各省历年高考文科数学试题及答案汇编八立体几何(选择填空)(2)

各省历年高考文科数学试题及答案汇编八立体几何 （海南、辽宁、陕西、重庆、四川五省市）
海南省（试题）
1、12．（5分）（2008海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A ．AB∥m
B ．AC⊥m
C ．AB∥β
D ．AC⊥β 2、14．（5分）（2008海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 ． 3、9．（5分）（2009宁夏）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF∥B 1C 1，用平面BCF
E 把这个长方体分成了（1）、（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（ ）
A ．（1）是棱柱，（2）是棱台
B ．（1）是棱台，（2）是棱柱
C ．（1）（2）都是棱柱
D ．（1）（2）都是棱台 4、7．（5分）（2010新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3πa 2
B ．6πa 2
C ．12πa 2
D ．24πa 2
辽宁省（试题）
1、12．（5分）（2008辽宁）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条
2、14．（4分）（2008辽宁）在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，
两点的球面距离为
，则球心到平面ABC 的距离为 ．
3、5．（5分）（2009辽宁）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为（ ）
A ．0.8
B ．0.75
C ．0.5
D ．0.25 4、11．（5分）（2010辽宁）已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA⊥平面ABC ，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O 的表面积等于（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．π
5、10．（5分）（2011•辽宁）已知球的直径4SC A B =，，是该球球面上的两点，2AB =，
45ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积为
( )
A.
3 B. 3
6、16．（5分）（2012辽宁）已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA⊥平面ABCD ，四
边形ABCD 是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB 的面积为 ． 7、10．（5分）（2013辽宁）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，1 ． B ． C ． D ．
1、8．（5分）（2008陕西）长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB ：AD ：AA 1=2：1：，则两A ，B 点的球面距离为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、10．（5分）（2008陕西）如图，α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ．AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是m 和n ．若a ＞b ，则（ ）
A ．θ＞φ，m ＞n
B ．θ＞φ，m ＜n
C ．θ＜φ，m ＜n
D ．θ＜φ，m ＞n 3、11．（5分）（2009陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4、15．（4分）（2009陕西）已知球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，，A 、B 是圆O 1
上两点，若∠AO 1B=
，则A ，B 两点间的球面距离为
． 5、5．（5分）（2014陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得
1、8．（5分）（2008四川）设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2、10．（5分）（2008四川）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 3、12．（5分）（2008四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 4、6．（5分）（2008四川）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A ．
3 B ．3 C ．2
D ． 5、12．（5分）（2008四川）在正方体1111ABCD A BC D -中，
E 是棱11A B 的中点，
则1A B 与1D E 所成角的余弦值为（ ）
A ．
10 B ．10 C ．5 D ．5
6、6．（5分）（2009四川）如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面ABC ，
PA=2AB 则下列结论正确的是（ ）
A ．P
B ⊥AD
B ．平面PAB ⊥平面PB
C C ．直线BC ∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
7、9．（5分）（2009四川）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（）
A．B．πC． D．2π
8、15．（4分）（2009四川）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是．
9、12．（5分）（2010四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）
A．B．C．D．
10、15．（4分）（2010四川）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．
11、6．（5分）（2011四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
12、15．（4分）（2011四川）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是．
13、10．（5分）（2012四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）
A．B．C．D．
11111
点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．
重庆市（试题）
1、11．（5分）（2008重庆）如图，模块①﹣⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①﹣⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（）
A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤2、9．（5分）（2009重庆）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）
A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）
B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
3、9．（5分）（2010重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）
A．只有1个 B．恰有3个 C．恰有4个 D．有无穷多个
4、10．（5分）（2011重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）
A． B．C．D．
5、9．（5分）（2012重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a
A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）
答案
海南省（答案）
1、解：如图所示AB∥l∥m；A对
AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对
AB∥l⇒AB∥β，C对
对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．
故选D．
2、解：∵正六边形周长为3，得边长为，故其主对角线为1，从而球的直径
，
∴R=1，
∴球的体积
故答案为：．
3、解：（1）中，有两个平行的平面BB1E与平面CC1F，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以（1）是三棱柱；
（2）中，有两个平行的平面ABEA1与平面DCFD1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公
共边互相平行，符合棱柱的定义，所以（2）是四棱柱．
故选C
4、解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
辽宁省（答案）
1、解：在EF上任意取一点M，
直线A1D1与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，
当M取不同的位置就确定不同的平面，
从而与CD有不同的交点N，
而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：
故选D．
2、解析：设球的半径为R ，则，
∴
设A 、C 两点对球心张角为θ，则，
∴
，
∴由余弦定理可得：，
∴AC 为ABC 所在平面的小圆的直径， ∴∠ABC=90°，
设ABC 所在平面的小圆圆心为O'，则球心到平面ABC 的距离为d=OO'=
3、解：设地球半径为R ，则北纬60°纬线圆的半径为Rcos60°=R 而圆周长之比等于半径之比，故北纬60°纬线长和赤道长的比值为0.5． 故选C ．
4、解：∵已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点 ∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC ，AB⊥BC，SA=AB=1，， ∴球O 的直径为2R=SC=2，R=1，
∴表面积为4πR 2
=4π． 故选A ．
5、解：设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边,4=SO 故
2==BO AO ，(步骤1)
且有SC AO ⊥，SC BO ⊥． ∴1()3S ABC S AOB C AOB AOB V V V S SO OC ---=+=
+△=3
344243312=⨯⨯⨯．故选C 。

