第1章1.1.2同步训练及详解
2022-2022年高一必修一第1章 1.1.2 集合的基本关系数学题带答案和解析(人教A版)
2022-2022年高一必修一第1章1.1.2 集合的基本关系数学题带答案和解析（人教A版）填空题已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____.【答案】m≥1【解析】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1解答题判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤xB(2) B A.【解析】试题分析：（1）利用一元一次不等式的解法分别求出集合A和集合B，由此能得到集合A是集合B的真子集．（2）A＝{x∈Z|－1≤x}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，A B.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤xA.选择题如果集合A＝{x|x≤}，a＝，那么()A. a∉AB. {a}AC. {a}∈AD. a⊆A【答案】B【解析】a＝，∴a∈A，A错误．由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C、D错，B正确．故选B点睛:本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，元素与集合之间用属于∈，不属于∉的符号；集合与集合之间用包含于⊆，真包含，不包含相等=，的符号表示.解答题已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P ＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.【答案】M P＝N.【解析】试题分析：M＝{x|x＝m＋，m∈Z}＝{x|x＝，m ∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}M表示3的偶数倍加1除以6的数；N ＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n－1∈Z}，N表示3的整数倍加1除以6的数；P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}，P表示3的整数倍加1除以6的数即可得出结论.试题解析：∵M＝{x|x＝m＋，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}，N＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n－1∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}，比较3×2m＋1,3(n－1)＋1与3p＋1可知，3(n－1)＋1与3p＋1表示的数完全相同，∴N＝P,3×2m＋1只相当于3p＋1中当p为偶数时的情形，∴M P＝N.综上可知M P＝N.解答题设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅且B⊆A，求实数a、b的值.【答案】a＝－1，b＝1, a＝b＝1, a＝0，b＝－1【解析】试题分析：集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅且B⊆A，∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B⊆{－1,1}，∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}，分情况进行讨论即可.试题解析：∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B⊆{－1,1}，∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．当B＝{－1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1.当B＝{1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，解得a＝b＝1.当B＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得a＝0，b＝－1.综上：a＝－1，b＝1；或a＝b＝1；或a＝0，b＝－1选择题集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A. 7B. 12C. 32D. 64【答案】D【解析】集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.故选D选择题若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．故选D选择题设A＝{x|－1a}，若A B，则a的取值范围是()A. {a|a≥3}B. {a|a≤－1}C. {a|a>3}D. {a|aB，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能取否得－1是正确求解的关键．故选B填空题集合⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝____.【答案】2【解析】得，代入y＝3x＋b得b＝2.故答案为2选择题已知集合M＝{(x，y)|x＋y0}和P＝{(x，y)|xM B. M P C. M＝P D. M P【答案】C【解析】∴M＝P.故选C填空题已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝____.【答案】0或2或－1【解析】由B⊆A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m ＝0或2或－1.故答案为0或2或－1填空题已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝___，y＝____.【答案】25【解析】由集合相等的定义可知或解得或，又x，y∈Z.故x＝2，y＝5.故答案为2,5选择题已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x 是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A. A⊆BB. C⊆BC. D⊆CD. A⊆D【答案】B【解析】∵等腰直角三角形必是等腰三角形，∴C⊆B.故选B选择题下列命题中，正确的有()①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④【答案】C【解析】空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C．选择题已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】试题分析：由B={x|ax﹣2=0}，且B⊆A，故讨论B的可能性，从而求a．解：∵B={x|ax﹣2=0}，且B⊆A，∴若B=∅，即a=0时，成立；若B={1}，则a=2，成立；若B={2}，则a=1，成立；故a的值有0，1，2；故不可能是3；故选D．选择题若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()A. b＝－3，c＝2B. b＝3，c＝－2C. b＝－2，c＝3D. b＝2，c＝－3【答案】A【解析】由条件知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得b＝－3，c＝2.故选A选择题集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是()A. 1∈AB. B⊆AC. (1,1)⊆BD. ∅∈A【答案】B【解析】B＝＝{(1,1)}，而A＝{(x，y)|y＝x}，B 中的元素在A中，所以B⊆A故选B．选择题下列四个集合中，是空集的是()A. {0}B. {x|x＞8，且x＜5}C. {x∈N|x2－1＝0}D. {x|x＞4}【答案】B【解析】选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B．填空题已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能值构成的集合为____.【答案】{0,1,2}【解析】∵B⊆A，∴B＝∅，{1}或{2}．当B＝∅时，a＝0；当B＝{1}时，a＝2，当B＝{2}时，a＝1.∴a∈{0,1,2}．故答案为{0,1,2}11。
第1章 1.2 1.2.2 第2课时 同步训练及解析
人教B高中数学必修1同步训练1．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴∁R P⊆Q.答案：C2．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．∁U M∪∁U N D．∁U M)∩∁U N解析：∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴∁U M∩∁U N＝∁U(M∪N)＝{5,6}．答案：D3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x>4}，那么集合A∩∁U B等于()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}．答案：D4．已知全集U＝{x|－1<x<9}，A＝{x|1<x<a}，A是U的子集.若A≠∅，则a的取值范围是()A．a<9 B．a≤9C．a≥9 D．1<a≤9解析：由题意知，集合A≠∅，所以a>1.又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范围是1<a≤9.答案：D5．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________.解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．答案：{x|x∈R，且x≠0}6．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.解析：∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x<a或x>b}.又∁U A＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.答案：77．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求:(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A ∪∁U B；(4)B∩∁U A；(5)∁U A∩∁U B.解：如图(1)．(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．(2)A∪B＝{x|－5<x<7}．图(1)图(2)(3)如图(2)．∁U B＝{x|x<0或x≥7}，∴A∪∁U B＝{x|x<5或x≥7}．(4)如图(3).图(3)∁U A＝{x|x≤－5或x≥5}，B∩∁U A＝{x|5≤x＜7}．(5)法一：∵∁U B＝{x|x<0或x≥7}，∁U A＝{x|x≤－5或x≥5}，∴如图(4)．图(4)∁U A∩∁U B＝{x|x≤－5或x≥7}．法二：∁U A∩∁U B＝∁U(A∪B)＝{x|x≤－5或x≥7}．8．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A⊆∁U B，求a的取值范围．解：(1)∵B＝{x|x≥a}，又A∩B＝A，所以A⊆B.如图所示.所以a≤－4.(2)∁U B＝{x|x<a}，如图所示．∵A⊆∁U B，∴a>－2.。
第一章1.1.2知识点及同步习题练习
A B B A A B A BA ．B ．C ．D ．§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（propersubset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.同步练习一、选择题1、满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A 、8B 、7C 、6D 、52、若集合{}0|2≤=x x A ，则下列结论中正确的是（ ） A 、A=0 B 、A ⊂0 C 、∅=A D 、A ⊂∅3、下列五个写法中①{}{}2,1,00∈，②{}0≠⊂∅，③{}{}0,2,12,1,0⊆，④∅∈0， ⑤∅=∅ 0，错误的写法个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、若集合}1|{},2|{-====-x y y P y y M x ，则P M 等于_____A 、 }1|{>y yB 、}1|{≥y yC 、}0|{>y yD 、}0|{≥y y5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是_____A 、 }11|{<<-x xB 、 }30|{<<x xC 、 }10|{<<x xD 、}31|{<<-x x6、已知全集⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=Z a N a a M 且56|,则M=( )A 、{2，3}B 、{1，2，3，4}C 、{1，2，3，6}D 、{-1，2，3，4}7、集合},02{2R x a x x x M ∈=-+=，且φM ，则实数a 的范围是（ ） A 、1-≤a B 、1≤a C 、1-≥aD 、1≥a二、填空题8、调查某班50名学生，音乐爱好者40名，体育爱好者24名，则两方面都爱好的人数最少是 ，最多是 9、已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2+2ax+2a 2-4a+4＝0｝，若φA ，则实数a 的取值是10、已知集合A ＝｛x ∈N *｜26+x ∈Z ｝，集合B ＝｛x ｜x ＝3k+1,k ∈Z ｝，则 A 与B 的关系是 11、已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a }(1)若B ⊆A ，则a 的取值范围是______ (2)若A B ，则a 的取值范围是______12、若｛1，2，3｝A⊆｛1，2，3，4｝，则A＝______三、解答题13、设A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若B⊆A，求实数a组成的集合、14、已知A＝｛x，xy，1n(xy)｝，B＝｛0，｜x｜，y｝，且A＝B。
