2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第4章三角函数、解三角形课时作业19

合集下载

(课标专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形教师用书文(PDF,含解析)

注意三角形中的常用结论：（１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ π．（２）ａ＞ｂ⇔Ａ＞Ｂ⇔ｓｉｎＡ＞ｓｉｎＢ．（３）ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ，ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－ｃｏｓＣ．（４）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
考点二解三角形及其应用
高频考点
１．已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．２．已知两边及其一边的对角，用正弦定理，也可用余弦定理．
Ｃ
＝
ａｓｉｎ
Ａ
＝
２Ｒ
ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２；２ｂｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝
ａ２
＋ｃ２－２ａｃ
ｂ
２
；
ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ
解决的问
题
已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；已知两边和其中一边的对角，求其他角和边
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）（如图ｄ，ｉ为坡比）．
第四章三角函数４７
对应学生用书起始页码Ｐ８１
一、判断三角形形状的方法
��
（２）若Ｄ为ＢＣ边上的点，ＢＤ＝２ＤＣ，且∠ＡＤＢ＝２∠ＡＣＤ，ａ＝

【数学】2020届高考数学一轮复习：第四章三角函数、解三角形

第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋·360°，∈}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sinθ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P⎝⎛⎭⎫sin5π6，cos5π6，则tan α＝________.答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系Oy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝π－π4(∈)，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当＝2m ＋1(m ∈)时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当＝2m (m ∈)时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，＝k2·180°＋45°＝·90°＋45°＝(2＋1)·45°，2＋1是奇数；而N 中，＝k4·180°＋45°＝·45°＋45°＝(＋1)·45°，＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3，可以发现它与轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2π＋π＜α＜2π＋3π2(∈)，所以π＋π2＜α2＜π＋3π4(∈)，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定α，αk (∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出α或αk 的范围；(3)然后根据的可能取值讨论确定α或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即＝52或＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |. 当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系Oy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AO ＝30°，∠BO ＝120°，设点B 坐标为(，y )，所以＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.4．已知角α＝2π－π5(∈)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2π－π5(∈)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0，即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋·360°＜α＜180°＋·360°(∈)，则180°－(180°＋·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋·360°)(∈)，即－·360°＜180°－α＜90°－·360°(∈)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系Oy 中，角α与角β均以O 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________．解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (，－2)(≠0)，且cos α＝36. (1)求的值；(2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P (，－2)，且cos α＝36，所以有x x 2＋2＝36. 因为≠0，所以2＋2＝12，解得＝±10.(2)若＝10，则P (10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若＝－10，则P (－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5. 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式组序一二三四五六角 2π＋α(∈) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值．解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(π＋θ)(∈)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(π＋θ)(∈)＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125 C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程32－2＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( )A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cosα)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f ()＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3. 3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( )A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1. 5．若sin α是52－7－6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由52－7－6＝0，得＝－35或＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程42＋2m ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52. 答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f ()＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈)．(1)化简f ()的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2(∈)时， f ()＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2；当n 为奇数，即n ＝2＋1(∈)时， f ()＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2，综上得f ()＝sin 2.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin ，∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos ，∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中∈). 函数 y ＝siny ＝cosy ＝tan图象定义域 R R⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎪ x ∈R ，且x⎭⎬⎫≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎡2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2为增；[ 2k π ⎦⎤＋π2，2k π＋3π2为减 [2π－π，2π]为增；[2π，2π＋π]为减⎝⎛ k π－π2，k π⎭⎫＋π2为增对称中心 (π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴＝π＋π2＝π[小题体验]1．①y ＝cos 2; ②y ＝sin 2; ③y ＝tan 2; ④y ＝|sin | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ω＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－)，∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2－π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin ≤12，解得2π＜≤2π＋π6或2π＋5π6≤＜2π＋π，∈，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2)＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤＜－π2或0＜＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2)＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤≤9，∴－π3≤π6－π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y ma ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f ()＝2cos 2＋5sin －4的最小值为________，最大值为________．解析：f ()＝2cos 2＋5sin －4＝－2sin 2＋5sin －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin ≤1，所以当sin ＝－1时，f ()有最小值－9；当sin ＝1时，f ()有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin －cos ＋sin cos ，∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin －cos ，则t 2＝sin 2＋cos 2－2sin cos ，即sin cos ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y ma ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f ()＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f ()∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin 和cos 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ω＋φ)＋的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin 、cos 、sin cos 或sin ±cos 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2＋sin ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin ，∵||≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y ma ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2＋sin ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( )A ．6B ．－6C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f ()＝2sin(ω＋φ)，∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f ()的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f ()的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2π＋π12，∈. 又|φ|＜π，∴取＝0，得φ＝π12. 角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．＝π12B ．＝5π12C ．＝π3D ．＝π6解析：选A 由题可得，令2＋π3＝π＋π2，∈，得＝k π2＋π12，∈.所以当＝0时，函数f ()的图象的一条对称轴方程为＝π12. 4．函数y ＝cos(3＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3＋φ)是奇函数，故φ＝π＋π2(∈)．答案：π＋π2(∈)角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f ()在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f ()在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f ()在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f ()在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f ()的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f ()是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以 f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2，所以函数f ()在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f ()＝A sin(ω＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f ()＝A sin(ω＋φ)为偶函数，则当＝0时，f ()取得最大或最小值；若f ()＝A sin(ω＋φ)为奇函数，则当＝0时，f ()＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ω＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线＝0或点(0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f ()＝sin(φ－)是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f ()是奇函数，所以φ＝π(∈)．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ω(ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________. 解析：f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ω＝12sin ω＋32cos ω＋sin ω＝32sin ω＋32cos ω＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f ()相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2. 答案：π23．函数y ＝|tan |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin cos B ．y ＝sin 2 C ．y ＝tan 2D ．y ＝sin 2＋cos 2解析：选A y ＝sin 2为偶函数；y ＝tan 2的周期为π2；y ＝sin 2＋cos 2为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2π(∈)，解得ω＝π6＋π(∈)，∵ω＞0，∴当＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(∈)C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(∈) D ．R解析：选C ∵cos －32≥0，得cos ≥32， ∴2π－π6≤≤2π＋π6，∈.4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin ＋3cos ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2π－π2≤＋π6≤2π＋π2(∈)，得－2π3＋2π≤≤π3＋2π(∈)，又∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．解析：∵∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2＋π3＝π2，即＝π12时，f ()ma ＝1.当2＋π3＝4π3，即＝π2时，f ()min ＝－32，∴f ()∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f ()＝sin ω(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f ()在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f ()ma ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2－π3＝k π2，∈，得＝k π4＋π6，∈.当＝0时，＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．函数f ()＝2sin(ω＋φ)(ω＞0)对任意都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f ()＝2sin(ω＋φ)对任意都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)，∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f ()的最小正周期为6π，且当＝π2时，f ()取得最大值，则( )A ．f ()在区间[－2π，0]上是增函数B ．f ()在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f ()在区间[3π，5π]上是减函数D ．f ()在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f ()的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当＝π2时，f ()有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2π(∈)，φ＝π3＋2π(∈)， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2π≤x 3＋π3≤π2＋2π，∈，得－5π2＋6π≤≤π2＋6π，∈，故f ()的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，∈，令＝0，得∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜＜π得π2ω＋π4＜ω＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f ()＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即＜π＜2.又∈N ，所以＝2或＝3.答案：2或37．已知函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f ()的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f ()的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(0,0)成中心对称，0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又20＋π6＝π(∈)，0＝k π2－π12(∈)，而0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0＝5π12.答案：5π129．已知函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f ()为偶函数时φ的值；(2)若f ()的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f ()的单调递增区间．解：∵f ()的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f ()＝sin(2＋φ)．(1)当f ()为偶函数时，φ＝π2＋π，∈，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f ()的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2π－π2≤2＋π3≤2π＋π2，∈，得π－5π12≤≤π＋π12，∈. ∴f ()的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，∈. 10．已知函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f ()图象的对称轴方程； (2)求函数f ()的单调递增区间；(3)当∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f ()的最大值和最小值．解：(1)令2＋π4＝π＋π2，∈，得＝k π2＋π8，∈.所以函数f ()图象的对称轴方程是＝k π2＋π8，∈.(2)令2π－π2≤2＋π4≤2π＋π2，∈，得π－3π8≤≤π＋π8，∈.。

2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导

理科数学第
理科数学第
理科数学第
理科数学第
理科数学第
理科数学第
理科数学第
理科数学第
技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
理科数学第
考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
理科数学第
理科数学第
理科数学第
理科数学第
C方法帮•素养大提升
方法分类讨论思想在三角函数应用
方法分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
理科数学第
理科数学第
素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三理的应用.
C方法帮•素养大提升方法分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
理科数学第
考情精解读
命题规律聚焦核心素养
命题规律考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第四章三角函数、解三角形课后跟踪训练18 Word版含解析

