专题05 概率(精讲)-高一数学(必修3)期中期末备考精讲精练

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人教版高中数学精讲精练选择性必修三7.1 条件概率及全概率(解析版)

7.1条件概率及全概率公式考法一条件概率【例1-1】（2023·云南）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A 为“选取的两名学生性别相同”，事件B 为“选取的两名学生为男生”，则()|P B A =（）A ．14B ．34C ．13D ．23【答案】D【解析】由题意得，事件A 包含的样本点数()2234C C 9n A =+=，事件A 和B 包含的样本点数()24C 6n AB ==，所以()()()62|93n AB P B A n A ===.故选：D【例1-2】（2024·陕西汉中）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）A ．0.25B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】B【解析】设第一次取得白球为事件A ，第二次取得红球为事件B ，所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：42()265(|)0.445()565P AB P B A P A ⨯⨯====⨯⨯.故选：B.【一隅三反】1．（2024·辽宁）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A ：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B ：“两家选择景点不同”.则概率()P B A =（）A ．23B ．59C ．45D ．89【答案】D【解析】由题意可知:A 两家都没选择丹东凤凰山，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而:AB 有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则()4255P AB ⨯=⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===.故选：D2．（2024·全国·高二假期作业）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A =“第一次摸球摸出黑球”，事件B =“第二次摸球摸出白球”，则()P B A =（）A ．625B ．825C ．35D ．45【答案】D【解析】根据题意可知，2()5P A =第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率()2485525P A B ⋂=⨯=，则()8()4252()55P A B P B A P A ⋂===,故选：D.3．（2024·北京）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A ．711B ．713C ．731D ．1131【答案】B【解析】根据题意可得()()()1311,,1317331P A P B P AB ===利用条件概率公式可得()()()7731131331P AB P B A P A ===.故选：B4．（2024·江西）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（）A ．111B ．211C ．19D ．29【答案】A【解析】由题意，知()()66551111,66366636P A P AB ⨯-⨯====⨯⨯，所以()()()111P AB P B A P A ==．故选：A ．考法二条件概率性质【例2-1】（2024·湖北）已知A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若()12P A B =，()13P B A =，则()()()P AB P AB P AB +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为()12P A B =，所以()1()2P AB P B =，即()2()P B P AB =，同理，由()13P B A =得()3()P A P AB =，因为()()()2()P B P AB P AB P AB =+=，所以()()P AB P AB =，()()()3()P A P AB P AB P AB =+=，所以()2()P AB P AB =，所以()()3()3()()P AB P AB P AB P AB P AB +==．故选：A.【例2-2】（2023上·高二课时练习）下列式子成立的是（）A ．()()P AB P B A =∣∣B ．()01P BA <<∣C ．()()()P AB P A P BA =⋅∣D ．()()()P AB P B P BA =⋅∣【答案】C【解析】由条件概率公式知()()()()(),()P AB P AB P AB P B A P B P A ==∣∣，但是()P A 不一定等于()P B ，所以选项A 错误；根据条件概率的性质可知()01P B A ≤≤∣，所以选项B 错误；由条件概率公式()()()P AB P BA P A =∣可得出()()()P AB P A P BA =⋅∣，所以选项C 正确；由条件概率公式()()()P AB P AB P B =∣可得出()()()P AB P B P AB =⋅∣，所以选项D 错误.故选：C【例2-3】（2023·云南保山）（多选）,A B 为随机事件，已知()0.5P A =，()0.3P B =，下列结论中正确的是（）A ．若,AB 为互斥事件，则()0.8P A B +=B ．若,A B 为互斥事件，则()0.8P A B +=C ．若,A B 相互独立，则()0.65P A B +=D ．若()|0.3P B A =，则,A B 相互独立【答案】ACD【解析】A 选项，根据互斥事件的加法公式可得，()()()0.50.30.8P A B P A P B +=+=+=，A 选项正确；B 选项，若,A B 为互斥事件,故()0P AB =，类似集合的运算：A B A B = ，由()()()()1()101P A B P A B P A B P AB P AB +====-=-= ，故B 选项不正确；C 选项，由于,A B 是相互独立事件，故()()()P AB P A P B =，于是()()()()0.50.30.50.30.65P A B P A P B P AB +=+-=+-⨯=，C 选项正确；D 选项：)()(|)0.3()(P AB P B A P B A P ===，即()()()P AB P A P B =，于是,A B 相互独立，D 选项正确.故选：ACD.【一隅三反】1．（2024·广西）（多选）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且1()2P A =，11()24P B =，7(24P AB AB +=，则下列结论中正确的是（）A ．1()8P AB =B ．5()6P A B +=C ．9()11|P A B =D ．()||)(P A B P B A =【答案】AB【解析】因为1()2P A =，11()24P B =，所以1()2P A =，13(24P B =.因为AB 与AB 为互斥事件，所以()0P AB AB ⋅=，所以(()()()()(P AB AB P AB P AB P AB AB P AB P AB +=+-⋅=+()()()()P B P AB P A P AB =-+-1112()224P AB =+-724=，所以1()3P AB =，故111()1()8()243P B P A P B AB =-=-=，故A 正确；115()(()()()()[()()](()236P A B P A P B P AB P A P B P B P AB P A P AB +=+-=+--=+=+=，故B 正确；1()83()11()1124|P AB P A B P B ===，故C 错误；1()38()11()1124|P AB P A B P B ===，11()()()123()1()()3|2P AB P A P AB P B A P A P A --===，所以()||)(P A B P B A ≠，故D 错误.故选:AB.2．（2024·福建）（多选）已知随机事件,,A B C 满足()01P A <<，()01P B <<，()01P C <<，则下列说法正确的是（）A ．不可能事件∅与事件A 互斥B ．必然事件Ω与事件A 相互独立C ．()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣D ．若()()||P A B P A B =，则()()12P A P A ==【答案】ABC【解析】因为不可能事件∅与事件 A 不会同时发生，所以互斥，故选项A 正确；因为)1,()(),())()((P A P A P P A P P AΩ=Ω=Ω=,所以()()()P A P A P Ω=Ω，所以必然事件Ω与事件 A 相互独立，故选项B 正确；因为AB AB A = ，且,AB AB 互斥，所以()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣，故选项C 正确；对于选项D ，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件B 为出现点数小于等于4，事件A 为出现点数小于等于2，则()()||P A B P A B =，但12(),(),()(),33P A P A P A P A ==≠故选项D 错误.故选:ABC.3．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为1A ，“第一次取得白球”为2A ，“第二次取得黑球”为1B ，“第二次取得白球”为2B ，则（）A ．()()1122P AB P A B =B ．()()1221P A B P A B =C ．()()11211P B A P B A +<∣∣D ．()()21121P B A P B A +>∣∣【答案】BD【解析】由题意，第一次取得黑球的概率()12116C 1C 3P A ==，第一次取得白球的概率()14216C 2C 3P A ==，第一次取黑球、第二次取黑球的概率()1121111165C C 1C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取白球的概率()1143221165C C 2C C 5P A B ==，()()1122P A B P A B ≠，所以A 错误；第一次取黑球、第二次取白球的概率()1124121165C C 4C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取黑球的概率()1142211165C C 4C C 15P A B ==，()()1221P A B P A B =，所以B 正确；由()()()111111115153P A B P B A P A ===，()()()122114415153P A B P B A P A ===，得()()11211P B A P B A +=，所以C 错误；由()()()211224215253P A B P B A P A ===，得()()2112615P B A P B A +=>，所以D 正确．故选：BD4．（2023·河南平顶山）（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机取出一个球，若取到红球，则往口袋里再放入一个白球，若取到白球，则往口袋里再放入一个红球，取出的球不放回.像这样取两次球，设事件()1,2i A i =为“第i 次取到红球”，事件()1,2j B j =为“第j 次取到白球”，事件C 为“两次取到的球颜色相同”，则（）A ．1A 与2A 相互独立B ．()2135P B A =∣C ．()12825P B A =D ．()825P C =【答案】BCD【解析】对于A ，()()()112262414,,5552555552533232P A P A A P A ==⨯==⨯+⨯=，则()()()2112P P A A A P A ≠，所以1A 与2A 不相互独立，故A 错误；对于B ，()21P B A ∣是指在第一次取出红球的条件下，第二次取出白球的概率，第一次取出红球后，再放入一个白球，袋中变为2个红球和3个白球，此时取出白球的概率为35，故B 正确；对于C ，()12P B A 是第一次取到白球且第二次取到红球的概率，()122485525P B A =⨯=，故C 正确；对于D ，事件C 包含“两次都取到红球”和“两次都取到白球”两种情况，()()12123()5P C P A A P B B =+=⨯221855525+⨯=，故D 正确．故选：BCD.考法三全概率公式【例3-1】（2024·黑龙江）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为P ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数P 的值为（）A ．0.9B ．0.85C ．0.8D ．0.75【答案】A【解析】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得(),()1P W P P W P ==-，()0.8,()0.1P A W P A W ==∣∣，由对立事件的概率公式可得()1()10.830.17P A P A =-=-=.由全概率公式可得(()()()()0.1(1)0.80.17P A P W P A W P W P A W P P =+=⨯+-⨯=∣∣，解得0.9P =.故选：A【例3-2】（2024·河南南阳）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．521B ．940C ．745D ．720【答案】C【解析】令1A =“玩手机时间超过1小时的学生”，2A =“玩手机时间不超过1小时的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，12A A Ω= ，且12,A A 互斥，()()()()1210.10.9|0.6,0,.2 ,P A P A P B A P B ====，依题意有()()()()()()11222||0.10.60.9|0.2P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=，解得()20.1470.945|P B A ==从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为745.故选：C 【一隅三反】1．