-,同理可得：()22x xy y x y -+=-.(2)a,b 均为非负数，且a ≠b,化简4422a ab b a ba b+++-+.三、拓展延伸（20分）【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 二次根式的除法》教案_24
《二次根式的除法》教学设计
一、教学目标
1、掌握二次根式的除法法则。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、教学重点
掌握和应用二次根式的除法法则
三、教学难点
正确依据二次根式除法法则进行二次根式化简。
四、教学过程
流程一：复习
二次根式的乘法法则是 。
流程二：情境导入
设长方形的面积为S ，相邻两边分别为a ，b 。
已知
，
a 。
流程三：探究活动
1、计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）
2、我的猜想
流程四：例题练习
1.
流程五：二次根式除法法则的逆用
=
=（2
）
===（3） == 2.
练习：
1.
流程六：小试牛刀
2、讨论：观察最后的结果，这些式子有什么特点？
3、判断：下列哪些是最简二次根式？
流程七：你学到了什么？
流程八：当堂检测
1、 的倒数是 ； 是
最简二次根式的
是 。
2、化简求值
流程九：布置作业 习题16.2第2题、4题 流程十：板书设计
二次根式的除法
00)a b =≥>，
0,0)a b =≥>
2
2233a b a b a b -==+已知
的值。
,,。
人教版八年级下册数学16.2.2二次根式的除法导学案设计(无答案)
课题16.2.2 二次根式的除法编写时间备课时间导学目标要点难点1、知识与能力：会利用除法公式化简二次根式和进行二次根式的除法运算2、过程与方法：经历二次根式的除法法例的研究过程3、感情态度与价值观：让学生在研究过程中发挥主体作用，踊跃主动地参加探索，领会数学的规律和法例的连接性，领会转变思想和逆向思想的价值研究二次根式的商的算术平方根性质和除法运算法例利用二次根式除法法例化简二次根式学习内容方法与举措一、复习引入，合作研究1、积的算术平方根的性质：=agb二次根式的乘法法例：agb。
（a≥0，b≥0）2、13g31（a＞0）aga3、乘积为的两个数互为倒数。
1的倒数为（a＞0）a所以：1＝1（a＞0）a a15g51aga的倒数为aa＞0）填好后，把4个知识点连起来再看一遍，理清其（a＞0）因果关系。
4、设a＞0，b≥0，则b bg1bg1bg1ba a a a a[总结]1、商的算术平方根的性质：（a＞0，b≥0）2、二次根式的除法法例：b b（a＞0，b≥0）a a两个二次根式相除，把它们的被开方数相除，根指数不变。
二、应用迁徙，展现提升5、计算：（1）12（2）64（3）343852计算题要求写清详尽过程，最后结果要求化成最简二次根式。
6、计算：（1）31（2）28a3b（3）5x（x＞0，y＞0）287a364y剖析：①二次根式的除法有两种表示方法：即a或a b（a≥0，b＞0）登台展现者一定说出每一步的理b②两个数相除可按“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的法例把除由法运算转变为乘法运算，1的倒数是。
8三、总结反省，拓展升华7、[总结]①a的倒数可表示为或；（a＞0）②商的算术平方根的性质为；③二次根式的除法法例为；④除以一个数，等于乘以这个数的。
8、[反省]为何二次根式的除法法例中要加条件“a＞0，b≥0”呢？7、8小题组内议论9、[拓展]怎样计算：①755g12②93a33a4、最简二次根式的化简要求化简后的二次根式中分母不可以含有根号，如1何对形如的式子进行分母有理化？最简二次根式中，根号内不可以含有ab1分母，怎样对形如的式子进行分母有理化？a b试化简：（1）1（2）32x3x5课后理解分母的有理化，要点就是利用分式的基天性质分子分母同时乘上一个适合的代数反式使分母化成有理数。
河北省平泉县第四中学八年级数学(人教版)下册导学案16.2二次根式的除法Word版
学习目标： 1、会进行简单的二次根式的除法运算；2、会对二次根式进行适当化简；3、知道什么是最简二次根式。
4、激情投入，阳光展示，高效学习，享受学习的乐趣学习重点：理解二次根式的除法法则；学习难点：灵活运用二次根式的除法法则和性质进行计算和化简．教学过程：一、温故知新1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯二、自主导学填空： （1； 规律：（2=____； ；（3；（4． 一般地，对二次根式的除法规定：b>0下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．三、合作探究例1.计算:（1）324; （2）18123÷. （3）3183x x ÷；（4）211632n m m ÷ （5）728÷； （6）5125；把b a b a =反过来,就得到ba b a =（a ≥0,b >0），利用它就可以进行二次根式 的化简.例2 化简:（1）1217； （2）22536b a (b ≥0).（3）10036.014409.0⨯⨯； （4）3312mmn .注：化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
阅读下列运算过程：==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法计算：例3计算：(1)(３(４探索新知观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．1、下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. C. 42、化简．（x ≥0）3、设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a,b ，已知S=32,b=10,求a.四、学以致用1、计算：（1（2 （3 （42、化简：（1 （2 （3 （4五、自主作业1、选择题（1的结果是（ ）．A ．27．27 C ．．7（2）化简的结果是（ ）A ．．．．2．分母有理化:(1)=_________;(2) =______.3．=，且x 为偶数，求x 的值。
人教版八年级下册16.2二次根式的除法(教案)
-举例：化简√(50/4)，引导学生先简化分数得到√(25/2)，再将√25与√2分别处理，得到5√2/2。
-难点三：在解决实际问题中，能够将问题转化为二次根式除法问题并进行正确计算。
-举例：如果一个三角形的面积是(6√3 + 3√6)平方米，底是3米，求高。
3.通过对混合运算中二次根式除法的运用，增强学生的运算能力和数据分析能力。
4.引导学生发现二次根式除法在实际问题中的应用，激发他们的创新意识，培养数学探究精神。
5.在小组合作交流中，培养学生的团队协作能力和沟通表达能力，提高他们的数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次根式除法的法则及其运用。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对二次根式除法的理解，还学会了如何将数学知识应用到解决实际问题中。看到他们互相交流、共同解决问题的样子，我感到非常欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生还是比较被动，可能是因为他们对知识点还不够自信。在今后的教学中，我需要更多地关注这部分学生，鼓励他们大胆发言，增强他们的自信心。
人教版八年级下册16.2二次根式的除法（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册16.2二次根式的除法，主要包括以下内容：
1.掌握二次根式除法的法则：a)同类二次根式相除，等于它们的系数相除，被开方数不变；b)不同类二次根式相除，先将它们化成同类二次根式，再按同类二次根式相除的法则进行计算。
2.能运用二次根式除法法则解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
人教版八年级下册数学16.2二次根式的除法教案
（2）合并同类项的技巧：在二次根式除法中，合并同类项是一个难点，学生可能不知道如何找到可以合并的项。
