2012年全国各地中考数学解析汇编：图形的相似与位似
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题46：相似和位似
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题46：相似和位似一、选择题1. （2012海南省3分）如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是【 】A ．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 【答案】C 。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】由∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC，加上∠A 是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；由AD AB AB AC=，加上∠A 是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但AB CB BD CD =，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB 与△ABC 相似。
故选C 。
2. （2012陕西省3分）如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则EDC ABC S S :∆∆=【 】A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4【答案】D 。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB，DE=12AB 。
∴△EDC∽△ABC。
∴()2EDC ABC S :S ED:AB =1:4∆∆=。
故选D 。
3. （2012浙江湖州3分）△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ，则△ABC 的周长为【 】A ．60cmB ．45cmC ．30cmD ．152cm 【答案】C 。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的性质。
【分析】∵三角形的中位线平行且等于底边的一半，∴△ABC 三条中位线围成的三角形与△ABC 相似，且相似比是12。
∵△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ，∴△ABC 的周长为30cm 。
故选C 。
4. （2012湖北咸宁3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为【 】．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【答案】C 。
中考数学复习专题综合过关检测—图形的相似与位似(含解析)
中考数学复习专题综合过关检测—图形的相似与位似（含解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵，∴设x＝10k，y＝7k，∴＝＝＝，故选：C．2．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝2，AB＝6，∴DB＝AB﹣AD＝4，∴＝＝，故选：C．3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵DF∥AC，∴＝，所以A选项错误；∵DE∥BC，∴＝，所以C选项错误；而＝，∴＝，∵DE∥CF，DF∥CE，∴四边形DECF为平行四边形，∴CF＝DE，∴＝，即＝，所以B选项错误；∵DE∥BC，∴＝，即＝，所以D选项正确．故选：D．4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3B．2：3C．4：5D．1：9【答案】D【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：D．5．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意，故选：D．6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【答案】C【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m，根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ACB∽△ECD，∴，即，∴ED＝9.6（m），故选：C．7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A的对称点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣6，3），∴点A的对称点A′的坐标为（﹣6×，3×）或（6×，﹣3×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：D．8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P 两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（）A．4B．C．D．5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°，∵∠DPE＝60°，∴∠BPD+∠CPE＝120°，∴∠BDP＝∠CPE，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDP∽△CPE；∴，∴，∴BP2﹣6BP+2a＝0，∵满足条件的点P有且只有一个，∴方程BP2﹣6BP+2a＝0有两个相等的实数根，∴△＝62﹣4×2a＝0，∴a＝．故选：C．