中考数学专题复习(二十二) 与动态有关的综合题专题(考点 例题
中考数学专题复习之动态问题
中考数学专题复习之动态问题1动态问题的类型及例题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。
在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。
解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。
通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。
下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。
一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。
分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。
当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+= 由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=， 再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。
图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。
若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。
图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。
中考数学专题复习——动态变化问题(经典题型)
中考数学专题复习——动态变化问题（经典题型）【专题点拨】动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。
动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。
解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。
找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。
【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG 交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG ：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG ：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG ：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【例题2】（2017黑龙江佳木斯）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；（2）①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由△BEO≌△ODA即可解决问题；②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°，所以OH⊥AD（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．【例题3】（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD 在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B 两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC 交于点F，设AE的长为t（t≥0）．（1）四边形ABCD的面积为20 ；（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到结论；（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y=2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（，t﹣7），于是得到S=S四边形ABCD ﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF 的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m ﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，根据全等三角形的判定性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，∴A（﹣5，0），∴OA=5，∴AC=7，把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4∴OC=4，∴四边形ABCD的面积=（3+7）×4=20；故答案为：20；（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，∵C（0，﹣4），D（2，0），∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，∵E′F′∥AB，BF′∥AE′∴BF′=AE=t，∴F′（t﹣3，﹣4），直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解得，∴G（，t﹣7），∴S=S四边形ABCD ﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，综上所述：S关于t的函数解析式为：S=；（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，∴M（m，﹣4），N（m，0），∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作FK⊥x轴于K，则KF=4，由△TKF∽△PNT得， =2，∴NT=2KF=8，∵PN2+NT2=PT2，∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，此时，P（﹣6，6）；②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，由△TFC∽△PTH得，，∴HT=2CF=2，∵HT2+PH2=PT2，即22+m2=4（m+1）2，解得：m=﹣，m=0（不合题意，舍去），∴m=﹣时，﹣2m﹣6=﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）使点T恰好落在y轴上．【能力检测】1.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AF G=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG 结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．2.（2017乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C．D．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x 轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB=+=4+2=6，故选：B．3.（2017黑龙江鹤岗）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 5 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：连接AC、AE，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于直线BD对称，∴AE的长即为PC+PE的最小值，∵CD=4，CE=1，∴DE=3，在Rt△ADE中，∵AE===5，∴PC+PE的最小值为5．故答案为：5．4.