举例：对于表达式√(18/4) ÷ √(1/2)，学生应能将分子分母中的根号内项合并，得出√(9/2) ÷ √(1/2) = √(9/2) × √(2/1) = √9，即3。
今天的学习，我们了解了二次根式的除法的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式除法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，我发现学生们对这个新概念表现出了一定的兴趣，但同时也遇到了一些挑战。在教授过程中，我尽力通过生动的例子和实际操作来帮助学生理解二次根式除法的运算法则，但我也注意到了一些需要改进的地方。
在实践活动方面，学生们对实验操作表现出了极大的热情，但我也观察到一些学生在操作过程中并没有完全理解背后的原理。为了加深他们的理解，我考虑在下一个课时增加一些简短的解释和引导，让学生们在动手操作之前和之后都能对所学的概念有一个更深的认识。
此外，我也注意到在课堂总结时，有些学生仍然对某些概念感到困惑。我计划在下节课开始时，花一点时间回顾这些难点，用不同的方式来解释，比如通过对比其他运算规则，或者提供更多的练习题目，以便学生能够更好地掌握这些知识点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握二次根式除法的运算法则：学生需理解并掌握如何将两个二次根式相除，包括合并同类项和化简过程。
举例：对于表达式√18 ÷ √2，学生应能迅速化简为√9，即3。
八年级数学下册16.2二次根式的乘除2导学案新版新人教版2
16.2二次根式的乘除法（2）学习目标1、会进行简单的二次根式除法运算和化简（理解ab =ab（a≥0，b>0））；2、理解最简二次根式的概念，并能把二次根式化为最简二次根式。
学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则进行运算和化简。
难点：正确依据二次根式的除法法则进行二次根式的化简，最简二次根式的运用。
学习过程：一、自主学习计算并填空：（1）916=________，916=_________（2）1636=________，1636=________（3）416=________，416=________自学课本完成下面的题目：1、916______9161636______1636416_______4162、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能叙述并用数学表达式表示发现的规律吗？二、合作交流1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？a b =反过来，ab=2、最简二次根式应满足哪两个条件：（1）. （2）. 3、说一说怎样把一个二次根式化为最简二次根式？ 4、计算：（1）123 （2）3128÷三、课堂检测（1、2必做 3题为选做题）： 1、选择题（1）计算112121335÷÷的结果是（ ）．A ．275B ．27C ．2D ．27（2）、下列各式中，是最简二次根式的有( )A.y x 2B.12C.22y x +D.522、计算：（1）482 （2） x x823（3）16141÷ （42964xy3. 化简，求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ），其中m =3．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．不等式组1048x x ->⎧⎨≤⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．2．一次函数y ax b =+与(0)y abx ab =≠，在同一平面直角坐标系中的图象是( )A ．B ．C ．D ．3．如果直角三角形的边长为3，4，a ，则a 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．5或74．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形5．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ）A 5B 51C 51D ．51-6．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．四边相等B ．对角线相等C ．两组对边分别平行D ．一条对角线平分一组对角7．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值为( )A ．3-B ．6-C ．3±D ．6±8．下列四个数中，是无理数的是（ ）A ．2πB ．227C 38-D ．23 9．下列计算或化简正确的是（ ）A ．234265+=B ．842=C ．2(3)3-=-D ．2733÷=10．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）A ．2d S 2d ++B ．2d S d --C ．22d S 2d ++D ．22d S d ++二、填空题11．若3，4，a 和5，b ，13是两组勾股数，则a ＋b 的值是________．12．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n ＝0的两个实数根分别为x 1＝﹣3，x 2＝4，则m+n ＝_____． 13．如图，已知一次函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象交于点P(﹣4，﹣2)，则关于x 的不等式ax+b≤kx ＜1的解集为______.14．计算()280,0xy y x y ÷≥>的结果是______________。
八年级数学下册 16.2 二次根式的除法(第2课时)导学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.2 二次根式的除法（第2课时）导学案（新版）新人教版一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简、二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质、难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简、三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1、计算：（1）3（-4）（2）2、填空：（1）=____，=____；规律：______；（2）=____，=____； ______；（3）=____，=____； _______；（4）=____，=___、 _______、一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）（二）合作交流（小组互助）1、计算：（1）（2）（3）（4）2、化简：（1）（2）（3）（4）注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
（三）展示提升（质疑点拨）阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)=________（２）=_________(３)=_____ ___ (４)=___ ___（四）达标检测 A组1、选择题（1）计算的结果是（）、A、B、C、D、（2）化简的结果是（）A、-B、-C、-D、-2、计算：（1）（2）（3）（4） B组用两种方法计算：（1）（2）。
人教版八年级数学下册导学案 第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除(第一课时)