（2024·黑龙江）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A ，B ，C 三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A ，B ，C 三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A ，B ，C 三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A ．0.24B ．0.14C ．0.077D ．0.067【答案】C【解析】由题意，小明闯关失败的概率()()()0.210.910.310.920.510.930.077P =⨯-+⨯-+⨯-=.故选：C.2．（2024·全国·高二假期作业）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A ．0.48B ．0.52C ．0.56D ．0.65【答案】B【解析】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为12,A A ，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B ，依题意，()10.8P A =，()20.2P A =，()1|0.6P B A =，()2|0.2P B A =，由全概率公式得，()()()12P B P BA P BA =+()()()()1122||P A P B A P A P B A =+0.80.60.20.20.52=⨯+⨯=.故选：B3．（2023·湖北）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A ．29B ．38C ．112D ．58【答案】B【解析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用1B 表示丢失的一箱为英语书，2B 表示丢失的一箱为数学书，则()()1212P B P B ==，()24129C 61C 366P A B ===，()25229C 105C 3618P A B ===，由全概率公式可得()()()()()112211152262189P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=，所以，()()()1111326289P AB P B A P A ⨯===.故选：B.4．（2023·湖北）（多选）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（）A ．第二天去甲游乐场的概率为0.63B ．第二天去乙游乐场的概率为0.42C ．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为23D ．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为13【答案】AC【解析】设1A ：第一天去甲游乐场，2A ：第二天去甲游乐场，1B ：第一天去乙游乐场，2B ：第二天去乙游乐场，依题意可得()10.3P A =，()10.7P B =，()210.7P A A =，()210.6P A B =，对A ，()()()()()21211210.30.70.70.60.63P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，A 正确；对B ，()()2210.37P B P A =-=，B 错误；对C ，()()()()1211220.70.620.633P B P A B P B A P A ⨯===，C 正确；对D ，()()()()()()()()121121122210.310.790.3737P A P A A P A P B A P A B P B P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦====，D 错误，故选：AC.5．（2024·陕西汉中）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．【答案】0.012【解析】设事件:A “取得一件次品”事件1B ：“取得次品是甲厂生产”，2B ：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知()()()()12120.9,0.1,0.01,0.03P B P B P A B P A B ====,所以由全概率公式知取得次品的概率为()()()()()11220.010.900.030.100.012P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=.故答案为：0.012考法四贝叶斯公式【例4】（2024·福建）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）．A ．37B ．47C ．15D ．45【答案】A【解析】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．【一隅三反】1．（2024湖南）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占13，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占14，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】设事件i A 表示“取到第i 号袋子”(i =1，2，3，4，5)，事件B 表示“取到白球”，则由贝叶斯公式得1115111()()153()11111114()()5354444j j j P A P B A P A B P A P B A =⨯===⎛⎫⨯+⨯+++ ⎪⎝⎭∑，故选：A2．（2023·全国·高二课堂例题）张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6、0.4．如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示．结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率．【答案】917【解析】记事件A 为“张宇乘汽车”，则事件A 为“张宇乘飞机”，事件B 为“张宇迟到”，则()0.6P A =，()0.4P A =，()14P B A =，()13P B A =．根据贝叶斯公式可得()()()()()()()10.69411170.60.443P A P B A P A B P A P B A P A P B A⨯===+⨯+⨯．因此，张宇迟到了，他乘的是汽车的概率为917．3．（2023·湖南）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）【答案】0.1066【解析】设“抽查的人是患者”为事件A ，“试验反应是阳性”为事件B ，则“抽查的人不是患者”为事件A ，由题意可知()0.005P A =，()()10.995P A P A =-=，()0.95P B A =，()0.04P B A =，则由贝叶斯公式可得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.0050.950.10660.0050.950.9950.04⨯==⨯+⨯，即抽查一个人，试验反应是阳性，此人是患者的概率为0.1066.考法五综合运用【例5-1】（2024·吉林）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)310(2)29(3)310【解析】（1）设事件A =“取出饺子是肉馅”，()310P A =，（2）设事件B =“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件C =“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，()()()3221093910P BC P C B P B ⨯===（3）设事件D =“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件1A ，2A ，3A 分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++342353310111011101110=⨯+⨯+⨯=【例5-2】（2023·河北保定）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.【答案】(1)0.485(2)3097、3597、3297.【解析】（1）记事件B ：“小明获胜”，记事件i A ：“小明与第()1,2,3i i =类棋手相遇”，由题可得，()150.2520P A ==，()270.3520P A ==，()380.420P A ==，()10.6P B A =，()20.5P B A =，()30.4P B A =（1）由全概率公式可知()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.60.350.50.40.40.485=⨯+⨯+⨯=.（2）由条件概率公式可得()()()()()()11110.250.6300.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()22220.350.5350.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()33330.40.4320.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.即小明获胜，对手分别为一、二、三类棋手的概率为3097、3597、3297.【一隅三反】1．（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）（多选）一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2个球，则下列说法正确的是（）A ．两个都是红球的概率为625B ．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为12C ．第二次取到红球的概率为35D ．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为12【答案】BCD【解析】对于A 选项，抽取的两个都是红球的概率为2325C 3C 10=，A 错；对于B 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:N 第二次取白球，则()35P M =，()3235410P MN ⨯==⨯，所以，()()()3511032P MN P N M P M ==⨯=，B 对；对于C 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()35P M =，()25P M =，()12P Q M =，()34P Q M =，由全概率公式可得()()()()()3123352545P Q P M P Q M P M P Q M =+=⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()()()2335410P MQ P M P Q M ==⨯=，所以，()()()3511032P MQ P M Q P Q ==⨯=，D 对.故选：BCD.2．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）（多选）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为12B ．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为14C ．第二次抽到2号球的概率为316D ．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大【答案】AB【解析】记第一次取得()1,2,3i i =号球为事件i A ，则()()()123111,442P A P A P A ===，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为31512P ==+，即A 正确；第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为111224P =⨯=，即B 正确；记第二次在第i 号盒子内抽到2号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而123,,A A A 两两互斥，和为Ω，且()()()112233111,,442P B A P B A P B A ===∣∣∣，记第二次抽到2号球的事件为B ，则()()()33111111113()4444228i i i i ii i P B P A B P A P B A =====⨯+⨯+⨯=∑∑∣，即C 错误；由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球，则它来自1号盒子的概率为()()()112211111616338P A B P A B P P B ++===，它来自3号盒子的概率()()333124338P A B P P B ===，即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D 错误.故选：AB3．（2023下·湖北武汉·高二校联考期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？【答案】(1)0.4(2)0.25(3)应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次【解析】（1）设1A 表示“甲球员出任前锋”，2A 表示“甲球员出任中锋”，3A 表示“甲球员出任后卫”，则123A A A Ω= ，设B 表示“球队输掉某场比赛”，则()10.1P A =，()20.5P A =，()30.4P A =，()()120.2P B A P B A ==||，()30.7P B A =|，所以()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅|||0.10.20.50.20.40.7=⨯+⨯+⨯0.4=.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.（2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率()()()()22220.50.20.25()()0.4P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====||.