（2017黑龙江鹤岗）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=OA，OD=OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴=，∴△AOC′∽△BOD′，∴==，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．5.如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC 的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为▱BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S﹣S四边形BNN′B′，可分别得到S与t的函数关系式．△OGN′【解答】解：（1）∵|x﹣15|+=0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13，∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，∵tan∠CBD=，∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，∴∠ONM=∠CBD，∴=，∵DE∥ON，∴==，且OE=3，∴=，解得OM=6，∴ON=8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y=x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BN N′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′•OA=15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S=．。
中考动态问题专题讲解
中考几何动态问题专题一、概述：所谓“动态问题”一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类问题。
二、考查内容：这类问题主要是考查运动中图形的位置、数量关系。
三、问题展开方式：点动：线动：形动。
（“动”指三种形式：平移、旋转、对折或其几种综合） 四、常用知识：几何方面：全等三角形、直角三角形（勾股定理）、特殊四边形、等腰三角形（等边三角形）、相似及三角函数；代数方面：方程、函数解析式；运动中路程、时间、速度关系式：S=VT 、T=S/V 等。
五、解题策略：1.动中觅静：这里的“静”是指问题中的不变量、不变关系。
2.动静互化：抓住“静”的瞬间，使一般转化为特殊，建立等量关系，3.以动定动：建立两个变量的函数关系，通过函数关系找到变动元素的关系。
六、解题方法：第一全面仔细阅读题目，明确运动方式，全方位考察运动中的变与不变的量及其位置关系，；第二应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，化“动”为“静”；第三在各种“静态位置”上结合三角形、四边形进行探索，通过全等、相似及其它知识寻找各个相关量之间的数量关系，建立方程或函数解析式求解。
七、中考位置：重庆市中考热点、难点。
在压轴题第26题中出现。
八、命题目的：甄选优生。
九、解答效果：解答压轴题第26题中，得2分者，顺利进入职教中心学习；得4分者，可读松树桥中学、暨华中学和南华中学；得6分者，读渝北中学；得8分者可“拨打138”了；得8分以上者所有优秀学校的所有优秀班级你自己选吧！特别提醒：认真解读上面“二至六”，才做后面的题目；每做一道题，又结合上面“二至六”来积淀方法，提升能力。
（一）点动问题．1. (2007 江苏省连云港市变式题) 如图，在矩形OABC 中， 60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿O C 方向运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ．（1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此的运动时间t （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．2. (2008 黑龙江省哈尔滨市) 在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ． (1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋33PQ ； （2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长．3. （2011江苏淮安）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 在AB 上，AP=2.点E 、F 同时从点P 出发，分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止.在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒（t ＞0），正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S .(1)当t=1时，正方形EFGH 的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH 的边长是 ； (2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。
中考专题复习动态问题
中考专题复习：动态问题一、专题分析图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。
动点问题是近年来在中考试卷压轴题中出现频率较高的一类问题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。
二、学情分析1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、一部分学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
三、教法分析1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量”。
并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。
2、专题化，少而精。
如动点问题有等腰三角形分类、直角三角形分类、三角形相似分类、四边形存在性等问题，分小专题复习效果更好。
四、复习设计本节课重点来探究动态几何中的第一类型----动点问题（等腰三角形分类讨论问题）。
（一）自主解决1、在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.点T（t，0）是x轴上的一个动点。
当t 取何值时，△TOP是等腰三角形？P情况一:OP=OT情况二:PO=PT T3(-4,0)情况三:TO=TP（设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为腰或为底。
且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。
）2、如图：已知ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s 。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？)0,5();0,5(21T T -)0,45(4-TDCBA解：若△PBC 为等腰三角形 则PB=BC ∴t=3（设计意图：此题起抛砖引玉的作用，体现了从特殊到一般的数学思想。
中考数学复习动态综合专题