最新高中数学必修一第1章1.1.2课时同步练习习题(含解析)
高中数学必修一课时练习1．下列六个关系式，其中正确地有( )①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个 D．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B地子集，则下列命题中正确地是( )A．对任意地a∈A，都有a∉BB．对任意地b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选C.A不是B地子集，也就是说A中存在不是B中地元素，显然正是C选项要表达地．对于A和B选项，取A＝{1，2}，B＝{2，3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2，3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a地取值范围是( )A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}地子集地个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么( )A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C地关系符号是错误地．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则( )A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，3，5}，则A－B等于( ) A．A B．BC．{2} D．{1，7，9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5，3)}，B＝{－5，3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等地集合有( )A．2组 B．3组C．4组 D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等地集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间地一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0，1}，B ＝{2，3}，则A*B地子集地个数是( )A．4 B．8C．16 D．32解析：选B.在集合A和B中分别取出元素进行*地运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0，1·2·(1＋2)＝6，1·3·(1＋3)＝12，因此可知A*B＝{0，6，12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B＝{1，2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B地关系是( )A．A⊆B B．B⊆AC．A∈B D．B∈A解析：选D.∵B地子集为{1}，{2}，{1，2}，∅，∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1，2}，∅}，∴B∈A.7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx＝1}，则A、B间地关系为________．解析：在A中，(0，0)∈A，而(0，0)∉B，故B A.答案：B A8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a地值为________．解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素地互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x ＜a＋4}，若A B，则实数a地取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 地值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0，即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中地三个元素相同，不满足集合中元素地互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中地三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12. 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 地取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 地取值范围．解：(1)若A B ，由图可知，a >2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.12．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求实数m地值．解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．∵B A，∴mx＋1＝0地解为－3或2或无解．当mx＋1＝0地解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13；当mx＋1＝0地解为2时，由m·2＋1＝0，得m＝－12；当mx＋1＝0无解时，m＝0.1 3或m＝－12或m＝0.综上所述，m＝。
人教A版高中数学必修1同步检测第1章1.1.2集合间的基本关系
第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系A级基础巩固一、选择题1．集合P＝{x|x2－4＝0}，T＝{－2，－1，0，1，2}，则P与T 的关系为()A．P＝T B．P TC．P⊇T D．P T解析：由x2－4＝0，得x＝±2，所以P＝{－2，2}．因此P T.答案：D2．已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6B．5C．4D．3解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈AC．－1∈AB．1∉AD．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A14．以下说法中正确的个数是()①M ＝{(1，2)}与 N ＝{(2，1)}表示同一个集合；②M ＝{1，2}与 N ＝{2，1}表示同一个集合；③空集是唯一的；④若 M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}与 N ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}，则集合M ＝N .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①集合 M 表示由点(1，2)组成的单元素集，集合 N 表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误；②由集合中元素的无序性可知 M ，N 表示同一个集合，故②正确；③假设空集不是唯一的，则不妨设∅1、∅2 为不相等的两个空集，易知∅1⊆∅2，且∅2⊆∅1，故可知∅1＝∅2，矛盾，则空集是唯一的，故③ 正确；④M ，N 都是由大于或等于 1 的实数组成的集合，故④正确．答案：D5．集合 A ＝{x |0≤x <4，且 x ∈N}的真子集的个数是()A ．16B ．8C ．15D ．4解析：A ＝{x |0≤x <4，且 x ∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)．答案：C二、填空题6．已知集合 A ＝{x | x 2＝a }，当 A 为非空集合时 a 的取值范围是________．解析：A 为非空集合时，方程 x 2＝a 有实数根，所以 a ≥0.2所以Δ＝(－1)2－4a ≥0，得 a ≤ .答案：⎨a a ≤4⎬解析：当 a ＝0 时，B ＝∅⊆A ；当 a ≠0 时，B ＝⎨x ⎪x ＝－a ⎬，若 B ⊆A ，则－ ＝－1 或－ ＝1，解得 a ＝1 或 a ＝－1.综上，a ＝0 或 a答案：{a |a ≥0}7．已知∅ {x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数 a 的取值范围是________．解析：因为∅ {x |x 2－x ＋a ＝0}．所以{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即 x 2－x ＋a ＝0 有实根．14⎧ ⎪ 1⎫⎩ ⎪⎭8．已知集合 A ＝{－1，1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若 B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为________．⎧ ⎪ 1⎫⎩ ⎪⎭1 1aa＝1 或－1.答案：{－1，0，1}三、解答题9．已知集合 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若 B⊆A ，求实数 p 的取值范围．解：若 B ＝∅，则 p ＋1>2p －1，解得 p <2；若 B ≠∅，且 B ⊆A ，则借助数轴可知，⎧⎪p ＋1≤2p －1，⎨p ＋1≥－2，解得 2≤p ≤3.⎪⎩2p －1≤5，综上可得 p ≤3.10．已知集合 A{x ∈N|－1<x <3}，且 A 中至少有一个元素为奇数，则这样的集合 A 共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：因为{x ∈N|－1<x <3}＝{0，1，2}，A3{0，1，2}且 A 中至少有一个元素为奇数，故这样的集合共有 3 个．当 A 中含有 1 个元素时，A 可以为{1}；当 A 中含有 2 个元素时，A 可以为{0，1}，{1，2}．B 级 能力提升1．已知集合 B ＝{－1，1，4}满足条件∅ M ⊆B 的集合的个数为()A ．3B ．6C ．7D ．8解析：满足条件的集合是{－1}，{1}，{4}，{－1，1}，{－1，4}，{1，4}，{－1，1，4}，共 7 个．答案：C2．设 A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若 A ＝B ，则 a ＋b ＝________．解析：因为 A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，⎧⎪4＝ab ，所以⎨ 解得 a ＝2，b ＝2，⎪⎩a ＝2，所以 a ＋b ＝4.答案：43．已知 A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求 a 的取值范围．解：集合 A ＝{0，－4}，由于 B ⊆A ，则：(1)当 B ＝A 时，即 0，－4 是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 的两根，代入解得 a ＝1.(2)当 B A 时，①当 B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得 a <－1.②当 B ＝{0}或 B ＝{－4}时，方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 应有两个相等的实数根 0 或－4.则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得 a ＝－1，此时 B ＝{0}满足条件．4综上可知a＝0或a≤－1.5。
人教版高中物理选修2-1第一章第1、2节电场和电源练习(含答案)