课后跟踪训练(十八)1．(2018·安徽合肥期中)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{0|－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝－4ln x 的零点个数．f (x )x[解]　(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知g (x )＝－4ln x ＝x －－4ln x －2，x 2－2x －3x 3x∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋－＝，3x 24x (x －1)(x －3)x 2令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表：当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0，当x >3时，g (e 5)＝e 5－－20－2>25－1－22＝9>0.3e 5又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点，故g (x )仅有1个零点．2．(2018·贵州凯里一中一模)已知f (x )＝2x ln x －mx ＋，若方程f (x )2e＝0在上有实数根，求实数m 的取值范围．(14，e )[解]　方程f (x )＝0可化为2x ln x ＝mx －.2e令g (x )＝2x ln x ，则g ′(x )＝2(ln x ＋1)．由g ′(x )>0可得x >；由g ′(x )<0可得0<x <.1e 1e∴g (x )在上单调递减，在上单调递增，(0，1e )(1e ，＋∞)∴g (x )的极小值为g＝－，(1e )2e 而g ＝－ln2，g (e)＝2e ，则g <g (e)．(14)(14)由条件可知点与(e,2e)连线的斜率为＋2，(0，－2e )2e 2可知点与连线的斜率为－4ln2，而＋2>－(0，－2e )(14，－ln2)8e 2e 28e 4ln2，结合图象(图略)可得0≤m <＋2时，函数y ＝g (x )与y ＝mx －有2e 22e交点．∴方程f (x )＝0在上有实数根时，实数m 的取值范围是(14，e ).[0，2e 2＋2)3．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在上有两个零点，求实数m 的[1e ，e ]取值范围．[解]　(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，则f ′(x )＝－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，2x则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)g (x )＝f (x )－ax ＋m ＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝－2x ＝，2x －2(x ＋1)(x －1)x∵x ∈[，e]，∴由g ′(x )＝0，得x ＝1.1e当≤x <1时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，1e当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，故当x ＝1时，函数g (x )取得极大值g (1)＝m －1，又g ＝m －2－，g (e)＝m ＋2－e 2，(1e )1e 2∴g (x )＝f (x )－ax ＋m 在上有两个零点需满足条件[1e ，e ]Error!解得1<m ≤2＋.1e 2故实数m 的取值范围是.(1，2＋1e 2]4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝λf (x )＋sin x (λ∈R )在区间[－1,1]上单调递减．(1)求λ的最大值；(2)若g (x )<t 2＋λt ＋1在[－1,1]上恒成立，求t 的取值范围；(3)讨论关于x 的方程＝x 2－2e x ＋m 的解的个数．ln xf (x )[解]　(1)∵f (x )＝x ，∴g (x )＝λf (x )＋sin x ＝λx ＋sin x ，又g (x )在[－1,1]上单调递减，∴g ′(x )＝λ＋cos x ≤0在[－1,1]上恒成立，∴λ≤(－cos x )min ＝－1.故λ的最大值为－1.(2)在[－1,1]上，g (x )max ＝g (－1)＝－λ－sin1，∴只需t 2＋λt ＋1>－λ－sin1恒成立，即(t ＋1)λ＋t 2＋sin1＋1>0(λ≤－1)恒成立，令h (λ)＝(t ＋1)λ＋t 2＋sin1＋1(λ≤－1)，要使h (λ)>0恒成立，则需Error!∴Error!又t 2－t ＋sin1>0恒成立，∴t ≤－1，故t 的取值范围为(－∞，－1]．(3)＝＝x 2－2e x ＋m ，ln x f (x )ln x x令f 1(x )＝，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ，ln x x∵f 1′(x )＝，1－ln x x 2∴当x ∈(0，e)时，f 1′(x )>0，即f 1(x )单调递增；当x ∈[e ，＋∞)时，f 1′(x )≤0，即f 1(x )单调递减．∴f 1(x )max ＝f 1(e)＝，1e又f 2(x )＝(x －e)2＋m －e 2，∴当m －e 2>，则m >e 2＋时，方程无解；1e 1e当m －e 2＝，即m ＝e 2＋时，方程有一个解；1e 1e当m －e 2<，则m <e 2＋时，方程有两个解．1e 1e。

2020年高考文科数学一轮总复习：三角函数、解三角形

2020年高考文科数学一轮总复习：三角函数、解三角形任意了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x ＝tan x.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性.的图象及了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式有向线段MP为正弦线，有向线段为余弦线，有向线段AT为正切线常用知识拓展1．象限角2．轴线角判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞sin α.( ) (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选 C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：选A.因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝⎛⎭⎫12，－32，所以由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32，故选A. (教材习题改编)若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在第________象限．解析：由sin θ<0可知θ为第三或第四象限角，同样由cos θ>0可知θ为第一或第四象限角，综上同时满足sin θ<0且cos θ>0的θ为第四象限角．答案：四已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π象限角及终边相同的角(典例迁移)(1)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )(2)若角α是第二象限角，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.(2)因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【答案】 (1)C (2)C[迁移探究] (变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2和k ＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三扇形的弧长、面积公式(师生共研)已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ·2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518.答案：518三角函数的定义(多维探究) 角度一利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( )A ．155 B ．153 C ．－155D ．－153【解析】因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x ＜0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.【答案】 D角度二判断三角函数值的符号若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解；②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：选A.由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.2．角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则tan 2θ＝( )A ．2B ．－4C ．－34D ．－43解析：选D.设P (a ，2a )是角θ终边上任意一点(a ≠0)，由任意角三角函数定义知tan θ＝y x ＝2a a ＝2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43.数形结合思想在三角函数中的应用若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α【解析】如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.【答案】 C(1)数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．(2)本例利用三角函数线比较三角函数值的大小，还可利用三角函数线解不等式．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0，2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B.因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.[基础题组练]1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.3．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋3π4，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·π－π4，k ∈Z }解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2n π＋3π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4，k ∈Z }．4．已知在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5D.3或 5解析：选C.由题意知|OP |＝3＋y 2，且sin α＝y 3＋y2＝2y4，则y ＝0(舍去)或3＋y 2＝22，得y ＝±5，又α为第二象限角，所以y >0，则y ＝5，故选C.5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.答案：220° 6．函数y ＝sin x －32的定义域为________．解析：由题意可得sin x －32≥0即sin x ≥32.作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k∈Z }．答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2.[综合题组练]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.2．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析：选C.设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以x <0，y >0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.3．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶2第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[提醒] 基本关系式的变形sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α，(sin α±cos α)2＝1±2sinαcos α.2．六组诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C ．513D ．213解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，可排除选项C ，D ，又由sin 2α＋cos 2α＝1，可得cos α＝－1213.若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D ．12解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.(教材习题改编)tan ⎝⎛⎭⎫－23π3的值为________．解析：tan ⎝⎛⎭⎫－23π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 3化简1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________．解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ同角三角函数的基本关系式(师生共研)(1)(2019·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A ．34B ．－34C ．43D ．－43(2)(一题多解)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________．【解析】 (1)因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.(2)法一：由已知可得sin α＋3cos α3cos α－sin α＝sin α＋3cos αcos α3cos α－sin αcos α＝tan α＋33－tan α＝5，整理得tan α＝2.从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.法二：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即6sin α＝12cos α，也就是sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.法三：由法二知sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，从而sin 2α－sin αcos α＝4cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α＝25.【答案】 (1)D (2)25同角三角函数关系式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的角限不明确时，要进行分类讨论．(3)分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解．1．已知3sin αsin α＋cos α＝2，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________．解析：由3sin αsin α＋cos α＝2得3sin α＝2sin α＋2cos α，即tan α＝2，sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.答案：－162．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 答案：－105利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值(师生共研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23B ．－23C.13 D ．－13【解析】因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sinθcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23. 【答案】 Bsin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1解析：选A.法一：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝3π2.所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22. 又α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.法三：因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.诱导公式的应用(典例迁移)(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34. (2)由题可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32[迁移探究] (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋θ＝________．解析：由题可知tan θ＝3，原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝⎛⎭⎫6π－π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π2＋θ＝－sin θ－sin θcos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．(2019·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A ．2425B ．1225C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．解析：cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝－cos 1 020°sin 1 050°＝cos 60°sin 30°＝14.答案：143．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：0数学运算——三角函数式的化简与求值数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．【解】因为sin α＝255＞0，所以α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合(1)(2)知，原式＝52或－52三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．1．(2019·湖北七市(州)3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·tan α＝( )A ．－1213B ．－513C ．1213D ．513解析：选C.因为α∈(0，π)，且cos α＝－513，所以sin α＝1213，由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.故选C.2．化简：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝________．解析：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α（1＋cos α）tan α＝sin αtan α＝cos α.答案：cos α[基础题组练]1．计算：sin11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D.12－32解析：选A.原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3＝－sinπ6＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的值为( )A ．2 2B ．－2 2 C.24D ．±2 2 解析：选D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D.3．(2019·湖南衡阳联考)若sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，则tan α＝( )A.12或13 B ．－12或－13C ．2或3D ．－2或－3解析：选C.因为sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，所以tan α－1tan α＋1＝16tan α，整理可得tan 2α－5tan α＋6＝0，解得tan α＝2或tan α＝3.故选C.4．已知m 为实数，且sin α，cos α是关于x 的方程3x 2－mx ＋1＝0的两个根，则sin 4α＋cos 4α的值为( )A.29B.13C.79D ．1 解析：选C.由一元二次方程根与系数的关系，得sin αcos α＝13，因此sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选C.5．设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________．解析：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213.答案：12136．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝________．解析：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α.答案：－cos 2α 7．sin4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sinπ3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.[综合题组练]1．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝( )A ．－25B.25 C.25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2（－2）2＋1＝－25.故选A. 2．(2019·辽宁沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95 D.95解析：选C.因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.3．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1. 答案：14．(综合型)若f (α)＝sin[（k ＋1）π＋α]·cos[（k ＋1）π－α]sin （k π－α）·cos （k π＋α）(k ∈Z )，则f (2 018)＝________．解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，原式＝sin （2n π＋π＋α）·cos （2n π＋π－α）sin （－α）·cos α＝sin （π＋α）·cos （π－α）－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，原式＝sin[（2n ＋2）π＋α]·cos[（2n ＋2）π－α]sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin α·cos （－α）sin （π－α）·cos （π＋α）＝－1.综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 018)＝－1. 答案：－1第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β； cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角函数公式的关系常用知识拓展三角函数公式的变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89解析：选B.cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选B. (教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为________．解析：因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×(－35)－22×(－45)＝210.答案：210sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案：62三角函数公式的直接应用(师生共研)(1)(2019·成都市第一次诊断性检测)已知sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值为( )A.43－310B.43＋310C.4－3310D.33－410(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝________．【解析】 (1)因为sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝1－15＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310. (2)法一：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 法二：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32. 【答案】 (1)A (2)32利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A.2．(一题多解)(2019·南宁联考)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．34C ．－34D ．43解析：选D.法一：由题意知，tan α＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43，故选D. 法二：由题意知，sin α＝－2cos α，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，故选D.三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)(1)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B ．22C ．12D ．－12(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1 ①， cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0 ②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.【答案】 (1)B (2)－12(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．1．(1－tan 215°)cos 215°的值等于( )A ．1－32B ．1C ．32D ．12解析：选C.(1－tan 215°)cos 215°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23解析：选D.cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究) 角度一三角函数公式中变“角”(2019·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．【解析】由题意知，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35<0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－725，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－45. 【答案】－45角度二三角函数公式中变“名”(1)化简：（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°. 【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3 的值为( ) A.23 B.12 C.34D.45解析：选B.tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C.由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.故选C.[基础题组练]1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．(2019·益阳、湘潭调研试卷)已知sin α＝25，则cos(π＋2α)＝( )A.725 B ．－725C.1725D ．－1725解析：选D.法一：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－825＝1725，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－1725，故选D.法二：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－sin 2α＝2125，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－1725，故选D.3．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log 552＝4.故选C.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( )A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13. 5．(2019·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________．解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.答案：786．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210.答案：72107．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 8．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.[综合题组练]1．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A.22B.210 C.22或－210D.22或210解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A.2．(2019·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C.tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4＝－31010.3．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．。