（3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这场出任前锋的概率()()110.10.20.05()0.4P A B P A B P B ⨯===∣；甲球员在这场出任后卫的概率()()()330.40.70.70.4P A B P A B P B ⨯===∣；由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率()20.25P A B =|.所以有，()()()123P A B P A B P A B <<∣∣∣，所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.一．单选题1．（2024·北京昌平）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A ．22.5%B ．30%C ．40%D ．75%【答案】C【解析】设事件A 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则()0.75P A =，()0.3P AB =，则()()()0.320.755P AB P B A P A ===，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选：C.2．（2023·广东肇庆）已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.1P B A ⋂=，求()|P B A =（）A ．110B ．13C ．15D ．1【答案】C【解析】由题可得()()()0.110.55|P AB P B A P A ===.故选：C.3．（2023·山东德州）掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则()P B A 为（）A ．56B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】掷一个均匀的骰子，有1，2，3，4，5，6共6种结果，事件A 包含点数为3,4,5,6，共4种结果，所以()4263P A ==；事件AB 包含点数为3,5共2种结果，所以()2163P AB ==，所以()()()12P AB P B A P A ==．故选：D4．（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．38【答案】B【解析】记事件:A 从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，记事件2:B 丢失的一箱是语文书，事件2:B 丢失的一箱是数学书，事件3:B 丢失的一箱是英语书，则()()()3222199914335215312C 10C 5C 3i i i P A P B P A B =⨯⨯⨯==⨯+⨯+⨯=∑，()()()3332915315C 12P AB P B P A B ⨯==⨯=，由贝叶斯公式可得()()()33113124P AB P B A P A ==⨯=.故选：B.5．（2024下·全国·高二随堂练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）A ．14B ．16C ．110D ．25【答案】A【解析】记i A 为第i 次摸到的是红球，则()()()12122P A A P A A P A =，又()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=，()()()()()()()212121211212132254545P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，所以()1214P A A =，故选：A.6．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）下列各式中不能判断事件A 与事件B 独立的是（）A ．()()()P A B P A P B ⋂=B ．()()()()()P A B P A P B P A P B =+- C ．()()1P A B P A +=D ．()()1P A B P A B +=【答案】D【解析】选项A ：因为()()P A B P AB = ,所以()()()P AB P A P B =，由事件相互独立意义可知，事件A 与事件B 独立；故A 正确；选项B ：因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ,又()()()()()P A B P A P B P A P B =+- ，所以()()()P A B P A P B ⋂=，由选项A 可知，事件A 与事件B 独立；故B 正确；选项C ：因为()()()()()1P AB P A B P A P A P B +=+=,即()()()()1P ABP A PA PB =-=所以()()()P AB P A P B =,即事件A 与事件B 独立，所以事件A 与事件B 独立，故C 正确；故选：D.7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）下列有关事件的说法正确的是（）A ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大B ．若()()()1P A B P A P B =+= ，则事件A ，B 为对立事件C ．若A ，B 为互斥事件，则()()1P A P B +≤D ．若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()P A C B P A B P C B <+∣∣∣ 【答案】C【解析】对于A 中，若事件A 和B 都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A 错误；对于B 中，若在不同试验下，虽然有()()()1P A B P A P B =+= ，但事件A 和B 不对立；若在同一试验下，说明事件A 和B 对立，则B 错误；对于C 中，若A ，B 互斥，且A ，B 对立，则()()1P A P B +=，若A ，B 不对立，则()()1P A P B +<，所以C 正确；对于D 中，若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()|||P A C B P A B P C B =+ ，所以D 错误，故选：C.8．（2023下·浙江台州·高二统考期末）已知()P A ，()P B ，()P C ，()P AC ，()P AB ，()P BC 均大于0，则下列说法不正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．若()()P B A P B =，则()()P A B P A =C ．若()()P B A P A B =，则()()P A P B =D ．()()()()P ABC P A P C A P B AC =【答案】A【解析】对于A ，若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故A 错误；对于B ，若()()P B A P B =，则()()()P AB P B P A =,即()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===,故B 正确；对于C ，若()()P B A P A B =，则()()()()P AB P AB P A P B =，则()()P A P B =，故C 正确；对于D ，()()()()()()()()()P AC P ABC P A P C A P B AC P A P ABC P A P AC =⋅⋅=，故D 正确.故选:A.二．多选题9．（2023·吉林长春·）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（）A ．()1123P A B =B ．()212P B =C ．()2113P A B =D ．()2134P B A =【答案】AD【解析】对A ，()193==124P B ，()1161==122P A B ，所以()()()111112==3P A B P A B P B ,故A 正确；对B ，事件2B =“第2次取球，取到正品”，()2119392212A A A 3A 4P B +==，故B 错误；对C ，事件21A B =“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有65+62+36+32=66⨯⨯⨯⨯种情况，()21212661=A 2P A B =，故C 错误；对D ，事件12A B =“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有65+63+26+23=66⨯⨯⨯⨯种情况，()12212661=A 2P A B =，又因为()182==123P A ，()()()122113==4P A B P B A P A ,故D 正确；故选：AD.10．（2024·全国·高二假期作业）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互为对立事件C ．A 与C 相互独立D ．()13P D B =【答案】BC【解析】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，事件A =“12，13，14，21，23，24”；事件B =“12，21，31，41，32，42”；事件C =“12，21，34，43”；事件D =“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵A B ⋂≠∅，∴A 与B 不是互斥事件，故A 错误；C D =Ω ，C D ⋂=∅，∴C 与D 互为对立事件，故B 正确；事件AC =“12，21”，∴()61122P A ==，()41123P C ==，()21126P AC ==，()()()P AC P A P C =，∴A 与C 相互独立，故C 正确；事件BD =“31，41，32，42”，()12P B =，()41123P BD ==，∴()()()23P BD P D B P B ==，故D 错误．故选：BC.11．（2023下·山东聊城·高二统考期末）若A 、B 分别为随机事件A 、B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论正确的是（）A ．()()1P B A P B A +=B ．()()()()P A B P B P B A P A=C ．()()()P A B P A B P B +=D ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =【答案】BD【解析】对于A 选项，因为()()()()()()()()()()()1P AB P AB P AB P AB P A P B A P B A P A P A P A P A ++=+===，但()P B A 与()P B A 不一定相等，故()()P B A P B A +不一定等于1，A 错；对于B 选项，因为()()()P A B P B P AB =，()()()P B A P A P AB =，所以，()()()()P A B P B P B A P A =，B 对；对于C 选项，()()()()()()()()1P AB P AB P B P A B P A B P B P B P B +=+==，C 错；对于D 选项，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以，()()()P AB P A P B =，所以，事件A 、B 独立，故()()()()P AB P B A P B P A ==，D 对.故选：BD.12．（2024·河南）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为227C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3113(39⨯=，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为3126()39⨯=，B 错误；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为213332117C C ()()3327⨯+=，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，7()27P A =，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率113322115()C C ((3327P AB =⨯+=，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为()5(|)()7P AB P B A P A ==，D 正确.故选：ACD三．填空题13．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是.【答案】13【解析】设A ：狗的寿命超过15岁，B ：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是(|)P B A .依题意有2,()0.6()0.P A P B ==.又因为B A ⊆，所以B A B =I ，从而()()0.2P B A P B == ，因此()()()0.21|0.63P B A P B A P A ⋂===.所以一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是13，故答案为：13.14．（2023上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是.①A 与B 互斥②C 与D 互为对立事件③A 与C 相互独立④1(|)3P D B =【答案】②③【解析】依题意，按取球先后次序排列取球编号，得试验的样本空间{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}Ω=，事件{12,13,14,21,23,24}A =，事件{12,21,31,32,41,42}B =，事件{12,21,34,43}C =，事件{13,14,23,24,31,41,32,42}D =，显然事件,A B 有公共的基本事件12,21，即,A B 不互斥，①错误；事件,C D 不能同时发生，但必有一个发生，则C 与D 互为对立事件，②正确；6141(),()122123P A P C ====，事件{12,21}AC =，21()()()126P AC P A P C ===，A 与C 相互独立，③正确；61()122P B ==，事件{31,41,32,42}BD =，41()123P BD ==，()2(|)()3P BD P D B P B ==，④错误，所以命题中所有正确的序号是②③.故答案为：②③15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A 甲和乙选择的景点不同，事件:B 甲和乙恰好有一人。