人教版选修2-1 第一章1.1-1.2电场和电源同步练习1.手电筒中的干电池的电动势为，用它给某小灯泡供电时，电流为，在某次接通开关的10s时间内，下列说法正确的是A. 干电池把化学能转化为电能的本领比电动势为2V的蓄电池强B. 干电池在10s内将的化学能转化为电能C. 电路中每通过1C的电量，电源把的化学能转化为电能D. 该干电池外接电阻越大，输出功率越大2.由电场强度的定义式可知，在电场中的同一点A. 电场强度E跟F成正比，跟q成反比B. 不同点电荷在这点所受的电场力大小不同，该点的电场强度在不断改变C. 无论检验电荷所带的电量如何变化，始终不变D. 一个不带电的小球在该点受到的电场力为零，则该点的场强一定为零3.电场中某点电场强度的方向A. 跟点电荷在该点所受电场力方向一致B. 跟正电荷在该点所受电场力方向一致C. 就是正电荷在电场力作用下的运动方向D. 就是负电荷在电场力作用下的运动方向4.图为某电场的电场线，关于A、B两点的电场强度，下列判断正确的是A. 大小不等，方向相同B. 大小不等，方向不同C. 大小相等，方向相同D. 大小相等，方向不同5.带电荷量为—q的点电荷与均匀带电大薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，如图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为（）A.，水平向左B.，水平向左C.，水平向右D.，水平向左6.如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A→O→B匀速运动，电子重力不计，则电子除受电场力外，所受的另一个力的大小和方向变化情况是（）A.先变大后变小，方向水平向左B.先变大后变小，方向水平向右C.先变小后变大，方向水平向左D.先变小后变大，方向水平向右7.如图所示，在直线MN上有一个点电荷，A、B是直线MN上的两点，两点的间距为L，场强大小分别为E和2E．则（）A.该点电荷一定在A点的右侧B.该点电荷一定在A点的左侧C.A点场强方向一定沿直线向左D.A点的电势一定低于B点的电势8.在电场线如图所示的电场中有M、N两点，一个带电离子（不计重力）仅在电场力作用下由静止开始从M点运动到N点，则（）A.M点处的电场强度比N点处的电场强度大B.该离子在M点的电势能大于在N点的电势能C.M点处的电势比N点处的电势低D.该离子在N点的速度可能为零9．关于电流，下列说法中正确的是（）A．通过导线截面的电量越多，电流越大B．因为电流有方向，所以电流是矢量C．单位时间内通过导体截面的电量越多，导体中的电流越大D．导体中有电荷运动就有电流10．如图所示，是测定两个电源的电动势和内电阻的实验中得到的电流和路端电压图线，则下列说法不正确的是（）A．当I1=I2时，电源总功率P1=P2B．当I1=I2时，外电阻R1=R2C．当U1=U2时，电源输出功率P出1＜P出2D．当U1=U2时，电源内部消耗的电功率P内1＜P内211．下列关于电动势的说法正确的是（）A．电源的电动势跟电源内非静电力做的功成正比，跟通过的电荷量成反比B．WEq只是电动势的定义式而非决定式，电动势的大小是由电源内非静电力的特性决定的C．非静电力做的功越多，电动势就越大D．电动势的单位跟电压的单位一致，所以电动势就是两极间的电压12．关于电动势，下列说法中正确的是（）A．在闭合电路中，电源电动势等于电源正负极之间的电势差B．电源电动势总等于内、外电路上的电压之和，所以它的数值与外电路的组成有关C ． 用电压表（理想电压表）直接测量电源两极得到的电压数值就等于电源电动势的值D ． 电动势越大，说明非静电力在电源内部从负极向正极移送单位电量的正电荷时，做功越少13．真空中有两个点电荷q 1与q 2，若将它们的电荷量和间距都变为原来的2倍，则它们间的库仑力变为原来的（ ） A ．12倍 B ． 1倍 C ． 2倍 D ． 4倍14．真空中有两个静止的点电荷，它们之间静电力的大小为F ．如果保持这两个点电荷之间的距离不变，而将它们的电荷量都变为原来的4倍，那么它们之间静电力的大小变为（ ） A ．8FB ．4F C ． 4F D ． 16F15．对电现象及规律的认识中，下列说法中正确是（ ）A ． 丝绸和玻璃棒摩擦后，玻璃棒带正电是由于丝绸上一些正电荷转移到玻璃棒上B ． 真空中两个点电荷电荷量均增加为原来的2倍，距离不变，则它们之间的作用力变为原来的4倍C ． 真空中两个点电荷间距离增为原来的2倍，电荷量均不变，则它们之间的作用力变为原来的一半D ． 电场线是电场中实际存在的曲线16.两电荷量分别为q 1和q 2的点电荷放在x 轴上的O ，M 两点，两电荷连线上各点电势φ随x 变化的关系如图所示，其中A ，N 两点的电势均为零，ND 段中的C 点电势最高，则（ ）A. C点的电场强度大小为零 B. A 点的电场强度大小为零 C. NC 间场强方向向x 轴正方向D. 将一负点电荷从N 点移到D 点，电场力先做正功后做负功17.如图所示，在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形，坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中O （0，0）点电势为6V ，A （1， ）点电势为3V ，B （3，）点电势为0V ，则由此可判定（ ）A. C 点电势为3 VB. C 点电势为0 VC. 该匀强电场的电场强度大小为100 V/mD. 该匀强电场的电场强度大小为100 V/m18.关于电场线的下列说法中正确的是（ ） A. 电场线并非真实存在，是人们假想出来的 B. 电场线既能反映电场的强弱，也能反映电场的方向 C. 只要初速度为零，正电荷必将沿电场线方向移动 D. 匀强电场的电场线分布是均匀、相互平行的直线19．有三个相同的金属小球A 、B 、C ，其中A 、B 两球带电情况完全相同，C 球不带电．将A 、B 两球相隔一定距离固定起来，两球间的库仑力是F ，若使C 球先和A 接触，再与B 接触，移去C ，则A 、B 间的库仑力变为（ ） A ．2F B ．4F C ．38F D ．10F 20．两个相同的金属小球（均可看做点电荷），原来所带的电荷量分别为+5q 和﹣q ，相互间的库仑力大小为F ．现将它们相接触，再分别放回原处，则两金属小球间的库仑力大小变为（ ）A ．95FB ． FC ．45FD ．5F 二、填空题21．电压恒定的电源与一根玻璃管中的水银柱组成电路，水银柱中通过的电流为0.1A．今将这些水银倒进另一根玻璃管中，管的内径是原管的2倍，重新与该电源组成电路，则流过水银柱的电流为A．22．手电筒中标有“2.0V，0.80W”字样的小灯泡正常发光时，通过的电流是A；1分钟内通过导体横截面的电子数为个．（已知e=1.6×10﹣19C）23．在10s内通过导体某一横截面的电量为16C，则通过该导体的电流大小是A．10s内通过这个截面的电子有个（电子的电荷量为1.6×10﹣19C）24．在电场中某处放入电荷量为1×10﹣10C的点电荷，它所受电场力的大小为1×10﹣5N，则该处电场强度的大小是N/C，若将这个点电荷移走，该处的电场强度大小是N/C．25．电荷量为3.2×10﹣8C的点电荷在电场强度大小为200N/C的匀强电场中所受电场力大小为N；电容器两极板间的电压为8V时，电容器所带电量为4 0×10﹣6C，则该电容器的电容F；处于静电平衡状态的导体，内部的电场强度处为．参考答案21.答案：1.622.答案：0.40 1.5×102023.答案：1.6 102024.答案：1×1051×10525.答案：6.4×10﹣65×10﹣7|0。
高中数学必修1人教A同步训练及详解：-第1章1.1.2同步训练及详解
高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是()A．{x|x2＋3＝3}B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|－x2≥0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：选D.∵方程x2－x＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素0，B选项中有无数个元素，即抛物线y＝－x2上的点，C选项中只有一个元素0.2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>BB．A BC．B AD．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A、B、C、D、E分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形}，集合B＝{梯形}，集合C＝{平行四边形}，集合D＝{菱形}，集合E＝{正方形}．答案：A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}[A级基础达标]1．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()A．b＝－3，c＝2B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3D．b＝2，c＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2. 3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1.答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集．解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级 能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1.8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3，∴A ＝{2,3}．答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合．解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}，得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}．当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1. 当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13. ∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}． 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.。
第1章 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构第3课时 课时达标训练
课时达标训练一、基础过关 1．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是 ( ) A ．①是循环变量初始化，循环就要开始 B ．②为循环体C ．③是判断是否继续循环的终止条件D ．①可以省略不写 答案 D2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )A ．1B ．23C ．1321D ．610987答案 C解析 执行第一次循环后S ＝23，i ＝1；执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321．3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 C解析 当k ＝0时，满足k <3，因此S ＝1×20＝1； 当k ＝1时，满足k <3，因此S ＝1×21＝2； 当k ＝2时，满足k <3，因此S ＝2×22＝8； 当k ＝3时，不满足k <3，因此输出S ＝8．4．阅读下图的程序框图，则输出n 与z 的值分别是 ( )A ．2与20B ．3与20C ．3与26D ．2与26 答案 D5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝________．答案 4解析 第一次循环：i ＝1，A ＝2，B ＝1；第二次循环：i ＝2，A ＝4，B ＝2；第三次循环；i ＝3，A ＝8，B ＝6；第四次循环：i ＝4，A ＝16，B ＝24，终止循环，输出i ＝4． 6．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为x 1，…，x n (单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若n ＝2，且x 1，x 2分别为1,2，则输出的结果S 为________．答案 14解析 当i ＝1时，S 1＝1，S 2＝1； 当i ＝2时，S 1＝1＋2＝3，S 2＝1＋22＝5， 此时S ＝12(5－12×9)＝14．i 的值变成3，从循环体中跳出，输出S 的值为14．7．求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n >100成立的最小自然数n 的值，画出程序框图．解 设累加变量为S ， 程序框图如图：二、能力提升 8．执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S 等于 ( ) (注!123n =⨯⨯⨯…n ⨯ )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 B解析 k ＝1，T ＝11，S ＝1，k ＝2，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，…由于N ＝10，即k >10时，结束循环，共执行10次． 所以输出S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！．9．如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ×(n ＋1)B ．S ＝S ×x n ＋1C ．S ＝S ×nD ．S ＝S ×x n 答案 D解析 赋值框内应为累乘积，累乘积＝前面项累乘积×第n 项，即S ＝S ×x n ． 10．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝________．答案 －4解析 当n ＝3时，i ＝3－1＝2，满足i ≥0， 故S ＝6×(－1)＋2＋1＝－3．