9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形A BCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1【答案】C【解答】解：设HG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四边形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四边形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接D F，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①③④D．①③【答案】D【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG为公共边，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值为，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE•AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE•AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④错误；综上，正确的是：①③，故选：D．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
2012年中考数学试题分类解析——空间与图形
应 用的水平．现拟 围绕试题 考查的亮点，对部分省、市 中考典型 的基本数学活 动经验 的合理选择及运用的能力 ；
试题进行评 析 ，并对 ２ ０ １ ３ 年 中考命题趋 势及教 学 中需要 注意的
问题提 出建议． 关键词 ：空间与 图形 ；中考试题 ；试题 亮点 ；教 学建议
第三 ，试题更 加突 出 “ 图形变换是 研究几何 问题 的工具 和 方法”的重要意义 ，而且将几何 图形放置于平面直角坐标 系中 ，
几何体 和平面 图形 的形状 、大小 、位置关 系及其 变换 ，它是人 ２ ０ １ ２年部分省 、市中考典型试题进行评析 ，并对 ２ ０ １ ３年 中考命 们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具． 义 务教育 题趋势及教学 中需要注意的问题 提出建议．
第 三学 段 ，要求学 生通过 “ 空间与 图形 ” 内容 的学 习 ，探索 基 本 图形 （ 直线形 、 圆） 的基本 性质及其 相互关 系 ，进一步 丰富
考查了学生对 “ 数学是研 究数量关 系和空间形式 的科学 ”思想
内涵 的领悟及综合应用的水平．
为此 ，本文拟从 “ 图形的性 质” 、“ 图形 的变化” 、“ 图形与坐
《 全日制义务教育数学课程标准 （ 实验稿） 》（ 以下简称 怖
准》 ） 指出 ：“ 空 间与 图形 ”的内容 主要 涉及 现实世界 中的物体 、 标 ”展开 ，结合 涉及 “ 空 间与图形 ”学 习 内容考查 的亮点 ，对
第一 ，试题更 加关注 了对基础知 识和基本技 能 的考查 ，特
素及其 关系的能力 ，关注 了学生 可以在新 的问题 情境 下，合理 别强调在复杂几 何图形 中分解 出简单 、基本 的图形 ，以及 由基 选择 已有数 学活动经验 ，分析及 解决 问题 的能力 ，也 更加 突出 本的图形 中寻找出基本元素及其关系强调 “ 抽象基本 图形 、沟通 内在联 系”或 “ 添加辅 助线 、构 造
2012年全国中考数学试题分类解析汇编命题与证明
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题34命题与证明一、选择题1. （2012广东深圳3分）下列命题①方程x2=x的解是x=1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有：【】A．4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】D。
【考点】命题与定理，解一元二次方程（因式分解法），平方根，全等三角形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定。
【分析】①方程x2=x的解是x1=0，x2=1，故命题错误；②4的平方根是±2，故命题错误；③只有两边和夹角相等（SAS）的两个三角形全等，SSA不一定全等，故命题错误；④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，命题正确。
故正确的个数有1个。
故选D。
2. （2012广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】C。
【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。
故选C。
3. （2012浙江温州4分）下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是【】A. a=－2.B. a==－1C. a=1D. a=2【答案】A。
【考点】假命题，反证法。
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=－2。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题32_图形的镶嵌与图形的设计(附答案)
