2018年秋九年级数学上册 第三章 3.7 正多边形同步测试 (新版)浙教版
浙教版九年级数学上册 3.7 正多边形 同步测试试题(无答案)
3.7 正多边形同步测试题（满分120分；时间：120分钟）班级____________姓名___________成绩_________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A.6，3√2B.3√2，3C.6，3D.6√2，3√22. 下列正多边形中，对称轴条数是6条的为（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正五边形3. 若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1，r2，r3，则r1:r2:r3等于（）A.1:2:3B.√3:√2:1C.1:√2:√3D.3:2:14. 如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）A.36∘B.60∘C.72∘D.108∘5. 若一边长为10cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值．（铁丝粗细忽略不计）（）A.5√3B.103√3 C.203√3D.106. 已知圆内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）A.18πB.9πC.6πD.3π7. 正三角形边长为6，边心距为r，半径为R，高为ℎ，则r:R:ℎ=()A.1:2:3B.2:3:4C.1:√2:√3D.1:√2:28. 一个正方形的内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为（）A.1:2:√2B.1:√2:2C.1:√2:4D.√2:2:49. 在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为（）A.√2:1B.2:√3C.1:√2D.2:310. 已知圆内接正六边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则a:R:r=()A.1:1:√3B.2:2:√3C.1:2:3D.1:2:√3二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 圆内接正方形的一边所对的圆周角等于________．12. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG=________∘．13. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是⊙O上任意一点，则∠APB=________度．14. 正六边形的半径为6cm，它的中心角等于________，边长为________，边心距等于________．15. 一个正多边形的中心角为90∘，则它的边数为________．16. 在正六边形ABCDEF中，点P是AF的中点，如果S正六形ABCDEF=12，则△PCD的面积为________．17. 半径为10cm的圆内接正三角形的边长为________．18. 正六边形的边长为2，它的外接圆与内切圆所组成的圆环的面积为________．19. 已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是________．20. 先作半径为√2的圆内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的2内接正方形…，则按上面的规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=2√3cm，求⊙O的半径．22. 用一批共长120m的篱笆围出一块草地来．分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小．23. 已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB=2α，OC⊥AB于C点．（1）求弦AB的长及弦心距；（2）求⊙O的内接正n边形的边长a n及边心距r n．24. 把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．25. 如图，已知正三角形的边长2a（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论；（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．26. 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，AD^=BE^= CF^，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．。
2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.7正多边形练习新版浙教版
3.7正多边形(见A本31页)A 练就好基础基础达标1．如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为( A)A．正八边形B．正九边形C．正七边形D．正十边形2．正六边形的外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是( B)A. 3 B．2 C．3 D．2 33．若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为( B)A．3 B．3 2 C．6 D．6 24．圆内接正六边形边长为6，则该圆的内接正三角形的边长为( C)A．9 3 B．6 2 C．6 3 D．125．西宁中考一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过( A)A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3 mm6．如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝__72°__．第6题图7．某活动小组为开展综合实践活动，要用60 m的木栅栏围成正多边形，活动小组准备从正三角形、正方形、正六边形中选一个，那么选__正六边形__面积最大．8．如图所示，已知正五边形ABCDE，AC，BD相交于点P.第8题图(1)求∠APB 的度数；(2)求证：AC ＝AB ＋BP.解：(1)∵五边形ABCDE 为正五边形，∴AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD＝108°，∴∠BAC ＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝180°－108°2＝36°，∴∠APB ＝∠PBC＋∠ACB＝72°.(2)证明：∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BAC ＝12×15×360°＝36°， ∴∠ABP ＝12×25×360°＝72°， ∴∠ABP ＝∠APB；∴AB ＝AP ；同理可证：∠PBC＝∠PCB＝36°.∴PB ＝PC ，∴AC ＝AB ＋BP.第9题图9．2017·无锡中考如图所示，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：(1)作△ABC 的外心O ；(2)设D 是AB 边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI ，使点F ，H 分别在边BC 和AC 上．解： (1)如图所示，点O 即为所求．第9题答图(2)如图所示，六边形DEFGHI 即为所求正六边形．第9题答图B 更上一层楼能力提升10．下列命题中，正确的说法有( A)①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．A．2个B．3个C．4个D．5个11．连云港中考如图所示，在正十二边形A1A2…A12中，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝__75°__．11题图第12题图12．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y 轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为．13．如图所示，在平面直角坐标系中，多边形ABCDEFGH是正八边形，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，求出点E的坐标．第13题图解：延长ED交y轴于点K.∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，∴AB＝OA2＋OB2＝22＋22＝22，∴OK ＝2OB ＋BC ＝2×2＋22＝4＋22，EK ＝KD ＋DE ＝2＋22，∴点E 坐标为(2＋22，4＋22)．C 开拓新思路 拓展创新第14题图14．2017·承德一模如图所示，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是( D ) A. 2 B ．2 3 C ．3 2 D ．3 315．2017·上海中考我们规定：一个正n 边形(n 为整数，n ≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝2． 16．如图所示，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连结OM ，ON.(1)求图(a)中∠MON 的度数；(2)在图(b)中∠MON 的度数是__90°__，图(c)中∠MON 的度数是__72°__；(3)若M ，N 分别是正n 边形ABCDE…的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN.连结OM ，ON ，你认为∠MON 的度数是__⎝ ⎛⎭⎪⎫360n °__．(直接写出答案)第16题图解：(1)∠MON＝120° (2)90 72(3)⎝⎛⎭⎪⎫360n。
2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.7正多边形同步练习新版浙教版20180811282