人教版八年级数学下册导学案 第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除（第一课时）【学习目标】1.探索二次根式乘法法则；2．能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算 【课前预习】1．下列计算正确的是（ ）A 2=-B ．257a a a +=C ．()5210a a =D ．=2(的值在（ ） A ．2-和1-之间B ．1-和0之间C ．0和1之间D ．1和2之间3．下列运算中，正确的是（ ） A ．347x x x +=B ．248236x x x ⋅=C ．2242(3)9x y x y -=-D =43的乘积是有理数的是（ ）A 3B 3C ．3D5．若a b +=a b -=22a b -的值为（ ）A ．6B ．C D6．估计 ） A ．在2～3之间B ．在3～4之间C ．在4～5之间D ．在5～6之间7．下列运算正确的是（ ）A B ．6 C 12 D 6 8．下列计算中，正确的是（ ）A3=-B7=C122= D6==9．计算2的结果是（ ）A ．5B ．10C ．25D10．下列计算正确的是（ ）A=B=±3C=3D4=【学习探究】 自主学习阅读课本，完成下列问题 1、计算：（1）×=______=_______（2） × =_______ =_______ （3） × =_______=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）×_____ （2）×____（3）×__【互学探究】一、 问题：一块长方形绿化带，长5米，宽3m ，则它的面积是多少？请你列出算式：______________，该怎样计算呢？ 二、探究新知探究（一）二次根式乘法的公式1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？994⨯16252516⨯1003636100⨯4994⨯16252516⨯1003636100⨯（1）×=____，=____；×__（2）×=____，=___； ×__2.用你发现的规律填空：于是我能计算上面列出的式子：53⨯=______________。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 二次根式的除法》教案_4
16.2二次根式的除法教学设计一、教学内容及内容解析：1、内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2、内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式。
二、目标和目标解析1、教学目标（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；（2）会进行简单的二次根式的除法运算；(3) 理解最简二次根式的概念。
2、目标解析（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算。
(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
3、教学重点二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
4、教学难点理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
三、教法分析1、本节内容是在学习了二次根式乘法的基础后学习，因此采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质。
教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向。
2、引导学生思考“探究”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论，在这个过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法探究新知。
四、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行。
八年级数学下册16.2二次根式的乘除2导学案新版新人教版2
16.2二次根式的乘除法（2）学习目标1、会进行简单的二次根式除法运算和化简（理解ab =ab（a≥0，b>0））；2、理解最简二次根式的概念，并能把二次根式化为最简二次根式。
学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则进行运算和化简。
难点：正确依据二次根式的除法法则进行二次根式的化简，最简二次根式的运用。
学习过程：一、自主学习计算并填空：（1）916=________，916=_________（2）1636=________，1636=________（3）416=________，416=________自学课本完成下面的题目：1、916______9161636______1636416_______4162、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能叙述并用数学表达式表示发现的规律吗？二、合作交流1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？a b =反过来，ab=2、最简二次根式应满足哪两个条件：（1）. （2）. 3、说一说怎样把一个二次根式化为最简二次根式？ 4、计算：（1）123 （2）3128÷三、课堂检测（1、2必做 3题为选做题）： 1、选择题（1）计算112121335÷÷的结果是（ ）．A ．275B ．27C ．2D ．27（2）、下列各式中，是最简二次根式的有( )A.y x 2B.12C.22y x +D.522、计算：（1）482 （2） x x823（3）16141÷ （42964xy3. 化简，求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ），其中m =3．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）【答案】D【解析】试题分析：作∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，因为AB=CD，所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．故选D．考点：角平分线的性质．2．下列命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．等边三角形的三个内角都相等；C．等腰三角形的底角可以是直角；D．直角三角形的两锐角互余．【答案】C【分析】根据平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别判断即可. 【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，正确；B. 等边三角形的三个内角都相等，正确；C. 由于等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和是180°，故等腰三角形的底角不可以是直角，错误；D. 直角三角形的两锐角互余，正确，故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握各性质是解题关键.3．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B【分析】根据三角形的外角性质即可求出答案．【详解】解：延长AC交BD于点E，设∠ABP＝α，∵BP平分∠ABD，∴∠ABE＝2α，∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝12∠ACD＝α+40°，∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，∠AFP＝∠P+∠ACP∴α+60°＝∠P+α+40°，∴∠P＝20°，故选B．【点睛】此题考查三角形，解题的关键是熟练运用三角形的外角性质，本题属于基础题型．4．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】D【解析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A=∠DCB，∠B=∠ACD ．【详解】∵CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A=∠DCB ，同理得：∠B=∠ACD ，∴相等的角一共有5对，故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．5．如图，△ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．