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第二课时解三角形的综合问题

外,再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某
个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件
的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
[针对训练] (2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,已知acos B+b·cos A=2ccos C.

-
-
=
=

=

+
+ ( -) +- - +
=

2

=4cos B+ -5≥2
=

·

-5

的最小值.
解:(2)由(1)得 cos(A+B)=sin B,

所以 sin[ -(A+B)]=sin B,

且 0<A+B<,

所以 0<B<,0<-(A+B)<,

所以-(A+B)=B,解得 A=-2B,
由正弦定理得
+

=
+
( -)+
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] (2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,
AC=2.
(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;
解:(1)法一因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,
所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得

第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件高考数学一轮复习

－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． 3. 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章三角函数、解三角形
第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标核心体系活动方案备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12，所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D

2020届高三数学文科总复习作业：第四章+三角函数、解三角形+课时作业4-1+Word版含解析

4-1课时作业A 组——基础对点练1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6【答案】 C2．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．± 3C.33 D ．±33【答案】 B3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 C4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32【答案】 B5．集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【答案】 C6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( ) A.5π6 B.2π3C.11π6D.5π3【答案】 C7．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．【答案】二8．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 9．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，求cos α，tan α的值．10．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小．(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.B组——能力提升练1．若α是第三象限角，则y＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2cosα2的值为()A．0B．2 C．－2 D．2或－2 【答案】 A2．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tanα的大小是()A．sin α＜tan α＜cos αB．cos α＜sin α＜tan αC．sin α＜cos α＜tan αD．tan α＜sin α＜cos α【答案】 C3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．【答案】1∶24．已知x∈R，则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z 5．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值．(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。

2020届高考数学(文科)一轮复习考点课件：第4章三角函数、解三角形 15

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于 90° 的角是锐角．( × ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．( × ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30° .( × ) (4)若
π α∈0，2，则
tan α＞α＞sin α.( ，射线 OP 交单位圆 O 于点 P，若∠AOP＝θ，则点 P 的坐标是( )
A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
【答案】A
【解析】由三角函数的定义知 xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选 A.
第四章第15节
三角函数、解三角形任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲呈现 1．了解任意角的概念及弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等.
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝{β|β＝k· 360° ＋α，k∈Z}．
α 1.(2018 山东东营期末)已知 sin α>0，cos α<0，则2所在的象限是( ) A．第一象限 B．第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × )
9π 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z)

2020届高考数学(文科)一轮复习考点课件：第4章三角函数、解三角形 20

2．在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A＝ 2 3 120° ，a＝2，b＝ 3 ，则 B 等于( π A．3 π 5π C．6或 6 5π B． 6 π D．6 )
【答案】D
2 3 【解析】∵A＝120° ，a＝2，b＝， 3 a b ∴由正弦定理＝可得， sin A sin B 2 3 3 b 3 1 sin B＝ sin A＝ × ＝ . a 2 2 2 π ∵A＝120° ，∴B＝30° ，即 B＝6.故选 D.
3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB； b＝acosC＋ccosA； c＝bcosA＋acosB.
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视对解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
利用正、余弦定理解三角形 1．(2018 江西金溪一中、南丰一中、广昌一中联考)在△ABC 中， A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( A．7.5 C．6 ) B．7 D．5
【答案】D
【解析】∵bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2， b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 2 ∴由余弦定理可得：b× 2bc ＋a× 2ac ＝c ，整理可得 2c2＝2c3，∴解得 c＝1，则△ABC 的周长为 a＋b＋c＝2＋2＋1＝ 5.故选 D.
1.(2018 河南豫东三县联考)在△ABC 中，A＝60° ，a＝4 3，b ＝4 2，则 B＝( C．45° ) D．以上答案都不对 A．45° 或 135° B．135°