第3章圆的基本性质3.7 正多边形知识点1 正多边形1．若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是( )A．13 B．14 C．15 D．162．若一个正多边形的每个外角都是36°，则这个正多边形的边数是( )A．9 B．10 C．11 D．12图3－7－13．如图3－7－1，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝________°.4．如果一个正多边形的每个内角比与它相邻的外角的4倍还多30°，求这个正多边形的边数及内角和．知识点2 圆内接正多边形5．下列说法正确的是( )A．在圆的内部的正多边形叫做圆内接正多边形B．经过四边形的各个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆C．任意一个四边形都有外接圆D ．一个圆只有唯一一个内接四边形6．已知⊙O 的内接正六边形的周长为12 cm ，则这个圆的半径是________cm.7．如图3－7－2①，圆内接正五边形的中心角∠AOB ＝________°，∠ACB ＝________°；如图②，圆内接正六边形的中心角∠AOB ＝______°，∠ACB ＝________°.图3－7－2探究：如图③，圆内接正n 边形的中心角∠AOB ＝________°，∠ACB ＝________°.(用含n 的代数式表示)图3－7－38．如图3－7－3，在正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，P 是ED 的中点，连结AP ，则AP 的长为( )A ．2 3B ．4 C.13 D.119．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是( )A.22 B.32C. 2D. 3 10．如图3－7－4，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵的中点，连结BM ，CM .(1)求证：BM＝CM；(2)连结OA，OM，求∠AOM的度数．图3－7－4图3－7－511．若干个全等正五边形排成环状，图3－7－5中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环共需________个正五边形．详解详析1．C [解析] 由正多边形的每个内角是156°可得它的每一个外角是24°，360°24°＝15.故选C.2．B3．36 [解析] ∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠B ＝108°，AB ＝CB ，∴∠ACB ＝(180°－108°)÷2＝36°.4．解：设这个正多边形的每个内角是x °，每个外角是y °，则得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＋30，x ＋y ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150，y ＝30.而任何多边形的外角和是360°， 360÷30＝12，则这个正多边形是正十二边形，内角和为(12－2)×180°＝1800°. 故这个正多边形的边数是12，内角和为1800°. 5．B6．2 7.72 36 60 30 ⎝⎛⎭⎪⎫360n⎝ ⎛⎭⎪⎫180n8．C [解析] 如图，连结AE ，过点F 作FM ⊥AE 于点M .在正六边形ABCDEF 中，∠AFE ＝16×(6－2)×180°＝120°.∵AF ＝EF ， ∴∠AEF ＝∠EAF ＝12×(180°－120°)＝30°，EM ＝12AE ，∴∠AEP ＝120°－30°＝90°，FM ＝12EF ＝1，∴EM ＝3，AE ＝2EM ＝2 3. ∵P 是ED 的中点，∴EP ＝12×2＝1.在Rt △AEP 中，AP ＝AE 2＋EP 2＝（2 3）2＋12＝13.故选C.9．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝1；如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝ 3.则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2， ∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.10．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵. ∵M 为AD ︵的中点， ∴AM ︵＝DM ︵，。
浙教版初中数学九年级上册《3.7 正多边形》同步练习卷
浙教新版九年级上学期《3.7 正多边形》同步练习卷一．选择题（共29小题）1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BD B．AB＝BF C．AF∥CD D．DF＝2．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为（）A．24°B．48°C．60°D．72°3．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（）A．B．C．D．5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A．1B．C．2D．6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．27．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为2，则△BCF的面积为（）A．8B．6C．4D．38．两个全等的正六边形如图摆放，与△ABC面积不同的一个三角形是（）A．△ABD B．△ABE C．△ABF D．△ABG9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为（）A．36°B．72°C．108°D．144°10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．2，D．2，11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该六边形的面积为（）A．3B．7.5C．6D．1012．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．D．313．如图，正五边形的中心角∠AOB的度数为（）A．30°B．60°C．72°D．90°14．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45°B．60°C．72°D．90°15．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A．△ACE是等边三角形B．既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴16．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°17．圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（）A．a＝2r sin36°B．a＝2r cos36°C．a＝r sin36°D．a＝2r sin72°18．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°19．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列判断中错误的是（）A．BC∥AD B．∠BAE＝3∠CAD C．△BAC≌△EAD D．AC＝2CD20．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）A．16．B．12C．8D．621．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为cm，则⊙O的半径为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．cm 22．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接六边形的面积为（）A．B．6C．8D．1623．如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，的长度是（）A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm 24．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列结论错误的是（）A．∠BAC＝30°B．弧AC等于弧BCC．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长25．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣26．如图，正方形ABCD内接于⊙O，它的边长为4cm，则⊙O的半径是（）A．cm B．cm C．2cm D．4cm27．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点A、D在x轴上，则点C坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣）D．（﹣1，﹣）28．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，其中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣，0），则该正六边形的边心距为（）A．B．C．3D．29．如图，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB＝（）A．35°B．36°C．40°D．54°二．填空题（共5小题）30．如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为．31．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若正六边形的周长为18，则的长为（结果保留x）．32．如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分图形的面积是（结果保留π）33．如图，用一个边长为6cm的等边三角形纸片制作一个最大的正六边形，则这个正六边形的边心距是cm．34．如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为．三．解答题（共16小题）35．已知如图，正五边形ABCDE的边长为6．求对角线长的长．36．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM （1）求证：BM＝CM；（2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．37．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4．（1）求该正六边形的半径、边心距和中心角；（2）求该正六边形的外接圆的周长和面积．38．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）求∠BOM的度数．39．如图．⊙O的半径为4．（1）作圆的内接正方形ABCD；（2）求正方形ABCD的面积．40．用尺规在下列圆中分别画出正三角形、正方形、正八边形．41．如图所示，⊙O中．＝＝＝＝＝．求证：六边形ABCDEF 是正六边形．42．若正六边形的边长为8cm，求它的半径、边心距和面积．43．如图，正三角形ABC内接于⊙O连接CD，AD是⊙O的内接正十二边形的一边．若CD＝12，求圆O的半径．44．如图所示，外接圆的半径相等的正方形、正三角形、正六边形的边长之比为多少？45．如图，要在一个形状为圆的纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形（不要求写作法，保留作图痕迹）46．如图，⊙O的半径为4．（1）求作它的内接正方形ABCD；（2）求正方形ABCD的边长．47．如图，⊙O的半径为R，点A，B，C，D在⊙O上，且AB＝BC＝CD＝R，求证：（1）A，O，D三点在一直线上；（2）BC∥AD．48．如图，⊙O是直径为4cm的圆形铁片，现用它截取最大的正方形ABCD．（1）求正方形ABCD的边长；（2）求四周多余部分的面积（π取3.1）．49．如图所示是一个边长为5cm的正六边形，如果要剪一张图形纸片完全盖住这个图形，那么这张图形纸片的半径最小应为多少？50．如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．浙教新版九年级上学期《3.7 正多边形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BD B．AB＝BF C．AF∥CD D．