计算结果为x 2﹣y 2的是（ ）A ．（﹣x+y ）（﹣x ﹣y ）B ．（﹣x+y ）（x+y ）C ．（x+y ）（﹣x ﹣y ）D ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）【答案】A【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐一展开即可【详解】A. （﹣x+y ）（﹣x ﹣y ）=(- x )2- y 2= x 2﹣y 2,故A 选项符合题意;B. （﹣x+y ）（x+y ）()()22=y x y x y x -+=-,故B 选项不符合题意; C. （x+y ）（﹣x ﹣y ）()()22=+2x y x y x xy y -+=---,故C 选项不符合题意; D. （x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）=()()()2222=y x y x y x y x -+--=--=-,故D 选项不符合题意;故选A.【点睛】此题考查的是平方差公式以及完全平方公式,掌握平方差公式以及完全平方公式的特征是解决此题的关键. 7．甲、乙两班举行班际电脑汉字输入比赛，各选10名选手参赛，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：通过计算可知两组数据的方差分别为s 甲2＝2.0，s 乙2＝2.7，则下列说法：①甲组学生比乙组学生的成绩稳定；②两组学生成绩的中位数相同；③两组学生成绩的众数相同，其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】根据中位数，众数的计算方法，分别求出，就可以分别判断各个命题的真假．【详解】解：①甲组学生比乙组学生的成绩方差小，∴甲组学生比乙组学生的成绩稳定．②甲班学生的成绩按从小到大排列：132、134、134、135、135、135、135、136、137、137，可见其中位数是135；乙班学生的成绩按从小到大排列：133、134、134、134、134、135、136、136、137、137，可见其中位数是134.5，所以两组学生成绩的中位数不相同；③甲班学生成绩的众数是135，乙班学生成绩的众数是134，所以两组学生成绩的众数不相同． 故选B ．【点睛】此题考查方差问题，对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．方差是反映数据波动大小的量．8．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE ⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC ＝35°，∠ C ＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC=352︒，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC=352︒，∠AFB=∠EFB=90°，∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，∴AB=BE，AE⊥BD∴BD是AE的垂直平分线，∴AD=ED，∴∠DAF=∠DEF，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故选C．【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．9．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为3m和4m.．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A．2m B．3m C．4m D．6m【答案】B【解析】根据△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，BC=4m，AC=3m．则2222435AB BC AC=+=+=∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．∵△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积∴1111 2222AC BC AB r BC r AC r ⋅=⋅+⋅+⋅∴3×4=5r+4r+3r∴r=1．故O到三条支路的管道总长是1×3=3m．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．10．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等【答案】B【分析】根据直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，AAS，SSS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证即可．【详解】A ．符合判定HL ，故此选项正确，不符合题意；B ．全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项错误，符合题意；C ．符合判定AAS ，故此选项正确，不符合题意；D ．符合判定SAS ，故此选项正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键，注意判定全等一定有一组边对应相等的．二、填空题11．已知点A 的坐标为(,2)m ，点B 的坐标为(3,)n ，且点A 与点B 关于x 轴对称，则m n +=________．【答案】1【分析】根据点A 与点B 关于x 轴对称，求出m 和n 的值即可.【详解】∵点A 与点B 关于x 轴对称，∴A ，B 两点的横坐标不变，纵坐标变成相反数，∴m=3n=2⎧⎨-⎩， ∴1m n +=，故答案为：1.【点睛】本题是对坐标系中点对称的考查，熟练掌握点关于对称轴的变化规律是解决本题的关键.12．正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE,则BM 的长为____． 【答案】52或125 【分析】分两种情况进行分析，①当BF 如图位置时，②当BF 为BG 位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM 的长．【详解】如图，当BF 如图位置时，∵AB=AB ，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF ，∴△ABE ≌△BAF （HL ），∴∠ABM=∠BAM ，∴AM=BM ，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE= 2222435AB BE+=+=，过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，∴BM=12AE=12×5=52，当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=125．故答案是：52或125．【点睛】利用了全等三角形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．13．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a b、的等式为________.【答案】（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【分析】根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论．【详解】S阴影＝4S长方形＝4ab①，S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．故答案为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．14．关于x 的多项式(4)(23)mx x +-展开后不含x 的一次项，则m =______．【答案】1【分析】先将多项式展开，再合并同类项，然后根据题意即可解答．