第三章34343基本不等式的实际应用
高中数学第3章不等式3.4-3.4.2基本不等式的应用课件苏教版必修5
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
基本不等式在日常生活中有哪些用途
基本不等式在日常生活中有哪些用途在我们的日常生活中，数学知识看似抽象，但其实无处不在，发挥着重要的作用。
其中，基本不等式就是一个非常实用的工具。
基本不等式，通常表述为对于任意非负实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
接下来，让我们一起探讨一下基本不等式在日常生活中的诸多用途。
先来说说购物省钱方面。
假设我们在超市看到两种促销活动，一种是买一送一，另一种是直接打五折。
在决定选择哪种更划算时，基本不等式就能派上用场。
假设商品原价为 a 元，数量为 b 个。
如果选择买一送一，那么平均每个商品的价格为 a ／ 2 元；如果选择打五折，平均每个商品的价格为 05a 元。
根据基本不等式，（a ＋ 05a) ／ 2 ＝075a ≥ √（05a²) ，当且仅当 a ＝ 0 时取等号。
这意味着在正常购买商品的情况下，打五折会更划算，能让我们在购物时做出更明智的选择，节省开支。
在投资理财中，基本不等式也能帮助我们进行风险评估和收益预测。
比如说，我们有两种投资产品，一种收益较高但风险较大，预期收益率为 a%；另一种收益较低但风险较小，预期收益率为 b%。
为了平衡风险和收益，我们可以利用基本不等式来计算一个相对合理的预期综合收益率。
通过（a% ＋ b%）／2 ≥ √（a% × b%），可以大致估算出在不同投资比例下的综合收益率范围，从而更好地规划我们的投资组合，降低风险并追求合理的回报。
再看旅行规划。
当我们计划一次自驾游时，需要考虑路程、速度和时间的关系。
假设一段路程为固定的 S ，汽车以速度 a 行驶一段时间t1 ，以速度 b 行驶一段时间 t2 。
根据路程等于速度乘以时间，我们有S ＝ a × t1 ＋ b × t2 。
而平均速度等于总路程除以总时间，即 2S ／（t1 ＋ t2) 。
根据基本不等式，（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) ，可以得出平均速度存在一个最小值，这有助于我们合理安排行驶速度和时间，以最快的方式到达目的地，同时也能更有效地规划途中的休息和加油等事项。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中的重要概念，它在现实生活中也有着广泛的应用。
基本不等式的形式是：对于任意正实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2这个不等式在实际应用中有很多用途，以下是其中几个：1.统计学中的方差方差是描述数据离散程度的一种指标。
当我们求解方差时，需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将数据样本的平均值表示为a，数据样本的每个值表示为xi，那么方差就可以表示为：Var(X)=1/n[(x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-a)^2]将Var(X)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解方差的公式。
2.概率论中的协方差协方差是描述两个随机变量关系的指标。
当我们求解协方差时，也需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将两个随机变量表示为X和Y，它们的期望值分别为a和b，那么协方差就可以表示为：Cov(X,Y)=E[(X-a)(Y-b)]将Cov(X,Y)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解协方差的公式。
3.物理学中的能量守恒定律能量守恒定律是物理学中的基本定律之一。
利用基本不等式，我们可以证明能量守恒定律的正确性。
具体而言，我们可以将能量表示为E，动能表示为K，势能表示为U，假设在一个系统中，动能的总和为K1，势能的总和为U1，动能的总和为K2，势能的总和为U2，那么根据基本不等式，我们可以得到以下结论：(K1+K2+U1+U2)^2≥(K1+U1)^2+(K2+U2)^2这个结论说明，系统中的能量总和不会增加或减少，总能量守恒。
这就是能量守恒定律的本质。
人教B版高中数学必修5课件 3.43.4不等式的实际应用课件(人教B)
所以，当矩形的一边长在（20，30）的范围内取值时， 能围成一个面积大于600ｍ2的矩形． 用S表示矩形的面积，则 S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625（0＜x＜50） 当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25即当矩形长、 宽都为25ｍ时，所围成的矩形的面积最大．
小结：
一、知识：
解不等式应用题的思路与步骤
- 2mn =
s 4mn m n2
2m nmn
=
sm n2 2mnm n
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，即t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
方法二：做商
t甲
2s mn
t乙 s(m n)
2mn
4mn (m n)2
m2
4mn n2 2mn
t甲 t乙
例2、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满， 此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的２８％.问桶的容积最大 为多少升？
依题意，得
4(x 8) x
由于x>8, 因而原不等式化简为
9x2-150x+400≤0
即（3x-10)(3x-40)≤0.