DF＝【分析】连接OA、OB、AD，根据正多边形的性质求出各个角的度数，再逐个判断即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，∴∠EAB+∠ABD＝180°，∴AE∥BD，故本选项不符合题意；B、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，∵F A切⊙O于A，∴∠OAF＝90°，∴∠F AB＝90°﹣54°＝36°，∵∠ABD＝72°，∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠F AB，∴AB＝BF，故本选项不符合题意；C、∵∠F＝∠CDB＝36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；D、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，∴AD＝AF，∴FH＝DH，当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，此时DF＝AF，∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定、解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．2．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为（）A．24°B．48°C．60°D．72°【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠BOA＝360°120°﹣108°＝132°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠OAB＝＝24°故选：A．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．3．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°【分析】连接AC、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：则四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°，故选：C．【点评】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．4．如图图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用夹逼法对即可选择答案．【解答】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，故选：D．【点评】此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长．5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A．1B．C．2D．【分析】连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．【解答】解：连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故＝．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键．6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．C．2D．2【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OA、OB．∠AOB＝＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OH＝2•cos30°＝2×＝，故选：B．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．7．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为2，则△BCF的面积为（）A．8B．6C．4D．3【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．【解答】解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，∵△BCD的面积为2，∴△BCF 的面积为：4．故选：C ．【点评】此题主要考查了正六边形的性质，得出△BCD 与△BCF 高的比是解题关键．8．两个全等的正六边形如图摆放，与△ABC 面积不同的一个三角形是（ ）A ．△ABDB ．△ABEC ．△ABFD ．△ABG【分析】由题意AB ∥CD ，AB ∥FG ，且AB 与CD 之间的距离等于AB 与FG 之间的距离，推出S △ABC ＝S △ABD ＝S △ABF ＝S △ABG ，由此即可判断．【解答】解：由题意AB ∥CD ，AB ∥FG ，AB 与CD 之间的距离等于AB 与FG 之间的距离，∴S △ABC ＝S △ABD ＝S △ABF ＝S △ABG ，∵△ABE 的面积≠△ABC 的面积，故选：B ．【点评】本题考查正多边形与圆、平行线的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是掌握六边形的性质，灵活应用所学知识解决问题，属于中考基础题．9．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ABD 的度数为（ ）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．2，D．2，【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求出OM，再由弧长公式求出弧BC的长即可．【解答】解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OA＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，的长＝＝；故选：D．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该六边形的面积为（）A．3B．7.5C．6D．10【分析】连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH ⊥ED于H，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积．【解答】解：连接OE、OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠DEF＝120°，∴∠OED＝60°，∵OE＝OD＝2，∴△ODE是等边三角形，作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝2×＝，∴S△ODE＝DE•OH＝×2×＝，∴S正六边形ABCDEF ＝6S△ODE＝6．故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．12．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．D．3【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE＝4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC ＝S△AEC﹣S△BEC＝×4×（﹣）＝2．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC ＝S△AEC﹣S△BEC是关键．13．如图，正五边形的中心角∠AOB的度数为（）A．30°B．60°C．72°D．90°【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．【解答】解：正五边形的中心角为：＝72°．故选：C．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．14．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45°B．60°C．72°D．90°【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：得到．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角＜AOB的度数为＝72°，∴劣弧AB的度数是72°，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．15．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A．△ACE是等边三角形B．既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【解答】解：A、∵多边形ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；B、∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；D、∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形与等边三角形的性质是解答此题的关键．16．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，a＝2r tan36°，cos36°＝，r＝R cos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2＝a2．故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．17．圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（）A．a＝2r sin36°B．a＝2r cos36°C．a＝r sin36°D．a＝2r sin72°【分析】作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长．【解答】解：作OF⊥BC．∵∠OCF＝72°÷2＝36°，∴CF＝r•cos36°，∴CB＝2r cos36°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和三角函数是解题的关键．18．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA＝30°，∠AED＝30°，据此即可解答．【解答】解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵AB＝AE，∴∠BEA＝×（180°﹣150°）＝15°，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠AED＝＝30°，∴∠BED＝15°+30°＝45°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质是解题的关键．19．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列判断中错误的是（）A．BC∥AD B．∠BAE＝3∠CAD C．△BAC≌△EAD D．AC＝2CD【分析】A、分别求出∠BCD和∠ADC的度数，得到∠BCD+∠ADC＝180°，判断出BC∥AD；B、计算出∠BAE的度数和∠CAD的度数，判断出∠BAE＝3∠CAD；C、根据AB＝CB，AE＝DE，AC＝AD，判断出△ABC≌△AED；D、根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等”解答．