动态综合专题动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点， 她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强•解决这类问题的主要思路是： 在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形， 把握图形运动的全过程， 抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系点动型例1菱形ABCD&平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B(2, 0) , / DOB= 60°,点P 是对角线OC 上一个动点，E ( 0,— 1)，当EP + BP 最短时，点P 的坐标为 ___________ .分析：点B 的对称点是点 D,如图2,连接ED 交OC 于点P,易知ED 的长度即为EP + BP解：如图2，连接ED,因为点B 的对称点是D,所以D9 BP,所以ED 的值即为EP + BP 的最短值. 因为四边形ABCD 是菱形，顶点B( 2, 0) , / DOB= 60 ° ,所以点D 的坐标为(13 ), 所以点C 的坐标为(3, 3 )，所以可得直线 OC 的解析式为y 3x .3因为点E 的坐标为(0，— 1),所以可得直线 ED 的解析式为y = 13 X -1.丨卫因为点P 事直线OC 和直线ED 的交点，所以点P 的坐标为方程组y— 3x 的解,y= 13 x -1,所以点P 的坐标为(2 3 -3,2-3 )，故填(2 3 -3,2- 3 ).评注：本题中的变量是 EP + BP 的值，不变量是点 B 与点D 的位置关系，借助菱形的对 称性将EP + BP 的值转化为ED 的值，由“两点间线段最短” 即可知道此时EP + BP 的值最短, 将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路跟踪训练：解方程组可得1. (2015 •贵港)如图，已知P是O O外一点，Q是O O上的动点，线段PQ的中点为M连接OR OM.若O O的半径为2, OP= 4,则线段OM勺最小值是( )A.0B.1C.2D.3E第1题图第2题图2. 如图，已知线段AB=10, AC=BD=2点R是CD上一动点，分别以AP、RB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB设正方形对角线的交点分别为O、C2,当点P从点C运动到点D时，线段OQ中点G的运动路径的长是________ .线动型例2如图3,在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4, 3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M N,直线m运动的时间为t (秒).(1 )点A的坐标是_______ ，点C的坐标是____ ;1(2) _________ 当t= ___ 秒或秒时，MN丄AC;2(3)设厶OMN勺面积为S,求S与t的函数关系式；(4)在(3)中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由•C BX1 1 J图3分析：(1)根据B点的坐标即可求出A C点的坐标；1 1(2)当MN*AC时，有两种情况：① Mn是A OAC的中位线，此时OM= — OA= 2,因此2 23t = 2;②当皿“是厶ABC的中位线时，OM= — OA= 6,因此t = 6;2(3)本题要分类讨论：①大直线m在AC下方或与AC重合时，即当0v t < 4时，可根据厶OM MA OAC用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t之间的函数关系式；② 当直线m在AC上方时，即当4 v t V 8时，可用矩形OABC勺面积-△ BMN的面积-△ OCN勺面积-△ OAM勺面积求得；(4)根据(3)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值.解：(1) A ( 4, 0), C ( 0, 3)；1 1 (2) 当MNdAC 时，有两种情况：① Mn 是A OAC 的中位线，此时 OMk _ OA= 2,因此t223=2;②当 皿2是厶ABC 的中位线时，AM=丄AB= - , OA= 4, AD=A M 2= 2,所 22ta nZEDO _34以 OD= OA^ AD = 4+ 2 = 6, 故 t = 6;(3) 当 O v t W 4 时，OM = t ，因为△ OM MA OAC 所以 =3t 2.3当 4v t v 8 时，如图 4,因为 OD= t ，所以 AD= t-4，由△ DAM MA AOC 可得 AM=t _ 4 , 43 4 所以 BM= 6- t ;由厶 BMN MA BAC 可得 BN= - BM= 8-t ,所以 CN= t-4 ,所以 S =矩形 OABC4331 3 的面积-Rt △ BMN 勺面积-Rt △ OCN 勺面积-Rt △ OAM 勺面积=12-(t-4 ) -- (8-t ) (6- t )22433 2-(t-4 )= -— t + 3t ;28图43 2(4) 有最大值，当0 v t W 4时，因为抛物线 S =—t 的开口向上，在对称轴 t = 0的右边，83 2S 随t 的增大而增大，所以当 t = 4时，S 可取到最大值-X 4 = 6;当4v t V 8时，因为抛83物线S = -—t 2 + 3t 的开口向下，顶点是(4, 6)，所以S W 6.综上所述，当t = 4时，S 有8评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿， 解答这类问题时要用 运动与变化的观点去观察和研究图形， 把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量 关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系OM ONOA _OC 所以ON= 4t, s跟踪训练：1. 如图所示，已知等腰梯形ABCD AD// BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移，设扫2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y =ax2• bx - 3(a，b是常数)的图像与x轴交于点A (-3.0 )和点B (1, 0),与y轴交于点C.动直线y = t (t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q.(1)求a和b的值；(2)求t的取值范围；(3)若/ PCQ= 90°，求t 的值.面动型例3已知：把Rt△ ABC和Rt △ ABC按如图1摆放(点C与点E重合)，点 B C(E)、F在同一直线上，/ ACB=/ EDF=90，/ DEF=45 , AC=8cm BC=6cm,EF=9cm.如图2,^ DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向厶ABC匀速移动，在厶DEF移动的同时，点P从厶ABC 的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当A DEF的顶点D移动到AC边上时，△ DEF停止移动，点P也随之停止运动.DE与AC相交于点Q连接PQ设移动时间为t(s)(0 V t V 4.5)，解答下列问题：①当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？②连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使得面积y最小？若存在，求出y的最小值，若不存在，请说明理由③是否存在某一时刻t ,使得P 、Q F 三点在同一条直线上？若存在， 求出此时t 的值;解析：①因为点A 在线段PQ 的垂直平分线上，所以 AP=AQ.因为/ DEF=45，/ACB=90 , / DEF+Z ACB+Z EQC=180 ,所以/ EQC=45 ,所以/ DEF=/ EQC 所以 CE=CQ.又 由题意得CE=t, BP=2t ，所以CQ=t ,所以AQ=8-t ，解得t=2 ;AC②过点 P 作 PM L BE,交 BE 与点 M 所以/ BMP=90，在 Rt △ ABC 和 Rt △ BPM 中，sinB= ’AB PM 8 i=丽，代入，解得 PM5 t.因为 BC=6cm,CE=t,所以 BE=6-t ，所以 y=S AABC S A BP * (BC -AC-BE-PM)4284 84 化简得y=5 (t-3)+5，所以当t=3时，y 最小=~5 ;③假设存在某一时刻t ，使得点P 、Q F 三点在同一条直线上，过 P 点作PN L AC,交PNAC 于点 N,所以/ ANP 玄 ACB / PNQ=90 .因为/ PAN / BAC 所以△ PAN TA BAC 所以； 610-2t =10AN 6 8 83= ，所以 PN=6- t, AN=8- t.因为 NQ=AQ-AN 所以 NQ=8t-(8-t)= t.因为/ 8 5 55 5ACB=90 ,B 、C(E)、F 在同一条直线上，所以/ QCF=90 / QCF / PNQ.