因此
10 3
x
40 3
40
8＜x≤
3 40
答：桶的最大容积为
升
3
，从而
由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:
（1)分析题意，设未知数 (2)找数量关系（相等、不等关系） （3）列出关系式（函数式、不等式）（4）求解作答
分析：
设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,若要知道谁先 到达，只需比较t甲，t乙的大小即可
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,由题意得
第三章3.4 第2课时基本不等式的应用
A．3B．3－2C．3－2D．－1
解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
2．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为()
A．16B．9C．12D．15
解析：选A.因为x，y为正数，所以(x＋y)＝1＋9＋＋≥16，当且仅当y＝3x时，等号成立．
2.(1)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
(2)设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值为________．
解析：(1)f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，所以＝3，即a＝36.
(2)由a>0，b>0，＋＋≥0，得k≥－.又因为＝＋＋2≥4(当且仅当a＝b时取等号)，所以－≤－4.因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值为－4.
答案：(1)36(2)－4
探究点三利用基本不等式解实际应用题(规范解答)
(本题满分12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)．
3．已知a，b∈R，若a2＋b2＝1，则ab有最________值为________；若ab＝1，则a2＋b2有最________值为________．
解析：由a2＋b2≥2ab可知，当a2＋b2＝1时，ab≤，故ab有最大值为；当ab＝1时，a2＋b2≥2，a2＋b2有最小值2.
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中一个经典的定理，它涉及到各种形式的数学问题，如求解优化问题、证明几何问题等。
本文将介绍基本不等式的实际应用。
一、求解优化问题基本不等式可以用来求解一类优化问题。
我们知道，若干个非负实数的和为定值时，它们的积最大的情况是它们的值相等，即当这些数都取到定值的平均值时积最大。
基本不等式提供了一个严格的证明。
设$a_1,a_2,\cdots,a_n$为$n$个非负实数，且$a_1+a_2+\cdots+a_n=S$，则有\begin{align*}(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2&=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)+2(a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)\\&\leq(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2+(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2\\&=(S-a_n)^2+S-nS+nS\\&=S^2,\end{align*}即$(a_1a_2\cdots a_n)\leq\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时取等。
因此若$n$个非负实数的和为定值$nS$，则它们的积最大为$\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当它们都等于定值的平均值时取到最大值。
这个结论对于优化求解问题具有指导意义。
例如，设$a,b$为两个非负实数，且$a+b=2$，则$ab\leq1$，当且仅当$a=b=1$时取到最大值。
这个结论可以用基本不等式轻松证明，进一步应用于某些数学问题的求解中。
二、证明几何问题基本不等式可以用来证明几何问题。
以平面上三角形的内心$I$为例，可以应用基本不等式证明$I$到三角形三顶点的距离之和等于半周长。
假设$I$到三角形三顶点的距离分别为$d_a,d_b,d_c$，半周长为$s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，其中$a,b,c$为三角形的三边长。
辽宁省北票市高中数学第三章不等式3.4基本不等式实际应用1课件新人教B版必修
这是辽宁省北票市高中数学第三章的演示课件，重点介绍了基本不等式的实 际应用，让你了解数学在现实生活中的重要性。
第一部分：基本不等式
基本不等式的Biblioteka 义和表述学习基本不等式的概念和符号表示，掌握它的重要性和用途。
洛谷P1426题解
总结基本不等式在解决实际问题中的作用，并讨论其重要性和实际应用的意义。
2 学习心得与启示
分享学习基本不等式的心得体会，对学习数学和应用的启示。
以洛谷P1426题为例，解答如何应用基本不等式解决实际问题。
第二部分：实际应用
某地区高考分数线分析
通过数据收集和整理，分析某地区高考分数线的变 化趋势，得出结论和影响。
某公司员工薪资分配管理
探讨某公司的薪资结构和问题，并提出解决方案和 实施效果的评估。
总结与反思
1 基本不等式在实际应用中的重要性
18-19 第3章 3.4 3.4.2 基本不等式的应用
3.4.2 基本不等式的应用学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．[自 主 预 习·探 新 知]基本不等式与最值已知a ≥0，b ≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a ＋b 一定时，积ab 有最大值； (2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值；(3)取等号的条件⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b 2. 思考1：因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2.以上说法对吗？为什么？ [提示] 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号，仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x ＝1时有公共点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．思考2：回顾上一节的内容，你认为利用基本不等式求最值时应注意哪些方面？[提示] ①代数式中，各项必须都是正数，例如x ＋1x ，当x <0时，就不能直接用基本不等式得x ＋1x ≥2，而应该转化为正数后再应用基本不等式．②代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数．若含变量的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可求出函数的最大值或最小值．③利用基本不等式求最值时，必须保证“＝”能取得．若取不到等号，必须经过适当的变形，使之能取得等号．④多次使用基本不等式时，由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围，而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解．[基础自测]1．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． [解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400， 当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． [答案] 4002．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.[解析] 设一边长为x m ，则另一边长为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16， 当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时等号成立． [答案] 16[合 作 探 究·攻 重 难]利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)若x ＋2y ＝1，且x >0，y >0，则8x ＋1y 的最小值为________.