【解答】解：A、∵∠BCD＝180°﹣72°＝108°，∠E＝108°，∴∠ADE＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠ADC＝108°﹣36°＝72°，∴∠BCD+∠ADC ＝108°+72°＝180°，∴BC∥AD，故本选项正确；B、∵∠BAE＝108°，∠CAD＝×＝36°，∴∠BAE＝3∠CAD，故本选项正确；C、∵AB＝CB，AE＝DE，AC＝AD，∴△ABC≌△AED，∴△BAC≌△EAD，故本选项正确；D、∵AB+BC＞AC，∴2CD＞AC，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键．20．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）A．16．B．12C．8D．6【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．【解答】解：如图所示：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，∵△BCD的面积为4，∴△BCF的面积为：8．故选：C．【点评】此题主要考查了正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．21．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为cm，则⊙O的半径为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．cm【分析】作OD⊥BC于D点，连接OB，构造直角三角形利用解直角三角形的知识求得OB的长即可．【解答】解：作OD⊥BC于D点，连接OB，∵等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝cm，∴∠OBD＝∠ABC＝30°，BD＝DC＝BC＝2，∴OB＝＝＝4，故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆的计算，解题的关键是正确的构造直角三角形．22．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接六边形的面积为（）A．B．6C．8D．16【分析】利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出△AOB的面积，进而得出答案．【解答】解：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，∵∠C＝30°，∴∠AOB＝60°，∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB＝1，∴EO＝sin60°×1＝，∴S＝×EO×AB＝，△AOB∴⊙O的内接六边形的面积为：6×＝．故选：A．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及等边三角形的判定与性质，得出EO 的长是解题关键．23．如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，的长度是（）A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm【分析】连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和∠AOB度数，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OB、OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝AB＝24cm，∴＝8π，故选：BD．【点评】本题考查了正六边形和圆，弧长公式得应用，解此题的关键是求出∠AOB的度数和求出OB的长．24．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列结论错误的是（）A．∠BAC＝30°B．弧AC等于弧BCC．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析．【解答】解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝BA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，A、根据圆周角定理得：∠BAC＝∠BOC＝∠BAO＝×60°＝15°，故本选项错误；B、∵OC⊥AB，OC为半径，∴弧AC＝弧BC，故本选项正确；C、∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，∴△ABO为等边三角形，∠AOB＝60°，以AB为一边可构成正六边形，故本选项正确；D、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，弧AC＝弧BC，再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故本选项正确；题干要求选错的，故选：A．【点评】本题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．25．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB＝60°，故△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝1，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG＝OA•sin60°，再根据S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN，进而可得出结论．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝1，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG＝OA•sin60°＝1×＝，∴S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN＝×1×﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．26．如图，正方形ABCD内接于⊙O，它的边长为4cm，则⊙O的半径是（）A．cm B．cm C．2cm D．4cm【分析】作OE⊥AD于E，连接OD，在Rt△ADE中，根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：作OE⊥AD于E，连接OD，则AE＝DE＝2cm，OE＝2cm．在Rt△ADE中，OD＝＝2（cm）．故选：A．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．27．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点A、D在x轴上，则点C坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣）D．（﹣1，﹣）【分析】连接OC，由于正六边形的中心角是60°，则△COD是等边三角形，OC＝2，设BC交y轴于G，那么∠GOC＝30°，然后解Rt△GOC，求出GC 与OG的值，进而得到点C的坐标．【解答】解：连接OC．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝2．设BC交y轴于G，则∠GOC＝30°．在Rt△GOC中，∵∠GOC＝30°，OC＝2，∴GC＝1，OG＝．∴C（1，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了正六边形和圆，坐标与图形性质，解直角三角形，难度适中．得出OC＝2，∠GOC＝30°是解题的关键．28．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，其中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣，0），则该正六边形的边心距为（）A．B．C．3D．【分析】根据正六边形的性质得出CO＝，∠CON＝30°，进而利用cos30°＝得出即可．【解答】解：连接CO，∵正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，其中心与坐标原点重合，A点的坐标为（﹣，0），∴CO＝，∠CON＝30°，∴cos30°＝＝，∴NO＝×＝，∴该正六边形的边心距为：．故选：D．【点评】此题主要考查了正六边形的性质和锐角三角函数关系等知识，得出CO 的长是解题关键．29．如图，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB＝（）A．35°B．36°C．40°D．54°【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴＝＝＝＝＝72°，∴∠ADB＝×72°＝36°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．二．填空题（共5小题）30．如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为4．【分析】连接OA，OB，证出△BOA是等边三角形，【解答】解：如图所示，连接OA、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝4故答案为4【点评】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．31．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若正六边形的周长为18，则的长为2π（结果保留x）．【分析】利用弧长公式l＝计算即可；【解答】解：连接OC、OE．在正六边形ABCDEF中，∵周长为18，∴CD＝3，OC＝OE＝CD＝3，∠COE＝120°，∴＝＝2π，故答案为2π．【点评】本题考查真的不想走与圆，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．32．如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分图形的面积是（结果保留π）【分析】利用正六边形的性质结合扇形面积公式求出即可．【解答】解：∵边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴图中阴影部分图形的面积可以看作扇形AOE的面积，且∠AOE＝120°，则图中阴影部分图形的面积是：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形与圆以及扇形面积求法，得出阴影部分图形的面积可以看作扇形AOE的面积是解题关键．33．如图，用一个边长为6cm的等边三角形纸片制作一个最大的正六边形，则这个正六边形的边心距是cm．【分析】本题需先根据已知条件得出大三角形的各边长相等，再根据截去的三角形也是等边三角形，即可求出正六边形的边长，进一步得到这个正六边形的边心距．【解答】解：∵正三角形的边长为6cm，∴3个边长都相等，又∵截去三个小等边三角形，∴各个小三角形的边长也相等，∴正六边形的边长为2，∴这个正六边形的边心距为．故答案为．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质进行分析是本题的关键．34．如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为8．【分析】首先根据正八边形的性质得出AO＝BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝的面积，进而得出答＝45°，进而得出AC的长，即可得出S四边形AOCB案．