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题32：图形的镶嵌与图形的设计一、选择题1. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【】A.10B.54 D.10或174 C. 10或522. 7. （2012四川广元3分）下面的四个图案中，既可以用旋转来分析整个图案的形成过程，又可以用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有【】A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【】A．54B．110C．19D．1094. （2012山东济宁3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是【】A ．12厘米B ．16厘米C ．20厘米D ．28厘米5. （2012山东枣庄3分）如图，从边长为(a 4+)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a 1+）cm 的正方形（a 0>），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为【 】A ．22(2a 5a )cm +B ．2(3a 15)cm +C ．2(6a 9)cm +D ．2(6a 15)cm +6. （2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【 】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在(6，3)]A ．黑(3，7)；白(5，3)B ．黑(4，7)；白(6，2)C ．黑(2，7)；白(5，3)D ．黑(3，7)；白(2，6)7. （2012广西贵港3分）如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够．．．将平面密铺的是【 】 A ．正三角形B ．正四边形C ．正六边形D ．正八边形 二、填空题1. （2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD 中，AB=8cm ，AD=6cm ，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲ cm，最大值为▲ cm．2. （2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有▲ 种．三、解答题1. （2012山西省6分）实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．2. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．3. （2012辽宁鞍山8分）如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点B除外）选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN=90°，请在图中利用尺规作图画出点P的位置（要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹）．4. （2012贵州遵义4分）cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是▲ cm．（结果保留π）5. （2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）6. （2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）7. （2012山东济宁5分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 和F ．（1）在图中画出线段DE 和DF ；（2）连接EF ，则线段AD 和EF 互相垂直平分，这是为什么？8. （2012广西桂林8分）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)．(1)作出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1、B 1、C 1的坐标；(2)以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A 2B 2C 2，使22AB1A B 2 ．9. （2012江西南昌5分）如图，有两个边长为2的正方形，将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形，用这三个图片分别在网格备用图的基础上（只要再补出两个等腰直角三角形即可），分别拼出一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形．10. （2012吉林长春6分）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB 、BC 的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB 和BC 为边各画一个四边形ABCD ．要求：四边形ABCD 的顶点D 在格点上，且有两个角相等（一组或两组角相等均可）；所画的两个四边形不全等．11. （2012吉林省7分）在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称 点为点C ．（1）若A 点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC ．设AB 与y 轴的交点为D ，则 AD OABC S S △△=________;（2）若点A 的坐标为（a ，b ）（ab≠0），则△ABC 的形状为_______.12. （2012黑龙江绥化6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．13. （2012黑龙江哈尔滨6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个即可)；（2）在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；14. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A l B l C l．(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．15. （2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1;（2）写出A1、C1的坐标；（3）将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结果保留π)。