2020届高三数学文科总复习作业：第四章+三角函数、解三角形+课时作业4-5-2+Word版含解析

4-5-2 课时作业A组——基础对点练1．已知sin 2α＝13，则cos2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝()A.13B．－13C.23D．－23【答案】 C2．已知f(x)＝2tan x－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f⎝⎛⎭⎪⎫π12的值为()A．4 3 B.83 3C．4 D．8 【答案】 D3．(2019·上饶模拟)sin 10°1－3tan 10°＝()A.14 B.12C.32D．1【答案】 A4．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为()A.π6 B.π4C.π3 D.3π4【答案】 B5．sin220°＋cos280°＋3sin 20°cos 80°的值为()A.14 B.12C.34D．1【答案】 A6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋ 3 tan αtanβ＝ 3.则α，β的大小关系是()A．α＜π4＜βB．β＜π4＜αC.π4＜α＜β D.π4＜β＜α【答案】 B7.11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．【答案】3 38．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________．【答案】1 39．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．10. (2019·鹰潭质检)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋a ·cos 2x (a ∈R )．(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，求a 的值． (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，求f (x )的最大值．B 组——能力提升练1．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【答案】 A2．对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( ) A.12 B.13 C.14 D ．与a 0有关的一个值＝12.【答案】 A3．计算cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝__________(用数字作答)．【答案】 24．(2019·济南模拟)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为__________．.【答案】－2105．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中C ，O ，A 在一条直线上，∠ACB ＝π4，记该设施平面图的面积为S (x )m 2，∠AOB ＝x rad ，其中π2<x <π.(1)写出S (x )关于x 的函数关系式．(2)如何设计∠AOB ，使得S (x )有最大值？【解析】 (1)因为扇形AOB 的半径为2 m ，∠AOB ＝x rad ，所以S 扇形＝12x ·22＝2x ，过点B 作边AC 的垂线，垂足为点D ，如图所示：则∠BOD ＝π－x ，所以BD ＝2sin(π－x )＝2sin x ，OD ＝2cos(π－x )＝－2cos x ，因为∠ACB ＝π4，所以CD ＝BD ＝2sin x ，所以S △BOC ＝12CO ·BD ＝12(2sin x －2cos x )×2sin x＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ，所以S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x .(2)根据(1)，得到S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x ，所以S ′(x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋2，令S ′(x )＝0，所以22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－22，所以2x －π4＝5π4，所以x ＝3π4，根据实际意义知，当x ＝3π4时，该函数取得最大值，故设计∠AOB ＝3π4时，S (x )有最大值．。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第四章三角函数、解三角形课后跟踪训练24 Word版含解析

课后跟踪训练(二十四)基础巩固练一、选择题1．(2018·天津卷)将函数y ＝sin 的图象向右平移个单位(2x ＋π5)π10长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间上单调递增[－π4，π4]B ．在区间上单调递减[－π4，0]C ．在区间上单调递增[π4，π2]D ．在区间上单调递减[π2，π][解析]　函数y ＝sin 的图象向右平移个单位长度得到(2x ＋π5)π10的图象对应的函数解析式为y ＝sin ＝sin2x .因为y ＝[2(x －π10)＋π5]sin x 在，k ∈Z 上单调递增，所以2k π－≤2x ≤2k π＋，[2k π－π2，2k π＋π2]π2π2k ∈Z ，解得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .当k ＝0时，－≤x ≤，故所得π4π4π4π4图象对应的函数在区间上单调递增，同理可得，在区间[－π4，π4]上单调递减．故选A.[π4，3π4][答案]　A2．(2018·辽宁省实验中学期中)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的部分图象如图，则( )(A >0，ω>0，|φ|<π2)A ．A ＝4B ．ω＝1C ．B ＝4D ．φ＝π6[解析]　根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象知，A ＝2，B ＝2，∴A ，C 错误；设函数的最小正周期为T ，则T ＝π－＝，∴T ＝＝π，14512π6π42πω解得ω＝2，B 错误；当x ＝时，ωx ＋φ＝2×＋φ＝2k π＋(k ∈Z )，π6π6π2且|φ|<，∴φ＝，∴D 正确．故选D.π2π6[答案]　D3．(2019·河北承德期末)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为6π，且其图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )2π3＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.B. C. D.4π92π9π6π3[解析]　由题意得＝6π，∴ω＝.∴f (x )＝sin .将其图象2πω13(13x ＋φ)向右平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin 2π3＝sin ＝sin x ，∴φ－＝2k π(k ∈Z )．解得φ[13(x －2π3)＋φ](13x －2π9＋φ)132π9＝2k π＋(k ∈Z )，∵|φ|<，∴φ＝.故选B.2π9π22π9[答案]　B4．(2019·云南省高三调考)函数f (x )＝sin(3x ＋φ)的图象向(|φ|<π2)左平移个单位长度后关于原点对称，则φ＝( )π9A. B. C ．－ D ．－π3π6π9π3[解析]　依题意得，f (x ＋)＝sin[3(x ＋)＋φ]＝sin(3x ＋＋φ)的图π9π9π3象关于原点对称，于是有sin(＋φ)＝0，＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π3π3(k ∈Z )．又|φ|<，因此φ＝－，故选D.π3π2π3[答案]　D5．(2018·武汉市高三二调)函数f (x )＝2sin (ω>0)的图象在(ωx ＋π3)[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为( )A ．[2π，4π] B.[2π，9π2)C. D.[13π6，25π6)[2π，25π6)[解析]　解法一：由函数f (x )在[0,1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋∈，则≤ω<.故选C.π3[2π＋π2，4π＋π2)13π625π6解法二：取ω＝2π，则f (x )＝2sin ，(2πx ＋π3)故2πx ＋＝＋2k π，k ∈Z ，得x ＝＋k ，k ∈Z ，π3π2112则在[0,1]上只有x ＝，不满足题意，排除A ，B ，D ，故选C.112[答案]　C 二、填空题6．(2019·吉林长春质检)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值为________．π6(5π6，0)[解析]　函数向右平移个单位得到函数π6g (x )＝f ＝sin (x －π6)[ω(x －π6)]＝sin .(ωx －ωπ6)因为g (x )过点，(5π6，0)所以sin ＝0，[ω(5π6－π6)]即ω＝＝k π，k ∈Z .(5π6－π6)2ωπ3所以ω＝k ，又∵ω>0，所以ω的最小值为.3232[答案]　327.(2019·福建漳州质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<2π)的一段图象如图，则f (2016)等于________．[解析]　由图象可得A ＝2，T ＝1－(－2)＝3，T ＝6.12∴ω＝＝，结合五点法作图得－2×＋φ＝，2πT π3π3π2∴φ＝，故f (x )＝2sin .7π6(π3x ＋7π6)∴f (2016)＝2sin ＝2sin (2016π3＋7π6)(672π＋7π6)＝2sin ＝－2sin ＝－1.7π6π6[答案]　－18．(2018·河北衡水武邑中学模拟)将f (x )＝2sin (ω>0)的图(ωx ＋π4)象向右平移个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在上π4ω[－π6，π4]为增函数，则ω的最大值为________．[解析]　将f (x )＝2sin (ω>0)的图象向右平移个单位，(ωx ＋π4)π4ω得到y ＝g (x )＝2sin ＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在[ω(x －π4ω)＋π4]上为增函数，则满足≥，即T ≥π，即≥π，所以0<ω≤2，[－π6，π4]T 4π42πω即ω的最大值为2.[答案]　2三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos cos ＋22(x ＋π4)(x －π4)2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)在给出的坐标系中画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图象，并说明y＝f (x )的图象是由y ＝sin2x 的图象怎样变换得到的．[解]　(1)f (x )＝22(cos x cos π4－sin x sin π4)(cos x cos π4＋sin x sinπ4)sin2x 2＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＋sin2x ＝(cos 2x －sin 2x )＋222sin2x2cos2x ＋sin2x 22＝2＝2sin .(22cos2x ＋22sin2x )(2x ＋π4)则f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2当2x ＋＝2k π＋(k ∈Z )，π4π2即当x ＝k π＋(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.π8(2)列表如下：x0π83π85π87π8π2x ＋π4π4π2π3π22π9π4f (x )22－22根据列表描点连线作图如右．y ＝f (x )的图象是由y ＝sin2x 的图象经过以下变换得到的：先将y ＝sin2x 的图象向左平移个单位，得到y ＝sin 的图π8(2x ＋π4)象，再将y ＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，(2x ＋π4)横坐标不变，得到y ＝2sin 的图象．(2x ＋π4)10．(2019·石家庄一中月考)设函数f (x )＝sin ＋sin 2x －(2x ＋π3)33cos 2x .33(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，得到函数g (x )的图π3象，求g (x )在区间上的值域．[－π6，π3][解]　f (x )＝sin2x cos ＋cos2x sin －cos2x ＝sin2x ＋cos2xπ3π3331236＝sin .33(2x ＋π6)(1)f (x )的最小正周期T ＝π，令2x ＋＝k π＋，k ∈Z ，得x ＝＋，k ∈Z .π6π2k π2π6∴函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝＋，k ∈Z .k π2π6(2)由题意得，g (x )＝f ＝sin (x －π3)33(2x －π2)＝－cos2x .33∵x ∈，∴2x ∈，[－π6，π3][－π3，23π]∴cos2x ∈，[－12，1]∴g (x )在区间上的值域为.[－π6，π3][－33，36]能力提升练11．(2019·山东烟台实验中学诊断考试)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在区间上的图象如图所示，为了(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)[－π6，5π6]得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵π312坐标不变B ．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，π3纵坐标不变C ．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵π612坐标不变D ．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，π6纵坐标不变[解析]　由图可知T ＝－＝π，∴ω＝2.5π6(－π6)又函数图象过，则－ω＋φ＝2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋(k(－π6，0)π6π3∈Z )．又0<φ<，∴φ＝，∴y ＝sin .π2π3(2x ＋π3)∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上的所有点向左平移个单位，得到y ＝sin 的图象，再将y ＝sin π3(x ＋π3)(x ＋π3)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)即可．故选A.12[答案]　A12．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后，所得如图所示的图象，则ω，φ的值为π3( )A ．ω＝2，φ＝B ．ω＝2，φ＝－2π3π3C ．ω＝1，φ＝－D ．ω＝1，φ＝π32π3[解析]　函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后π3可得y ＝sin .由函数的图象可知，＝－＝，∴T(ωx ＋πω3＋φ)T 2π3(－π6)π2＝π.根据周期公式可得ω＝2，∴y ＝sin .由图知当y ＝－1时，x ＝×＝，∴(2x ＋φ＋2π3)12(π3－π6)π12函数的图象过，(π12，－1)∴sin ＝－1.∵－π<φ<π，∴φ＝.故选A.(5π6＋φ)2π3[答案]　A13．(2018·山东临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最(ω>0，－π2≤φ≤π2)低点的距离为2，且图象过点，则函数f (x )＝________.2(2，－12)[解析]　依题意得＝2，ω>0，所以ω＝，所以f (x )22＋(πω)22π2＝sin.因为该函数图象过点，所以sin(π＋φ)＝－，(π2x ＋φ)(2，－12)12即sin φ＝.因为－≤φ≤，所以φ＝，所以f (x )＝sin .12π2π2π6(π2x ＋π6)[答案]　sin(π2x ＋π6)14．(2019·江西抚州临川一中教学质量检测)已知函数f (x )＝M sin(M >0，ω>0)的大致图象如图所示，其中A (1,0)，B ，C 为函(ωx ＋π6)数f (x )的图象与x 轴的交点，且|BC |＝π.(1)求M ，ω的值；(2)若函数g(x )＝f (x )·cos x ，求函数g (x )在区间上的最大值和[π6，π2]最小值．[解]　(1)依题意，|BC |＝π＝，故T ＝2π，故ω＝＝1.T 22πT 因为A (0,1)，故M ·sin ＝1，故M ＝2.π6(2)由(1)知f (x )＝2sin ，(x ＋π6)依题意，g (x )＝f (x )·cos x ＝cos x ·2sin (x ＋π6)sin x cos x ＋cos 2x ＝sin2x ＋3321＋cos2x 2＝sin ＋.(2x ＋π6)12当≤x ≤时，π6π2≤2x ≤π，≤2x ＋≤，π3π2π67π6故－≤sin ≤1，故0≤g (x )≤，12(2x ＋π6)32故函数g (x )在区间上的最大值为，最小值为0.[π6，π2]32拓展延伸练15．(2019·河北衡水模拟)设函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ＝f ，若函数g (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(π3－x )(π3＋x )3＋2，则g 的值是( )(π3)A ．2 B ．0 C ．2或4 D ．1或3[解析]　∵f ＝f ，∴f (x )的图象关于直线x ＝对称．(π3－x )(π3＋x )π3∴f ＝2cos ＝±2，即cos ＝±1.(π3)(π3ω＋φ)(π3ω＋φ)∴g ＝cos ＋2.(π3)(π3ω＋φ)当cos ＝1时，原式＝3；(π3ω＋φ)当cos ＝－1时，原式＝1.故选D.(π3ω＋φ)[答案]　D16．(2019·河南郑州第一中学月考)已知函数f (x )＝sin －32(x ＋π6)cos ，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤6π，且|f (x 1)－12(x ＋π6)f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为________．[解析]　化简f (x )＝sin －cos ，得f (x )＝sin 32(x ＋π6)12(x ＋π6)＝sin x .(x ＋π6－π6)∵|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤(|f (x 1)|＋|f (x 2)|)＋(|f (x 2)|＋|f (x 3)|)＋…＋(|f (x n －1)|＋|f (x n )|)≤2(n －1)，∴2(n －1)≥12，即n ≥7.若n ＝7，则不等式取等号，此时|f (x 1)|＝1，|f (x 2)|＝1，…，|f (x 6)|＝1，|f (x 7)|＝1.∵当0≤x ≤6π时，使|f (x )|＝1的x 最多只有6个，∴n ＝7不成立，此时n ≥8.当n ＝8时，取x 的值分别为x 1＝0，x 2＝，x 3＝，x 4＝，x 5π23π25π2＝，x 6＝，x 7＝，x 8＝6π时满足等式．所以n 的最小值为8.7π29π211π2[答案]　8。