【解答】解：连接AO，BO，CO，AC，∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，∴AO＝BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2，此时AC与BO垂直，∴S＝BO×AC＝×2×2＝2，四边形AOCB∴正八边形面积为：2×＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠AOC＝90°再利用勾股定理得出是解题关键．三．解答题（共16小题）35．已知如图，正五边形ABCDE的边长为6．求对角线长的长．【分析】连接BE交AD于点F，由正五边形ABCDE，可得∠BAE＝108°，∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，求得∠BAF＝∠EFD＝72°，根据等腰三角形的性质得到ED＝DF＝10，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，AB＝10，连接BE交AD于点F，∵正五边形ABCDE，可得∠BAE＝108°，∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，∴∠BAF＝∠EFD＝72°，∴ED＝DF＝6，∵∠AEF＝∠EAF，∴△AEF∽△AED，∴＝，∴＝，∴AD＝3+3cm，∴对角线长的长为3+3．【点评】本题考查了正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．36．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM（1）求证：BM＝CM；（2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据正方形的性质得出∠BOC的度数，进而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为中点，∴＝，∴+＝+，即＝，∴BM＝CM；（2）解：连接MO，BO，CO，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝90°，∵＝，∴∠BOM＝∠COM＝135°．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．37．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4．（1）求该正六边形的半径、边心距和中心角；（2）求该正六边形的外接圆的周长和面积．【分析】（1）作辅助线；求出中心角，证明△OAB为等边三角形；运用边角关系求出OA的长度，进而求出边心距OM；（2）由圆的周长和面积公式即可得出答案．【解答】解：如图，AB为⊙0的内接正六边形的一边，连接OA、OB；过点O作OM⊥AB于点M；∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OB，∠AOB＝＝60°；∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4；∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝30°，AM＝AB＝2，∴OM＝AM＝2；（2）正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π；外接圆的面积＝π×42＝16π．【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．38．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）求∠BOM的度数．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，得到＝，证明结论；（2）连接OA、OB、OM，根据正方形的性质求出∠AOB和∠AOM，计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM；（2）解：连接OA、OB、OM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∵M为的中点，∴∠AOM＝45°，∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝135°．【点评】本题考查的是正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．。
浙教版九年级数学上册 3.7 正多边形 同步测试试题(无答案)
3.7 正多边形同步测试题（满分120分；时间：120分钟）班级____________姓名___________成绩_________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 同圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是（）A.√2:1B.√3:1C.2:1D.3:12. 边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（）A.√33B.√3 C.2√3D.2√333. 正六边形的边心距与半径的比为（）A.1 4B.12C.34D.√324. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补5. 在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，圆的半径为2，则圆内接正十边形的边长AB为（）A.3−√5B.5−√52C.√5−1D.√5−126. 正三角形的内切圆半径r、外接圆半径R与边上的高ℎ的比为（）A.1:2:3B.1:√2:3C.1:√2:√3D.1:√3:27. 如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形8. 同圆的内接正三角形、正方形、正六边形边长的比是（）A.1:2:3B.1:√2:√3C.√3:√2:1D.3:4:69. 如图，在边长为2的正六边形ABCDEF的边上，点P从起点A沿顺时针方向以每秒1个单位的速度运动，则点P在运动到2013秒时，运动到（）A.与点C重合B.边BC上C.与点D重合D.边EF上10. 要用半径为1的圆形铁片截出一个最大的正方形，这个正方形的边长为（）B.1C.√2D.2A.√22二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若正n边形的半径等于它的边心距的2倍，则n=________．12. 在正八边形ABCDEFGH中，BCEF的面积为20cm2，则正八边形的面积为________cm2．13. 正十二边形ABCDEFGHIJKL面积为36，则它的半径为________．14. 正六边形的半径为15，则其边长等于________．15. 一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比为________．16. 若正六边形的边心距为2√3，则这个正六边形的半径为________．17. 如图是正八边形ABCDEFGH，点P是正八边形内的一动点，当点P到各边距离之和为16cm时，则正八边形的边长为________．18. 如果圆内接正方形的面积为36cm2，那么同圆外切正方形的面积等于________．19. 已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是________．20. 在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上面的事实，解答下面的问题：现在有长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），那么在能够围成的三角形中，最大面积的为________cm2．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm和10√3cm，求这个多边形的面积．22. 用一批共长120m的篱笆围出一块草地来．分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小．23. 已知正六边形ABCDEF，求证：CF是它的外接圆的直径．24. 已知：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D′分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB:A′B′和面积比S内:S外．25. 如图，已知正三角形的边长2a（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论；（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．26. 同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2√2．（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明．（2）求⊙O的半径；（3）求阴影部分的面积．。
2018年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.7 正多边形练习 (新版)浙教版
3.7正多边形(见A本31页)A 练就好基础基础达标1．如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为( A)A．正八边形B．正九边形C．正七边形D．正十边形2．正六边形的外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是( B)A. 3 B．2 C．3 D．2 33．若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为( B)A．3 B．3 2 C．6 D．6 24．圆内接正六边形边长为6，则该圆的内接正三角形的边长为( C)A．9 3 B．6 2 C．6 3 D．125．西宁中考一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过( A)A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3 mm6．如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝__72°__．第6题图7．某活动小组为开展综合实践活动，要用60 m的木栅栏围成正多边形，活动小组准备从正三角形、正方形、正六边形中选一个，那么选__正六边形__面积最大．8．如图所示，已知正五边形ABCDE，AC，BD相交于点P.第8题图(1)求∠APB 的度数；(2)求证：AC ＝AB ＋BP.解：(1)∵五边形ABCDE 为正五边形，∴AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD＝108°，∴∠BAC ＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝180°－108°2＝36°，∴∠APB ＝∠PBC＋∠ACB＝72°.(2)证明：∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BAC ＝12×15×360°＝36°， ∴∠ABP ＝12×25×360°＝72°， ∴∠ABP ＝∠APB；∴AB ＝AP ；同理可证：∠PBC＝∠PCB＝36°.∴PB ＝PC ，∴AC ＝AB ＋BP.第9题图9．2017·无锡中考如图所示，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：(1)作△ABC 的外心O ；(2)设D 是AB 边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI ，使点F ，H 分别在边BC 和AC 上．