【导学号：57452099】[思路探究] 注意条件“1x ＋9y ＝1”及“x ＋2y ＝1”的作用． [解] (1)∵1x ＋9y ＝1，x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29 ＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即x ＝4，y ＝12时等号成立． (2)∵x ＋2y ＝1，x >0，y >0， ∴8x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝8＋2＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18.当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝23，y ＝16时等号成立． [答案] (1)16 (2)181．(1)已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． (2)已知点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，则a 2＋b 2的最小值为________． [解析] (1)法一：由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1.由b >0，得a ＋3a －1>0.∵a >0，∴a >1.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝[(a －1)＋1]2＋3[(a －1)＋1]a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥2(a －1)·4a －1＋5＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号，此时b ＝3. ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二：由于a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0，∴ab ≥3，故ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，所以a ＋b ＝1，因为a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以a 2＋b 2≥12＝22，所以a 2＋b 2的最小值为22.[答案] (1)[9，＋∞) (2)22利用基本不等式解实际应用题10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[思路探究]根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．[解]设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x＋225x.当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋225x≥2x·225x＝30，当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．所以当x＝15时，y有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *， ∴x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时yx ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.形如y ＝x ＋px 的最值问题[可以用基本不等式求函数y ＝x ＋4x (x ≥4)的最小值吗？为什么？ [提示] ∵x ≥4， ∴y ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立， 又x ≥4，故不可以用基本不等式求其最小值． 由于y ＝x ＋4x 在[4，＋∞)上单调递增，故当x ＝4时， y min ＝4＋44＝5.已知a >0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[思路探究] 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值． [解] ∵y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a ＝x 2＋a ＋1x 2＋a.(1)当0<a ≤1时，y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2，当且仅当x 2＋a ＝1x 2＋a，即x 2＋a ＝1，x ＝±1－a 时取等号y min ＝2. (2)当a >1时，令x 2＋a ＝t ，则t ≥a ，∴y ＝f (t )＝t ＋1t ，利用单调性可知f (t )在[a ，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (a )＝a ＋1a ，当且仅当t ＝a ，即x ＝0时等号成立． ∴y min ＝a ＋1a.综上所述，当0<a ≤1时， y min ＝2； 当a >1时，y min ＝a ＋1a .[规律方法]1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等．3．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．[解] 由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy .从而有z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝1xy (x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy (2＋x 2y 2－2xy )，令xy ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14，且t ＝14时，x ＝y ＝12，则z ＝2t ＋t －2，再令f (t )＝2t ＋t ，可以证明f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减， 故当t ＝14时，f (t )＝2t ＋t 取最小值334， ∴当x ＝y ＝12时，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 取最小值254.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．[解析] (1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215，当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时，xy 取最大值． [答案] (1)215 (2)22542．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[解析] 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[答案] 83．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的取值范围是________.【导学号：57452100】[解析] ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时等号成立． [答案] 44．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．[解析] 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m. 那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320·2x ·4x ＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．[答案] 1 7605．设x ，y ＞0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的最大值． [解] 1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝14(5＋4)＝94. 当且仅当4x y ＝y x ，且x ＋y ＝4，即x ＝43，y ＝83时，上式取“＝”．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min＝94.∵1x ＋4y ≥m 恒成立，∴m ≤94， ∴m max ＝94.。
高中数学第三章不等式3.4基本不等式3.4.2基本不等式的应用课件新人教A版必修5
3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1)(元).
