全国I卷2018年高考数学一题多解含17年高考试

(全国I 卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）
1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。

【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。

【解析】
解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得13x ≤≤，故选D 。

解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。

2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则
A ．235x y z <<
B ．523z x y <<
C ．352y z x <<
D ．325y x z <<
【答案】D
【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性；
【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。

属于中档题。

【解析】
解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55
t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<，故23x y >.
要比较2x 与5z ，只需比较
1lg 22，1lg 55
，即比较5lg 2与2lg 5，即比较lg32，lg 25，易知lg 25lg32<，故52z x >.
所以325y x z <<. 解析二：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =，
2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55
t z t ==， ()()1111lg 2lg33lg 22lg3lg8lg902366-=-=-<，所以11lg 2lg 323
<即23x y >. ()()1111lg5lg 22lg55lg 2lg32lg 250521010-=-=->，所以11lg 5lg 252
<即52z x >. 所以325y x z <<
.
3、【2017年高考数学全国I 理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=
.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.
【答案】见解析
【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。

【试题分析】本题第一问主要考察了面面垂直的判定，其中还需要用到线面垂直的判定第。

第二问是考察二面角的求法，属于中档题。

【解析】
（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .
由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .
又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .
（2）方法一：（综合法）不妨设PA =PD =AB =DC =1，
则易得PB PB BC ===取PB 中点O ，连接,AO CO ，则,AO PB CO PB ⊥⊥，
所以AOC ∠即为所求二面角的平面角。

在三角形AOC 中，
=2AO
，=2
CO
，AC =
222cos 2AO CO AC AOC AO CO +-∴∠==⋅所以二面角A PB C --
的余弦值为
由（1
）及已知可得2A
，(0,0,2P
，2
B
，(,1,0)2C -.
所以(22PC =--，(2,0,0)CB =，2()22
PA =-，(0,1,0)AB =. 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则
A C
00PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即0220
x y z ⎧
-+-=⎪⎨=，
可取(0,1,=-n .
设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则 00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m
，即0
x z y =⎪=⎩，
可取(1,0,1)=n .
则cos ,||||⋅==<>n m
n m n m ，
所以二面角A PB C --
的余弦值为3-.
方法三：（等体积转化法）不妨设PA =PD =AB =DC =1，
则易得PB PB BC ===取PB 中点O ，连接AO ，则AO PB ⊥。

设A 在平面PBC 内投影为H ，连,AH OH , 则AOH ∠的补角即为所求二面角的平面角。

由A PBC P ABC V V --=得
1
133AH =
AH ∴=
sin 3
AOH ∴∠=
cos 3
AOH ∴∠=
A C
所以二面角A PB C --的余弦值为3
-.。