2012全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)-第21章(精)
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十一章 勾股定理 21.1勾股定理（2012广州市，7， 3分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ）A. 365B. 1225C. 94D. 334D C BA【解析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，利用直角三角形面积的两种求法，求出点C 到AB 的距离。
【答案】由勾股定理得AB=2222912a b +=+=15,根据面积有等积式11BC=AB CD 22AC ••，于是有CD=365。
【点评】本题用了考查常用的勾股定理，直角三角形根据面积得到的一个等积式，列方程求线段CD 的长。
（2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）A.10B.54C. 10或54D.10或172解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.解答：解：如下图，54)44()22(22=++⨯，1054)44()32(22=++⨯故选C．点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．(2012四川省南充市，14，4分) 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.【解析】过点A作A E⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.则⊿ABE≌⊿ADF，得AE=AF，进一步证明四边形AECF是正方形，且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等.则AE=，所以22264324=26AC AE===.【答案】43【点评】本题考查了三角形的全等变换、正方形的性质以及勾股定理.解题的关键是正确的做出旋转的全等变换，将四边形的问题转化成正方形的问题来解决.（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.【解析】根据折叠问题及矩形的性质，可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标.【答案】（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt ABE∆中，10,8===,2222AE AO AB=-=-=,BE AE AB1086∴=,(4,8)4CE∴.E在Rt DCE∆中，222+=，DC CE DE又DE OD=,222∴-+=,OD OD(8)4∴=,(0,5)5OD∴.D【点评】在平面直角坐标系中，求点的坐标实质就是求这个点到两轴的距离，也就是求线段的长，求线段的就是利用勾股定理、三角函数或相似三角形的对应边成比例.（2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于F，若∠F=30°，DE=1,则EF的长（）A.3B.2C.3D.1解析：由已知得，BF=2BD=AB，所以FC=AD,不难得到Rt△FE C≌Rt△AED,故得EC=ED=1,结合∠F=30°，∠FCE=90°，可得EF=2EC=2.解答：选B．点评：本题主要考查“直角三角形中30°度角所对的直角边等于斜边的一半”的知识，也涉及到全等三角形的判定与性质，相对综合.（2012浙江省嘉兴市，6，4分）如图,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90° , ∠C=40° ,则AB等于( )米A. asin4o°B. acos40°C.atan4o°D.atan40【解析】如图,在Rt △ABC 中，∵∠A=90° , ∠C=40° , AC=a 米,∴tan40°＝AB AC,∴A B ＝atan4o°, 故选C.【答案】C.【点评】本题要求适当选用三角函数关系,解直角三角形.22.2 勾股定理的逆定理22.3 直角三角形的性质（2012浙江省湖州市，5，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AB=10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是（ ）A.20B.10C.5D.25【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=21AB=21×10=5.【答案】选：C ．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。
2012年全国各地中考数学考点分类解析汇编26
知识改变命运（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第三十三章 投影与视图33.1 投影（2012湖南湘潭，4，3分）如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是A. 圆B.矩形C. 梯形D. 圆柱【解析】从左面看和从正面看圆柱，则图中圆柱的投影是矩形，从上面看圆柱，则图中圆柱的投影是圆。
【答案】选A 。
【点评】几何体的三视图主要考查空间想象能力以及用平面图形来描述立体图形的能力。
33.2 三视图4. （2012浙江省绍兴，4，3分）如图所示的几何体，其主视图是（ ）【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 本题主视图是一个梯形 ．【答案】C【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．（2012四川成都，3，3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．解析：由主视图的定义（自几何体的前锋向后投影，在正面投影面上得到的视图称为主视图）可知，当光线从前面向后射的时候，起作用的有三个，它们分别是左边的上、下两个，右边的前面的一个，图形形状和D相同。