执行i ＝i －1后i 的值为1，满足i ≥0， 故S ＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5．再执行i ＝i －1后i 的值为0，满足i ≥0， 故S ＝5×(－1)＋0＋1＝－4．继续执行i ＝i －1后i 的值为－1，不满足i ≥0， 故输出S ＝－4．11．画出计算1＋12＋13＋…＋1999的值的一个程序框图．解 由题意知：①所有相加数的分子均为1． ②相加数的分母有规律递增．解答本题可使用循环结构，引入累加变量S 和计数变量i ，S ＝S ＋1i ，i ＝i ＋1，两个式子是反复执行的部分，构成循环体． 程序框图如图：12．某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分及以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图． 解 算法步骤如下：第一步，把计数变量n 的初始值设为1． 第二步，输入一个成绩r ，比较r 与60的大小． 若r ≥60，则输出r ，然后执行下一步； 若r <60，则执行下一步．第三步，使计数变量n 的值增加1．第四步，判断计数变量n 与学生个数50的大小，若n >50不成立，返回第二步，若成立，则结束．程序框图如图．三、探究与拓展13．相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他需要什么．发明者说：陛下，在国际象棋的第一个格子里面放1粒麦子，在第二个格子里面放2粒麦子，第三个格子里放4粒麦子，以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍，依此类推(国际象棋棋盘共有64个格子)，请将这些麦子赏给我，我将感激不尽．国王想这还不容易，就让人扛了一袋小麦，但不到一会儿就没了，最后一算结果，全印度一年生产的粮食也不够．国王很奇怪，小小的“棋盘”，不足100个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试用程序框图表示此算法过程．解将实际问题转化为数学模型，该问题就是要求1＋2＋4＋…＋263的和．程序框图如下：。
1.1.2 分散系(分层练习)(解析版)高一化学同步课件沪教版2020必修一
第一章化学研究的天地1.1物质的分类第2课时分散系1．如图所示为实验室中制备胶体的一种方法。
下列说法正确的是A．该制备方法属于物理方法B．烧杯中液体的颜色逐渐变浅C．可用丁达尔效应判断是否制得胶体D．加热能促使该分散系中的分散质粒子直径减小【答案】C【详解】A．该制备方法有氢氧化铁生成，属于化学方法，故A错误；B．烧杯中液体逐渐变为红褐色胶体，故B错误；C．胶体能产生丁达尔效应，可用丁达尔效应判断是否制得胶体，故C正确；D．加热可使胶体聚沉，加热能促使该分散系中的分散质粒子直径增大，故D错误；选C。
2．下列关于胶体的说法中，正确的是A．溶液和胶体的本质区别为能否产生丁达尔现象B．胶体的分散质和分散剂可以利用滤纸分离C．胶体一定是混合物D．胶体可能带正电，也可能带负电【答案】C【解析】A．溶液和胶体的本质区别是粒子直径的大小，A错误；B．胶体是分散质粒子大小在1nm~100nm的分散系，胶体粒子能通过滤纸，则使用滤纸不可以将胶体的分散质与分散剂分离，B错误；C．胶体是一种分散系，由分散剂和分散质组成，一定是混合物，C正确；D．胶体不带电，胶粒由于吸附阴阳离子可能带电，D错误；故选C。
3．下列关于FeCl3稀溶液、Fe(OH)3胶体、Fe(OH)3悬浊液的说法，正确的是A．三者均属于纯净物B．三者的本质区别是能否发生丁达尔效应C．分别对三者进行过滤操作，只有FeCl3溶液中的分散质粒子能穿过滤纸D．向沸水中逐滴加入5~6滴FeCl3饱和溶液，继续加热至红褐色可制得Fe(OH)3胶体【答案】D【分析】胶体是分散质粒子大小在1nm~100nm的分散系；溶液是分散质粒子大小于1nm的分散系；浊液是分散质粒子大于100nm的分散系；光束通过胶体时，光线能够发生散射作用而产生丁达尔效应，而通入其它分散系时不能产生丁达尔效应；【详解】A．三者均属于混合物，A错误；B．三者的本质区别是分散质直径大小，B错误；C．胶体、溶液的分散质均可以穿过滤纸，C错误；D．制取()3Fe OH红褐色胶体应该向煮沸的蒸馏水中滴加饱和氯化铁溶液至溶液变红褐色；D正确；故选D。
2012年苏教数学必修5：第1章1.1.2知能优化训练
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2a 2＝tan B tan A，那么△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理得sin 2B sin 2A ＝tan B tan A. ∴sin B sin A ＝cos A cos B. ∴sin2A ＝sin2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，c b ＝cos C cos B，则此三角形为________． 解析：由正弦定理，c b ＝sin C sin B， ∴sin C sin B ＝cos C cos B. ∴sin B cos C －sin C cos B ＝0.∴sin(B －C )＝0.∴B ＝C .∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形3．(2011年扬州高二检测)在△ABC 中，b ＝8，c ＝83，S △ABC ＝163，则A 等于________．解析：S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8×83sin A ＝163，sin A ＝12，所以A ＝30°或150°. 答案：30°或150°4．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________．解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 答案：3∶1∶1一、填空题1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 的形状是______． 解析：∵a cos A ＝b cos B .由正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴cos A cos B ＝sin A sin B ，∴sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .同理可得B ＝C ，∴A ＝B ＝C .∴△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形2．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于________．解析：a sin A ＝c sin C ，∴52sin30°＝10sin C ，∴sin C ＝22. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ，∴C ＝45°或C ＝135°，∴B ＝105°或B ＝15°.答案：105°或15°3．(2010年高考广东卷)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.解析：∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12. 答案：124．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．解析：5x 2－7x －6＝0的两根为－35，2.设已知两边的夹角为C ，则cos C ＝－35(cos C ＝2＞1不可能，舍去)． ∴sin C ＝1－cos 2C ＝45， ∴此三角形的面积为12×3×5×45＝6(cm 2)． 答案：6 cm 2 5．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为14，外接圆半径为1，则abc 等于________． 解析：∵S △ABC ＝12ab sin C ＝14， ∴ab sin C ＝12.① ∵外接圆半径为1，∴c sin C＝2R ＝2. ∴sin C ＝c 2.② 把②代入①，得ab ·c 2＝12，∴abc ＝1. 答案：16．已知△ABC 的面积为3，且b ＝2，c ＝2，则A 等于________．解析：由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2×2sin A ，∴sin A ＝32，∴∠A ＝60°或120°. 答案：60°或120° 7．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 为锐角，则△ABC 的形状是________．解析：由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3. 根据正弦定理，得b sin B ＝a sin A ， 所以a sin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B 、C 都为三角形内角，所以B ＝C .故△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC 中，若C ＝3B ，则c b 的取值范围是________．解析：由正弦定理可知：c b ＝sin C sin B ＝sin3Bsin B＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B cos2B ＋cos B sin2B sin B＝cos2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，∴0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1. ∴1＜4cos 2B －1＜3，故1＜c b ＜3. 答案：1＜c b ＜3 9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴2cos(A ＋π6)＝0， ∵0＜A ＜π，∴π6＜A ＋π6＜7π6， ∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3. ∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C .∴由正弦定理，得2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，∴sin C ＝sin 2C .∴sin C (sin C －1)＝0，∵0＜C ＜π，∴sin C ＝1，C ＝π2.∴B ＝π6. 答案：π6二、解答题10．在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sin B sin C ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 得： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 所以由sin 2A ＝sin B sin C 可得：(a 2R )2＝b 2R ·c 2R， 即a 2＝bc .又已知2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2，所以4bc ＝(b ＋c )2，即(b －c )2＝0，因而b ＝c .由2a ＝b ＋c ，得2a ＝b ＋b ＝2b ，a ＝b .所以a ＝b ＝c ，△ABC 为等边三角形．11．(1)在△ABC 中，a ＋b ＝6＋63，A ＝30°，B ＝60°，求边c ；(2)已知△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求角B ，边b ，边c .解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及C ＝180°－30°－60°＝90°，得a ＋b sin A ＋sin B ＝c sin C ，即6＋6312＋32＝c 1， ∴c ＝12.(2)∵A ＝30°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，又由正弦定理得，c ＝a sin C sin A ＝20sin45°sin30°＝202，b ＝a sin B sin A ＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)． ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.12．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n ，求角B 的大小． 解：∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B . ∴2sin B cos B ＝－3cos2B .sin2B ＝－3cos2B ，∴tan2B ＝－ 3.∵0＜2B ＜π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.。
2020高中数学 1.1.2集合的表示方法同步检测 新人教B版必修1