2020版高考数学一轮总复习第四单元三角函数与解三角形课后作业全集含解析

任意角的三角函数1．(2018·龙岩期中)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点P (6，y )是角α的终边上一点，且sin α＝－45，则y 的值为(D)A ．4B ．－4C ．8D ．－8由题意知P 的坐标为(6，y )，由三角函数定义知，sin α＝y36＋y2＝－45，得m ＝－8.2．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为(A)A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)设Q 的坐标为(x ，y )，则x ＝cos(π－7π3)＝cos(π－2π－π3)＝cos(π－π3)＝－12.y ＝sin(π－7π3)＝sin(π－2π－π3)＝sin(π－π3)＝32. 3．若tan α>0，则(C) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0 D ．cos 2α>0由tan α>0得α在第一、三象限．若α在第三象限，则A ，B 都错．由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α>0，C 正确． α取π3，cos 2α＝cos 2π3＝－12<0，D 错．4．(2018·湖北5月冲刺试题)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长为40 3m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(B)(其中π≈3，3≈1.73) A ．15 m 2B ．16 m 2C ．17 m 2D ．18 m 2因为圆心角为2π3，弦长为40 3 m ，设半径为R ，则203R ＝sin π3＝32，所以R ＝40，圆心到弦的距离d ＝R cos π3＝40×12＝20.所以弦＝403，矢＝R －d ＝20. 弧田实际面积＝13πR 2－12×弦长×d＝16003π－4003＝908，由经验公式得：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)＝12(403×20＋20×20) ＝4003＋200＝892. 其误差为908－892＝16(m 2)．5. α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，则α＝ 2k π＋π3(k ∈Z ) .因为π3的终边与π6的终边关于y ＝x 对称，所以α＝2k π＋π3(k ∈Z )．6．已知角α终边过点(3，－1)，则2sin α＋3cos α的值为 12 .因为sin α＝y r ＝－12，cos α＝x r ＝32；所以2sin α＋3cos α＝2×(－12)＋3×32＝12.7. 如果角α的终边在直线y ＝3x 上，求cos α与tan α的值．因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以角α的终边在第一、三象限．当α的终边在第一象限时，因为直线过点(1,3)，因为r ＝1＋32＝10，所以cos α＝1010，tan α＝3. 当α的终边在第三象限时，同理可得 cos α＝－1010，tan α＝3.8．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P 所在的圆弧是 (C)A.ABB.CDC.EFD.GH由题知四段弧是单位圆上的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限的弧，在AB 上，tan α＞sin α，不满足；在CD 上，tan α＞sin α，不满足；在EF 上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足；在GH 上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足．9．在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r，称sicos θ为“θ的正余弦函数”．若sicos θ＝0，则sin(2θ－π3)＝ 12.因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上．所以θ＝2k π＋π4，或θ＝2k π＋5π4，k ∈Z .当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin(2θ－π3)＝sin(4k π＋π2－π3)＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin(2θ－π3)＝sin(4k π＋5π2－π3)＝cos π3＝12.综上得sin(2θ－π3)＝12.10．要建一个扇环形花园，外圆半径是内圆半径的2倍，周长为定值2l ，问当圆心角α(0<α<π)为多少时，扇环面积最大？最大面积是多少？设内圆半径为r ，则外圆半径为2r ，扇环面积为S ，因为αr ＋α·2r ＋2r ＝2l ，所以3α＝2l －2rr，所以S ＝12α·(2r )2－12α·r 2＝32α·r 2＝12·2l －2r r ·r 2＝(l －r )·r ＝－r 2＋lr ＝－(r －12l )2＋14l 2，所以当r ＝12l 时，S 取得最大值，此时3α＝2l －2r r ＝2，α＝23.当α＝23时，S 取得最大值14l 2.同角三角函数的基本关系与诱导公式1．tan 300°＋－sin 765°的值是(B)A ．1＋ 3B ．1－ 3C ．－1－ 3D ．－1＋ 3原式＝tan(360°－60°)＋＋＋＝－tan 60°＋1tan 45°＝1－ 3.2．(2018·广州一模)已知sin(x －π4)＝35，则cos(x ＋π4)＝(D)A.45B.35 C ．－45 D ．－35(方法一)进行角的配凑cos(x ＋π4)＝cos[π2＋(x －π4)]＝－sin(x －π4)＝－35.(方法二)换元法设x －π4＝θ，则cos θ＝35，且x ＝θ＋π4，所以cos(x ＋π4)＝cos(θ＋π4＋π4)＝cos(π2＋θ)＝－sin θ＝－35.3．(2018·华南师大附中模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是(A)A.35 B ．－35 C ．－3 D ．3由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2. 所以cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋12sin 2αsin 2α＋cos 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α1＋tan 2α＝1＋21＋4＝35. 4．(2018·湖北宜昌模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为(B)A.23 B ．－23C.13 D ．－13由已知sin θ＋cos θ＝43，平方得2sin θ·cos θ＝79，而(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又θ∈(0，π4)，所以cos θ>sin θ>0，所以sin θ－cos θ<0，故sin θ－cos θ＝－23. 5．已知cos α＝15，－π2<α<0，则π2＋αα＋π－αα的值为612.π2＋αα＋π－αan α＝－sin αtan αsin α＝－cos αsin α，因为cos α＝15，－π2<α<0，所以sin α＝－265.所以原式＝－cos αsin α＝－15－265＝612. 6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 1－ 5 .由题意⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－m2，sin θ·cos θ＝m4，且Δ＝4m 2－16m ≥0，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 24，所以m 24＝1＋m2，所以m ＝1± 5.由Δ＝4m 2－16m ≥0，得m ≤0，或m ≥4，所以m ＝1－ 5. 7．已知tan α＝2. (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sinαcos α－cos 2α－1的值．(1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.8．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为(513，1213)，∠AOB ＝90°，则tan ∠COB ＝(B)A.512 B ．－512 C.125 D ．－125因为cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA＝－1213.又因为点B 在第二象限，所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513，所以tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB ＝－512.9．已知x ∈R ，则函数y ＝(1＋sin x )(1＋cos x )的值域为 [0，32＋2] .因为y ＝(1＋sin x )(1＋cos x )＝1＋sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝12t 2＋t ＋12＝12(t ＋1)2，t ∈[－2，2]．所以所求函数的值域为[0，32＋2]．10．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55.(1)求tan α的值；(2)把11－sin αcos α用tan α表示出来，并求出其值．(1)因为cos α－sin α＝－55，所以(cos α－sin α)2＝15.所以1－2sin αcos α＝15，即sin αcos α＝25，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝95，因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立解得： sin α＝255，cos α＝55，所以tan α＝2.(2)11－sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α－tan α＋1，因为tan α＝2，所以11－sin αcos α＝22＋122－2＋1＝53.两角和与差的三角函数1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于(D) A ．0 B.12C.32D ．1原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.2．(2018·临沂期中)已知f (x )＝sin(x ＋π6)，若sin α＝35(π2<α<π)，则f (α＋π12)＝(B)A ．－7210B ．－210C.210D.7210由sin α＝35(π2<α<π)，得cos α＝－45.所以f (α＋π12)＝sin(α＋π12＋π6)＝sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝22×(35－45)＝－210. 3．(2018·淄博模拟)已知cos(α＋π6)＋sin α＝235，则sin(α＋4π3)的值是(A)A ．－235 B.235C ．－45 D.45因为cos(α＋π6)＋sin α＝32cos α＋12sin α＝sin(α＋π3)＝235，所以sin(α＋π3)＝235.所以sin(α＋4π3)＝sin(α＋π3＋π)＝－235.4．若tan α＝2tan π5，则α－3π10α－π5＝(C)A ．1B ．2 C ．3 D ．4因为cos(α－310π)＝cos(α＋π5－π2)＝sin(α＋π5)，所以原式＝α＋π5α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又因为tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos(α－π4)＝ 31010 .cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)．又由α∈(0，π2)，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55，所以cos(α－π4)＝22×(55＋255)＝31010.6．(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝ 75.(方法一)因为tan(α－π4)＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16，所以6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，所以tan α＝75.(方法二)tan α＝tan[(α－π4)＋π4] ＝α－π4＋tan π41－α－π4π4＝16＋11－16×1＝75.7．已知α是第二象限角，sin α＝35，β为第三象限角，tan β＝43.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求cos(2α－β)的值．(1)因为α是第二象限角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，又tan β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝724.(2)因为β为第三象限角，tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.又sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35.8．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)某房间的室温T (单位：摄氏度)与时间t (单位：小时)的函数关系是：T ＝a sin t ＋b cos t ，t ∈(0，＋∞)，其中a ，b 是正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a ＋b 的最大值是(A)A ．5 2B ．10C ．10 2D ．20由辅助角公式：T ＝a sin t ＋b cos t ＝a 2＋b 2sin(t ＋φ)，其中φ满足条件：sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.则函数T 的值域为[－a 2＋b 2，a 2＋b 2]，由室内最大温差为2a 2＋b 2＝10，得a 2＋b 2＝5，a 2＋b 2＝25，设a ＝5cos θ，b ＝5sin θ，则a ＋b ＝5cos θ＋5sin θ＝52sin(θ＋π4)，故a ＋b ≤52，当且仅当a ＝b ＝522时等号成立．9．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝－12.因为sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，所以sin αcos β＋cos αsin β＝－12，所以sin(α＋β)＝－12.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．由条件得cos α＝210，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.