答案：选D。
点评：在三视图中，在主视图中能看到长和高，在左视图中能看到宽和高，在俯视图中能看到长和宽。
以上有助于同学们判断图形。
（2012山东省聊城，4，3分）用两块完全相同的长方体搭成如图所示几何体，这个几何体的主视图是（）解析：这个组合体的主视图可以根据提供的正面位置，由正面看得到的平面图形就是主视图. 答案：C点评：在观察物体的视图时，先确定物体摆放的正面位置，然后从不同方向看可以得到的平面图形.看不见而存在的轮廓线用虚线表示出来.（2012贵州贵阳，3，3分）下列几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等形的几何体是（）A.圆锥B.圆柱C.三棱柱D.球解析：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形；圆柱主视图、左视图都是矩形；三棱柱主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形，只有球的主视图、左视图与俯视图都是半径相同的圆.解答：选D．点评：本题考查了常见立体图形的三视图．解题的关键是平时要记住常见立体图形的三视图．（2012山东泰安，3，3分）如图所示的几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【解析】此几何体是一个圆柱与一个长方体的组合体，主视图（从正面看）是两个长方形组合图，下面的长方形的长约是上面长方形长的3倍.【答案】A【点评】本题主要利用三视图考查学生的空间想象能力，三视图是从正面、左面、上面三个方向看同一个物体分别得到的平面图形,主视图反映出物体的长和高, 左视图反映出物体的高和宽,俯视图反映出物体的长和宽.知识改变命运知识改变命运（2012湖北随州，5,3分）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：正方体的主视图、左视图都为一个正方形；球体的主视图、左视图都是一个圆； 圆锥的主视图以及左视图都是三角形；圆柱的主视图以及左视图都是一个矩形。
(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题)：图形的相似与位似
图形的相似与位似一、选择题1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A.600mB.500mC.400mD.300m【答案】B2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为 32，则点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B3. （2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（ ）【答案】Ａ4. （2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A. 2：5B.14:25C.16:25D. 4:21【答案】B5. （2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:5D. 1:16【答案】A6. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B7. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A.600mB.500mC.400mD.300m【答案】B8. （2011台湾台北，26）图(十)为一ABC ∆，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD＝31，DB ＝29，AE ＝30，EC ＝32。
若︒∠50＝A ，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系，下列何者正确？（第7题）ABCD EA ．1∠＞3∠B ．2∠＝4∠C ．1∠＞4∠D ．2∠＝3∠【答案】D9. （2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。
2012年中考数学试题分类解析_空间与图形
摘要：为促进基础教育内涵发展，有效落实《数学课程标准》的基本要求，2012年全国各地中考试题，结合“空间与图形”学习领域，在考查图形的性质、图形的变化、图形与坐标等相关内容上均进行了积极的探索，更加强调从复杂几何图形中分解出简单、基本的图形，以及由基本的图形中寻找基本元素及其关系的能力，关注了学生可以在新的问题情境下，合理选择已有数学活动经验，分析及解决问题的能力，也更加突出了学生对“图形变换是研究几何问题的工具和方法”及“数学是研究数量关系和空间形式的科学”的思想内涵的领悟及综合应用的水平.现拟围绕试题考查的亮点，对部分省、市中考典型试题进行评析，并对2013年中考命题趋势及教学中需要注意的问题提出建议.关键词：空间与图形；中考试题；试题亮点；教学建议《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）指出：“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具.义务教育第三学段，要求学生通过“空间与图形”内容的学习，探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，明确平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，并能够运用坐标系确定物体的位置，发展空间观念.综观2012年全国各地中考试题，均较好地体现了《标准》的基本理念，在考查学生数学基础知识、基本技能的基础上，强调了学生对基本数学思想方法的理解及应用的水平，关注了学生在新的问题情境下，可以合理地选择已有的数学活动经验，分析及解决问题的能力.