高一数学必修三概率复习总结精品PPT课件

例3.甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解：以 X , Y 分别表示甲乙二人到
达的时刻，于是 0X5,0Y5.
即点 M 落在图中
的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。
(3) 当事件A、B对立时， P(A)1P(B)
(4 )P (A B )= P (A )+ P (B )-P (A B )
古典概型
1）两个特征：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
2）古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
15 5
（2）记“取出的鞋不成对”为D ， P（D）= 1 - 3 = 4 15 5
例2、函数 f(x)=x2-x-2,x?[5,5] ，几那何概么型任主取要一有体点积x0型，、使面f积(x型0)、£长0 的度概型率等，（解题关键是）：找到本题中要
解：用区画到域出A是的函哪几数种何的几度图何量象度占，量的由，几图然何象后度得再量,考当的虑任比子取一
一九八四年，我终于考上长沙一所理工学院，当我把这一消息告诉母亲时，我不知母亲那一刻在想什么，我相信给她的那份震撼绝不亚于惊涛骇浪。她说的第一句话就是要去菩萨面前谢恩，要告慰我亲的在天之灵：“九满上大学了！” 因为我不停的升学，这个小心呵护我的母亲，不得不眼睁睁地看着我离开她，而且越来越远，越来越远……我十五岁以后，回家的时间仅仅是节假日或寒暑假，所谓想家，其实就是渴望母亲给我筹集的学费，回家吃顿饱饭……所以，在我的心中，故乡在慢慢地缩小，而母亲的身影却在不断放大！大学毕业后，当我告诉母亲：我被分配到广州工作。母亲的神情是复杂的，既有欣慰也有失落，传统的“父母在，不远行”的思想，让她觉得儿子不应离开她，而母爱又使她觉得不应阻碍儿子的前程，母亲的失落只有我才感觉到，我知道，母亲是希望儿子留在故乡的。从我离开故乡到广州工作的时间里，母亲经常因挂念儿子而偷偷地落泪，特别是在她患病的时候，一有人提起我，母亲说话就会哽噫，这是我后来听嫂嫂说才知道的。虽然我离家离得断然绝然，但是，从我参加工作的那年开始，只要一休假，虽然要坐十几个小时人满为患的火车，虽然待在家里的时间只有两天三天，我也会带着疲惫和兴奋匆匆往家赶，因为那里有我的母亲。参加工作后，母亲才终于结束农村对城市的支援，但这时的她，因为年龄的缘故，已经老态龙钟，走路也要借助拐杖。一九九五年，我把母亲从乡下接到广州，以为故人、故乡可以暂时从母亲的脑海里淡出，专事休养。其实不然，母亲就像一本故乡的活字典，昨天说二姐的身体，今天说五哥的夫妻关系。晚上看电视，明明是粤剧，她却说是湖南花鼓戏。当有晚辈从故乡来到广州，母亲便会急迫地向他打听村子里的情况，当听到一切安好时，脸上就会露出欣慰而放心的笑容；当听到村里有人生病或去世时，母亲的情绪就会非常低落，通常好几天都无法从担心和失落的心情里走出来。母亲在广州还没住满一年，就匆匆地返回故乡了。每每当她得到我要回乡探亲的消息时，母亲的心情就会突然变得开朗起来，精神也比平日好了许多，整天兴奋地念叨：九满还有几天几天就要回来了。我一回到老人身边，母亲的一切就会以我为中心，看着忙前忙后的哥哥嫂嫂，看着满屋子乱串叫嚷着的侄男侄女，老人就会开心，就会快乐。当我在母亲身边坐下来，她总是拿着我的手，重复地对我说：九满，我没有什么要求，只是希望你多回来看看。所以我每次探亲，都会谢绝一切同学朋友聚会，就是想在母亲的身边多待上一点时间，以此减少母亲心里的挂念，多给自己一些尽孝的机会，来弥补距离的缺憾。我离开故乡返回广州的那天，天还没亮，我总会听到一个不太清淅的声音，睁眼一看，母亲在为她临行的儿子准备我最喜欢的土产，看到母亲的样子，我真的好难过，作为她的儿子，我什么时候能做到像母亲这样关心她呢？临行时，母亲更是依依不舍，眼里饱含着泪花，一句话也说不出来，她很担心自己再也见不到她的小儿子了，我理解母亲的心情，在母亲面前，我祥装坚强，当我转身离开的那一霎那间，我的泪水便随意如流水！