设平均每天所支付的总费用为y元,
1
则 y= [9( + 1) + 900] + 6 × 1 800
900
900
=9x+
+ 10 809≥2 9· + 10 809=10
900
当且仅当 9x=
题型二
题型三
反思在应用基本不等式解决实际问题时,应注意(zhùyì
)如下的思路和
方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问
题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际背景写出答案.
第十一页，共14页。
, 即x=10 时,等号成立.
989(元),
故该厂每10天购买一次面粉,才能(cáinéng)使平均每天所支付的总费用最少.
第十二页，共14页。
题型一
题型二
题型三
易错辨析
易错点:忽略基本不等式中等(zhōngděng)号成立的条件致错
【例 3】 求函数 y=
错解 y=
2 +2+1
2 +2
= 2 + 2 +
2 +2
2 +2
=
1
2 +3
2 +2
+
的最小值.
1
2+2
≥2,故 y 的最小值为 2.
高中数学第三章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用aa高二数学
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
解析：A 中 x＝－1 时，y＝－5<4，B 中 y＝4 时，sin
x＝2，D 中 x 与 1 的关系不确定．
答案：C
3．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值， 则 a＝( )
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
类型 1 利用基本不等式求最值(互动探究)
[典例 1] (1)若 x＜1，则 y＝x2－x－2x1＋2有(
)
A．最小值 2
B．最大值 2
C．最小值－2 D．最大值－2
(2)若 0＜x＜12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是
________．
解析：(1)因为 x＜1，所以 x－1＜0，所以 y＝x2－x－2x1＋2
解
析
：
f(x)
＝
x
＋
1 x－2
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
2
≥
2
（x－2）·x－1 2＋2，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝1(舍) 或 x＝3 时，上式取等号，所以 a＝3.
答案：C
4．函数 y＝x2－x－x＋1 1(x>1)在 x＝t 处取得最小值，则
t 等于( )
A．1＋ 2
B．2
C．3 D．4
第三章 不等式
第 2 课时 基本不等式的应用
[学习目标]
1.进一步掌握基本不等式
ab≤
a＋b 2.
2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解
决一些简单的实际问题．(重点) 3.能运用基本不等式解
决生活中的应用问题．(难点)
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(2)∵1x＋1y6＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1x＋1y6＝17＋16yx＋yx ≥17＋2 16yx·yx＝25. 当且仅当16yx＝yx且1x＋1y6＝1 时，等号成立． ∴x＝5，y＝20 时，x＋y 有最小值 25.
小值____4____．
练习1：已知 a＞0，b＞0，若 ab＝9，则 a＋b 有最小值为 ___6___；若 a＋b＝4，则 ab 有最大值为__4___．
练习2：已知函数y＝x＋—1x ，当x＞0时，ymin＝____2____，
当 x＜0 时，ymax＝__－__2____.
1．你是设计师！春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为 100 平方米的花圃种花．有以下两种方案：
圆形花圃：造价 12 元/米；矩形花圃：造价 10 元/米； 你觉得哪个方案更省钱呢？ 答案：圆形花圃：S 圆＝πr2＝100，r＝10π，C＝2πr＝20 π， 花费约为 432 元； 矩形花圃：设两边为 x，y，C＝2(x＋y)≥4 xy＝40，故当 x＝y 时花费最少为 400 元.