因为/ FQC / PQN 所以△QC TA QNPPN NQ 6-1.2t 3所以二= ，所以=，因为0V t V 4.5，所以t=1. FC CQ9-t5 解后反思：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究 题都源于此，解决此类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究 相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确跟踪训练：已知，在矩形 ABCD 中，E 为BC 边上一点，AE _ DE ,AB=12,BE=16,F 为线段BE 上一 点，EF=7,连接AF.如图1,现有一张硬质纸片GMN , • NGM = 90° ,NG=6,MG=8,斜边MN 与边BC 在同一直线上，点 N 与点E 重合，点G 在线段DE 上.如图2， GMN 从图1的 位置出发，以每秒1个单位的速度沿 EB 向点B 匀速移动，同时，点 P 从A 点出发，以每秒 1个单位的速度沿 AD 向点D 匀速移动，点 Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接 PQ •当点N 到达终点B 时，=GMN 和点P 同时停止运动.设运动时间为t 秒，解答下列问题：若不存在，说明理由(1)在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；(2)在整个运动过程中，是否存在点P，使APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)在整个运动过程中，设 GMN 与 ：-AEF 重叠部分的面积为 S,请直接写出S 与t动态综合型专题 点动型： 1.B 2.3 2线动型： 1.A2 2y =x ・2x-3，直线y = t ，联立两解析式可得 x ・2x -3=t , 因为动直线y =t(t 为常数)与抛物线交于不同的两点，所以△= 4+ 4 X( 3+ t )> 0,解得 t > -4 ;(3)因为y =x 2 • 2x -3 = x • 1 2-4，所以抛物线的对称轴为直线x = 1.当x = 0时，y=-3，所以C (0.-3). 设点Q 的坐标为(m t )，贝U P (-2-m , t ).如图，设PQ 与y 轴交 于点 D,则 CD= t + 3, DQ= m DP = mF 2.因为/ PCQ=Z PCDF Z QCD= 90 ° , / DPO Z PCD =90 °，所以/ QCD=Z DPC.因为/ PDC=Z QDC= 90。
中考数学重难考点突破—动态题型分类解析(动点、动线、动面)
中考数学重难考点突破—动态题型分类解析解决动态几何间题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变从结论入手，分析结论要成立需具备的典型特征条件是什么？然后利用函数与方程的思想和方法将这个需具备的典型特征条件(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。
类型一点动型动态题1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过___3__秒，四边形APQC的面积最小．图1解：设经过x秒四边形APQCD面积最小由题意得：AP=2x，BQ=4x，则PB=12—2x，△PBQ的面积=1/2×BQ×PB=1/2×4x×(12—2x)=—4(x—3)2+36当x=3时，△PBQ的面积的最大值是36mm2，此时四边形APQC的面积最小。
点评：本题中由于四边形APQC在动点运动中，无法确定其形态，也就无法应用面积公式。
而P、B、Q三点，根据题意始终组成一个直角三角形△PBQ，故从求直角三角形面积入手便可解决问题。
2．如图2，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇？图2解：(1)①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝3×1＝3(厘米)．∵AB＝10厘米，点D为AB的中点，∴BD＝5厘米．又∵PC＝BC－BP，BC＝8厘米，∴PC＝8－3＝5(厘米)，∴PC＝BD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP.②∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ .又∵△BPD 与△CQP 全等，∠B ＝∠C ，则BP ＝PC ＝4，CQ ＝BD ＝5， ∴点P ，点Q 运动的时间t ＝BP 3＝43(秒)， ∴v Q ＝CQ t ＝543＝154(厘米/秒)．(2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得154x ＝3x ＋2×10，解得x ＝803(秒)． ∴点P 共运动了803×3＝80(厘米)．∵80＝2×28＋24，∴点P 、Q 在AB 边上相遇， ∴经过803 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． 类型二 线动型动态题3．已知二次函数y ＝x 2－(2m ＋2)x ＋(m 2＋4m －3)中，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD ＝AC (D 在线段AB 上)，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值．图3解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝[]－2m＋22－4(m2＋4m－3)＝－8m＋16＞0，∴m＜2.∵m为不小于0的整数，∴m取0、1.当m＝1时，y＝x2－4x＋2，图象与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m＝0时，y＝x2－2x－3，符合题意．∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD.∵CD垂直平分PQ，∴DP＝DQ，∴∠ADC＝∠CDQ.∴∠ACD＝∠CDQ，∴DQ∥AC，∴△BDQ∽△BAC，∴DQAC＝BDAB.∵AC＝10，BD＝4－10，AB＝4.∴DQ＝10－52，∴PD＝10－52.∴AP＝AD－PD＝52，∴t＝52÷1＝52.类型三面动型动态题4．如图4，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D 与点F重合，点B，D(F)，H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H 重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( B)图4解析：正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案。
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。
九年级数学中考专题系列-动态问题专题辅导全国通用