关于“空间与图形”学习领域，突出体现了以下特色.第一，试题更加关注了对基础知识和基本技能的考查，特别强调在复杂几何图形中分解出简单、基本的图形，以及由基本的图形中寻找出基本元素及其关系的能力；第二，试题更加注重使学生经历观察试验、操作探究、推理论证等过程，并借助于图形的运动和变化，考查学生对已有的基本数学活动经验的合理选择及运用的能力；第三，试题更加突出“图形变换是研究几何问题的工具和方法”的重要意义，而且将几何图形放置于平面直角坐标系中，考查了学生对“数学是研究数量关系和空间形式的科学”思想内涵的领悟及综合应用的水平.为此，本文拟从“图形的性质”、“图形的变化”、“图形与坐标”展开，结合涉及“空间与图形”学习内容考查的亮点，对2012年部分省、市中考典型试题进行评析，并对2013年中考命题趋势及教学中需要注意的问题提出建议.一、试题亮点介绍及典型例题分析（一）图形的性质图形的性质，考查重点主要包括相交线、平行线、三角形、四边形、圆等相关性质、判定及尺规作图等.在2012年各地中考试题中，多以计算、证明、探究、作图等形式呈现，形式新颖、内涵丰富，特别关注了对基础知识和基本技能的考查，强调在复杂图形中寻找基本图形，并合理运用基本性质，通过逻收稿日期：2012－12－18作者简介：刘金英（1965－），女，山东人，中学高级教师，天津师范大学教育学院特聘教授，教育硕士研究生导师，苏步青数学教育奖二等奖，主要从事数学教育与中学数学教学与评价研究．2012年中考数学试题分类解析———空间与图形刘金英（天津市中小学教育教学研究室）何志平（天津市静海县教育教学研究室）贯忠喜（天津市东丽区教育教学研究室）Journal of Chinese Mathematics Education2013年第1-2期No.1-22013辑推理加以证明的能力，在考查学生应用基本数学思想方法和基本活动经验解决问题等方面，做了积极的尝试和探索．亮点１：注重构造基本图形，考查几何基础知识对基本几何图形性质的考查，一般是以三角形、四边形、圆等基本图形为素材，通过拼合构成较为复杂的图形，并呈现出相应的几何问题.这些问题大都以几何基础知识为载体，有的是基本问题的组合，有的是教材习题的变式，题目的解决大都强调“抽象基本图形、沟通内在联系”或“添加辅助线、构造基本图形”的研究思路，在考查基础知识、基本方法的同时，从尊重学生不同认知水平的角度出发，考查了学生思维的灵活性和解题方法的多样性.例1（湖北·襄阳卷）如图1，ABCD 是正方形，G 是BC 上（除端点外）的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F.下列结论不一定成立的是（）.（A ）△AED ≌△BFA （B ）DE －BF ＝EF （C ）△GFB ∽△AED （D ）DE －BG ＝FG 答案：D.【评析】此题由人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册习题19.2第15题改编而成，题目以正方形为依托，探究点G 在变化过程中，正方形的边之间、角之间，以及所形成的三角形之间的关系，重点考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形等基础知识.能够根据已知条件进行观察，辨识其中的基本图形，寻找基本元素及其关系，是解答此题的关键.在这里，△AED 、△BFA 、△GFB 均为直角三角形，可以借助于正方形对边平行的关系得到∠DAE =∠BGF ，易得△AED ≌△BFA 及△GFB ∽△AED.进而由△AED ≌△BFA ，得对应边相等.推得DE －BF ＝EF.而由点G 的任意性，DE －BG ＝FG 不一定成立.基本图形往往是解决几何问题的重要因素，熟知基本图形的特征，并能够从复杂的图形中分离出“基本图形”，是解决几何问题常用的方法.例2（重庆卷）已知：如图2，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过点M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2.（1）若CE =1，求BC 的长；（2）求证：AM =DF +ME .答案：（1）在菱形ABCD 中，易得△MCD 为等腰三角形.有CD =2CE =2.所以BC =2.（2）思路1：如图3，延长DF 、AB 交于点G ，可证得△CEM ≌△CFM ，△CDF ≌△BGF ，△MAG 为等腰三角形.于是，DF +ME =GF +MF =MG =AM.思路２：如图４，延长AD 、ME 交于点N ，可证得△CEM ≌△CFM ，△CDF ≌△DNE ，△MAN 为等腰三角形.于是，DF +ME =NE +ME =MN =AM.思路３：如图5，连接BD ，交AC 于点O ，可证得△CEM ≌△CFM ，△MCD 为等腰三角形，△BCD 为等边三角形，∠2=30°.设ME =x ，则DM =2x ，DF =3x .于是AM =DF +ME .【评析】此题以菱形为载体，考查全等三角形、等腰三角形、“直角三角形中，30°角所对边等于斜边的一半”等知识，思路1、思路2运用了“遇到中线延长一倍”的常见的辅助线作法，思路3运用了特殊直角三角形的三边关系.由于学生思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，此题从尊重学生出发，从考查证明线段数量关系的基本解题思路出发，为学生展示自己不同的数学思维提供了机会.例3（上海卷）如图6，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D 、E.（1）当BC =1时，求线段OD 的长.（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，指出并求其长度；如果不存在，说明理由.（3）设BD =x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域.答案：（1）15姨2.（2）存在DE 满足条件.如图7，连接AB ，易得DE 为△ABC 的中位线.