第一章 1.1 1.1.2集合的表示方法一、选择题1．(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)已知集合A ＝{x |x (x －2)＝0}，那么( )A ．0∈AB ．2∉AC ．－2∈AD ．0∉A[答案] A[解析] ∵A ＝{x |x (x －2)＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A ，－2∉A ，故选A ． 2．下列集合表示内容中，不同于另外三个的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x |x －1＝0} D ．{x ＝1}[答案] D[解析] A 、B 、C 三个选项表示的集合中含有一个元素1，而D 选项中集合的表示法是错误的．3．集合{x ∈N |－1<x <112}的另一种表示方法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}[答案] C[解析] ∵x ∈N ，－1<x <112，∴x ＝0,1,2,3,4,5，故选C ．4．集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，x ∈N ，y ∈N }中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，x ∈N ，y ∈N }， ∴x ＝0，y ＝0，或x ＝0，y ＝1，或x ＝1，y ＝0， ∴A ＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)}．5．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }，若A 中只有一个元素，则a 的值是( )A ．0B ．98C ．0或98D ．－98[答案] C[解析] 当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根，满足题意；当a ≠0时，由题意得Δ＝(－3)2－8a ＝0，∴a ＝98，故选C ．6．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( ) A ．{x |－3<x <11，x ∈Q } B ．{x |－3<x <11}C ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N }D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z } [答案] D[解析] 选项A 表示的是所有大于－3且小于11的有理数；选项B 表示的是所有大于－3且小于11的实数；选项C 表示的集合中不含有－2这个偶数，故选D ．二、填空题7．用列举法表示下列集合： (1)A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________； (2)B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________；(3)C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z }＝________. [答案] (1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)} [解析] (1)∵|x |≤2，∴－2≤x ≤2， 又∵x ∈N ，∴x ＝0,1,2，故A ＝{0,1,2}． (2)∵|x |≤2，∴－2≤x ≤2， 又∵x ∈Z ，∴x ＝－2，－1,0,1,2， 故B ＝{－2，－1,0,1,2}． (3)∵x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z ，∴x ＝－2，y ＝0，x ＝2，y ＝0，x ＝0，y ＝2，x ＝0，y ＝－2， 故C ＝{(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)}．8．设A 、B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则A ＋B 中元素的个数为________．[答案] 4[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4； 当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5； 当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.所以，A＋B＝{3,4,5,6}，有4个元素．三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3)不等式x－2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．[解析] (1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}．(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．(3){x|x>8}．(4){1,2,3,4,5,6}．10．用适当方法表示下列集合：(1)由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于10的奇数且又是质数的自然数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，不在x轴上的点的集合．[解析] (1){x|x＝2n＋1，n∈N}．(2){3,5,7}．(3){(x，y)|x∈R，y∈R且y≠0}.一、选择题1．集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是( )A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,0} D．{－1,1}[答案] A[解析] 集合中的元素是y，而y又是通过x来表示的，满足条件的x有－1,0,1，将所有相应的y值一一写到大括号中，便得到用列举法表示的集合．2．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，(A、B中x∈R，y∈R)．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B[答案] C[解析] 集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以选项A 错．选项C 经验证正确．3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10[答案] D[解析] x ＝5，y ＝1,2,3,4；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝3，y ＝1,2；x ＝2，y ＝1，共10个． 4．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合A 、B 间的运算A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则集合A *B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,3}D ．{2}[答案] C[解析] ∵A *B 为所有属于集合A 但不属于集合B 的元素组成的集合， ∴只要找到集合A 中的元素，然后从中除去属于集合B 的元素即可． ∵属于集合A 的元素是1,2,3，但2属于集合B ，故要去掉． ∴A *B ＝{1,3}，故选C ． 二、填空题5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________．[答案] {x |x ＝nn ＋3，n ∈N ＋，n ≤5}[解析] 将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.14、25、36、47、58，可得nn ＋3，n ∈N ＋，n ≤5.6．若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.[答案] {2 000,2 001,2 004}[解析] 由A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x 2∈{0,1,4}，x 2＋2 000的值为2 000,2 001，2 004，所以B ＝{2 000,2 001,2 004}．三、解答题7．(1)用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；(2)用图形表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≥12x －1<5的解集．[解析] (1){(x ，y )|0<x <2,0<y <1}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≥12x －1<5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <3.用图形可表示为：8．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．[解析] 当a ＝0时，原方程为－3x ＋1＝0，x ＝13，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋1＝0为一元二次方程， 由题意得Δ＝9－4a ≤0，∴a ≥94.即当a ≥94时，方程有两个相等的实数根或无实根，综上所述，a 的取值范围为a ＝0或a ≥94.。
2020年 高中数学 必修1 第一章 1.1.2 集合间的基本关系 提升训练(人教A版)
1.1.2集合间的基本关系提升训练1.已知集合A⊆{1,2,3},且A中至少有两个元素,则满足条件的集合A共有()A.3个B.4个C.5个D.8个解析:满足条件的集合A有{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4个.答案:B2.能正确表示集合M={x|0≤x≤2}和集合N={x|x2-2x=0}的关系的Venn图是()解析:解x2-2x=0,得x=2或x=0,则N={0,2}.又M={x|0≤x≤2},则N⫋M,故M和N对应的Venn图如选项B所示.答案:B3.已知集合A={a,ba,1},B={a2,a+b,0},若A=B,则a2 018+b2 019的值为( )A.0B.2C.1D.-1解析:由题意知a≠0,否则ba 无意义,故ba=0,b=0.此时集合A={a,0,1},B={a2,a,0}.由A=B,得a2=1,则a=±1(舍去正值).故a2 018+b2 019=1.答案:C4.已知集合A={x|x≤-1,或x≥1},B={x|a<x<a+1},且B⊆A,则实数a的取值范围是()A.a≤-2B.a≥1C.-2≤a≤1D.a≤-2或a≥1解析:由题意知,B≠⌀.作出如图所示的数轴,由B⊆A可得a+1≤-1或a≥1,即实数a的取值范围是a≤-2或a≥1.答案:D5.★已知集合M={x|x=m+16,m∈Z},N={x|x=n2-13,n∈Z},则集合M,N的关系是()A.M=NB.M⫋NC.N⊆MD.N⫋M 解析:明确集合M,N中的元素,依据有关概念来判断.(方法1)用列举法分别表示集合M ,N.集合M ={…,-116,−56,16,76,136,…}, 集合N ={…,-116,−43,−56,−13,16,23,76,53,136,…},则有M ⫋N.(方法2)设n=2m 或2m+1,m ∈Z ,则有N ={x |x =2m 2-13或x =2m+12-13,m ∈Z}={x |x =m -13或x =m +16,m ∈Z}, 故M ⫋N.答案:B6.已知集合A={x|x 2-2x+a=0,a ∈R },若集合A 有且仅有2个子集,则a 的值是 .解析:因为集合A 有且仅有2个子集,所以A 仅含有一个元素,即关于x 的方程x 2-2x+a=0有两个相等的实数根.所以Δ=4-4a=0,解得a=1.答案:17.若集合A={x ∈R |x 2-5x+m=0},B={x ∈R |x-3=0},且B ⊆A ,则实数m= ,集合A= .解析:易得B={3}.∵B ⊆A , ∴3∈A ,即9-15+m=0.∴m=6.解方程x 2-5x+6=0,得x 1=2,x 2=3,∴A={2,3}.答案:6 {2,3}8.★设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1}.(1)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集的个数;(2)若A ⊇B ,求m 的取值范围.解:化简集合A 得A={x|-2≤x ≤5}.(1)∵x ∈Z ,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A 中含有8个元素.∴A 的非空真子集数为28-2=254(个).(2)①当m-1≥2m+1,即m ≤-2时,B=⌀,满足B ⊆A ;②当m>-2时,B={x|m-1<x<2m+1},因此,要B ⊆A ,则只要{m -1≥-2,2m +1≤5,解得-1≤m ≤2. 综上所述,知m 的取值范围是-1≤m ≤2或m ≤-2.。
第1章1.1.1~1.1.2同步练习及解析