动态问题在改革精神和新课标理念的指导下，近年来各省、市的中考命题出现了立意和题型都锐意创新的繁荣局面，一方面百花齐放，各有新招，另方面又呈现出体现指导思想的共同特点和发展趋势．主要有以下几个最新动态：一、依纲靠本依纲就是以“课标”为命题大纲，靠本就是以教材为命题依据，这是一个方向性的问题．我们对依纲与靠本要有一个辩证的把握，既全面覆盖，又善于抓住课程体系的重点和中考的热点．【例1】如图，小华在地面上放置一个平面镜E 来测量铁塔AB 的高度，镜子与铁塔的距离20EB =米，镜子与小华的距离2ED =米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A ．已知小华的眼睛距地面的高度 1.5CD =米，则铁塔AB 的高度是米．【解析】解决本题的关键是把这个实际问题翻译成数学问题，从示意图可以发现这是个三角形相似的问题．因为DEC AEB ∠=∠，CDE ABE Rt ∠=∠=∠，所以CDEABE ，所以AB BECD DE=，即201.52AB =，解得，AB=15． 【点评】本题与苏科八下课本第146页第7题同源，灵活应用相似形的判定与性质解决实际应用问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，即“数学建模”．要这个过程中，要注意审题，弄清题意，然后借助日常生活中的经验（如本题中的入射角等于反射角，与地面垂直的线段等）构建相似形，再利用相似形的判定和性质解决问题．二、重视考查学生的用数学意识近年来中考题大都设置了实际应用问题，题量和分值都有所增加，不题题材都取自学生熟悉的生活情景，时代气息与教育价值比较强．从身边实际或其他学科提出的问题中抽象出数学模型，并运用数学知识与方法去解决，一方面有利于学生对数学思想方法的领悟与理解，另一方面有利于学生用数学意识的加强和问题解决能力的提高．【例2】“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？【解析】设原计划生产小麦x 吨，生产玉米y 吨，根据题意，得1812102018.x y x y +=⎧⎨+=-⎩，％％解得108.x y =⎧⎨=⎩，10(112)11.2⨯+=％（吨），8(110)8.8⨯+=％（吨）． 答：该专业户去年实际生产小麦11.2吨，玉米8.8吨．【点评】本题以关注三农，“种粮补贴”为问题背景，从题中找出两个有效的等量关系是解题的关键． 三、突出数学思想方法的理解与简单应用．重视数学思想方法的教学与考查是一种共识，问题在于怎样体现的？近年来的中考题主要采用情景题、探究题、开放题、应用题等方式来考查思维能力与创新意识，有的地方还通过操作实验的过程来认识数学的本质．中考题所体现的基本数学思想方法主要有：用字母表示数的思想、集合与对应的思想、函数与方程的思想、抽样统计的思想等；数学解题方法主要有：消元法、降次法、代入法、因式分解法、换元法、配方法、待定系数法，图象法等；一般性思维方法主要有：观察、试验、比较、分类、归纳、类比、猜想等．【例3】在学习勾股定理时，我们学会运用图2（I ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为2()a b +，也可表示为c 2+4(21ab)，即(a+b)2=c 2+4(21ab),由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．图2（1）请你用图2（II ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）．（2）请你用2（III ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++． （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．【解析】本题是一道设计比较新颖,与图形的组合验证数学关系式有关的题目.实际上是对课本知识的一个变式．涉及到勾股定理和整式的乘法两个方面的知识，掌握好图形面积的计算方法，不难组合成与表达式相符合的图形．（1）图形大正方形的面积可表示为c 2，也可以表示为4(ab 21)+(a-b)2,即c 2=4(ab 21)+(a -b)2,由此可推导出c 2=a 2+b 2.(2)用2（III ）所给的四个图形拼一个边长为(x+y)的正方形即可,如图3所示.(3)只要一个边长为x 的正方形,一个长为q,宽为p 的长方形,一个长为q,宽为x 长方形和一个长为p,宽为x 长方形(如图4),拼成一个长为(x+q),宽为(x+p)的大 长方形即可(如图5)图3图4图5【点评】本较好的考查了数形结合思想，这种拼图验证关系式问题,是一种比较重要的题型,这类问题多数以课本知识为素材,对不同的知识点作以综合归纳即可编拟一道考题.我们在复习时应注意课本知识点的复习.四、关注学生获取数学信息、认识数学对象的过程和方法这类考题体现和落实了过程性目标．考题本身让学生去经历和体验，让考生经历观察、实验、猜想的过程，得出结论，并获得数学学习的感悟．【例4】如图，把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15得到D CE ''△如图乙．这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ．（1）求OFE '∠的度数； （2）求线段AD '的长．（3）若把三角形D CE ''绕着点C 顺时针再旋转30得D CE ''''△，这时点B 在D CE ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断．【解析】第（1）问分别考查了三角形内角、外角性质，第（2）间接在应用勾股定理求解；第（3）在旋转变换的基础上开放性探究，要判断点B 与D CE ''''△的位置关系，就要实现问题的转化，分析设BC （或延长线）交D E ''''于点B '，进而分析CB 与CB`的大小即可．（1）315∠=，90E '∠=，12∠=∠，175∴∠=．又45B ∠=，14575120OFE B '∴∠=∠+∠=+=．（2）连结AD '．120OFE '∠=，60D FO '∴∠=，又30CD E ''∠=，490∴∠=．又AC BC =，6AB =，3OA OB ∴==，AC B ED（甲） E 'A CB OFD ' （乙）C '例5答图90ACB ∠=，116322CO AB ∴==⨯=． 又7CD '=，734OD CD OC ''∴=-=-=．在Rt AD O '△中，5AD '==． （3）点B 在D CE ''''△内部．理由如下：设BC （或延长线）交D E ''''于点B '．153045B CE '''∠=+=，在Rt B CE '''△中，2CB '''==，又32CB =<，即CB CB '<， ∴点B 在D CE ''''△内部．【点评】本题主要变化经过程是把三角板CDE 绕点C 顺时针旋转．边操作，边设置问题，从而，实现了图形变换与问题探究的有机结合．此类开放探究问题考查考生的发散性思维，在解题过程中，要注重解题后的回顾与反思，积极思考“能否变换条件”、“还能得到哪些结论”等提升性问题．。
中考数学专题二十二：梯形(含详细参考答案)
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。
其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
中考数学二轮专题复习：动态几何综合题
中考数学二轮专题复习：动态几何综合题【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念．加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试卷的一个显著特点．大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现．这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”．以“不变”应“万变”．同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解读式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件．【典型考题例析】例1：如图2-4-37，在直角坐标系中,O 是原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0）、B （18，6）、C （8，6），四边形OABC是梯形．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC 的解读式．（2）设从出发起运动了t 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．（3）设从出发起运动了t 秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由．分析与解答 （1）设OC 的解读式为y kx =，将C （8，6）代入，得34k =， ∴34y x =． （2）当Q 在OC 上运动时，设3(,)4Q m m ，依题意有2223()(2)4m m t +=，∴85m t =．故86(,)(05)55Q t t t ≤≤．当Q 在CB 上运动时，Q 点所走过的路程为2t ． ∵CO=10，∴210CQ t =-．∴Q 点的横坐标为210812t t -+=-． ∴(22,6)(510)Q t t -<≤．（3）易得梯形的周长为44．①如图2-4-38，当Q 点在OC 上时，P 运动的路程为t ，则Q 运动的路程为(22)t -． 过Q 作QM ⊥OA 于M ，则3(22)5QM t =-⨯．∴13(22)25OPQ S t t ∆=-⨯，1(1810)6842S =+⨯=四边形．