解： (1)如图所示，点O 即为所求．第9题答图(2)如图所示，六边形DEFGHI 即为所求正六边形．第9题答图B 更上一层楼能力提升10．下列命题中，正确的说法有( A)①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．A．2个B．3个C．4个D．5个11．连云港中考如图所示，在正十二边形A1A2…A12中，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝__75°__．11题图第12题图12．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y 轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为．13．如图所示，在平面直角坐标系中，多边形ABCDEFGH是正八边形，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，求出点E的坐标．第13题图解：延长ED交y轴于点K.∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，∴AB＝OA2＋OB2＝22＋22＝22，∴OK ＝2OB ＋BC ＝2×2＋22＝4＋22，EK ＝KD ＋DE ＝2＋22，∴点E 坐标为(2＋22，4＋22)．C 开拓新思路 拓展创新第14题图14．2017·承德一模如图所示，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是( D ) A. 2 B ．2 3 C ．3 2 D ．3 315．2017·上海中考我们规定：一个正n 边形(n 为整数，n ≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝2． 16．如图所示，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连结OM ，ON.(1)求图(a)中∠MON 的度数；(2)在图(b)中∠MON 的度数是__90°__，图(c)中∠MON 的度数是__72°__；(3)若M ，N 分别是正n 边形ABCDE…的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN.连结OM ，ON ，你认为∠MON 的度数是__ ⎛⎭⎪⎫360n °__．(直接写出答案)第16题图解：(1)∠MON＝120° (2)90 72(3)⎝⎛⎭⎪⎫360n。
九年级数学上册 第三章 3.7 正多边形同步测试 (新版)浙教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.7 正多边形1．正多边形的定义：各边________，各内角也________的多边形．两者缺一不可． 2．经过一个正多边形的各个________的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做________________．3．回顾：n 边形的内角和为(n －2)×180°，外角和为360°，对角线条数为n （n －3）2.A 组 基础训练1．下列关于正多边形的判断正确的是( ) A ．各边相等的多边形是正多边形 B ．各角相等的多边形是正多边形 C ．对角线相等的多边形是正多边形 D ．各边相等的圆内接多边形是正多边形2．正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的边数为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 3．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．正三角形B ．正五边形C ．正六边形D ．正七边形4．如图，要拧开一个边长为a ＝6mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( )第4题图A ．62mmB ．12mmC ．63mmD ．43mm5.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的图形周长为________．第5题图6．一个正多边形的所有对角线都相等，则这个正多边形的内角和为____________．7．同圆的内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为____________．8．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连结AP，则AP的长为________．第8题图9．如图，点A，B，C，D，E把圆分成5等份，求证：五边形ABCDE为圆的内接正五边形；第9题图10．有一个亭子，它的地基是半径为4m的圆内接正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2)．第10题图B组自主提高11.如图，正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOP等于( )第11题图A．45° B．25° C．60° D．70°12．如图，正方形的边长为2(2＋1)，剪去4个角后成为一个正八边形(图中阴影部分)，求这个正八边形的边长和面积．第12题图13．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．第13题图(1)在图1中，求∠APB的度数；(2)在图2中，∠APB的度数是________；在图3中，∠APB的度数是________．(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．C组综合运用14．如图，甲，乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结DB、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断中正确的是( )第14题图A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确3．7 正多边形【课堂笔记】 1．相等 相等 2．顶点 圆内接正多边形 【课时训练】 1－4. DBCC 5. 20m6. 360°或540°7. 3∶2∶18. 139. 证明：∵弧AB ＝弧BC ＝弧CD ＝弧DE ＝弧EA ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∵BCE ︵＝CDA ︵＝3AB ︵，∴∠1＝∠2，同理∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∵顶点A ，B ，C ，D ，E 都在⊙O 上，∴五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形．10. 如图，正六边形ABCDEF 的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长为24m .在Rt △OPC 中，OC ＝4，PC ＝2.利用勾股定理，可得边心距r ＝42－22＝23(m )．亭子地基的面积S ＝12lr ＝12×24×23＝243≈41.6m 2.11. A12. 设剪去三角形的直角边长为x ，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为2x ，即正八边形的边长为2x ，∴2x ＋2x ＝2(2＋1)，∴x ＝2，∴正八边形的边长等于2x ＝2，∴正八边形的面积＝(22＋2)2－4×12×(2)2＝8＋8 2.13. (1)∵点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM ＝∠CBN.∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，∴∠APB ＝120°； (2)同理(1)可得，图2中，∠APB ＝90°；图3中，∠APB ＝72°；第13题图(3)能．问题：如图，正n 边形ABCDE…是⊙O 的内接正n 边形，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，求∠APB 的度数．结论：∠APB＝360°n.证明：∵点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM ＝∠CBN.∴∠APN＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝（n －2）×180°n ＝180°－360°n .∴∠APB ＝180°－∠APN＝360°n.14.C。
九年级数学上册 3.7 正多边形同步练习(无答案)(新版)
3.7 正多边形一、选择题（）1.若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于A. 2B. 1C.D.2.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是A. 互余B. 互补C. 互余或互补D. 不能确定3.如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则地基的周长是A. 6mB.C. 4mD. 24m4.如图，正六边形ABCDEF，点P在直线AB上移动，若点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等，则直线AB上满足条件的点P共有A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个5.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是A. B. C. D.6.正六边形的外接圆半径为1，则它的内切圆半径为A. B. C. D. 17.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A. B. C. D.28. 已知AB 是内接正四边形的一边，AC 是内接正六边形的一边，则的度数为A.B. C. D.或9. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是A. cmB.C. cmD. 1cm 10. 如图，的一条弦AB 垂直平分半径OC ，且，则这个圆的内接正十二边形的面积为 A. 6 B.C. 12D. 二、解答题11. 如图，正六边形ABCDEF的面积为求四边形CEPQ 的面积．12. 13. 14. 15. 16.17.如图，在的内接四边形ABCD中，，点E在上求的度数；连接OD、OE，当时，AE恰好为的内接正n边形的一边，求n的值．18.19.20.21.22.如图1，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径，求正六边形的边长．如图2，在中，边上的中线求证：．23.如图，EF 是的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD，要求所作正方形的一组对边AD、BC 垂直于见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹；连接EA、EB ，求出、的度数．4。
初中数学浙教版九年级上册37正多边形_同步练习