人教B 版选修1-1同步练习1．下列是全称命题且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A.由1x ＝1y，得x ＝y ，A 正确，B 、C 、D 错误． 3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题 ②真命题4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”；(2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”．解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根．(2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行四面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在实数大于等于3答案：D2．下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N ||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数 解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．4．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.5．下列存在性命题不正确的是( )A ．有些不相似的三角形面积相等B ．存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：选B.B 中因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，所以不存在x 使x 2＋x ＋1≤0；A 中等底等高的三角形面积相等但不一定相似；C 中a >0时，成立；D 中1的倒数是它本身．6．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.①错；②错，若xy ＝0，则x ，y 至少有一个为0，而未必|x |＋|y |＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．(1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β.解析：(1)中(x ＋1)2≥0所以对∀x ∈R 恒成立；(2)为存在性命题．答案：(1)∀；(2)∃8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③ ②③9．给出下列几个命题：①若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0；②若a >b ，则a 2>b 2；③若x >－3，则x 2＋x －6≤0；④若a ，b 是无理数，则a b 也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a ＝1>b ＝－2，但a 2<b 2，假命题．③设x ＝4>－3，但x 2＋x －6＝41>0，假命题．④设a ＝(2)2，b ＝2，则a b ＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)一定有整数x ，y ，使得3x ＋2y ＝10成立；(2)对所有的实数x ，都能使x 2＋2x ＋2≤0成立．解：(1)∃x ，y ∈Z ，使3x ＋2y ＝10；(2)∀x ∈R ，有x 2＋2x ＋2≤0.11．判断下列语句是不是全称命题或存在性命题，如果是，找出命题中的量词．(1)中国的所有党派都由中国共产党统一领导；(2)0不能作除数；(3)存在一个x ∈R ，使2x ＋1＝3；(4)至少有一个x ∈Z ，使x 能被2和3整除．解：(1)全称命题，命题中的量词是“所有”；(2)是命题，但不是全称命题或者存在性命题；(3)存在性命题，命题中的量词是“存在一个”；(4)存在性命题，命题中的量词是“至少有一个”．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R )无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. 若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎨⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．。
高中数学必修3章节训练-第1章1.1.2同步训练及解析
人教A高中数学必修3同步训练1．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为() A．－1B．0C．1 D．3解析：选B.当i＝1时，s＝1×(3－1)＋1＝3；当i＝2时，s＝3×(3－2)＋1＝4；当i＝3时，s＝4×(3－3)＋1＝1；当i＝4时，s＝1×(3－4)＋1＝0；紧接着i＝5，满足条件i>4，跳出循环，输出s的值为0.2．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k>4? B．k>5?C．k>6? D．k>7?解析：选A.当k＝1时，k＝k＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；当k＝2时，k＝k＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；当k＝3时，k＝k＋1＝4，S＝2×11＋4＝26；当k＝4时，k＝k＋1＝5，S＝2×26＋5＝57.此时S＝57，循环结束，k＝5，所以判断框中应为“k>4？”．3．右图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1)B．S＝S*x n＋1C．S＝S*nD．S＝S*x n解析：选D.由循环结构的程序框图知识可知选D.4．如图所示的程序框图，输出的结果是S ＝7，则输入的A 值为________．解析：该程序框图的功能是输入A ，计算2A ＋1的值．由2A ＋1＝7，解得A ＝3. 答案：31．如下图所示的程序框图，其功能是( )A ．输入a ，b 的值，按从小到大的顺序输出它们的值B ．输入a ，b 的值，按从大到小的顺序输出它们的值C ．求a ，b 的最大值D ．求a ，b 的最小值解析：选C.输入a ＝1，b ＝2，运行程序框图可得输出2.根据执行过程可知该程序框图的功能是输入a ，b 的值，输出它们的最大值，即求a ，b 的最大值．2．给出如图的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．2450B ．2550C ．5050D ．4900解析：选A.按照程序框图计数，变量i ≥100时终止循环，累加变量S ＝0＋2＋4＋…＋98＝2450，故选A.3．如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋13＋15＋…＋119C.12＋14＋16＋…＋120D.12＋122＋123＋…＋1210 解析：选C.第一次循环：s ＝12，n ＝4，i ＝2；第二次循环：s ＝12＋14，n ＝6，i ＝3；第三次循环：s ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4；由于i ＝10时，不满足i >10，所以继续执行循环；此时s ＝12＋14＋…＋120，n ＝22，i ＝11；当i ＝11时，满足i >10，输出s .4．如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n解析：选A.由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和，故选A.5．如图所示的程序框图输出的结果是S ＝720，则判断框内应填的条件是( )A ．i ≤7B ．i >7C ．i ≤9D ．i >9解析：选B.程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S ＝720，则应是10×9×8＝720，所以i ＝10,9,8时累乘，即当i >7时执行循环体．6．如果执行下面的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．120解析：选B.由框图可知：当n ＝6，m ＝4时， 第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2. 第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3. 第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4.第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环．输出p ＝360，故选B.7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析：框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x <2？，②就是函数的另一段表达式y ＝log 2x .答案：x <2？ y ＝log 2x8．如图，是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．解析：由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ≥0－x ，x <0，或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ，x ≤0，故根据所给的程序框图，易知可填x >0或x ≥0.答案：x >0或x ≥09．在如图的程序框图中，输出结果是________．解析：a ＝5时，S ＝1＋5＝6； a ＝4时，S ＝6＋4＝10；a ＝3时，终止循环，输出S ＝10. 答案：1010．画出计算函数y ＝|x －1|的函数值的程序框图(x 由键盘输入)．解：算法如下： 第一步，输入x .第二步，判断x ，若x ≥1， 则y ＝x －1，否则执行第三步． 第三步，y ＝1－x . 第四步，输出y .程序框图如图所示．11．设计一个算法，求表达式12＋22＋32＋…＋102的值，画出程序框图． 解：第一步，令S ＝0，i ＝1.第二步，判断i 是否小于或等于10，若是，则执行第三步；若否，则输出S . 第三步，令S ＝S ＋i 2，并令i ＝i ＋1，然后返回第二步． 程序框图：12．有十件商品，设计一个算法，计算其平均价，并画出程序框图．解：我们用一个循环依次输入10个数，再用一个变量存放数的累加和，在求出10个数的和后，除以10，就得到10件商品的平均价算法：第一步，S＝0，i＝1.第二步，输入P.第三步，S＝S＋P.第四步，i＝i＋1.第五步，判断i是否大于10，若不大于10，转入第二步，若i>10，退出循环，执行第六步第六步，A＝S 10.第七步，输出A.程序框图如图所示．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
高中数学 第1章 1.1.2充分条件和必要条件同步训练 苏教版选修21
高中数学 第1章 1.1.2充分条件和必要条件同步训练 苏教版选修21一、基础过关1． 已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的______________条件．2． 若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的______________条件．3． 设条件p ：x 2＋3x －4>0，结论q ：x ＝2，则p 是q 的____________条件．4． 下列命题中，正确的是________(填序号)．①“x 2>0”是“x >0”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0”的必要条件；③“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的充分条件；④“|x |>1”是“x 2不小于1”的必要条件．5． 设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的______________条件． 6． 设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________________条件． 7． 不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．二、能力提升8． 设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．9． “a >1”是“函数f (x )＝log a x －x ＋2 (a >0，且a ≠1)有两个零点”的________条件．10．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．(1)p ：a 2＋b 2＝0；q ：a ＋b ＝0.(2)p ：p ≤－2或p ≥2；q ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根．(3)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.11．设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．12．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的什么条件？并说明理由．三、探究与拓展13．设计如下图所示的两个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”；条件B ：“灯泡L 亮”，问A 是B 的什么条件？答案1．必要不充分2．充分不必要3．必要不充分 4.②5．充分不必要6．必要不充分 7.a >2 8.②④9．充要10．解 (1)因为a 2＋b 2＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0D ⇒/a 2＋b 2＝0，所以p 是q 的充分不必要条件．(2)当p ≤－2或p ≥2时，如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根时，Δ≥0，得p ≤－2或p ≥6，可推出p ≤－2或p ≥2.所以p 是q 的必要不充分条件．(3)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，从而c 2＝(a 2＋b 2)r 2，反之，也成立．所以p 是q 的充要条件． 11．解 设A ＝{x |2x 2－3x ＋1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <12a ＋1≥1， 解得0≤a ≤12. 12．解 q ⇒p ：由△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ，显然成立．p ⇒q ：由三角形的性质可知：b sin B ＝c sin C ＝a sin A， 又已知a sin B ＝b sin C ＝c sin A， 两式相除得：b a ＝c b ＝a c， 令b a ＝c b ＝a c＝t ， 则a ＝ct ，b ＝at ，c ＝bt ，所以abc ＝abct 3，得t ＝1，因此a ＝b ＝c ，即△ABC 是等边三角形．因此p 是q 的充分必要条件．13．解 图甲中，A 是B 的充分不必要条件；图乙中，A 是B 的必要不充分条件．。
