第六章 定积分

分割成n个小曲边梯形. (2)近似
Ai表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间[x
内任取一点
交于点 ,以
i 1
, xi ](i 1, 2,, n)
,过点
为底,
作x轴的垂线与曲线
为高做矩形,以此
矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则
(3)求和 将所有矩形面积求和 a
则 sn f ( i )xi 即是曲边梯形面积S的近似值.
1
e
ln 2 xdx .
1
e
2
2
上，
1 x 2
0 x x2
1
2

1 1 2 x x
∴
e dx e x dx
1 1
.
例2 解
试估计定积分


3
sin xdx .
的值
6
∵
sin x 在 6 ,

3 上连续且单增，最大值、最小
值分别为： sin
ⅱ. 在[a, b] 上只有有限个间断点的有界函数f(x)在 [a, b]上也是可积的。 (4) 定积分在几何意义
如果在[a,b]上，f(x) ≥0时，

b
a
f ( x )dx 表示以f(x)为曲边的
曲边梯形的面积A（见右图）。
a
bx
如果在[a,b]上 f ( x ) 0 ，此时 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 下方，则定积分 a
b
a
b x
f ( x )dx
在几何
A
b a
上表示上述曲边梯形的面积A的相反数. 综上，下图中有
f ( x )dx

b
a
f ( x )dx A1 A2 A3 A4
b a
即：
f(x)
a
A1 A2 A3 A4 f ( x ) dx
A2
A4
A1
A3
b
这里 Ai 0 表示图 形面积。

b
a
[ f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )]dx


b
a
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx
b b a a
3.
积分区间具有可加性: 若
c a, b ，则
当 c a, b 时，上式也成立。（但要确保可积。） 4. 保序性:若在[a, b] 上总有 f ( x ) g ( x ) , 则有
把区间[a,b]分成n个小区间
o
a
b X
[ x0 , x1 ]， 1 , x2 ]，，xi 1 , xi ]， [ xn 1 , xn ] [x ... [ ，
记每一个小区间 [xi 1 , xi ] 的长度为 xi xi xi 1 (i 1， n) 2，
过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形
型未定式，
可用罗必达法则与变上限定积分的导数求解。

lim
x 0 cos x
1
e
t2
dt lim
x 0
e
cos 2 x
x
2
x3
2x
arctan
x3
tdt
2x
arctan
tdt
arctan x 3 ( x 3 ) arctan 2 x (2 x)
3 x arctan x x 2arctan 2 x
2
例4. 求

lim
x 0 cos x
1
e
t2
dt
x2
0 0
分析与解 ：仔细观察一下，这是一个
时，若存在极限 lim f ( i )xi I ，且此极限I与分点 0
i 1 n
和 i 的取法都无关,则称此极限I为f(x)在区间[a, b]上 的定积分，记为

即:
b
a
f ( x )dx
n

b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
在

图示如下：
F(x)
0 a x b
求变力F对质点所做的功W。 分析:若F为常力，则它对质点所作的功
W F (b a )
这里变力F(x)为[a,b]上的连续函数，但它在很小的一 段位移区间上可近似看作常量.
因此可类似于求曲边梯形面积那样处理这里的问题，采 用： (1)分割; 3)求和； (2) 近似； (4)取极限。
解 在
(1) 分割 插入n个分点：
将闭区间[a, b]分成n个小区间:
小区间的长度记为 (2) 近似
在每一个小区间 si 1 , si 上任取一点 i ,把 F (i ) 视为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区 间 上对质点所做的功的近似值为 F (i )si Wi
例1. 比较积分值的大小 ⑴
ln xdx 与
1
e
ln2 xdx
1
e
， ⑵ e
1
2
1 x
dx
与
e x dx
2
2
1
.
1
解 ⑴ ∵ 在区间 1,
e
上， 0 ln x 1
ln x ln2 x
∴ 由定积分的保序性得：
ln xdx
⑵ ∵ 在区间 1,
e e
1 x 1 x2
a
记 p( x ) a f ( t )dt ，称 p(x) 为变上限的定积分。
x
即
p( x ) f ( t )dt
x a
x [a, b]
定理6.1
设 f (x)在区间[a, b]上连续，则
x a
p( x ) [
f ( t )dt ] ＝f ( x )
x [a, b]
定理6.1
b
推论1
x
[ f (t )dt ]x＝[ f (t )dt ]x f ( x )
x b
定理6.1
推论2
[
b( x ) a
f (t )dt ]x＝f [b( x )]b( x )
综上有：
[
b( x ) a(x )
f (t )dt ]x＝f [b( x )]b( x ) f [a( x )]a( x )
i 1
n
f ( i )xi 则
称为积分和。
f(x)存在定积分也称f(x)在[a,b]上是可积的。
由定积分定义看出： (1) 定积分 f ( x )dx 是一个和式的极限值，是一个常 a 数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，与积 分变元用什么字母无关。
b
即: 且

b
a
f ( x )dx f (t )dt f (u)du
§6.3 定积分的性质
下面的讨论中，区间[a, b] 均有a<b
1.
2.

b
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
b a
(k为常数)
被积函数具有可加、减性
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
b b a a
更一般地，有
第六章 定积分
§6.1 引出定积分概念的例
(一) 曲边梯形的面积 如图,由连续曲线y=f(x)(这里不防先假设 f ( x ) 0 ），
直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.
下面我们讨论如何求其面积 Y
(1)分割 在〔 a, b 〕内插入n–1个分点
y
y f ( x)
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
（证明见教材239）
例3. 利用定积分估值定理估计积分 ln( x 2 1)dx 之值.
1
2
解：令
f ( x ) ln( x 2 1)
，则 f ( x ) 在闭区间 1,
2
连续，必存在最大值M 和最小值 m .
令 比较
f ( x ) 2x 0 2 x 1
，
得驻点
0
i 1 n
§6.2 定积分的定义（参见教材P232-234)
将解决上面两例的思想方法抽象化就得下面的定积 分概念。 定义6.1 设函数 f(x)在区间[a, b]上有定义且有 界，将区间[a, b]任意分成n个小区间，分点依次为：
a x0 x1 x2 xn1 xn b

b a
f ( x )dx

c a
f ( x )dx

b c
f ( x )dx

b a
f ( x)dx

b a
g ( x)dx
5. 若f(x) =1 ,
x [a, b] ，则

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b a
dx b a
6.估值定理：设f(x) 在[a, b] 上的最大最小值分别为 M, m ，即: m f ( x ) M , x [a , b] 则有： m(b a ) f ( x )dx M (b a )
i 1
n
(4) 取极限
记 为所有小区间中长度的最大者,即 max{xi },
1 i n
当 0 时,总和 sn 的极限就是曲边梯形面积S,即
S lim f ( i )xi
0
i 1 n
(二) 变力所作的功
设质点受力F的作用沿X轴由点a移动到点b，并设F处处 平行于X 轴，且F为变力，它连续依赖于质点所在位置 的坐标x，即 F=F(x) a xb