2021年高考数学(北师大版)必修三概率专题复习讲义(精品)

态度和锲而不舍的求学精神
几何概型
问题化为几何概型问题 ③了解连续型随机数的意义 , 能运用模拟方法 (包括计算器
产生随机数来进行模拟 )估计
概率
本章教学的重点是频率与概率的意义、古典概型、几何概型、事
件的关系和运算 . 在教学时要注意以下几点 :
. 鼓励学生动手操作和主动参与 ,让他们在试验、观察、交流等活动
率. 随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等是高中的新内容 ,初中没有涉及 .
. 教学中要注重统计思想和概率的意义的解释 ,而不能把重点放在复杂的计算上 . 一种统计方法只能解决部分实际问题 ,在面临新的问题时,需要的是新思想 . 教学的目的不仅是为了让学生掌握现有的知识 ,而且还要培养学生分析问题和解决问题的能力 ,培养学生的创新精神 ,所以统计思想的解释就显得尤为重要 . 在用频率近似概率时利用的是样本的数字特征估计总体的数字特征的统计思想 . 同样随机模拟的理论依据仍然是用样本估计总体的思想 . 在古典概型的教学中 ,让学生学会把一些实际问题化为古典概型 ,而不是把重点放在 “如何计数 ”上.
率
法公式
励学生动手试验 ,正确理解随机事件发生
①理解古典概型及其概率计算的不确定性及其频率的稳定性
公式 ,会用列举法计算一些随 . 让学生体验观察、实验、归纳、类比、
机事件所含的基本事件数及事推断等数学活动在概率学习中的重要性 ,
件发生的概率
提高直觉思维能力
古典 ②学会把一些实际问题化为古 . 增加学生合作学习交流的机会 ,让学生
第课时随机事件的概率
. 了解随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事件等基本概念 .
. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的定义 . . 理解频率与概率的区别与联系 .

第05讲指数与指数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·海南·模拟预测）设0.22e a -=，0.2e b =， 1.2c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<⑤根据指数函数单调性解不等式1．（2022·全国·高一）若1()273x >，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象；（2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。

专题05 概率初步章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

专题05概率初步章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1可能性的大小】【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【例1】（2019春•金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（）A．指针落在标有5的区域内B．指针落在标有10的区域内C．指针落在标有偶数或奇数的区域内D．指针落在标有奇数的区域内【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可．【答案】解：A、指针落在标有5的区域内的概率是；B、指针落在标有10的区域内的概率是0；C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1；D、指针落在标有奇数的区域内的概率是；故选：C．【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【变式1-1】（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（）A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多C．她不可能吃到豆沙馅汤圆D．她一定能吃到枣泥馅汤圆【分析】通过计算盛了1个汤圆，盛到各种馅的概率，比较概率的大小得出结论．【答案】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为，∴她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多，故选：B．【点睛】考查随机事件发生可能性的求法，体会概率是描述随机事件发生可能性的大小统计量．【变式1-2】（2019•资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．【答案】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．【变式1-3】（2019•张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：线路/公交车用时的频数/公交车用时30≤t≤3535≤t≤4040≤t≤4545≤t≤50合计甲59151166124500乙5050122278500丙4526516723500早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小，再进行比较即可得出答案．【答案】解：∵甲线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，乙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，丙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，∵0.954＞0.752＞0.444，∴应选择线路丙；故选：C．【点睛】本题主要考查了树状图法求概率以及可能性大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．【考点2确定与不确定事件】【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【例2】（2018秋•十堰期末）下列说法中不正确的是（）A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．【答案】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意；B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意；C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是随机事件，故此选项错误，符合题意；D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，正确，不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．【变式2-1】（2019春•常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（）A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+aB．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义即可得到答案．【答案】解：A．如果a，b都是实数，那么a+b＝b+a，属于必然事件；B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，属于不可能事件；C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上，属于随机事件；D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形，属于不可能事件；故选：A．【点睛】本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【变式2-2】（2019春•滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形C．矩形的两条对角线相等D．菱形的每一条对角线平分一组对角【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【答案】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是必然事件；B、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形是随机事件；C、矩形的两条对角线相等是必然事件；D、菱形的每一条对角线平分一组对角是必然事件；故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式2-3】（2019•襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（）A．任意画一个四边形，它的内角和是360°B．若a＝b，则a2＝b2C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5【分析】直接利用随机事件以及不可能事件的定义分别分析得出答案．【答案】解：A、任意画一个四边形，它的内角和是360°，是必然事件，不合题意；B、若a＝b，则a2＝b2，是必然事件，不合题意；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上，是随机事件，不合题意；D、一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5，是不可能事件，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．【考点3概率与方程】【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【例3】（2019•齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）A．27B．23C．22D．18【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．【答案】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得＝，解得x＝22，即袋中黑球的个数为22个．故选：C．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【变式3-1】（2019•南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个【分析】设袋子中有红球x个，利用概率公式得到＝0.6，然后解方程即可．【答案】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【变式3-2】（2019•大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（）A．10B．8C．6D．4【分析】根据黄球的概率公式列出方程＝求解即可．【答案】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中黄球n个，根据古典型概率公式知：P（黄球）＝＝，解得n＝6．故选：C．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．【变式3-3】（2019•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（）A．a＝1B．a＝3C．a＝b＝c D．a＝（b+c）【分析】根据概率公式得出＝，整理可得．【答案】解：由题意知＝，则3a＝a+b+c，∴2a＝b+c，∴a＝（b+c），故选：D．【点睛】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．【考点4几何概型】【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