人教A版数学必修1练习第一章 1.1 1.1.2 集合间的基本关系
[课时作业][A组基础巩固] 1．已知M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则有()A．M⊆N C．N∈M B．N M D．M＝N解析：由子集的概念可知N M.答案：B2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝()A．0或3 C．1或3B．0或3 D．0或1或3解析：(1)m＝3，此时A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足B⊆A.(2)m＝m，即m＝0或m＝1.①m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足B⊆A；②m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a 的取值是()A．1C．－1或0或1B．－1 D．0或1解析：由题设可知集合A中只有一个元素，(1)a＝0时，原方程等价转化为2x＝0，即x＝0，满足题设；⎧a≠0(2)⎨得a＝±1.⎩Δ＝4－4a2＝0答案：Ck1k14．已知集合A＝{x|x＝2＋4，k∈Z}，集合B＝{x|x＝4＋2，k∈Z}，则A与B的关系为()A．A B C．A＝B B．B AD．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．k12k＋1集合A中：x＝2＋4＝4；k1k＋2集合B中：x＝4＋2＝4；而{2k＋1}表示奇数集，{k＋2}表示整数集，∴A B.答案：A5．满足{x|x2＋1＝0} A．1C．3A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是()B．2D．4解析：{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.答案：C6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．解析：M中的元素满足{x＋y＜xy＞0，即{x＜y＜0，∴M＝P.答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得{m≥m＋1≥－2，m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是()A．A B C．A＝B B．B A D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k ＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()A．1 C．3B．2 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y|y ≥－2}．∴N M . 答案：N M4．定义集合 A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x|x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }．若 A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，则集合 A *B 中的最大元素为________，集合 A *B 的所有子集的个数为________．解析：当 x 1＝1 时，x 1＋x 2 的值为 2,3；当 x 1＝2 时，x 1＋x 2 的值为 3,4；当 x 1＝3 时，x 1＋x 2 的值为 4,5；∴A *B ＝{2,3,4,5}．故 A *B 中的最大元素为 5，所有子集的个数为 24＝16.答案：5 165．已知集合 A ＝{x ∈R|x 2－2x －8＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，B ⊆A ，求实数 a 的取值集合．解析：A ＝{－2,4}，因为 B ⊆A ，所以 B ＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若 B ＝∅，则 a 2－4(a 2－12)<0，即 a 2>16，解得 a >4 或 a <－4.若 B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0 且 Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得 a ＝4.若 B ＝{4}，则 42＋4a ＋a 2－12＝0 且 Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，此时 a 无解；⎧－a ＝4－2， 若 B ＝{－2,4}，则⎨ ⎩a 2－12＝－2×4.所以 a ＝－2.综上知，所求实数 a 的集合为{a|a <－4 或 a ＝－2 或 a ≥4}．6．已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，(1)若 B ⊆A ，B ＝{x|m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数 m 的取值范围；(2)若 A ⊆B ，B ＝{x|m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数 m 的取值范围；(3)若 A ＝B ，B ＝{x|m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数 m 的取值范围．解析：(1)由 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，得 A ＝{x|－2≤x ≤5}．∵B ⊆A ，∴①若 B ＝∅，则 m －6>2m －1，即 m <－5，此时满足 B ⊆A ；②若 B ≠∅，⎧m －6≤2m －1， 则⎨－2≤m －6， 解得－5≤m ≤3. ⎩2m －1≤5，由①②可得，m <－5 或－5≤m ≤3. (2)若 A ⊆B ，则依题意应有 ⎧2m －1>m －6， ⎧m >－5， ⎨m －6≤－2， 解得⎨m ≤4，⎩2m －1≥5， ⎩m ≥3，⎧m －6＝－2，(3)若 A ＝B ，则必有⎨ ⎩2m －1＝5，B. 故 3≤m ≤4. 此方程组无解，即不存在 m 的值使得 A ＝。
高考数学测试卷第1章1.1.2同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 嘚值是( ) A ．8 B ．217 C ．62D ．219解析：选D.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则sin A 嘚值为( ) A.5719 B.217C.338D ．－5719解析：选A.c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c ＝19.由a sin A ＝csin C 得sin A ＝5719. 3．如果等腰三角形嘚周长是底边长嘚5倍，那么它嘚顶角嘚余弦值为__________． 解析：设底边边长为a ，则由题意知等腰三角形嘚腰长为2a ，故顶角嘚余弦值为4a 2＋4a 2－a 22·2a·2a ＝78. 答案：784．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 嘚形状． 解：法一：根据余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2accos B. ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴(a ＋c 2)2＝a 2＋c 2－2accos 60°，整理得(a －c)2＝0，∴a ＝c. ∴△ABC 是正三角形． 法二：根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C. 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是正三角形． 课时训练一、选择题1．在△ABC 中，符合余弦定理嘚是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2abcos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bccos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bccos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角嘚余弦值是( ) A.1213 B.513 C ．0D.23解析：选C.∵c ＞b ＞a ，∴c 所对嘚角C 为最大角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0.3．已知△ABC 嘚三边分别为2,3,4，则此三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4嘚边所对嘚角是钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 4．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3，故选C.5．在△ABC 中，下列关系式 ①asin B ＝bsin A ②a ＝bcos C ＋ccos B ③a 2＋b 2－c 2＝2abcos C④b ＝csin A ＋asin C 一定成立嘚有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，则不一定成立．6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23解析：选B.∵b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a＝34. 二、填空题7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________. 解析：由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA， 即49＝25＋AC 2－2×5×AC×(－12)，AC 2＋5AC －24＝0. ∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)． 答案：38．已知三角形嘚两边分别为4和5，它们嘚夹角嘚余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0嘚根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角嘚余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21. 答案：219．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 嘚大小是________． 解析：由正弦定理，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. 不妨设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ， 则cos B ＝5k2＋8k 2－7k22×5k×8k＝12，∴B ＝π3.答案：π3三、解答题10．已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，求角C.解：A 为b ，c 嘚夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ， 整理得5c 2－18c －35＝0.解得c ＝5或c ＝－75(舍)．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋9－252×4×3＝0，∵0°＜C ＜180°，∴C ＝90°.11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对嘚边长，若(a ＋b ＋c)(sin A ＋sin B －sin C)＝3asin B ，求C 嘚大小．解：由题意可知，(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ， 于是有a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12，所以C ＝60°.12．在△ABC 中，b ＝asin C ，c ＝acos B ，试判断△ABC 嘚形状． 解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝acos B ，得c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac ，∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角嘚直角三角形． 又∵b ＝asin C ，∴b ＝a·ca ，∴b ＝c ，∴△ABC 也是等腰三角形． 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．。