得DE =2姨.ADBCE F图2M 21ABF图3M 21GADBCE F图4M 21N ADBCE O图6DBCE 图7ADB CEF 图1GABE F图5M 21O 中考指南ZHONGKAOZHINAN（3）由题设，BD =x ，则OD =4-x 2姨.如图8，作DF ⊥OE 于点F ，得△DOE 的高DF =4-x 2姨2姨.而OE =OF +EF ，代入面积公式，化简之后，得y =1（4-x 2+x 4-x 2姨）（0<x <2姨）.【评析】此题考查扇形、垂径定理、三角形中位线、等腰直角三角形、勾股定理等概念.第（1）小题，可以直接用勾股定理进行计算；第（2）小题，以探索题的形式给出，需要建立与定长“AB ”之间的联系；第（3）小题，求BD 与△DOE 的面积y 之间的函数关系，考查学生灵活运用勾股定理解决问题的能力，需要将△ODE 中相关的线段表示为含有x 的式子，再代入三角形面积公式进行求解，此题较好地体现了“源于基础、重在思维”的评价理念.亮点２：注重呈现新颖形式，考查学生基本技能在2012年各地中考试题中，特别注重了题目呈现形式上的新颖与独特，力求使数学试题“秀其外且慧其中”.尤其是以学生日常学习中经常使用的学习工具为素材，以学生熟知的生活中的情境为素材，命制的试题是学生喜闻乐见的.同时，以选择题的形式完成对作图等操作技能的考查，也是2012年中考试题的一个新尝试.例4（四川·巴中卷）一副三角板如图9所示放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°，∠E =30°，∠A =45°，AC =122姨，试求CD 的长.D EF图9E图10ABAB答案：如图10，作BG ⊥FC ，垂足为点G ，则CG =12，DG =43姨.所以CD =CG －DG =12－43姨.【评析】此题打破了以往以一般平面图形呈现的形式，而是以学生熟悉的物品（一副三角板）为载体，重点考查了等腰三角形、三角函数等基础知识，重点考查了添加辅助线构造基本图形解决问题的基本方法.这里，两块三角板组合所形成的图形中，包含了30°、45°、60°、90°等角，这就为可以形成特殊的三角形，探寻三角形内边、角之间的关系，奠定了基础，解题时只需抓住CD =CG －DG 这一关键，求出CG 、DG 即可.此题立足基础，构思巧妙，内涵丰富，较好地实现了《标准》中提到的对“基础知识、基本技能、基本思想方法”的考查.例5（山西卷）如图11是某公园的一角，∠AOB =90°，A ∠B 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在A ∠B 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）.（A ）10π-93姨∠∠米2（B ）π-93姨∠∠米2（C ）6π-923姨∠∠米2（D ）（6π-93姨）米2答案：C.【评析】此题以“某公园的一角”为素材，问题的呈现有新意、有特色，贴近学生的实际生活.题目主要考查了“直角三角形中如果一直角边等于斜边的一半，那么这条边所对的角等于30°”、勾股定理、平行线性质、扇形面积公式及数学中常用的转化思想等.如图12，连接OD ，解答的关键是在Rt △DCO 中，由OC =1，得∠CDO =30°.进而得扇形的圆心角∠DOA =60°.再求出扇形DOA 和△DCO 的面积.此题难度不大，但可以借助于学生熟知的生活情境，将涉及几何基本图形中的相关内容进行有效沟通，恰当地实现了对“图形与几何”领域基础知识、基本技能的考查，不失为一次有益的尝试.例6（台湾卷）如图13，Rt △ABC 有一外接圆，其中∠B =90°，AB ＞BC ，今欲在B ∠C 上找一点P ，使得B ∠P =C ∠P ，以下（如图14）是甲、乙两人的作法.甲：如图14（1）所示.（1）取AB 中点D ；（2）过点D 作直线AC 的平行线，交B ∠C 于点P ，则点P 即为所求.乙：如图14（2）所示.（1）取AC 中点E ；（2）过点E 作直线AB 的平行线，交B ∠C 于点P ，则点P 即为所求.DBO图11小路小路休闲区DBO图12小路小路休闲区ADBCEO图8FAB C图13ABC图14PD（2）（1）中考指南ZHONGKAOZHINAN对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）.（A ）两人皆正确（B ）两人皆错误（C ）甲正确，乙错误（D ）甲错误，乙正确答案：D.【评析】此题将圆中的作图问题，以选择题的形式呈现，主要考查垂径定理、三角形的中位线定理及圆周角定理.如图14（1），甲所作的图中，DP 只是△ABC 中位线所在的直线，不平分B △C ；如图14（2），乙所作的图中，利用垂径定理，可以确保B △P =C △P 始终是成立的.如此，学生通过对这些关系的分析与甄别，不仅加深了对相关基础知识的理解，同时也会从“操作”的层面，对平分弧的作图，建立起一种全新的认识.亮点３：注重动手操作探究，考查基本活动经验《标准》指出：通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程，获得初步的数学活动经验.2012年各地中考试题，不乏考查学生动手探究、实践操作的问题，这些问题或依托已有的数学结论，或依托生活中的知识经验，以不同形式考查学生实验探究、动手操作、发现问题、解决的能力.解决这类问题的关键，是需要学生能够运用日常学习和生活中所获得的经验和方法，结合具体的问题情境，创造性的加以处理，体现了对学生创新精神和实践能力的考查.另外，在解决这类问题的过程中，一些富有创意的研究问题的方法应运而生，很好地彰显了数学中考试题的教育功能.例7（贵州·贵阳卷）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.（1）三角形有_____条面积等分线，平行四边形有____条面积等分线；（2）如图15，在矩形中剪去一个小正方形，试画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图16，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB ≠CD ，且S △ABC <S △ACD ，过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由.