卡尔曼滤波简述

Kalman Filter
Xianling Wang
July23,2016v1.0
目录
一、简介2
二、线性卡尔曼滤波方法2
2.1滤波方法描述 (2)
2.2滤波过程的其他细节 (3)
三、后记4
一、简介
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的核心功能是对观测值进行优化，尽可能降低误差的影响，使其更加贴近系统的实际值。

二、线性卡尔曼滤波方法
2.1滤波方法描述
假设系统在t时刻的状态由x t描述，x t包含了若干个变量，因此以向量的形式出现。

同时假设系统状态相对于时间变化的机理是可知的，由式（1）描述，即
x t+1=F t x t+B t u t+w t(1)其中，F t为状态转移矩阵，描述t时刻状态对t+1时刻状态的影响程度；u t表示外界控制因素；B t为控制矩阵，描述外界控制因素对t+1时刻状态的影响程度；w t表示不可控的过程噪声，假设其协方差矩阵为Q t。

式（1）所描述的关系是线性的，因此对其误差消除的滤波方法称为线性卡尔曼滤波方法。

假设对系统状态的观测是间接的，而且存在一定误差，即
z t=H t x t+v t(2)其中，z t为所用观测工具可以观测到的直接变量，不一定等同于系统状态中的变量，但却是和系统状态中的变量存在一定线性关系的变量；H t描述直接观测变量和系统状态变量之间的线性关系；v t表示观测误差，假设其协方差矩阵为R t。

虽然t时刻的观测值都是带有误差的，但由于系统状态相对于时间变化的机理是可知的，因此结合t−1时刻的某些信息可以削减该误差，提升t时刻观测值的精确度，得到t时刻的最优估计值，该估计值相对实际值的误差协方差为P t。

为了获得t时刻系统状态的最优估计值，线性卡尔曼滤波器需要以下3个方面的信息：
1.t−1时刻的最优估计值ˆx t−1；
2.t−1时刻最优估计值相对于实际值的误差协方差P t−1；
3.t时刻的观测值z t；
在获知这些信息的条件下，t时刻系统状态的最优估计值可以依据以下5个公式逐步获得：
1.由t−1时刻的最优估计值ˆx t−1，结合式（1）系统状态相对时间变化的机理，
预测t时刻的系统状态ˆx t|t−1，即
ˆx t|t−1=F t−1ˆx t−1+B t−1u t−1(3)
2.由t−1时刻最优估计值相对实际值的误差协方差P t−1，结合式（1）获得t时
刻预测状态相对于实际状态的误差协方差P t|t−1，即
P t|t−1=F t−1P t−1F T
t−1
+Q t−1(4)该式可以根据定义展开P t|t−1，并且结合最优估计误差x t−1−ˆx t−1与过程噪声w t之间的非相关性获得。

3.由P t|t−1计算卡尔曼因子K t，即
K t=P t|t−1H T
t (
H t P t|t−1H T
t
+R t
)−1
(5)
4.由t−1时刻对t时刻的预测ˆx t|t−1、卡尔曼因子K t以及t时刻的观测z t共同
得到t时刻对系统状态的最优估计，即
ˆx t=ˆx t|t−1+K t (
z t−H tˆx t|t−1
)
(6)
5.由t−1时刻对t时刻的预测误差和卡尔曼因子K t更新t时刻的估计误差，即
P t=P t|t−1−K t H t P t|t−1(7)其中，式（5-7）的引出与高斯噪声的特性有关[1]。

2.2滤波过程的其他细节
•估计误差P t是迭代更新的，因此P t并不是准确的，而其初值并不是非常重要。

•卡尔曼滤波器隐式地使用了0至t时刻的所有样本信息，体现在P t的逐步迭代更新上。

•式（4）和式（5）中的Q t−1和R t为过程噪声和观测噪声协方差，这两个噪声为平稳过程，因此其下标可以去掉。

•Q和R作为迭代的重要参数，对卡尔曼滤波器的性能起到一定影响，应该尽可能提前对其进行统计，否则只能多次测试。

•t=1时刻做初次估计时，不存在先前时刻的预测值，因此可以将观测值直接作为最优估计使用。

•所谓卡尔曼滤波器的预测作用，仅仅是结合系统机理根据t时刻对t+1时刻进行粗糙的预测，并不是根据0至t时刻的所有样本对系统状态的后续发展做
出长期的预测。

三、后记
非常好！
参考文献
[1]Faragher R.Understanding the Basis of the Kalman Filter via a Simple and Intuitive
Derivation[J].IEEE Signal Processing Magazine,2012,29(5):128–132.。