图2-4-38假设存在t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积， 则有131(22)84252t t =⨯=⨯，即2221400t t -+=．∵22241400∆=-⨯<，∴这样的t 不存在．②如图2-4-39，当Q 点在BC 上时，Q 走过的路程为(22)t -， 故CQ 的长为：221012t t --=-．∴1()2OCQP S CQ OP =+梯形．11(12)6368422AB t t =⨯-+⨯=≠⨯，∴这样的t 也不存在．综上所述，不存在这样的t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积．例2： 如图2-5-40，在Rt △PMN 中，∠P=900，PM=PN ，MN=8㎝，矩形ABCD 的长和宽分别为8㎝和2㎝，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1㎝的速度移动（图2-4-41），直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y ㎝2．求y 与x 之间的函数关系式．N图2-4-40N图2-4-41分析与解答 在Rt △PMN 中，∵PM=PN ，∠P=900，∴∠PMN=∠PNM=450． 延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ．过G 作GF ⊥MN 于F ，过H 作HT ⊥MN 于T （图2-4-42）． ∵DC=2㎝．∴MF=GF=2㎝， ∵MT=6㎝．因此矩形ABCD 以每秒1㎝的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况： （1）当C 点由M 点运动到F 点的过程中（0≤x ≤2）．如图2-4-42所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt △MCE ，且MC=EC=x ．∴211(02)22y MC EC x x ==≤≤． （2）当C 点由F 点运动到T 点的过程中(26)x <≤， 如图2-4-43所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG ． ∵,2MC x MF ==，∴FC=DG=x -2，且DC=2． ∴1()22(06)2y MC GD DC x x =+=-<≤N图2-4-42T M图2-4-44图2-4-43MT（3）当C 点由T 点运动到N 点的过程中(68)x <≤，如图2-4-44所示，设CD 与PN 交于点Q ， 则重叠部分图形是五边形MCQHG ． ∵MC x =，∴CN=CQ=8-x ，且DC=2．∴2111()(8)12(68)222y MN GH DC CN CQ x x =+-=--+<≤．说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形 则“动”这“静”，再设法分别求解．这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮我们理清思路，各个击破．【提高训练】 1．如图2-4-45，在ABCD 中，∠DAB=600，AB=5，BC=3，鼎足之势P 从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，点P 所以过的线段与绝无仅有AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的函数关系的变化而变化．在图2-4-46中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（）ABCD2．如图2-4-47，四边形AOBC 为直角梯形，，OB=%AC ，OC 所在直线方程为2y x =，平行于OC 的直线l 为：2y x t =+，l 是由A 点平移到B 点时，l 与直角梯形AOBC 两边所转成的三角形的面积记为S ．（1）求点C 的坐标．（2）求t 的取值范围．（3）求出S 与t 之间的函数关系式．图2-4-47图2-4-48A3．如图2-4-48，在△ABC 中，∠B=900，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1㎝/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2㎝/秒的速度移动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8㎝2？（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 到达点B 后又继续沿BC 边向点C 移动，点Q 到达点C 后又继续沿CA 边向点A 移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P 、Q ，使△PBQ 的面积等于9㎝2？若存在，试确定P 、Q 的位置；若不存在，请说明理由．4．如图2-4-49，在梯形ABCD 中，AB=BC=10㎝，CD=6㎝，∠C=∠D=900．（1）如图2-4-50，动点P 、Q 同时以每秒1㎝的速度从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止．设P 、Q 同时从点B 出发t 秒时，△PBQ 的面积为1y （㎝2），求1y （㎝2）关于t （秒）的函数关系式．图2-4-49（2）如图2-4-51，动点P 以每秒1㎝的速度从点B 出发沿BA 运动，点E 在线段CD 上随之运动，且PC=PE ．设点P 从点B 出发t 秒时，四边形PADE 的面积为2y （㎝2）．求2y （㎝2）关于t （秒）的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．图2-4-51图2-4-50BB【答案】 1．A 2．（1）C （1，2） （2）－10≤t ≤2 （3）S 与t 的函数关系式为215(100)20S t t t =++-≤≤或211(02)4S t t t =-+≤≤3．（1）2秒或4秒（2）存在点P 、Q ，使得△PBQ 的面积等于9㎝2，有两种情况： ①点P 在AB 边上距离A 为3㎝，点Q 在BC 边上距离点B 为6㎝。
中考数学专题复习32套测试题(23)动态性问题
专题：动态问题(总分100 时间：90分钟) ——命题人：(李鹊二中)崔建利动态性问题分类 1: 点动．． 2：线动．． 3：图动．．4：变换．． 一：单选题（每题4分，共32分）1、如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D '、C '的位置，若∠EFB=620，则∠AED ’等于（ ）A 、580B 、600C 、620D 、5602．如图，矩形ABCD 的边AB ＝5厘米，BC ＝4厘米，动点P 从A 点出发，在折线AD —DC －CB 上以1厘米/秒的速度向B 点匀速运动，那么表示△ABP 的面积S （厘米2）与运动时间t （秒）之间的函数关系的图象是（ ）A B C D3在直角坐标系中A （-3，-2）圆A 的半径为1，P 为X 轴上一动点，PQ 切圆A 于Q 则PQ 值最小时P 点坐标为（ ）A （-4，0）B （-2,0)C （-4，0）或（-2，0）4将y=2x+2向右平移3个单位，相当于y=2x+2向下平移（）个单位 A 4 B 2 C 3 D 65点A 是为直径为MN 半圆上的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，半圆o 的半径为1，则PA+PB 的最小值为：（ ） A ：1 B ：3/2 C ：√2 D ：3-16．如图，两枚同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动2圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、47．如图，直线AB 经过⊙O 的圆心,与⊙O 相交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC=300,点E 是直线AB 上的一个动点（与点O 不重合），直线EC 交⊙O 于D ，则使DE=DO 的点共有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D 、4个8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=900，AD ＋BC ＞DC ，若腰DC 上有点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点( )（A ）不存在（B ）只有一个 （C ）只有两个 （D ）有无数个EBC 'FCD62D 'A4题图。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