【详解】解：∵（mx+4）（2-3x ）=2mx-3mx 2+8-12x=-3mx 2+（2m-12）x+8∵展开后不含x 项，∴2m-12=0，即m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，主要考查学生的化简能力．15．已知2211221899m n n m +=--，则11m n -的值等于___________． 【答案】29-【分析】先进行配方计算出m ，n 的值，即可求出11m n -的值. 【详解】2211221899m n n m +=--22112218099m n n m +++=-22112929099m m n n -++++=221133033m n ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+1130,3033m n +=-=9,9m n =-=， 则1129m n -=-， 故答案为：29-.【点睛】本题是对完全平方非负性的考查，熟练掌握配方知识和完全平方非负性是解决本题的关键.16．已知：如图，ABC 和ADE 为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接CD 、BE ．图中一定与线段CD 相等的线段是__________．【答案】BE【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC －∠BAD=∠DAE －∠BAD ，∴∠DAC=∠BAE ，∵在△CAD 和△BAE 中，AB AC DAC BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△BAE ，∴CD=BE.故答案为BE.点睛：本题关键在于掌握三角形全等的判定方法.17．观察一组数据，34，59，716，925，．．．．．．，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n 个数是_________．【答案】()2211n n ++【分析】根据题意可知，分子是从3开始的连续奇数，分母是从2开始的连续自然数的平方，进一步即可求得第n 个数为221(1)n n ++． 【详解】∵这组数据中的每个数都是分数，分子是从3开始的连续奇数，分母是从2开始的连续自然数的平方．∴这组数据的第n 个数是()2211n n ++（n 为正整数）故答案是：()2211n n ++（n 为正整数）【点睛】 对于找规律的题目，通常按照顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般的规律，找出的规律通常包含着序列号，因此，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易的发现其中的奥秘．三、解答题18．如图，某校准备在校内一块四边形ABCD 草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的位置点P 到边AB ，BC 的距离相等，并且点P 到点A ，D 的距离也相等，请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法，保留作图痕迹)．【答案】见解析【解析】分析：首先作出∠ABC 的角平分线进而作出线段AD 的垂直平分线，即可得出其交点P 的位置．详解：如图所示：P 点即为所求．点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．19．直线364y x =-+与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点A .（1）求直线AB 与坐标轴围成的面积；（2）在x 轴上一动点P ，使ABP ∆是等腰三角形；请直接写出所有P 点的坐标，并求出如图所示AP PB =时点P 的坐标；（3）直线3y x 与直线AB 相交于点C ，与x 轴相交于点D ；点Q 是直线CD 上一点，若BQD ∆的面积是BCD ∆的面积的两倍，求点Q 的坐标.【答案】（1）24；（2）所有P 点的坐标()()()78,02,018,04--，，,(,0)，点P 的坐标7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）4566,77Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或8766,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先求出OA,OB 的长度，然后利用面积公式即可求解；（2）ABP ∆是等腰三角形,分三种情况讨论：若AB AP =时；若AB BP =时；若AP BP =时，图中给出的情况是AP BP =时，设OP x =，利用勾股定理即可求出x 的值，从而可确定P 的坐标；（3）先求出点C 的坐标，然后根据面积之间的关系求出D 的纵坐标，然后将纵坐标代入直线CD 中即可求出横坐标．【详解】（1）当0y =时，8x =，(8,0)B ∴ ,8OB = ；当0x =时，6y =,(0,6)A ∴,6OA = ；∴AOB ∆的面积11682422OA OB ==⨯⨯=； （2）ABP ∆是等腰三角形,分三种情况讨论：若AB AP =时，有OP OB =，此时()8,0P -；若AB BP =时，10AB OA ===10BP ∴=此时()2,0P -或()18,0P ；若AP BP =时,设OP x =，则8AP PB x ==-，由222AO OP AP +=，得：()22268x x +=-∴74x =此时7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）由364y x =-+以及3y x 得1233,77x y ==，所以1233,77C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵BQD ∆的面积是BCD ∆的面积的两倍，∴Q 点的纵坐标为667或667-， 把667y =代入3y x 得457x =， 把667y =-代入3y x 得877x =- 因此4566,77Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或8766,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，数形结合及分情况讨论是解题的关键．20．已知32,32m n =-=+，求代数式22m mn n ++的值.【答案】11【解析】先求出m+n 和mn 的值，再根据完全平方公式变形，代入求值即可.【详解】∵32,32m n =-=+，∴m+n=23，mn=1∴22m mn n ++＝222()(23)111m n mn +-=-=.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算法则，完全平方公式的应用，主要考查了学生的计算能力，题目较好. 21．图①是一个长为2m ，宽为2n 的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：方法一：S =小正方形 ；方法二：S =小正方形 .(2)(m+n)2,(m−n) 2，mn 这三个代数式之间的等量关系为___(3)应用(2)中发现的关系式解决问题：若x+y=9，xy=14，求x−y 的值.【答案】（1）(m+n)2−4mn,(m−n)2;（2）(m+n)2−4mn=(m−n)2；（3）±5.【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n ）2，四个小长方形的面积为4mn ，中间阴影部分的面积为S=（m+n ）2-4mn ；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m-n ，所以其面积为（m-n ）2．（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n ）2-4mn=（m-n ）2．（3）根据（2）的关系式代入计算即可求解．【详解】(1)方法一：S 小正方形=(m+n)2−4mn. 方法二：S 小正方形=(m−n) 2.(2)(m+n)2,(m−n)2,mn 这三个代数式之间的等量关系为(m+n)2−4mn=(m−n)2.(3)∵x+y=9，xy=14，∴x−y=()24x y xy ±+-=±5.