高中数学必修三概率知识点

高中数学必修三概率知识点一、概述高中数学必修三中的概率知识点是数学学科的重要组成部分，也是日常生活和工作中经常涉及的重要内容之一。

概率论是研究随机现象的数学学科，通过对随机事件的分析和推断，揭示其内在规律和特点。

概率知识点作为高中数学必修三的重要内容，涉及概率的基本概念、事件的关系和运算、古典概型、几何概型以及离散型随机变量等知识点。

掌握这些知识点对于理解现实生活中的各种随机现象，进行科学合理的决策和风险评估具有重要意义。

在学习概率知识点时，需要掌握其基本概念和原理，学会运用概率思维解决实际问题，培养逻辑思维能力和数据处理能力。

概率知识点也是后续学习统计学、金融数学等学科的基础，对于提高数学素养和综合能力具有不可替代的作用。

1. 概率论的重要性概率论是数学的一个分支，用于研究随机现象的数量规律。

在高中数学必修三的学习中，概率知识点的重要性不容忽视。

它不仅仅是一门学科的核心内容，更是理解现实世界的一把钥匙。

在我们的日常生活中，无论是天气预测、金融投资、医学研究，还是游戏设计、风险评估等各个领域，概率知识都有着广泛的应用。

学习概率论不仅能够提高学生解决实际问题的能力，更能培养他们的逻辑思维和决策能力。

概率论是理解和预测随机事件的重要工具。

在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，比如抛硬币、抽奖等。

通过学习概率，我们可以知道这些随机事件的规律和趋势，从而更好地做出预测和决策。

其次val 序列深入式学习，概率论对于决策制定具有指导意义。

在金融投资领域，投资者可以通过学习概率知识，分析股票市场的走势和风险，从而做出更明智的投资决策。

在医学领域，医生可以根据疾病的发病率和患者的症状概率来做出诊断。

掌握概率知识对于个人和社会都具有重要意义。

它使我们能够更好地理解世界，做出明智的决策。

对于现代社会的发展，人们更需要有利用数学方法来理解世界的技能，这已成为我们教育的一大目标。

通过学习概率知识，学生可以为他们的未来生涯发展打下坚实的基础。

高中数学选择性必修三专题05二项分布、超几何分布与正态分布(含答案)高二数学下学期期中专项复习

专题05二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（）A ．13 B ．49C ．59D ．23【答案】D 【详解】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为16()112(4,)4663XB E X ∴=⨯=故选：D2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（） A ．43 B ．119C ．1D ．89【答案】A 【详解】由题意可知：2~(2,)3X B ，因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33⨯. 故选：A3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（） A ．1.8 B ．6C ．2.1D ．4.2【答案】D 【详解】因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ．故选：D.4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（） A ．14B ．13C ．34D ．45【答案】A 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故选：A ．5．（2020·全国高二课时练习）已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =的值为（） A ．23 B ．35C ．13D ．2764【答案】D 【详解】由题意，知圆心坐标为()1,4，圆心到直线()10kxy k +-=∈Z 的距离为=17k =-或1k =．因为k Z ∈，所以1k =．因为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()141141127114464P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（）A ．1128B ．7128C ．21128D ．35128【答案】C 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C.7．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若(21)(1)P m P m ξξ<+=>-，则实数m 的值是（）A ．23B ．43C ．53D ．2【答案】B 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，(21)(1)P m P m ξξ<+=>-，根据正态分布的特征，可得21122m m ++-=，解得43m =.故选：B ．8．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD 【详解】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题. 故选：ACD.9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X = D ．X 的方差()83V X =【答案】ABC 【详解】解：由于二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类： ①后4个数出现0，X 0=，记其概率为411(0)()381P X ===；②后4个数位只出现1个1，1X =，记其概率为134218(1)()()3381P X C ===； ③后4位数位出现2个1，2X =，记其概率为22242124(2)()()3381P X C ===， ④后4个数为上出现3个1，记其概率为3342132(3)()()3381P X C ===，⑤后4个数为都出现1，4X =，记其概率为4232(4)()381P X ===，故2~(4,)3X B ，故A 正确；又134218(1)()()3381P X C ===，故B 正确；2~(4,)3X B ，28()433E X ∴=⨯=，故C 正确；2~(4,)3X B ，X ∴的方差218()4339V X =⨯⨯=，故D 错误．故选：ABC ．10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中，正确的命题是（） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =B ．已知34n n A C =，则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8X =时概率最大. 【答案】BCD 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误；对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式可得，()()()3!213!n n A n n n n ==---，()()()()4321!4!4!24n n n n n n C n ---=-=，因为34n n A C =，所以有()()()()()3212124n n n n n n n -----=，即3124n -= 解得27n =，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，即8k时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．故选：BCD . 二、填空题11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()60.84P ξ≤=，则()0P ξ≤=______.【答案】0.16 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)P P ξξ≤=≥，又(6)0.84P ξ≤=，所以(0)1(6)10.840.16P P ξξ≤=-≤=-=.故答案为：0.1612．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差X 服从正态分布()2,N μσ，其密度函数()()222,12x x e μσμσϕπσ--=的曲线如图所示，则σ=______；从中随机取一件，其长度误差落在()3,6内的概率为______.（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.）【答案】3 0.1359 【详解】解：由图中密度函数解析式，可得3σ=；又由图象可知0μ=，则长度误差落在(3,6)内的概率为： 1(36)[(22)()]2P X P P μσξμσμσξμσ<<=-<+--<+1(0.95440.6826)0.13592=-=．故答案为：3；0.1359．三、解答题13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人（2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有1个白球和2个红球．（1）每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；（2）每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列；（3）每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【详解】（1）由题意，X 可能取值1，2，3. 则()113P X ==，()2112323P X ==⨯=，()211133213P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为（2）X 可能取值为1，2，3，4，5.则()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，()221433327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()321843381P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42165381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为（3）由题意可得，15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()551233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5k =，则()320243P X ==，()801243P X ==，()802243P X ==，()403243P X ==，()104243P X ==，()15243P X ==，所以X 的分布列为15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．【答案】（1）825；（2）选择方案一更划算．【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()232615C P A C ==．∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为()()22118[1]215525P C P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎪⎝⎭．（2）若小勇选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为360，480，600．则()232613605C P X C ===，()11332634805C C P X C ===，()232616005C P X C ===．故X 的分布列为∴()131360480600480555E X =⨯+⨯+⨯=（元）．若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则600100Z Y =-．由已知，可得12,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1212E Y =⨯=， ∴()()()600100600100600100500E Z E Y E Y =-=-=-=（元）．由上知：()()E X E Z <，故小勇选择方案一更划算．16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p .（i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列.参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =，当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增；当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减；所以()f p 的最大值点034p =；（ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为。

高一数学必修三概率复习总结

例1：柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率
（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；注意：含有“至多”“至少”等（2）取出的鞋不成对；类型的概率问题，从正面解决比较困难或者比较繁琐时，解（1 ）记“取出的鞋一只是左脚的，可考虑其反面，即对立事件，然后一只是右脚的”为 C 3´ 3 3 利用对立事件的性质进一步求解。 p(C)= = 15 5
6、在长为10cm的线段AB上任取一点，并以线段AP为一边作正方形，这个正方形的面 1/5 积介于25 c m 与 49 c m 之间的概率为_____
2 2
例3.甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
2）古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
A 所包含的基本事件的个数 P （ A ）＝基本事件的总数
几何概型
1）几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2）在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
（2）记“取出的鞋不成对”为D ， 3 4 = P（D）= 1 15 5
x = x -x -2 , x ? , 5 [5 ] 例2、函数 f() ，那么任取一点 x ，使 f ( x )£0 几何概型主要有体积型、面积型、长 0 0 的概率（）度型等，解题关键是：找到本题中要
2
用到是哪种几何度量，然后再考虑子解：画出函数的图象，由图象得,当任取一区域A的几何度量占的几何度量的比 x0 5,5的结果有无限个，属于几何概点例。除以上三种几何度量之外，还有与角度、时间相关的问题。型。设使 f x0 0 为事件A，则事件A构成

数学必修3第3章概率章末复习课件人教新课标

）
（2，5 （2，6
）
）
（3，5 （3，6
）
）
（4，5 （4，6
）
）
（5，5 （5，6
）
）
（6，5 （6，6
）P（A）=）1/18
2，从10件产品（其中3件次品）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有一件次品的概率。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法 …，由乘法原理可知从10件取4件共有 10×9×8×7种取法，故样本空间S中基本事件总数有10×9×8×7个。
（4）随机事件：在条件S下可能产生也可能不产生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次实验
，视察某一事件A是否出现，称n次实验中事件A出
现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的
比例fn(A)=
n A为事件A出现的概率：对于给定 n
的随机事件A，如果随着实验次数的增加，事件A 产生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
设A＝“取出4件中恰有一件次品”，则A中含有C31 C73 种取法。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法…，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故样本空间S中基本事件总数有10×9×8×7个。
设A＝“取出4件中恰有一件次品”，则A中含有C31 C73 种取法。
（1）实验总所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概率。
对于古典概型，任何事件的概率为： P（A）= A包含的基本事件的个数
基本事件的总数