所以tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝－3＋121－－12＝－1. 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，所以α＋2β＝3π4.倍角公式及简单的三角恒等变换1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于(D) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6因为sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6. 2．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝(A)A.16B.13 C.12 D.23因为sin 2α＝23，所以cos 2(α＋π4)＝1＋α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.3．(2018·佛山一模)已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2(θ＋π4)＝(C)A.12B.13 C.14 D.15由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14，所以cos 2(θ＋π4)＝1＋θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝(B)A.15B.55C.255D ．1由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，所以|a －b |＝55. 5．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝ 2 ，b＝ 1 .因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝－45 .因为tan(π4＋θ)＝3，所以1＋tan θ1－tan θ＝3，所以tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 7．已知cos α＝35，cos(α－β)＝1213，且0<β<α<π2，求cos β的值．因为cos α＝35，0<α<π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1213，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝513，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×1213＋45×513＝5665.8.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值为(C)A ．－32 B ．－12C.12D.32原式＝＋－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.9.3tan 12°－3212°－＝－4 3 .原式＝2312sin 12°－32212°－＝－23－sin 24°cos 24°＝－43sin 48°2sin 24°cos 24°＝－4 3.10．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.三角函数的图象与性质（一）1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．2|MN |＝|sin a －cos a |＝2|sin(a －π4)|≤ 2.2．函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为(C)A ．2 B. 3 C ．1 D.12因为f (x )＝3sin x ＋12cos x －32sin x＝32sin x ＋12cos x ＝sin x cos π6＋cos x sin π6＝sin(x ＋π6)．所以f (x )的最大值为1.3．(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos(π2－x )的最大值为(B)A ．4B ．5C ．6D ．7因为f (x )＝cos 2x ＋6cos(π2－x )＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B. 4．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)的最大值为(A)A.65 B ．1 C.35 D.15(方法一)因为f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)＝15(12sin x ＋32cos x )＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin(x ＋π3)，所以当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.(方法二)因为(x ＋π3)＋(π6－x )＝π2，所以f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)＝15sin(x ＋π3)＋cos(π6－x ) ＝15sin(x ＋π3)＋sin(x ＋π3) ＝65sin(x ＋π3)≤65.所以f (x )max ＝65. 5．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 在区间[－π4，π4]上的最小值为 1－22 .f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，因为x ∈[－π4，π4]，所以－22≤sin x ≤22，所以当x ＝－π4，即sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－12－22＝1－22.6．如图，半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值为 42R .设∠BAC ＝θ，周长为p ，则p ＝2AB ＋2BC ＝2(2R cos θ＋2R sin θ) ＝42R sin(θ＋π4)≤42R ，当且仅当θ＝π4时取等号．所以周长的最大值为42R .7．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－x －π32＝12(12cos 2x ＋32sin 2x )－12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin(2x －π6)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数，且f (－π3)＝－14，f (－π6)＝－12，f (π4)＝34，所以f (x )在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12.8．(2018·天津市和平区月考)若f (x )＝2cos(2x ＋φ)(φ>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且当φ取最小值时，x 0∈(0，π2)，使得f (x 0)＝a ，则a 的取值范围是(D)A ．(－1,2]B ．[－2，－1)C ．(－1,1)D ．[－2,1)因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－2π3(k ∈Z )，因为φ>0，所以φmin＝π3，此时f (x )＝2cos(2x ＋π3)．因为x 0∈(0，π2)，所以2x 0＋π3∈(π3，4π3)，所以－1≤cos(2x 0＋π3)<12，所以－2≤2cos(2x 0＋π3)<1，即－2≤f (x 0)<1，因为f (x 0)＝a ，所以－2≤a <1，故选D.9．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 23.因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f (π4)＝cos(π4ω－π6)＝1，所以π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝8k ＋23，k ∈Z .因为ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值23.10．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，因此0≤sin(2x －π6)＋12≤32.即f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围为[0，32]．三角函数的图象与性质（二）1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为(C) A.π4 B.π2C ．πD ．2π(方法一：直接法)由已知得f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，又f (x )＝tan x1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin xcos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(方法二：验证法)因为f (x ＋π)＝f (x )，所以π是f (x )的周期；f (x ＋π2)＝x ＋π21＋tan2x ＋π2＝－tan x 1＋tan 2x≠f (x )，所以π2不是f (x )的周期．故选C.2．在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为(A)A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①③①y ＝cos |2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan(2x －π4)的最小正周期T ＝π2.因此最小正周期为π的函数为①②③.3．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则(B)A ．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0 C ．ω≥1 D．ω≤－1(方法一：直接法)由y ＝tan x 在(－π2，π2)内是增函数知ω<0，且T ＝π|ω|≥π，即－1≤ω<0，选B.(方法二：特值法)取ω＝－1满足题意，排除A ，C ；又取ω＝－2，不满足题意，排除D ，故选B.4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在[0，π4]上是减函数的θ的一个值可以是(D)A ．－π3 B.π3C.π6D.2π3f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，因为f (x )是奇函数，所以θ＋π3＝k π，即θ＝k π－π3，k ∈Z ，排除B ，C.若θ＝－π3，则f (x )＝2sin 2x 在[0，π4]上递增，排除A.故选D.5．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间是 (k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z ) .由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－3π4<x <k π＋π4(k ∈Z )．6．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π＋38π，k π＋78π](k ∈Z ) .因为f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32 ＝22sin(2x －π4)＋32，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的递减区间为[k π＋38π，k π＋78π](k ∈Z )．7．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f (2π3)的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f (2π3)＝(32)2－(－12)2－23×32×(－12)，所以f (2π3)＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin(2x ＋π6)，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是[π6＋k π，2π3＋k π]，k ∈Z .8．(2018·天津卷)将函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数(A)A ．在区间[3π4，5π4]上单调递增B ．在区间[3π4，π]上单调递减C ．在区间[5π4，3π2]上单调递增D ．在区间[3π2，2π]上单调递减函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin[2(x －π10)＋π5]＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为[3π4，5π4]，一个单调减区间为[5π4，7π4]．由此可判断选项A 正确．9．函数f (x )＝sin(x －π3)的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线x ＝5π6对称；②图象C 关于点(4π3，0)对称；③函数f (x )在区间[π3，5π6]内是增函数．其中正确的结论的序号是 ①②③ .(写出所有正确结论的序号)①把x ＝5π6代入f (x )＝sin(x －π3)得f (5π6)＝sin(5π6－π3)＝sin π2＝1，所以图象C 关于直线x ＝5π6对称．②把x ＝4π3代入f (x )＝sin(x －π3)得f (4π3)＝sin(4π3－π3)＝sin π＝0，所以图象C 关于点(4π3，0)对称．③由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，所以2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .取k ＝0，得到一个增区间为[－π6，5π6]，而[π3，5π6－π6，5π6]，所以函数f (x )在区间[π3，5π6]内是增函数．10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，所以φ＝π4.(2)由(1)得f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，所以f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1．(2018·雁峰区校级期末)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能为(B)A ．－3π4B ．－π4C.π4D.5π4y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后变为函数y ＝sin[2(x ＋π8)＋φ]＝sin(2x ＋π4＋φ)的图象，又y ＝sin(2x ＋π4＋φ)为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π4＋k π(k ∈Z )．