故答案为(m+n)2−4mn,(m−n)2;(m+n)2−4mn=(m−n)2，±5.【点睛】 此题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于掌握计算公式.22．如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：1()2EF AC AB =-； （2）如图2，ABC ∆中9AB =，5AC =，求线段EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）先证明AB=AD ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．（2）先证明AB=AP ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵AB BD ⊥，90AED AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒，BAE DAE ∠=∠∵，ABE ADE ∠=∠∴，AB AD ∴=，∵AE BD ⊥，BE DE ∴=，BF FC =∴， 111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．（2）如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．∵AE BP ⊥，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒；BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，∵AE BD ⊥，BE PE =∴，∵BF FC =，1111()()(95)22222EF PC AP AC AB AC ==-=-=-=∴．【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．综合与实践：问题情境：如图 1，AB ∥CD ，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC 的度数，小明的思路是：过点P 作PE ∥AB ，通过平行线性质来求∠APC问题解决：（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 °；问题迁移：如图 2，AB ∥CD ，点 P 在射线 OM 上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β．（2）当点 P 在 B ，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β 之间有何数量关系？ 请说明理由； 拓展延伸：（3）在（2）的条件下，如果点 P 在 B ，D 两点外侧运动时 （点 P 与点 O ，B ，D 三点不重合）请你直接写出当点 P 在线段 OB 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ，点 P 在射线 DM 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ．【答案】（1）62；（2）APC αβ∠=+，理由详见解析；（3）APC βα∠=-；APC αβ∠=-．【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC ；（2）过P 作PE ∥AD 交AC 于E ，推出AB ∥PE ∥DC ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；（3）分两种情况：P 在BD 延长线上；P 在DB 延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，即可得出答案；【详解】解：()1如图1，过P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴PE ∥AB ∥CD ，∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°， ∴∠APC=25°+37°=62°；故答案为：62；()2APC ∠与,αβ之间的数量关系是：APC αβ∠=+； 理由：如图，过点P 作//PE AB 交AC 于点E ，∵//AB CD ，////,AB PE CD ∴,,APE CPE αβ∴=∠=∠APC APE CPE a β∠=∠+∠=+∴； ()3如图3，所示，当P 在射线DM 上时， 过P 作PE ∥AB ，交AC 于E ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PE ∥CD ，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD ，∴∠APC=∠1-∠PCD ，∴∠APC=α-β，∴当P 在射线DM 上时，APC αβ∠=-；如图4所示，当P 在线段OB 上时，同理可得：∠APC=β-α，∴当P 在线段OB 上时，APC βα∠=-．故答案为：APC βα∠=-；APC αβ∠=-.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用、三角形内角和定理的证明、外角的性质，主要考查学生的推理能力，第3问在解题时注意分类讨论思想的运用．24．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB ∥ED ,交BC 于E ，交 AC 于F ，DE = BC,030CDE ACB ∠=∠=.（1） 求证：△FCD 是等腰三角形（2） 若AB=3.5cm,求CD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）CD=1cm.【解析】（1）首先根据平行线的性质得出∠DEC ＝∠B ＝90°，然后在△DCE 中根据三角形内角和定理得出∠DCE 的度数，从而得出∠DCF 的度数．在△CDF 中根据等角对等边证明出△FCD 是等腰三角形； （2）先证明△ACB ≌△CDE ，得出AC ＝CD ，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】（1）∵DE ∥AB ，∠B ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∴∠DCE ＝90°﹣∠CDE ＝60°，∴∠DCF ＝∠DCE ﹣∠ACB＝30°，∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，∴△FCD是等腰三角形；（2）在△ACB和△CDE中，∵90B DECBC DEACB CDE∠∠∠∠==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACB≌△CDE，∴AC＝CD．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3.5，∴AC＝2AB＝1，∴CD＝1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为；②求证：△AEF是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值．（只需直接写出结果）【答案】（1）①k+1；②见解析；（2）y＝34x+45°，理由见解析；（3）2(1)(1)k kk a+-【分析】（1）①先根据AE与CE之比求出△ADE的面积，进而求出ADC的面积，而D中BC中点，所以△ABD面积与△ADC面积相等；②延长BF至R，使FR＝BF，连接RC，注意到D是BC中点，过B过B点作BG∥AC交EF于G．得BGD CED≅，再利用等腰三角形性质和判定即可解答；（2）设∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根据平行线性质及三角形外角性质可得∠4=α，再结合三角形内角和等于180°联立方程即可解答；（3）分别作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，则PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P''＝FP，当FP垂直AD 时取得最小值，即最小值就是AD边上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面积即可，根据AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以将△ADF的面积用k表示出来，从而问题得解．