6、解：依题意，可将P ，A ，B ，C ，D 补全为长方体ABCD ﹣A′B′C′D′，让P 与A′重合，
则球O 为该长方体的外接球，长方体的对角线PC 即为球O 的直径． ∵ABCD 是边长为2正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，
∴PC 2=AP 2+AC 2
=24+24=48， ∴2R=4，R=OP=2，
∴△OAB 为边长是2的等边三角形， ∴S △OAB =×2×2
×sin60°
=3
．
故答案为：3
． 7、解：因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA 1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=，
所以球的半径为：．
故选C ．
8、解：A ．若m∥α，n∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错； B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；
D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错． 故选B ．
陕西省（答案）
1、解：设AD=a ，则⇒球的直径
即
，在△AOB 中，
，AB=2a ，
⇒OA 2
+OB 2
=AB 2
⇒∠AOB=90°从而A ，B 点的球面距离为
故选C ．
2、解：由题意可得，
即有，
故选D．
3、解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，
一个四棱锥体积V1=×1×=，
故八面体体积V=2V1=．
故选B．
4、解：由题设知，OA=OB=2
在圆O 1中有，又∠AO1B=
在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2
所以在△AOB中，OA=OB=AB=2，
则△AOB为等边三角形，可得∠AOB=60°
由弧长公式l=rθ（r为半径）得A，B两点间的球面距离l AB=rθ=2×
故答案为
5、解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故选：C．
四川省（答案）
1、解：设分别过M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，球半径为R，则：
∴
∴这两个圆的面积比值为：
故选D
2、解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当
∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件
故选B．
3、解：如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设∠AA1B1=∠AA1C1=60°，
由条件有∠C1A1B1=60°，作AO⊥面A1B1C1于点O，
则
∴∴
∴
故选B ．
4、解： 设球的半径为r 3143V r π⇒=
；正三棱锥的底面面积2S =，2h r =，
232123V r ⇒=⨯=。

所以
123
V V =
，选A 5、解：如图以D 为坐标系原点,AB 为单位长，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，易
见
1(
0,
1,1
)
A B =-，11
(1,,0)2
D E =，所
以
1111
(0,1,1)(1,,0)
2cos ,15(0,1,1)(1,,0)224
A B D E -<>===
-，选B 。

（如果连结1,D C EC ,用余弦定理解三角形也可以求得答案。

）
6、解：∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，
所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，
所以平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；BC ∥AD ∥平面PAD ， ∴直线BC ∥平面PAE 也不成立．
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，
故选D．
7、解：∵AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点．
O′C=，AC=3，
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，
则B、C两点的球面距离=．
故选B．
8、解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，A2B=a，BM==a，
A2M==a，
∴A2B2+BM2=A2M2，
∴∠MBA2=90°．
故答案为90°．
9、解：由已知，AB=2R，BC=R，
故tan∠BAC=
cos∠BAC=
连接OM，则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=，
同理AN=，且MN∥CD
而AC=R，CD=R
故MN：CD=AM：AC
MN=，
连接OM、ON，有OM=ON=R
于是cos∠MON=
所以M、N两点间的球面距离是．
故选A．
10、解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，
在β内过C作l的垂线．垂足为D
连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°
又由已知，∠ABD=30°
连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2，则AC=，CD=1
AB==4
∴sin∠ABC=；
故答案为．
11、解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；
对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；
对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．
故选B．
12、解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=4cosα，圆柱的高为8sinα，圆柱的侧面积为：32πsin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积
最大，圆柱的侧面积为：32π，球的表面积为：64π，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32π．
故答案为：32π
13、解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，
因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE=
=，
AP==，
AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP，，
cos∠AOP=，∠AOP=arccos，
A、P两点间的球面距离为，
故选A．
14、解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，
则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）
•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，
故答案为：90°．
重庆市（答案）
1、解：先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块．
故选A．
2、解：设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），
过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B．
在Rt△BB1D1中，，
由三角形面积关系得：
设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，
所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC⊥B1G，
所以B1G⊥平面AB1CD1，
故B1G为点到平面A1BCD1的距离，
在Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得
于是，
于是当λ＞1，所以，
所以；
故选C．
3、解：放在正方体中研究，显然，线段OO1、EF、FG、GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
同时亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等．
所以排除A、B、C，
故选D．
4、解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D
均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：
=
故选A
5、解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=
在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）
取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，
所以在三角形AED中，AE=ED=
∵两边之和大于第三边
∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）
由（1）（2）得0＜a＜．
故选：A．。