刚体动力学课件

A
2 1
M z d
力矩的瞬时功率可以表示为
P
dA dt
Mz
d
dt
Mz
式中是刚体绕转轴的角速度。
20
四、动能定理 (theorem of kinetic energy )
根据功能原理, 外力和非保守内力对系统作的总功 等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功 都为零。对定轴转动的刚体 , 外力所作的功即为外力 矩所作的功; 系统的机械能为刚体的转动动能。
Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
18
在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为
n
n
dA dAi ( M zi )d Mzd
i 1
i 1
n
式中 M zi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外
力矩Mz 。
19
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为
dA dEk
将转动动能的具体形式代入上式并积分, 得
A
1 2
J
2 2
1 2
J
2 1
定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能
的增量，即作定轴转动刚体的动能定理。
21
或者利用
A 2 Md 1J d d 2 Jd
1
1 dt
1
A
2 1
Md
n i 1
1 2
Δmi
vi2
O ri vi
mi
1 2
n i1
Δmi ri 2
2
1
式中
n
mi
ri2
称为刚体对转轴的转动惯量
i 1
n
J mi ri2
i 1
若刚体的质量连续分布 , 形式变为
J r 2dm r 2 dV
SI制中，J的单位为kg·m2
则刚体转动动能的一般表达式
Ek
1 2
解： 方法一，盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为
m
R2
取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为
y
R
dr
·r
O
x
dm 2 rdr
12
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
J z
R
0
r
2
d
m
R
0
2πr
3
d
r
2π
R
0
r3
dr
1 2
mR 2
根据垂直轴定理 J z J x J y
1 2
J 2
1 0.083 632 J 2
1.7 102J
7
方法二：
y
dx
O
x
x
J
0l ( x
l )2( m 2l
dx)
1 12
ml
2
8.3 102kg
m2
8
例 棒绕通过其左端点并与棒相垂直的转轴旋转， 求转动惯量。
y
dx
O
x
x

J左
0l
x2(m l
dx)
1 3
ml 2
9
两个定理：
1. 平行轴定理 J JC md 2
由于对称性, J J , 所以
x
y
Jz
2J x
1 2
mR 2
解得
Jx
1 mR 2 4
13
解： 方法二，
y
R
dr d
r
·
O
x
Jz
r 2 d m 2 0
R r 2(σrdrd ) 1 m R2
0
2
14
解： 方法三，
y
R
dr d
r
·
O
x
J x
y2dm 2 0
R
(rsin
)2 (σrdrd
§3-2,3 刚体动力学
一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )
设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量
分别为m1 , m2 , … , mn ,各体元到转轴Oz的距离
依次是r1 , r2 , … , rn。 n 个体元绕Oz轴作圆周运动的
x
动能的总和为
Ek
点，建立坐标系Oxy，取y
Ox
l x
2
轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx,
其质量为
m
dm dx
l
6
根据式 J r 2dm , 应有
J
x l/ 2 2
l/ 2
m dx
l
1 3
m l
3
x
l/ 2 l/ 2
1 ml 2 8.3 102 kg m 2 12
棒的转动动能为
Ek
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。
2. 垂直轴定理
若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯
量有如下关系 J z J x J y
注意：对于厚度不是无限小的刚体板， 垂直轴定理不适用。
3
几 种 常 见 形 状 的 刚 体 的 转 动 惯 量
4
5
例1 一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m 的均匀细棒，
绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63
rads-1 旋转，求转动动能。 方法一：
解： 先求细棒对转轴的 转动惯量J，然后求转动动
y
dx
能Ek。
将棒的中点取为坐标原 l 2
10
例2 在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得对通 过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
J 1 ml 2 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。
解：
两平行轴的距离
d
1 l
,
代入平行轴定理，
得
2
J J C md 2
1 ml 2 m( l )2 1 ml 2
12
23
11
例 3 求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通过盘心 并处于盘面内的轴的转动惯量。
J2
2
二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
转动惯量与质点的运动速度无关，影响的因素 有：刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的 位置。
只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体 才能用数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而 密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用 实验方法测定。
)
1
m R2
0
4
Jz
Jx
Jy
2J x
1 4
m R2
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三、力矩作的功
力不在转动平面内时，
M rF
r (F1 F2 )
r F1 r F2
r F1
只能引起轴的变
形, 对定轴转动无贡献。
rr F1 F
r
转动
平面
r
F2
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对定轴转动的刚体起作用的只是力矩沿转轴的分量 ，即若取转轴为z轴，则起作用的只是MZ。而提供MZ 的只是外力在转动平面内的投影，与外力沿转轴方向 的分量无关。所以，在讨论刚体定轴转动时，只需考 虑外力在转动平面内的分力即可。 约定：在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩均 指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。
17
是假F设1 ,作F2用,于, 以Fnz。轴为转轴的刚体上的多个外力分别
在刚体转动中，外力 Fi 所作的元功为
d
Ai
Fi
d
ri
F d r cos
ii
i
d
Fi
O
r i
ds i
i
Pi
F d s cos
i
i
i
因为dsi = ri d，并且cosi = sini，所以
dAi Firi sini d Mzid