中考数学专题复习卷：几何图形的动态问题精编(含解析)
几何图形的动向问题精编1.如图，平行四边形ABCD中， AB=cm， BC=2cm ，∠ ABC=45°，点P 从点 B 出发，以1cm/s 的速度沿折线BC→CD→DA运动，抵达点 A 为止，设运动时间为t(s)，△ ABP的面积为S(cm2)，则S 与t 的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】：分三种状况议论：①当 0≤t ≤2时，过 A 作 AE⊥ BC 于 E．∵∠ B=45°，∴△ ABE 是等腰直角三角形．∵AB=，∴ AE=1，∴S= BP×AE=×t×1= t；②当 2＜ t ≤时， S==×2×1=1 ；③当＜ t ≤时， S= AP×AE=×（-t ）×1=（-t）．故答案为： A ．【剖析】依据题意分三种状况议论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当2 +＜ t ≤ 4 +时，分别求出S 与 t 的函数分析式，再依据各选项作出判断，即可得出答案。
2.如图，边长为 a 的菱形 ABCD 中 ,∠ DAB=60°,E 是异于 A 、D 两点的动点 ,F 是 CD 上的动点 ,知足 AE+CF=a, △ BEF 的周长最小值是 ( )A. B. C. D.【答案】 B【分析】：连结 BD∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∵∠DAB=60°，∴△ ABD 是等边三角形，∴AB=DB ，∠ BDF=60°∴∠ A= ∠ BDF又∵ AE+CF=a ，∴AE=DF ，在△ ABE 和△ DBF 中，∴△ ABE ≌△ DBF （SAS），∴BE=BF ，∠ ABE= ∠DBF ，∴∠ EBF= ∠ ABD=60°，∴△ BEF 是等边三角形．∵ E 是异于 A、 D 两点的动点 ,F 是 CD 上的动点 ,要使△ BEF 的周长最小，就是要使它的边长最短∴当 BE⊥AD 时， BE 最短在 Rt△ ABE 中， BE==∴△ BEF 的周长为【剖析】依据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A= ∠ BDF ， AE=DF ， AB=AD ，便可证明△ ABE ≌△ DBF ，依据全等三角形的性质，可证得BE=BF ，∠ ABE= ∠ DBF ，再证明△ BEF 是等边三角形，而后根据垂线段最短，可得出当BE⊥ AD 时， BE 最短，利用勾股定理求出BE 的长，即可求出△BEF 的周长。
中考数学动态几何专题复习
中考数学动态几何专题复习图形的运动变化问题。
【典型例题】例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ⋂的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ，求CD 的长。
分析：连接OM 交CD 于E ，∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ⋂中点∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC =3∴CE CD ==323，例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E DC 为⊙O 切线（2）若∠ABC 为直角则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BCDC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线DC AB BE ==1212例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。
（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？分析：（1）∵AB 为半圆直径∴∠ACB ＝90°∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝xNF AB CPCM =NF x104848=-..NF x=-102512 S ND NF =·=-=-+=--x x x x x x ()()102512251210251224522当x =125时，水池面积最大。
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与动态有关的综合题动态几何问题就其知识结构而言，它常常集几何、代数知识于一体，是数形结合的完善表现，具有较强的综合性、灵活性和多变性。
几何方面常常涉及全等形、相似性、勾股定理、特殊的四边形和圆，代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标和解直角三角形等。
解决这类问题的基本策略是：1、动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性。
2、动静互化：“静”只是“动”瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系。
3、以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系。
总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。
具体做法是：第一，全面阅读题目，了解运动的方式和形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系；第二，应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；第三,在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。
考点1 点动命题规律点运动问题，即探索几何图形上一个或几个动点在运动变化过程中伴随着等量关系，变量关系，图形的特殊状态，图形间的特殊关系等题目。
以点的运动带动图形的变化，常与方程，函数知识联系在一起。
【例1】如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止；点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2．（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当1≤x ≤2时，写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围； 并请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．【分析】：（1）由题意知，AQ=x ，AP=2x ，根据三角形的面积计算公式，解答出即可；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积是正方形面积的一半，列式求出即可；（3）当橡皮筋刚好触及钉子时，∠POQ=180°，求出停止时，∠POQ 的度数，即可知变化范围；【答案】解：（1）由题意得，AQ=x ，AP=2x ， ∴y=21×x ×2x=x2；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积是正方形面积的一半； ∵AQ=x ，PB=2x-2，∴21×（x+2x-2）×2=21×2×2， 解得，x=34；（3）由题意可得，当橡皮筋刚好触及钉子时，∠POQ=180°， 停止时，OP=2，OQ=2，PQ=2， ∴OP2+OQ2=PQ2， ∴∠POQ=90°；∴90°≤∠POQ ≤180°； 如图，①当1≤x ≤34时，y=3x-2； ②当34＜x ≤2时，y=23x ．考点2 线动命题规律 线动型的问题有两大类即直线（线段）和曲线（包括圆弧）其运动的形式有平移，旋转等。
它主要是探索在运动的过程中等量关系，变量关系，图形的特殊状态等，这种题目一般综合性比较强，多半以压轴的形式出现。