若k ＝0，则φ＝π4；若k ＝－1时，φ＝－3π4；若k ＝1时，φ＝5π4，故选B.2．为了得到 y ＝sin(x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度或向右平移n 个单位长度(m ，n 为正数)，则|m －n |的最小值为(A)A.23πB.34πC.45πD.56πy ＝sin x 向左平移m 个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3), 所以m ＝π3＋2k 1π(k 1∈Z )，y ＝sin x 向右平移n 个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3)，所以n ＝53π＋2k 2π(k 2∈Z )，所以|m －n |最小值即|π3＋2k 1π－53π－2k 2π|＝|－43π＋2(k 1－k 2)π| 的最小值．当k 1－k 2＝1时， |m －n |的最小值为|2π－43π|＝23π，所以所求的最小值是23π.3．(2018·佛山一模)把曲线C 1：y ＝2sin(x －π6)上所有点向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，则C 2(B)A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(π12，0)对称 D ．关于点(π，0)对称y ＝2sin(x －π6)――→向右平移π6个单位y ＝2sin(x －π3)――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin(2x －π3)．对于曲线C 2：y ＝2sin(2x －π3)．令x ＝π4，得y ＝1，不是最值，所以它的图象不关于直线x ＝π4对称，A 错误；令x ＝5π12，得y ＝2为最值，所以它的图象关于直线x ＝5π12对称，B 正确；令x ＝π12，得y ＝－1，所以它的图象不关于点(π12，0)对称，C 错误；令x ＝π，得y ＝－3，故它的图象不关于点(π，0)对称，D 错误．4．(2018·石家庄市一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如下图所示，则f (11π24)的值为(D)A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1显然A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f (x )的图象经过点(π3，0)，结合正弦函数的图象特征知，2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )＝2sin(2x ＋2k π＋π3)，k ∈Z ，所以f (11π24)＝2sin(11π12＋2k π＋π3)＝2sin(2k π＋π＋π4)＝－2sin π4＝－1，k ∈Z .故选D.5．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω>0)的图象相交的相邻两点间的距离是πω.直线y ＝a 与曲线y ＝tan ωx 相邻两点间的距离就是此曲线的一个最小正周期，为πω. 6．(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为－π6.由题意得f (π3)＝sin(23π＋φ)＝±1，所以23π＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π－π6，k ∈Z .因为φ∈(－π2，π2)，所以取k ＝0得φ＝－π6.7．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3.(1)指出f (x )的周期、振幅、初相、对称轴； (2)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(3)说明此函数图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到．(1)周期T ＝4π，振幅A ＝3，初相φ＝π6，由x 2＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )即为对称轴． (2)列表：描点，连线，得到f (x )在一个周期内的图象．(3)①由y ＝sin x 的图象上各点向左平移π6个长度单位，得y ＝sin(x ＋π6)的图象．②由y ＝sin(x ＋π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(x 2＋π6)的图象．③由y ＝sin(x 2＋π6)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin(x 2＋π6)的图象．④由y ＝3sin(x 2＋π6)的图象上各点向上平移3个长度单位，得y ＝3sin(x 2＋π6)＋3的图象．8．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则(A)A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24因为f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，所以f (x )的最小正周期为4(118π－58π)＝3π，所以ω＝2π3π＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋φ)．因为f (5π8)＝2，所以2sin(23×58π＋φ)＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，所以取k ＝0，得φ＝π12.9．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x＋π3)的图象重合，则φ＝ 5π6.将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后，得到y ＝cos[2(x －π2)＋φ]＝cos(2x －π＋φ)＝sin(2x －π＋φ＋π2)＝sin(2x ＋φ－π2)，而它与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π(k ∈Z )，得φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )．又－π≤φ<π，故φ＝5π6.10．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (π6)的值．(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin(2x －π3)＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )(或(k π－π12，k π＋5π12)(k ∈Z ))．(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x －π3)＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin(x －π3)＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g (π6)＝2sin π6＋3－1＝ 3.正弦定理与余弦定理1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C) A ．60° B．45° C ．120° D．30°因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又因为0°<A <180°，所以A ＝120°.2．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝(B)A.31010B.1010 C.510 D.515EB ＝EA ＋AB ＝2，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝5，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4.由正弦定理，得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC CE ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55sin ∠EDC ＝55sin 3π4＝1010. 3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝(A)A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(55)2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝52＋12－2×5×1×(－35)＝32，所以AB ＝32＝4 2.4．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝(D)A.310B.1010 C.55 D.31010如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝13a 2＋13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝13a 2＋23a 2＝53a . 因为S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12BC ·AD ，所以12×23a ×53a ·sin∠BAC ＝12a ·13a ，所以sin ∠BAC ＝310＝31010. 5．(2016·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝ 1 .在△ABC 中，∠A ＝2π3，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .因为a ＝3c ，所以3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以b 2＋bc －2c 2＝0，所以(b ＋2c )(b －c )＝0，所以b －c ＝0，所以b ＝c ，所以b c＝1.6．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝6 .如图，在△ABD 中，由正弦定理，得ADsin B＝ABsin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝22. 所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝2，所以AC ＝ 6.7．在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90. 所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.8. △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的范围是(A)A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π4<C <π2D.π6<C <π3设AC ＝x ，则1<x <3，cos C ＝4＋x 2－14x ＝3＋x 24x ＝34x ＋x 4≥234x ·x 4＝32，当且仅当x ＝3时，取“＝”．故0<C ≤π6.9．设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝145.因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 因为b sin B ＝c sin C ，又b ＝3，所以c ＝b sin C sin B ＝145.10．(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos(B －π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos(B －π6)，得a sin B ＝a cos(B －π6)，即sin B ＝cos(B －π6)，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos(B －π6)，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.正弦定理、余弦定理的综合应用1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 一定是(A) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不确定2．在△ABC 中，两边的差为2，两边夹角的余弦值为35，且三角形面积为14，则这两边的长分别是(D)A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,7不妨设两边为b ，c (b >c )，则b －c ＝2，cos A ＝35，则sin A ＝45，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝25bc ＝14，所以bc ＝35.所以b ＝7，c ＝5.3．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于(C)A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝60 3 m ，在Rt △ABD 中，BD ＝ADtan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.4．(2016·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝(C)A.3π4B.π3C.π4D.π6因为b ＝c ，所以B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2(π2－A 2)(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A2(1－sin A －2sin 2A2)＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.因为0<A <π，所以0<A 2<π2，所以cos A2≠0，所以cos A ＝sin A ．又0<A <π，所以A ＝π4.5．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点间的距离是6 千米．在△ABC 中，∠ACB ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，解得AC ＝ 6.6．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152，cos ∠BDC ＝ 104.依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14，所以CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝10. 由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.7.(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6.又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6.。