初中数学浙教版九年级上册3.7正多边形同步练习一、单选题（共10题；共20分）1. 若一个正多边形的一个内角是135∘，则这个正多边形的边数是()A.9B.10C.8D.62. ⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（）A.2√2B.2C.2√3D.√33. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）A.45∘B.30∘C.无法确定D.60∘4. 将每一个内角都是108∘的五边形按如图所示方式放置，若直线m // n，则下列结论中一定正确的是（）A.∠1=∠2+72∘B.∠1=∠2+36∘C.2∠1+∠2=180∘D.∠1+∠2=90∘5. 如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A.3√3B.√3C.12√3D.6√36. 一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A.2√2B.√2C.4D.2√37. 如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点A，则∠1的度数为（）A.70∘B.36∘C.不确定D.72∘8. 如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG＝46∘，则∠FAE 的度数是（）A.44∘．B.26∘．C.46∘．D.72∘9. 如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为()A.40∘B.30∘C.45∘D.50∘10. 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则1x +1y+1z的值为（）A.2 3B.1C.13D.12二、填空题（共6题；共6分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=________．边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是________．正n边形的边长与半径的夹角为75∘，那么n＝________．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=________∘．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=________．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是________.三、解答题（共4题；共42分）一个正多边形的一个外角的度数等于它的一个内角度数的1，求这个正多边形的边数3如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形ABCDEF；（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形ABCDEFGH.如图，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：……（1）将下面的表格补充完整：（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20∘？若存在，写出n的值；若不存在，请说明理由.（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21∘？若存在，写出n的值；若不存在，请说明理由.如图，10−1、10−2、10−3、…、10−n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B, C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动（1）求图10−1中∠APN的度数；（2）图10−2中，∠APN的度数是________，图10−3中∠BPN的度数是________。
2018年秋浙教版九年级数学上册同步练习：3.7 正多边形
第3章圆的基本性质3.7正多边形知识点1正多边形1．若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是()A．13 B．14 C．15 D．162．若一个正多边形的每个外角都是36°，则这个正多边形的边数是()A．9 B．10 C．11 D．12图3－7－13．如图3－7－1，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝________°.4．如果一个正多边形的每个内角比与它相邻的外角的4倍还多30°，求这个正多边形的边数及内角和．知识点2圆内接正多边形5．下列说法正确的是()A．在圆的内部的正多边形叫做圆内接正多边形B．经过四边形的各个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆C．任意一个四边形都有外接圆D．一个圆只有唯一一个内接四边形6．已知⊙O的内接正六边形的周长为12 cm，则这个圆的半径是________cm.7．如图3－7－2①，圆内接正五边形的中心角∠AOB＝________°，∠ACB＝________°；如图②，圆内接正六边形的中心角∠AOB＝______°，∠ACB＝________°.图3－7－2探究：如图③，圆内接正n边形的中心角∠AOB＝________°，∠ACB＝________°.(用含n的代数式表示)图3－7－38．如图3－7－3，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，P是ED的中点，连结AP，则AP 的长为()A．2 3B．4C.13D.119．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是()A.22 B.32 C.2 D. 310．如图3－7－4，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵的中点，连结BM ，CM . (1)求证：BM ＝CM ；(2)连结OA ，OM ，求∠AOM 的度数．图3－7－4图3－7－511．若干个全等正五边形排成环状，图3－7－5中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环共需________个正五边形．详解详析1．C [解析] 由正多边形的每个内角是156°可得它的每一个外角是24°，360°24°＝15.故选C.2．B3．36 [解析] ∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠B ＝108°，AB ＝CB ，∴∠ACB ＝(180°－108°)÷2＝36°.4．解：设这个正多边形的每个内角是x °，每个外角是y °，则得到方程组⎩⎨⎧x ＝4y ＋30，x ＋y ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150，y ＝30.而任何多边形的外角和是360°， 360÷30＝12，则这个正多边形是正十二边形，内角和为(12－2)×180°＝1800°. 故这个正多边形的边数是12，内角和为1800°. 5．B6．2 7.72 36 60 30 ⎝⎛⎭⎫360n ⎝⎛⎭⎫180n8．C [解析] 如图，连结AE ，过点F 作FM ⊥AE 于点M .在正六边形ABCDEF 中，∠AFE ＝16×(6－2)×180°＝120°.∵AF ＝EF ，∴∠AEF ＝∠EAF ＝12×(180°－120°)＝30°，EM ＝12AE ，∴∠AEP ＝120°－30°＝90°，FM ＝12EF ＝1，∴EM ＝3，AE ＝2EM ＝2 3. ∵P 是ED 的中点，∴EP ＝12×2＝1.在Rt △AEP 中，AP ＝AE 2＋EP 2＝（2 3）2＋12＝13. 故选C.9．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝1；如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝ 3. 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.10．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵. ∵M 为AD ︵的中点， ∴AM ︵＝DM ︵，∴BM ︵＝CM ︵， ∴BM ＝CM .(2)如图，连结OB ，OC .∵BM ︵＝CM ︵， ∴∠BOM ＝∠COM .∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BOC ＝∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOM ＝12×(360°－90°)＝135°，∴∠AOM ＝∠BOM －∠AOB ＝135°－90°＝45°.11．10 [解析] 如图，延长正五边形的两边，交于圆心． ∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，∴延长正五边形的两边围成的圆心角的度数为180°－72°－72°＝36°. ∵360°÷36°＝10，∴要完成这一圆环共需10个正五边形．故答案为10.。
浙教版九年级上第三章圆同步练习3.7正多边形
3.7正多边形基础题知识点1正多边形的概念及相关计算1．下面图形中，是正多边形的是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．如图，要拧开一个边长为a(a＝6 mm)的正六边形，扳手张开的开口b至少为（）A．4 3 mm B．6 2 mm C．6 3 mm D．12 mm3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．74．如图是对称中心为点O的正八边形．如果用一个含45°角的直角三角板的角，借助点O(使角的顶点落在点O处)把这个正八边形的面积n等分，那么n的所有可能的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（1）正八边形的一个内角是度；（2）正十二边形每个内角的度数为；（3）若n边形的每一个外角等于60°，则n＝．6．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于(结果保留根号)．7．如图，正五边形ABCDE中，对角线AD，EC交于点M，请说明以下结论的正确性：（1）AD＝EC；（2）AM＝AE；（3）四边形ABCM是菱形．知识点2圆内接正多边形8．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连结五等分点而得到．五角星的每一个角的度数为（）A．45°B．36°C．35°D．30°9．(广州中考)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3 3 B．9 3 C．18 3 D．36 310．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是 度．11．如图，已知⊙O 的周长等于6π cm ，求它的内接正六边形ABCDEF 的面积．中档题12．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形(阴影部分)，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1013．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，点P 是ED 的中点，连结AP ，则AP 的长为（ ）A ．2 3B ．4C .13D .1114．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先进行了如下几个步骤：（1）作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；（2）以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连结BD ，如图2．若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是（）A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5OD D ．BD 2＝52OD 第12题 第13题15．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC.求∠BCM的大小．16．如图1，2，3中，点E，D分别是正△ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于点P．（1）求图1中∠APD的度数；（2）图2中，∠APD的度数为，图3中，∠APD的度数为；（3）根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广的问题和结论；若不能，请说明理由．综合题17．(台州中考)如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是．。