【例2】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB 、DC 不重合）．（1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数S=f （x ）；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．【答案】：解：（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为1米时，MN 应位于DC 上方，且此时△EMN 中MN 边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=3米，所以S △EMN=43平方米，即三角通风窗EMN 的通风面积为43平方米 （2）当MN 在矩形区域内滑动，即x ∈(0，21)时，△EMN 的面积S=21×MN ×(21-x)=21-x ； 当MN 在半圆形区域内滑动，即x ∈(21，23)时，△EMN 的面积S=(x-21)•221x -1⎪⎭⎫ ⎝⎛-综上可得S=f(x)= -x+21，x ∈(021) (x-21)•221x -1⎪⎭⎫ ⎝⎛-，x ∈(2321)；（3）当MN 在矩形区域内滑动时，f （x ）在区间(0，21)上单调递减，则f （x ）＜f （0）=21； 当MN在半圆形区域内滑动，f(x)=(x-21)•221x -1⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤22112122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-X X =21等号成立时，x=21(2+1)因此当x=21(2+1)（米）时，每个三角形得到最大通风面积为21平方米．考点3 形动命题规律 尽管图形的运动更复杂，但它们的运动还有其规律，其主要形式有平移，旋转，翻转对称等，图形在运动过程中的大小和形状是不变的只是位置发生变化，这个类型的考题在逐年增加请留心。
【例3】如图，已知直线y=-21x+1交坐标轴于A 、B 点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求点C、D的坐标（2）求抛物线的解析式（3）若抛物线与正方形沿射线AB下滑，直至点C落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积．【分析】：（1）分别过C、D两点作x轴、y轴的垂线，利用三角形全等的关系可确定C、D两点的坐标；（2）根据A、C、D三点的坐标求抛物线解析式；（3）由平移的性质可判断线段CE所扫过的部分为平行四边形，CC′为底，BC 为高，由此求出C、E两点间的抛物线所扫过的面积．【答案】解：（1）如图，分别过C、D两点作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，由直线AB的解析式得AO=1，OB=2，由正方形的性质可证△ADN≌△BAO≌△CBM，∴DN=BM=AO=1，AN=CM=BO=2，∴C（3，2），D（1，3）；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，1），C（3，2），D（1，3）三点坐标代入，得c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3， 解得a=-65 b=617c=1， ∴y=-65x2+617x+1；（3）∵AB=BC=22OB OA =5， 由△BCC ′∽△AOB ，得`CC BC =OB AO =21， ∴CC ′=2BC=25，由割补法可知，抛物线上C 、E 两点间的抛物线所扫过的面积=S ▱CEE ′C ′=CC ′×BC=25×5=10，即抛物线上C 、E 两点间的抛物线所扫过的面积为10．“运动型问题”练习1．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动．．．的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．2．如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 .3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位置，则点P 2008的横坐标为 ．32l1A A A DC BA（第1题）P OBA（第2题）yxP 1P OA（第3题）4．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是 （ ）5．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是 （ ）A ．15π2cm B ．15πcm C ．75π2cm D ．75πcm 6．如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 （ ）A ．3秒或4.8秒B ．3秒C ．4.5秒D ．4.5秒或4.8秒 7．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动.（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间； （2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．435OyxxyO534xyO534435Oy xA ．B ．C ．D ．EDCBA （第6题）PBAO（第7题）8．△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm ．长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M 、N 分别作AB 的垂线交直角边于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？9．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动．（1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切；（2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；（3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．10．如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上．过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D 与y 轴交于点E ．NM QPCBA （第8题）yx5O 1DCBA（第9题）（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t ≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为S ，S 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积；②当2＜t ＜4时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．12π 2．3 3．2008 4．C 5．B 6． AyxO D 428NMtS O CBA图1 图2EQ（第10题）7．（1）当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．8．（1）①当点P在AC上时，y＝32t2（0≤t≤1）；②当点P在BC上时，y＝－36t2＋233t（1＜t≤3）．（2）当t＝34s时，四边形MNQP为矩形．（3）当t＝12s或34s时，以C、P、Q为顶点的三角形与ABC△相似．9．（1）因为A、D、O三点在同一条直线上，∠ADC＝90° ，所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线．（2）①当切点D在第四象限时，OD所在直线的函数关系式为y＝－34x；②当切点在第二象限时，OD所在直线对应的函数关系式为y＝－43 x.（3）正方形的面积S与x之间的函数关系式为S＝13－5x．又∵D点在圆上运动，∴－1≤x≤1．∴ S的最大值是18，最小值是8．10．（1）①AB＝2；直角梯形OABC的面积为12；②当2＜t＜4时，直角梯形OABC被直线l扫过的面积S＝－t2＋8t－4．（2）存在点P，使△PDE为等腰直角三角形．满足条件的点P有P1（－12，4），P 2（－4，4），P3（－83，4），P4（4，4），P5（8，4）．。