高中数学第一章 1.1集合1.1.2集合的基本关系课时跟踪训练含解析新人教B版必修第一册
集合的基本关系一、复习巩固1．(2019·茂名高一检测)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x >0，x ∈A }，则B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{－1} C ．{0,1}D ．{1}解析：由题意可知，集合B 是由集合A 中为正数的元素组成的集合，结合集合A ＝{－1,0,1}，可得：B ＝{1}．答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，则集合B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }表示正确的是( ) A ．B ＝{3,6,9,12} B ．B ＝{1,2,3,4} C ．B ＝{1,4,7,10}D ．B ＝{－2,1,4,7}解析：x ∈A 表示x 的取值有1,2,3,4，对应的y 值分别为1,4,7,10. 答案：C3．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数，多了若干元素；C 中t ＝0时多了－3这个元素，只有D 是正确的．答案：D4．(2019·襄阳高一检测)已知集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{z |z ＝x y，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：因为A ＝{1,2,4}，所以集合B ＝{z |z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A }＝{1，12，14，2,4}，所以集合B 中元素的个数为5个．答案：B5．下列说法中正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．答案：C6．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：集合A 中含有两个元素分别是(1,2)和(3,4)． 答案：B7．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1可得3y ＝3，解得y ＝1，x ＝1.故方程组的解集为{(1,1)}，故选C.答案：C8．下列集合的表示正确的是( ) A ．{1,2,2} B ．{全体实数} C ．{3,5}D ．不等式x －5>0的解集为{x －5>0}解析：A 选项不符合集合元素的互异性；B 选项中{}本身就有“全部”“全体”的意思；D 选项中集合表示含有一个元素x －5>0的集合．答案：C9．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A ＝{x |x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ； (2)(1,2)________{(x ，y )|y ＝x ＋1}． 解析：(1)易知A ＝{0,1}，故1∈A ，－1∉A ；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．答案：(1)∈∉(2)∈10．将集合{2,4,6,8}用描述法表示正确的有________．(填序号)①{x|x是大于0且小于10的偶数}；②{x∈N|2≤x≤8}；③{x|(x－2)(x－4)(x－6)(x－8)＝0}；④{x|x是2的倍数}．解析：②中{x∈N|2≤x≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}；由于2的倍数较多，不只包含2,4,6,8.故④不对．答案：①③二、综合应用11．(2019·玉林高一检测)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B ＝( )A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2}C．{0,2,4} D．{1,2}答案：A12．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )A．18 B．17C．16 D．15答案：B13．(2019·临沂高一检测)已知集合A＝{x|－2<x<2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则集合B用列举法表示是________．解析：A＝{x|－2<x<2，x∈Z}＝{－1,0,1}，当x＝±1时，y＝(±1)2＋1＝2；当x＝0时，y＝02＋1＝1，所以B＝{1,2}．答案：{1,2}14．两边长分别为3,5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：x＞5－3，x>2；x＜5＋3，x<8，所以x的取值范围为：2<x<8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3,4,5,6,7}，用描述法表示为{x|2<x<8，x∈N}．答案：{3,4,5,6,7} {x|2<x<8，x∈N}15．用适当方法表示下列集合：(1)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合； (2)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集；(3)由二次函数y ＝3x 2＋1图像上所有点组成的集合； (4)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．解析：(1)当从这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1,2,3；当抽出2个数字时，可组成自然数12,21,13,31,23,32；当抽出3个数字时，可组成自然数 123,132,213,231,321,312.由于元素个数有限，故用列举法表示为{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,321,312}． (2)由算术平方根及绝对值的意义，可知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝2.因此该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.(3)首先此集合应是点集，是二次函数y ＝3x 2＋1图像上的所有点，故用描述法可表示为{(x ，y )|y ＝3x 2＋1，x ∈R }．(4)用描述法表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}．16．设a ∈N ，b ∈N ，a ＋b ＝2，A ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －a )2＝5b }，(3,2)∈A ，求a ，b 的值．解析：由a ＋b ＝2，得b ＝2－a ， 代入(x －a )2＋(y －a )2＝5b 得： (x －a )2＋(y －a )2＝5(2－a )①， 又因为(3,2)∈A ，将点代入①，可得 (3－a )2＋(2－a )2＝5(2－a )， 整理，得2a 2－5a ＋3＝0，得a ＝1或1.5(舍去，因为a 是自然数)， 所以a ＝1，所以b ＝2－a ＝1， 综上：a ＝1，b ＝1.。
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高中数学必修一同步训练及解析
1．下列集合中是空集的是()
A．{x|x2＋3＝3}
B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}
C．{x|－x2≥0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
解析：选D.∵方程x2－x＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素0，B选项中有无数个元素，即抛物线y＝－x2上的点，C选项中只有一个元素0.
2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()
A．A>B
B．A B
C．B A
D．A⊆B
解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．
3．下列关系中正确的是________．
①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．
解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.
答案：②
4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A、B、C、D、E分别代表的图形的集合为__________________________．
解析：
由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形}，集合B＝{梯形}，集合C＝{平行四边形}，集合D＝{菱形}，集合E＝{正方形}．
答案：A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}
[A级基础达标]
1．如果A＝{x|x>－1}，那么()
A．0⊆A
B．{0}∈A
C．∅∈A
D．{0}⊆A
解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()
A．b＝－3，c＝2
B．b＝3，c＝－2
C ．b ＝－2，c ＝3
D ．b ＝2，c ＝－3
解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2.
3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．
4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x
＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A
5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1.
答案：1
6．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集．
解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，
∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
[B 级 能力提升]
7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤－1
B ．a ≤1
C ．a ≥－1
D ．a ≥1
解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1.
8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥2
B ．a ≤1
C ．a ≥1
D ．a ≤2
解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.
9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集
合A ＝________.
解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，
∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.
解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3，
∴A ＝{2,3}．
答案：6 {2,3}
10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合． 解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}，
得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}．
当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.
当N ＝{－1}时，由1a
＝－1，得a ＝－1. 当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13
.
∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13
}． 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．
(1)若A B ，求a 的取值范围；
(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．
解：(1)若A B ，由图可知，a >2.
(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.。