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.7正多边形随堂练习含解析新版浙教版201806151157
3.7__正多边形1．[2017·北京]若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(B)A．6 B．12 C．16 D．18【解析】设多边形为n边形，由题意，得(n－2)·180＝150n，解得n＝12，故选B. 2．[2016·南平]若正六边形的外接圆的半径长为4，则它的边长等于(A)A．4 B．2C．2 3 D．4 3【解析】∵正六边形的中心角为360°÷6＝60°，∴外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径长为4，则正六边形的边长等于4.故选A.3．如图3－7－1，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(C)图3－7－1A．6 2 mm B．12 mmC．6 3 mm D．4 3 mm4．[2017·苏州]如图3－7－2，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为(B)图3－7－2A．30°B．36°C．54°D．72°【解析】根据“正多边形的定义：各边都相等，各角都相等”可计算出正五边形一个内角的1度数∠A＝108°，再根据等腰三角形ABE两底角相等，可计算底角∠ABE＝36°.5．(1)[2017·遵义]一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为__1__800°__．【解析】∵正多边形的一个外角为30°，且每一个外角都相等，∴它的边数为360°÷30°＝12，∴其内角和为(n－2)·180°＝(12－2)·180°＝1 800°.(2)[2017·湖州]已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是__5__．【解析】多边形的外角和为360°，每一个外角等于72°，则这是一个正多边形，所以360°÷72°＝5，这个多边形的边数是5.6．[2016·连云港]如图3－7－3，正十二边形A1A2…A12，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝__75__°.图3－7－3 第6题答图【解析】设该正十二边形的圆心为O，如答图，连结A10O和A3O.5 由题意，得A3A7A10的长＝⊙O的周长，125∴∠A3OA10＝×360°＝150°，12∴∠A3A7A10＝75°.7．[2017·资阳]边长相等的正五边形和正六边形如图3－7－4所示拼接在一起，则∠ABC＝__24__度．图3－7－41 1【解析】正六边形的一个内角＝×(6－2)×180°＝120°.正五边形的一个内角＝×(5－6 52)×180°＝108°.∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，1∴∠ABC＝×(180°－132°)＝24°.28．钳工车间用圆钢做方形螺母，现要做边长为a的方形螺母，问下料时至少要用直径多大的2圆钢？第8题答图解：如答图，由圆周角定理，可知AC为⊙O的直径，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝a，∴AC＝AD2＋CD2＝a2＋a2＝2a.∴至少要用直径为2a的圆钢．9．如图3－7－5，已知⊙O的周长等于6πcm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积．图3－7－5 第9题答图解：如答图，过点O作OH⊥AB于点H，连结OA，OB.1∴AH＝AB.2∵⊙O的周长等于6πcm，∴⊙O的半径为3 cm.1∵∠AOB＝×360°＝60°，OA＝OB，6∴△OAB是等边三角形，3 ∴AB＝OA＝3 cm，∴AH＝cm，23 3∴OH＝OA2－AH2＝(cm)，21 3 3∴S 正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××3×2 227 3＝(cm2)．23S 阴影 10．如图 3－7－6，边长为 a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝( C ) S 空白A ．3B ．4C ．5D ．6图 3－7－6 第 10题答图【解析】 如答图，设正六边形中心为 O ，作 OC ⊥AB 于点 C ，连结 OA ，OB .∵三角形的斜边长为 a ，1 3 ∴两条直角边长为 a ， a ，2 21 3 3 ∴S空白＝ a · a ＝ a 2. 2 2 43 ∵AB ＝a ，∴OC ＝ a ，21 3 3 3 ∴S 正六边形＝6× a × a ＝a 2， 2 2 23 3 3 5 3 ∴S 阴影＝S 正六边形－S 空白＝a 2－ a 2＝ a 2， 2 4 45 3 a 2 S 阴影 4 ∴ ＝ ＝5.故选 C. S 空白 3 a 2 411．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径， 再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M ，如图 3－7－7①；(2)以 M 为圆心，BM 长为半径作圆弧， 交 CA 于点 D ，连结 BD ，如图②.若⊙O 的半径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是( C )图 3－7－75－1 5＋1 A ．BD 2＝ OD B ．BD 2＝ OD 22 5 C ．BD 2＝ 5OD D ．BD 2＝ OD2412．[2017·绥化]半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为__1∶2∶3__．【解析】利用垂径定构造直角三角形，已知圆的半径为2，可求出圆内接正三角形的边心距为1，正方形的边心距为2，正六边形的边心距为3，所以三者之间的比为1∶2∶3. 13．[2016·盐城]如图3－7－8，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B，E两点间的距离为__8__．图3－7－8 第13题答图【解析】如答图，连结BE，AE.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠AFE＝120°，FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA＝30°，∴∠BAE＝90°，∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径，∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，∴BE＝8，即B，E两点间的距离为8.14．[2016·山西模拟]作图与证明：如图3－7－9，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(2)连结BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．图3－7－9解：(1)如答图①，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连结AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求作图形；5。
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3.7 正多边形
1．正多边形的定义：各边________，各内角也________的多边形．两者缺一不可．
2．经过一个正多边形的各个________的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做________________．
3．回顾：n 边形的内角和为(n －2)×180°，外角和为360°，对角线条数为
n （n －3）
2
.
A 组 基础训练
1．下列关于正多边形的判断正确的是( ) A ．各边相等的多边形是正多边形 B ．各角相等的多边形是正多边形 C ．对角线相等的多边形是正多边形 D ．各边相等的圆内接多边形是正多边形
2．正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的边数为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 3．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A ．正三角形
B ．正五边形
C ．正六边形
D ．正七边形
4．如图，要拧开一个边长为a ＝6mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( )
第4题图
A ．62mm
B ．12mm
C ．63mm
D ．43mm
5.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的图形周长为________．
第5题图
6．一个正多边形的所有对角线都相等，则这个正多边形的内角和为____________． 7．同圆的内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为____________．
8．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连结AP，则AP的长为________．
第8题图
9．如图，点A，B，C，D，E把圆分成5等份，求证：五边形ABCDE为圆的内接正五边形；
第9题图
10．有一个亭子，它的地基是半径为4m的圆内接正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2)．
第10题图
B组自主提高
11.如图，正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOP等于( )
第11题图
A．45° B．25° C．60° D．70°
12．如图，正方形的边长为2(2＋1)，剪去4个角后成为一个正八边形(图中阴影部分)，求这个正八边形的边长和面积．
第12题图
13．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
第13题图
(1)在图1中，求∠APB的度数；
(2)在图2中，∠APB的度数是________；在图3中，∠APB的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
C组综合运用
14．如图，甲，乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结DB、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断中正确的是( )。