专题06概率(精练)-高一数学(必修3)期中期末备考精讲精练

专题06概率（精练）-高一数学（必修3）期中期末备考精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4°C时结冰．A．1 B．2C．3 D．42．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%3．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为( )A．13B．14C．12D．234．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( )A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.45．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．A．①B．②④C．③D．①③6．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里则能找到．已知该物品能找到的概率为45，则河宽为A．100mB．80mC．50mD．40m7．从一批羽毛球中任取一个，其质量小于4.8克的概率为0.3，质量不小于4.85克的概率为0.32，则质量在4.8,4[.85)(单位：克)范围内的概率为（）A．0.62B．0.38C．0.7D．0.688．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B．13C．12D．239．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( )A．x＝x1*2 B．x＝x1*4C．x＝x1*2-2 D．x＝x1*4-210．先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3，则（）（A）P1=P2<P3（B）P1<P2<P3（C）P1<P2=P3（D）P3=P2<P111．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品D．都不是一等品二、填空题12．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A ={摸出黑球}，B ={摸出白球}，C ={摸出绿球}，D{摸出红球}，则()P A = ；()P B = ；()P C D ⋃= .13．在区间(0，1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为________．14．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______．15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.三、解答题16．某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）用表中字母列举出所有可能的结果设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.17．把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15，7.05)，[7.05，7.95)，[7.95，8.85)，[8.85，9.75)，[9.75，10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b两位同学的成绩均为优秀，求a、b两位同学中至少有1人被选到的概率．参考答案1．C 【分析】由随机事件的定义判断事件是否即有可能发生也有可能不发生即可. 【详解】①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件； ②抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件； ③有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；④标准大气压下，水在4°C 时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件. 故选C. 【点睛】本题考查随机事件的判断，只需判断成立与否均有可能即可. 2．D 【分析】概率表示事件发生的可能性的大小，具有随机性，频率代表实验中事件实际发生的次数与试验总次数之比，为实际值，由此判断即可. 【详解】A 选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B 选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C 选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D 选项，概率为90%，即可能性为90%. 故选D. 【点睛】本题考查概率的特点以及概率与频率之间的关系，由概率的随机性即可判断. 3．A 【分析】根据几何概型的公式，由x 的范围的长度与取值区间的长度作比即可得到概率. 【详解】根据几何概型计算公式可得：()101123P -==--.【点睛】本题考查取值范围型几何概型，由范围所代表长度结合几何概型计算公式即可求出概率. 4．A【解析】【分析】由几何概型计算公式令化验的体积与总体积作比即可得到结果.【详解】根据几何概型计算公式可得：0.11110 P==.故选A.【点睛】本题考查体积型几何概型，由化验体积与总体积结合几何概型计算公式即可求出概率. 5．C【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.故选C.6．A【详解】由已知易得：l从甲地到乙=500故物品遗落在河里的概率41150055x p ==-= ， ∴x =100(m ). 故选A.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比． 7．B 【分析】根据互斥事件的概率公式求解即可得到答案．【详解】由互斥事件的概率计算公式可得质量在4.8,4[.85)(单位：克)范围内的概率为10.3P =--0320.38=．．故选B ．【点睛】求解复杂事件的概率时，可将该事件化为若干个互斥事件的和事件，然后根据互斥事件的概率公式求解．对于一些不容易直接求概率的问题，可利用对立事件的概率求解，特别是含有“至多”、“至少”等字样的问题，一般用此方法求解． 8．C 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型． 9．D 【解析】【分析】分别将1x 的范围代入变换式，能使得x 的取值范围为区间[]2,2-即可. 【详解】分别将1x 的范围代入变换式，A 、B 选项最小值为0，C 选项最大值为0， D 选项最小值为-2，最大值为2，符合题意. 故选D. 【点睛】本题考查均匀随机数的区间转化，确定原区间经变化后与新区间范围相同即可. 10．B 【解析】试题分析：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种其中点数之和是12的有1种，故P 1=361；点数之和是11的有2种，故P 2=362 点数之和是10的有3种，故P 3=363故P 1＜P 2＜P 3 故选B考点：是古典概型及其概率计算公式. 11．C将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 12．25320920【分析】由古典概型计算公式，分别计算各个事件的概率，互斥事件并事件的概率为各事件概率之和. 【详解】由古典概型公式易知：()82205P A ==，()320P B =， ()()()459202020P C D P C P D ⋃=+=+=. 【点睛】本题考查古典概型与并事件的概率求法，直接利用公式代入数值即可，注意只有互斥事件的并事件才等于两个事件概率之和.13．22- 【解析】【分析】由根的判别式求出a 的取值范围，再由几何概型计算公式求出概率即可.由方程有两不等实根可得：214402a ∆=-⨯>1a <<，由几何概型公式：121P -==. 【点睛】本题考查取值范围型几何概型，求出范围长度，代入几何概型公式即可求解. 14．【详解】甲组同学的成绩分别为：88，92，93 乙组同学的成绩分别为：90，91，92记“分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学的成绩”为(x,y),则共有11339C C ⨯= 种情况其中这两名同学成绩相同的情况共有1种故这两名同学成绩相同的概率为19. 15．725【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练学生版

).
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 4
D． 1 16
7．已知直线 y＝ x＋ b， b∈ [ － 2， 3] ，则该直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是 (
).
A． 1 5
B． 2 5
C． 3 5
D． 4 5
8．在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中随机取点，则点落在四棱锥 O－ABCD ( O 为正方体体对角线的交点 ) 内的概率是
/* 概率例题选讲：
例 1. 在大小相同的 6 个球中， 4 个是红球，若从中任意选 2 个，求所选的 2 个球至少有一个是红球的概率？
变式训练 1：在大小相同的 6 个球中， 2 个是红球， 4 个是白球，若从中任意选取 3 个，求至少有 1 个是红球的概率？
变式训练 2：盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品， 4 只正品，有放回的从中任抽件的概率：（ 1）第 1 次抽到的是次品（ 2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次
整除的概率为
．
a，第二次出现的点数为 b．则 a＋ b 能被 3
16．射手张强在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别是 0.24、0.28 、0.19、0.16、0.13．计算这个射手在一次射击中： ( 1) 射中 10 环或 9 环的概率；
( 2) 至少射中 7 环的概率； ( 3) 射中环数小于 8 环的概率．
) ，试计算出现
19．从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b 的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
17．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．