【详解】解：（1）①∵AE ＝kCE ，∴S △DAE ＝kS △DEC ，∵S △DEC ＝1，∴S △DAE ＝k ，∴S △ADC ＝S △DAE +S △DEC ＝k+1，∵D 为BC 中点，∴S △ABD ＝S △ADC ＝k+1．②如图1，过B 点作BG ∥AC 交EF 于G ．∴BGD CED ∠=∠，BGF AED ∠=∠在△BGD 和△CED 中，BGD CEDBD CD BDG CDE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BGD CED ≅（ASA ），∴BG ＝CE ，又∵BF ＝CE ，∴BF ＝BG ，∴BGF F ∠=∠，∴F AED ∠=∠∴AF ＝AE ，即△AEF 是等腰三角形．（2）如图2，设AH 与BC 交于点N ，∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，∵AH ∥BG ，∴∠CNH ＝∠ANB ＝∠3＝2α，∵∠CNH ＝∠2+∠4，∴2α＝α+∠4，∴∠4＝α，∵∠4＝∠BCG ﹣∠2，∴∠BCG ＝∠2+∠4＝2α，在△BGC 中，3180BCG G ∠+∠+∠=︒，即：4180x α+=︒，在△ABC 中，12180BAC ∠+∠+∠=︒，即：3180y α+=︒，联立消去α得：y ＝34x+45°．（3）如图3，作P 点关于FA 、FD 的对称点P'、P''，连接P'Q 、P'F 、PF 、P''M 、P''F 、P'P''，则FP'＝FP ＝FP''，PQ ＝P'Q ，PM ＝P''M ，∠P'FQ ＝∠PFQ ，∠P''FM ＝∠PFM ，∴∠P'FP''＝2∠AFD ，∵∠G ＝100°，∴∠BAC ＝34∠G+45°＝120°， ∵AE ＝AF ，∴∠AFD ＝30°，∴∠P'FP''＝2∠AFD ＝60°，∴△FP'P''是等边三角形，∴P'P''＝FP'＝FP ，∴PQ+QM+PM ＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP ，当且仅当P'、Q 、M 、P''四点共线，且FP ⊥AD 时，△PQM 的周长取得最小值．AE kCE =，AF AE =，BF CE =，1AB k AF k-∴=， ()111ADF ABD k k k S S k k +∴==--，∴当FP AD ⊥时，()()2121ADF k k S FP AD k a+==-， PQM ∴的周长最小值为()()211k k k a +-．【点睛】 本题是三角形综合题，涉及了三角形面积之比与底之比的关系、全等三角形等腰三角形性质和判定、轴对称变换与最短路径问题、等边三角形的判定与性质等众多知识点，难度较大．值得强调的是，本题的第三问实际上是三角形周长最短问题通过轴对称变换转化为两点之间线段最短和点到直线的距离垂线段最短．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF【答案】B【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.2．如果关于x 的分式方程4122ax x x =+--有解，则a 的值为（ ） A ．1a ≠B ．2a ≠C ．1a ≠-且2a ≠-D ．1a ≠且2a ≠【答案】D【分析】先去分母，然后讨论无解情况，求出即可.【详解】去分母得：42ax x =+- 21x a =-，则1a ≠， 当x=2时，为增根方程无解，则2a ≠，则1a ≠且2a ≠，故选D.【点睛】本题是对分式方程的考查，熟练掌握分式方程知识的考查是解决本题的关键.3．等式(x+4)0=1成立的条件是( )A ．x 为有理数B ．x ≠0C ．x ≠4D ．x ≠－4【答案】D【解析】试题分析：0指数次幂的性质：. 由题意得，x≠－4，故选D. 考点：0指数次幂的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握0指数次幂的性质，即可完成.4．下列计算中正确的是（ ）A ．（ab 3）2＝ab 6B ．a 4÷a ＝a 4C ．a 2•a 4＝a 8D ．（﹣a 2）3＝﹣a 6【答案】D【分析】分别根据积的乘方运算法则、同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则依次计算即可得出答案．【详解】解：A 、（ab 3）2＝a 2b 6≠ab 6，所以本选项错误；B 、a 4÷a ＝a 3≠a 4，所以本选项错误；C 、a 2•a 4＝a 6≠a 8，所以本选项错误；D 、（﹣a 2）3＝﹣a 6，所以本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．5．若把分式3425x y x y +-中的,x y 都扩大4倍，则该分式的值（ ） A ．不变B ．扩大4倍C ．缩小4倍D ．扩大16倍【答案】A 【分析】当分式3425x y x y +-中x 和y 同时扩大4倍，得到1216820x y x y+-，根据分式的基本性质得到12164343482042525x y x y x y x y x y x y+++=⨯=---，则得到分式的值不变． 【详解】分式3425x y x y+-中x 和y 同时扩大4倍， 则原分式变形为12164343482042525x y x y x y x y x y x y+++=⨯=---， 故分式的值不变．故选A ．【点睛】本题主要考查分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式,分式的值不变.解题的关键是抓住分子,分母变化的倍数,解此类题首先把字母变化后的值代入式子中,然后约分,再与原式比较,最终得出结论.6．函数14y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≤B ．4x ≠C ．3x ≥且4x ≠D ．3x ≤或4x ≠ 【答案】A【详解】要使函数14y x =-有意义， 则30{-40x x -≥≠所以3x ≤，故选A ．考点：函数自变量的取值范围．7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．365B ．1225C ．94D ．334【答案】A【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据三角形等面积法求出则点C 到AB 的距离即可．【详解】设点C 到AB 距离为h ．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，∴222AC BC AB +=∵9AC =，12BC = ∴2215AB AC BC =+= ∵1122∆==ABC S AC BC AB h ∴12936==155⨯h ． 故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理应用，抓住三角形面积为定值这个等量关系是解题关键．8．已知直角三角形的两边长分别为2,3,则第三边长可以为（ ） A 7B ．3C 11D 13【答案】D【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．【详解】解：若3是直角边， 则第三边2223+13若3是斜边， 则第三边2232-5故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．9．下列图形中，已知12∠=∠，则可得到//AB CD 的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行，以及哪两条直线平行． 【详解】解：A .1∠和2∠的是对顶角，不能判断//AB CD ，此选项不正确；B .1∠和2∠的对顶角是同位角，且相等，所以//AB CD ，此选项正确；C .1∠和2∠的是内错角，且相等，故//AC BD ，不是//AB CD ，此选项错误；D .1∠和2∠互为同旁内角，同旁内角相等，两直线不一定平行，此选项错误．