2．在问题 1 中，假若现在只有 36 米的篱笆可用，怎么样 设计才能使得矩形花圃的面积最大？
答案：C＝2(x＋y)＝36，x＋y＝18.∵x＋y≥2 xy， ∴18≥2 xy，∴S＝xy≤81. 当且仅当 x＝y 时，面积有最大值为 81 m2
题型1 基本不等式在(函数)最值中的应用 例 1：(1)求函数 f(x)＝x－1 3＋x(x＞3)的最小值； (2)求函数 f(x)＝x2－x－3x3＋1(x＞3)的最小值； (3)已知 x＞0，y＞0，且9x＋1y＝1，求 x＋y 的最小值．
3.4.3 基本不等式的实际应用
1．理解基本不等式 ab≤a＋2 b中等号成立时条件． 2．熟练理解并应用基本不等式解决一些简单的应用问题．
1．已知 x，y 都是正数，
(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和__x_＋__y___有最
小值__2___P___．
(2)如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积__x_y___有最 S2
B．15 层
C．20 层
D．30 层
题型3 利用基本不等式进行优化设计(最小值问题) 例3：为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘 贴一幅“福娃”宣传画，如图 3－4－1 要求画面面积为 72 m2， 左、右各留 1 米，上、下各留 0.5 米，问怎样设计画面的长和 宽才能使宣传画所用纸张面积最小？
题型2 利用基本不等式进行优化设计(最大值问题)
例2：某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温 室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道， 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少 时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
自主解答：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m， ab＝800.
图 3－4－1
自主解答：设宣传画的长、宽分别为 x，y 米，则 xy＝72， 设纸张面积为 S，则：
S＝(x＋2)(y＋1)＝xy＋x＋2y＋2 由 xy＝72，即 y＝7x2代入上式，
得 S＝74＋x＋14x4≥74＋2
x×14x4 ＝98，
当且仅当 x＝14x4，即 x＝12 时，Smin＝98. 所以宣传画的长为 12 米，宽为 6 米，所用纸张面积最小．
【变式与拓展】
2．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建
造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将
楼房建为 x(x≥10) 层，则每平方米的平均建筑费用为 560 ＋
48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则
楼房应建为( B )
A．10 层
当式子不具备“定值”条件时，常通过“添 项”达到目的；形如 y＝cx2a＋x＋dxb＋f(a≠0，c≠0)的函数，一般 可通过配凑或变量替换等价变形化为 y＝t＋pt (p 为常数)型函数， 要注意 t 的取值范围；当已知条件与“1”有关，常利用“1”进行整 体代换，转化为能使积为定值的形式．
【变式与拓展】 1．(1)设 x>－1，求函数 y＝x＋x＋4 1＋6 的最小值； (2)已知 x，y 为正实数，且1x＋1y6＝1，求 x＋y 的最小值． 解：(1)∵x>－1，∴x＋1>0.
思维突破：(1)“添项”，可通过减 3 再加 3，利用基本不 等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为 y＝M＋Ma 的形 式．(3)“整体代换”，将 1 用9x＋1y代替，则 x＋y＝(x＋y)9x＋1y， 再化简，用基本不等式求解．
自主解答：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.
∴f(x)＝x－1 3＋(x－3)＋3≥2 x－1 3·x－3＋3＝5.
蔬菜的种植面积 S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)． 所以 S≤808－4 2ab＝648(m2). 当 a＝2b，即 a＝40(m)，b＝20(m)时，S最大值＝648(m2)． 答：当矩形温室的左侧边长为 40 m，后侧边长为 20 m 时， 蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 m2.
当且仅当x－1 3＝x－3，即 x＝4 时取等号，
∴f(x)的最小值是 5.
(2)令 x－3＝t，则 x＝t＋3，且 t＞0. ∴f(x)＝t＋32－3tt＋3＋1＝t＋1t ＋3≥2
t·1t ＋3＝5.
当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时取等号，此时 x＝4， ∴当 x＝4 时，f(x)有最小值为 5. (3)∵9x＋1y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)9x＋1y＝10＋9xy＋xy≥10＋2 9xy·xy＝16. 当且仅当9xy＝xy且9x＋1y＝1，即 x＝12，y＝4 时取等号． ∴当 x＝12，y＝4 时，x＋y 有最小值为 16.