高中数学专题05概率期中期末备考精讲新人教A版必修3

专题05 概率一、随机事件的概率1．概率的取值范围：1)A (P 0≤≤ 2．如果事件A 与事件B 互斥，则()()()P AB P A P B =+3．若事件A 与事件B 互为对立事件，则()()1P A P B =-．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.三、几何概型1．古典概型与几何概型的异同点相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关． 2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式为： ()P A =A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）专题一概率的统计定义及意义专题一概率的统计定义及意义对随机事件进行大量的重复试验时，其发生的频率稳定在某个常数上，这个常数反映了随机事件发生的可能性的大小，用概率描述．根据概率的统计定义，我们可以由频率估计概率，因此应理解频率与概率的关系．频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而改变，而概率是大量重复试验中频率的稳定值，是一个常数，所以不可以用一次或少数的试验中的频率来估计概率．概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律，与我们日常生活中所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不确定性与累积结果的有规律性才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．例1某射击运动员为2012年伦敦奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？（3）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？【思路分析】弄清频率与概率的定义及它们之间的关系是解题的关键．【解】（1）由题意知击中靶心的频率在0.9左右摆动，故概率约为0.9．（2）击中靶心的次数大约为300×0.9 =270（次）．（3）不一定．【解题策略】概率是一个理论值，频率是概率的近似值，当做大量重复试验时，试验次数越多，频率值越接近概率值．专题二互斥事件与对立事件互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式()()()P A B P A P B=+求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式()1()=-求解．P A P A例1下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【答案】D【解析】A，事件A，B中至少有一个发生的概率可能和事件A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错误；B，当事件A=事件B时，事件A，B同时发生的概率和事件A，B恰有一个发生的概率相等，故B错误；由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故选D．例2（1）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球，都是红球B．至少有一个红球，都是白球C．至少有一个红球，至少有一个白球D．恰有一个红球，恰有两个红球（2）①将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B 是对立事件．②将一枚硬币抛掷两次，设事件A ：“两次都出现正面”，事件B ：“两次都出现反面”，则事件A 与B 是互斥事件．③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A 与B 互斥不对立．④两个事件对立必然互斥，反之不成立．以上命题正确的有（） A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④【答案】（1）D （2）B古典概型是一类最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．解题时要注意把握古典概型的两个基本特征：有限性和等可能性．在应用公式()mP A n=（m 是A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数）时，关键是找出事件A 中包含的基本事件个数m ．例1已知圆C ：229x y +=．若连续掷两次骰子，点数分别为m ，n ，则点(,)m n 在圆C 内的概率是多少？专题三古典概型【思路分析】由于抛两次骰子的点数是一个有限值，因而是古典概型．【解】点在圆内需满足229m n +<．适合题意的点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个，而连续掷两次骰子，点数构成的基本事件共有36个．故所求概率为41369=．例2某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率．若试验同时具有基本事件的无限性与每个事件发生的等可能性这两个特征，则此试验为几何概型．由专题四几何概型于其结果的无限性，概率就不能应用()mP A n=求解，故需转化为几何量度（如长度、面积、体积等）的比值求解．几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的地位．例1设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解】设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．当0a …，0b …时，方程2220x ax b ++=有实根的条件为a b …．（1）基本事件有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．其中(0,1)，(0,2)，(1,2)不满足a b …，事件A 中包含9个基本事件，故93()124P A ==．（2）如图所示，试验的全部结果构成的区域为{}(,)03,02a b a b剟剟，构成事件A 的区域为{}(,)03,02,a b aba b 剟剟?，所以所求的概率为2132222323⨯-⨯=⨯．例2已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 A ．π12-B ．π13-C．π112-D．π16-【答案】D【解析】如图，【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论．。

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析[整理]

新课标必修3概率局部知识点总结与典型例题解析事件：随机事件，确定性事件: 必然事件和不可能事件随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进展大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值概率必须满足三个根本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P②()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和古典概率：① 所有根本事件有限个 ② 每个根本事件发生的可能性都相等，满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的根本事件的个数为个n ，那么每一个根本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的根本事件，那么事件A 发生的概率为 ()n m A P =几何概型：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其部的一个区域d 〞为事件A ，那么事件A 发生的概率为()的侧度的侧度D d A P =〔这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积〕几何概型的根本特点：① 根本事件等可性 ② 根本事件无限多为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 随机地取点，指的是该点落在区域D 任何一处都是等可能的，落在任何局部的可能性大小只与该局部的侧度成正比，而与其形状无关。

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一、随机事件的概率
1．概率的取值范围：1)A (P 0≤≤ 2．如果事件A 与事件B 互斥，则()()()P A
B P A P B =+
3．若事件A 与事件B 互为对立事件，则()()1P A P B =-．
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
三、几何概型
1．古典概型与几何概型的异同点
相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关． 2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式为： ()P A =
A 构成事件的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
专题一概率的统计定义及意义
专题一概率的统计定义及意义
对随机事件进行大量的重复试验时，其发生的频率稳定在某个常数上，这个常数反映了随机事件发生的可能性的大小，用概率描述．根据概率的统计定义，我们可以由频率估计概率，因此应理解频率与概率的关系．频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而改变，而概率是大量重复试验中频率的稳定值，是一个常数，所以不可以用一次或少数的试验中的频率来估计概率．
概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律，与我们日常生活中所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不确定性与累积结果的有规律性才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．
例1某射击运动员为2012年伦敦奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【思路分析】弄清频率与概率的定义及它们之间的关系是解题的关键．
【解】（1）由题意知击中靶心的频率在0.9左右摆动，故概率约为0.9．
（2）击中靶心的次数大约为300×0.9 =270（次）．（3）不一定．
【解题策略】概率是一个理论值，频率是概率的近似值，当做大量重复试验时，试验次数越多，频率值越
接近概率值．
互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式()()()P A
B P A P B =+求解；
二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式()1()P A P A =-求解．例1下列说法中正确的是（）
A ．事件A ，
B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大 B ．事件A ，B 同时发生的概率一定比事件A ，B 恰有一个发生的概率小
C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【答案】D
【解析】A ，事件A ，B 中至少有一个发生的概率可能和事件A ，B 中恰有一个发生的概率相等，故A 错误；B ，当事件A =事件B 时，事件A ，B 同时发生的概率和事件A ，B 恰有一个发生的概率相等，故B 错误；由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故选D ．例2（1）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（） A ．至少有一个红球，都是红球
B ．至少有一个红球，都是白球
C ．至少有一个红球，至少有一个白球
D ．恰有一个红球，恰有两个红球
（2）①将一枚硬币抛掷两次，设事件A ：“两次都出现正面”，事件B ：“两次都出现反面”，则事件A 与B 是对立事件．②将一枚硬币抛掷两次，设事件A ：“两次都出现正面”，事件B ：“两次都出现反面”，则事件
专题二互斥事件与对立事件
A 与
B 是互斥事件．③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A 与B 互斥不对立．④两个事件对立必然互斥，反之不成立．以上命题正确的有（） A ．①③ B ．②④
C ．②③
D ．①④
【答案】（1）D （2）
B
古典概型是一类最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．解题时要注意把握古典概型的两个基本特征：有限性和等可能性．在应用公式()m
P A n
=（m 是A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数）时，关键是找出事件A 中包含的基本事件个数m ．
例1已知圆C ：229x y +=．若连续掷两次骰子，点数分别为m ，n ，则点(,)m n 在圆C 内的概率是多少？【思路分析】由于抛两次骰子的点数是一个有限值，因而是古典概型．
专题三古典概型
【解】点在圆内需满足229m n +<．适合题意的点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个，而连续掷两次骰子，点数构成的基本事件共有36个．故所求概率为
41369
=．例2某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率．
若试验同时具有基本事件的无限性与每个事件发生的等可能性这两个特征，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用()m
P A n
=求解，故需转化为几何量度（如长度、面积、体积等）的比值求解．
专题四几何概型
几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的地位．
例1设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．
（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解】设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．
当0a …，0b …时，方程2220x ax b ++=有实根的条件为a b …．（1）基本事件有12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
其中(0,1)，(0,2)，(1,2)不满足a b …，事件A 中包含9个基本事件，故93
()124
P A =
=．（2）如图所示，试验的全部结果构成的区域为{}(,)03,02a b a b
剟剟，
构成事件A 的区域为{}(,)03,02,a b a
b
a b 剟剟?，
所以所求的概率为2
132222323
⨯-⨯=⨯．
例2已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 A ．π
12- B ．π13- C ．π112
-
D ．π16
-
【答案】D
【解析】如图，
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论．。