故选B .【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键.10．点P(－2,3)到x 轴的距离是( )A ．2B ．3C ．D ．5【答案】B【解析】直接利用点的坐标性质得出答案．【详解】点P （-2，1）到x 轴的距离是：1．故选B ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键．二、填空题11．已知11x x -=，则式子221x x +=__________________．【答案】1【分析】将已知的式子两边平方，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵11x x -=，∴211x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22121x x -+=，∴221x x +=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了完全平方公式和代数式求值，属于常考题型，熟练掌握完全平方公式和整体的思想是解题的关键．12．定义[]x 表示不大于x 的最大整数、{}[]x x x =-，例如[]22=，[]2.83-=-，[]2.82=，{}20=，{}2.80.8=，{}2.80.2-=，则满足{}[]2x x =的非零实数x 值为_______．【答案】1.5【分析】设x=n+a ，其中n 为整数，0≤a ＜1，则[x]=n ，{x}=x-[x]=a ，由此可得出2a=n ，进而得出a=12n ，结合a 的取值范围即可得出n 的取值范围，结合n 为整数即可得出n 的值，将n 的值代入a=12n 中可求出a 的值，再根据x=n+a 即可得出结论．【详解】设x n a =+，其中n 为整数，01a ≤<，则[]x n =，{}[]x x x a =-=，原方程化为：2a n =， 12a n ∴=． 01a ≤<，即1012n ≤<， 02n ∴≤<， n 为整数，0n ∴=、1．当0n =时，1002a =⨯=，此时0x =， x 为非零实数，0x ∴=舍去；当1n =时，110.52a =⨯=此时 1.5x =． 故答案为：1.1．【点睛】本题考查了新定义运算，以及解一元一次不等式，读懂题意熟练掌握新定义是解题的关键．13．如图，已知直线y=3x+b 与y=ax ﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的方程3x+b=ax ﹣2的解为x=_____．。
人教版八年级数学下册导学案16.2.2二次根式的除法
“学展练”魅力课堂八年级数学（下）导学案
组名：姓名日期: 编制：审核：审批：八年级数学组编号：课题：16.2.2二次根式的除法课时：第1课时
一、学习主题：1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；
2、能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算。
二、【定向导学·互动展示
练的环节 （时间： 15分钟 训练方式： 安静、独立、自主完成 ） 分数：
一、基础题
1．下列二次根式中的最简二次根式是( )
A .30
B .12
C .8
D .12
二、发展题
2、计算：
（1）218÷ （2）
6
72
（3）a a 62÷ （4）2
205a b b ÷
3、把下列二次根式化简成最简二次根式：
（1）32 （2）40 （3）5.1 （4）3
4
二、提高题
4、设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a ，b,已知S=16,b=10,求a .
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除导学案 新人教版(2021年整理)
八年级数学下册16.2 二次根式的乘除导学案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册16.2 二次根式的乘除导学案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册16.2 二次根式的乘除导学案（新版）新人教版的全部内容。
16.1二次根式预习案一、学习目标1、理解二次根式的乘法法则，并利用性质对二次根式进行化简.2、理解二次根式的除法法则。
3、理解最简二次根式的含义。
二、预习内容预习课本第二节内容。
1、二次根式的乘法法则：。
2、二次根式的除法法则：。
3、最简二次根式的条件: .三、预习检测1、对于任意实数x,下列各式中一定成立的是（)A．=•B．=x+1C．=•D．=6x22、计算•的结果是（）A． B． C．2 D．33、计算÷×结果为（)A．3B．4C．5D．6探究案一、合作探究（15min）【探究】二次根式的乘法看一下课本的探究内容，填写下列空格，研究二次根式的乘法。
1、× = ; = .2、× = ; = 。
3、× = ；= 。
从刚刚的结果中,大家能用字母表示你所发现的规律吗？二次根式的乘法法则是什么？这个乘法法则中,我们需要注意什么？例1:计算（1）×；（2）×大家思考这样一个问题，= ×成立吗？为什么?例2：计算（1）；（2）从这个例题中，你可以总结出化简二次根式的一般步骤吗？例3：计算(1）×（2）3×2 ；（3）×【探究】二次根式的除法1、= ；= .2、= ；= .3、= ; =你能用字母表示你所发现的规律吗?你知道二次根式的除法法则是什么了吗?二次根式的除法法则要注意什么？例4 计算： (1）; （2） .最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
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学习目标： 1、会进行简单的二次根式的除法运算；
2、会对二次根式进行适当化简；
3、知道什么是最简二次根式。
4、激情投入，阳光展示，高效学习，享受学习的乐趣
学习重点：理解二次根式的除法法则；
学习难点：灵活运用二次根式的除法法则和性质进行计算和化简．
教学过程：
一、温故知新
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯
二、自主导学
填空： （1； 规律：
（2；
（3； ；
（4． 一般地，对二次根式的除法规定：
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
三、合作探究
例1.计算:（1）
324; （2）18123÷. （3）3183x x ÷；
（4）
211632n m m ÷ （5）728÷； （6）5
125；
把b a b a =反过来,就得到b
a b a =（a ≥0,b >0），利用它就可以进行二次根式 的化简.
例2 化简:
（1）
121
7； （2）22536b a (b ≥0).
（3）10036.014409.0⨯⨯； （4）3312m mn .
注：化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）分母中不含有二次根式。
阅读下列运算过程：
==
== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法计算：
例3计算：
(1)
(３
４
探索新知
观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
1、下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A.
2、化简．（x ≥0）
3、设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a,b ，已知S=32,b=10,求a.
四、学以致用
1、计算：（1 （2 （3 （4
2、化简：（1 （2 （3 （4
五、自主作业
1、选择题
（1的结果是（ ）．
A ．27
B ．27
C ． D
（2 ）
A ．
B ．
C ．．
2．分母有理化:(1)
=_________;(2) =______.
3．=，且x 为偶数，求x 的值
4、计算：
（1）482
（2） x x 823
（3）16141 （4
5、用两种方法计算：
（1（
2）346。