(课标专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形课件

解析 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c.
由余弦定理可得cos B= a2 c2 b2 = 1 . (6分)
2ac
4
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac,得c=a= 2 .
所以△ABC的面积为1. (12分)
(1)由题设及正弦定理得sin Asin A C =sin Bsin A.
2
因为sin A≠0,所以sin A C =sin B.
2
由A+B+C=180°,可得sin A C=cos B,
2
2
故cos B =2sin B cos B .
2
22
因为cos B ≠0,故sin B = 1 ,因此B=60°.
∵sin C≠0,∴sin A+cos A=0,
∴A= 34 .
由正弦定理可得
2 sin 3
= 2
sin C
,即sin C= 1 ,
2
∵0<C< ,∴C= ,故4选B.
4
6
4.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .
答案 3 π
4
解析本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, ∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0, 即tan B=-1,
又B∈(0,π),∴B= 3 π.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的图象关于点对称
解析：由已知，得f(x)＝ sin2x＋2cos2x＝ sin2x＋cos2x＋1＝2sin ＋1.函数f(x)的最小正周期T＝＝π，A错误；当 <x< 时， <2x＋ < ，所以函数f(x)在上不具有单调性，B错误；因为f ＝2sin ＋1＝2sin ＋1＝3，即当x＝时，函数f(x)取得最大值，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；是函数f(x)的图象的一个对称中心，D错误．
★答案★：B
10.
图3
(2019年湖南省衡阳市高三第一次联考)已知A、B、C、D是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜ )一个周期内的图象上的四个点，如图3所示，A ，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则()
★答案★：C
4．(2019年河北省定州中学高一下学期开学考试)函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()
A．8B．6
C．4 D．2
解析：函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心(1，0)，作出两个函数的图象如图2，
图2
当1＜x≤4时，y1＜0，
取k＝0，得φ＝＜π.
∴ω＝，φ＝ .本题选择A选项．
★答案★：A
8．(2019年河北省石家庄市第一中学高二考试)已知ω＞0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：利用排除法：
当ω＝时，f(x)＝sin ，
若x∈ ，则 x－ ∈ ，
据此可知函数在区间上单调递增，不合题意，选项B、C错误；
一、选择题
1．(2019年河北省定州中学高一考试)已知函数f(x)＝sinx|cosx|，则下列说法错误的是()
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)在区间上单调递减
C．若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＋x2＝＋kπ(k∈Z)
D．f(x)的最小正周期为2π
解析：∵f(x)＝sinx|cosx|
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得＞，
又f ＝2，f ＝0，得＝－＝，
∴T＝3π，则ω＝ .
∴f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin ，
由f ＝2sin ＝2，
得sin ＝1.
∴φ＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
而函数y2在(1，4)上出现1.5个周期的图象，
在和上是减函数；
在和上是增函数．
∴函数y1在(1，4)上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，
相应地，y1在(－2，1)上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且xA＋xH＝xB＋xG＝xC＋xF＝xD＋xE＝2，故所求的横坐标之和为8，故选A.
故f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)≤f ，
则f ＝sin ＝1，φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵φ＞0，∴f(x)＝sin ，
由－＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤ ＋kπ.
故增区间为[－ π＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故选C.
★答案★：C
7．(2019年河北省石家庄市第一中学高二考试)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期小于2π，则()
★答案★：A
5．(2019年广州市第二中学高二开学考试)函数y＝的部分图象大致为()
解析：f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，B排除，
当x＝π时，f(π)＝＝0，D源自除，f(1)＝，1＞cos1＞0，∴1－cos1＞0，
sin2＞0，∴f(1)＞0，∴A排除．故选C.
A. B.
C. D.
解析：由于函数的一个对称中心为，
所以f ＝－ a＋＝0，解得a＝1，
∴f(x)＝2sin(x－ )，由于f(x1)·f(x2)＝－4，
∴函数必须取得最大值和最小值，
∴x1＝2k1π＋，x2＝2k2π－，k1，k2∈Z，
∴|x1＋x2|＝，当k1＋k2＝0时，
最小值为，故选B.
故f(x)＝cos(2x－2)，由于ω≠ ，
故最小正周期不为4，A选项错误，
将x＝6π－1代入验证可知B选项错误．
将点代入验证可知C选项正确．由题图易知，D选项错误．
★答案★：C
3．已知函数f(x)＝ sin2x＋2cos2x，下列结论正确的是()
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
当ω＝2时，f(x)＝sin ，
若x∈ ，则2x－ ∈ ，
据此可知函数在区间上不单调，不合题意，选项A错误．本题选择D选项．
★答案★：D
9．(2019年江西省抚州市临川区第一中学高二月考)已知函数f(x)＝asinx－ cosx的一个对称中心为，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为()
★答案★：C
6．(2019年福建省泉州市高三质量检查)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的最小正周期为π，且f(x)≤f ，则下列说法不正确的是()
A．f(x)的一个零点为－
B．f(x)的一条对称轴为x＝
C．f(x)在区间上单调递增
D．f 是偶函数
解析：∵最小正周期为π，∴ω＝＝2，
图1
A．函数f(x)的最小正周期为4
B．函数f(x)的图象关于直线x＝6π－1对称
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象
解析：f(0)＝cosφ＝cos2，φ＝2，故f(x)＝cos(ωx－2)，由题图象可知f(1)＝cos(ω－2)＝1，ω＝2，
＝ k∈Z，
故函数的图象关于直线x＝kπ＋，k∈Z对称，
故A正确；
f(x)在区间上单调递减，故B正确；
函数|f(x)|的周期为，若|f(x1)|＝|f(x2)|，
则x1＝±x2＋ kπ(k∈Z)，故C错误；
f(x)的周期为2π，故D正确．
★答案★：C
2．(2019年湖南省邵阳市高三上学期月考)已知函数f(x)＝cos(ωx－φ)(0＜ω＜4，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，f(0)＝cos2，则下列判断正确的是()

2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第4章 三角函数、解三角形 课时作业19

(课标专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形教师用书文(PDF,含解析)

【数学】2020届高考数学一轮复习：第四章 三角函数、解三角形

2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第四章 三角函数、解三角形 课后跟踪训练18 Word版含解析

2020年高考文科数学一轮总复习：三角函数、解三角形

高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第二课时 解三角形的综合问题

第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习