答案：（1）3，无数；（2）如图17，直线O 1O 2即是其中的一条；（3）如图18，BE ∥AC ，F 是DE 的中点，直线AF 即为所求.【评析】此题属于阅读理解与综合实践相结合的问题，从操作层面对学生进行考查，为便于叙述，此题引进了“面积等分线”的概念，题目通过对三角形、平行四边形、不规则矩形和一般四边形“面积等分线”的研究，逐层深入地提出问题，构成了鲜明的思考问题的线索，内涵丰富、探究性强.第（1）小题，以填空的形式，易于学生作答，属基础知识范畴；第（2）小题，要灵活运用平行四边形面积等分线的概念；第（3）小题，必须通过作平行线，作出与△ABC 面积相等的△AEC （如图18），再作△AED 的面积等分线AF.这样，逐层递进式的设计，为学生合理运用“平分三角形面积”和“平分平行四边形面积”的方法，准确画出“平分新的平面图形”的等分线，做到了数学活动经验上的“正迁移”.例8（天津卷）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题.已知一个角∠MAN ，设∠α＝１３∠MAN .（1）当∠MAN =６９°时，∠α的大小为_______；（2）如图19，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB =2.5cm.现要求只能使用带刻度的直尺，在图中作出∠α，并简要说明作法（不要求证明）.答案：（1）23°；（2）如图20，让直尺有刻度一边过点A ，设该边与过点B 的竖直方向的网格线交于点C ，与过点B 的水平方向的网格线交于点D ，保持直尺有刻度的一边经过点A ，调整点C 、D 的位置，使CD =5cm.画射线AD ，此时∠MAD 即为所求的∠α.【评析】“三等分任意角”是数学史上一个著名“尺规不能”问题，而此题的设计，是给出了“带刻度的直尺”，并巧妙的以正方形网格为依托，将∠MAN 放置于网格中，以调整刻度尺的方法将其三等分，不仅考查了学生知识的掌握情况和作图能力，也考查了学生对数学活动的理解、表达及解释结果合理性的能力.试题命制精巧，内涵丰富，极具创意.此题，在设计上充分体现了刻度尺的“度量功能”和“调整功能”.如，给出“AB =2.5cm ”这个条件，一方面，是为了提醒学生注意使用刻度尺的测量功能；另一方面，是为了避免学生测量AB 长度时出现不必要的误差.而给出“AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ”，则是为了让学生在解题时突破难以实现的“只用直尺作平行线和垂线”的问题，需要在不断“调整”和“试验”中，寻找满足三等分角的条件.这样的设计，使构造含有倍角关系的△ABD （∠BAD =2∠B －DA ）成为一种自然的思考路径.如图20，构建Rt △DBC ，利用图１５图１６ADBC图１７图１８AD BCFEO 1O2图19AB NM图20DC中考指南ZHONGKAOZHINAN“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，借助网格背景中已有的平行、垂直关系，得到∠MAD即为所求的∠α.此题，应该是继“阿基米德纸条法”之后，给出的又一全新的三等分角的方法.事实上，此题所运用的“观察、试验、调整”基本数学活动经验，与人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册习题中“工人师傅利用卡尺平分任意角”是一致的，关键是学生能否真正的将日常教学中所获得的经验和方法，在新的问题情境中加以运用和实施.从这个意义上讲，此题在关注知识内涵的同时，充分关注到了对学生创新精神和实践能力的考查，开拓性地发掘了中考试题的教育功能，评价也是一次学习和提高的过程.（二）图形的变化涉及“图形的变化”，考查重点主要包括：图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转和图形的相似.2012年全国各地中考试题对这类问题的考查，一方面，从强化空间观念、揭示图形变化后的数量关系入手，考查学生的合情推理和解决问题的能力；另一方面，强调图形变换是研究几何问题的工具，考查学生灵活运用“图形的变化”分析问题、研究问题的能力.亮点1：基于对图形变化内容的考查，突出“变中的不变性”让学生体验在图形变化的过程中，某些基本图形的性质的不变性，是《标准》对这部分内容的基本要求.在2012年各地中考试卷中，出现了平移、旋转基本图形后探究图形周长、面积等核心要素是否发生变化的试题，这些问题往往以问题串儿的形式给出，形成使思维不断提升的问题情境，学生通过解决这类问题，能更好地体验数学问题“变中的不变性”，感受变与不变的和谐与统一，这正反映了对数学本质问题的探究.例9（河北卷）如图21，两个等边△ABD、△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图22，则阴影部分的周长为_________.答案：2.【评析】“通过具体实例认识平移，探索它的基本性质”是《标准》对平移的基本要求.此题将“正三角形”和“平移”有机融合，通过正三角形的平移，形成动态问题，让学生在不断变化的图形中寻求不变的“几何元素”，正是对上述基本要求最好的诠释.求解此题的关键，要抓住在平移过程中，如图23，△A′MN、△MDO、△D′OE、△ECG、△GB′R、△BNR始终都为等边三角形，解得OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2.其中的核心，是无论图中△ABD沿AC方向向右怎样平移，只要能形成六边形，六边形的周长永远保持一个定值.这恰好揭示了数学问题中“变”与“不变”的和谐与统一.例10（湖南·益阳卷）已知：如图24，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1.（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图25），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？并说明理由.答案：（1）略；（2）3姨8；（3）没有变化.如图26，延长AG交BC于点E，可得∠BAE=30°，△ABE≌△AB′E′≌△ADE′.进而可推得△BGA≌△HGA.有S四边形GHE′B′=S△ABE-S△BGA=S△EGB.所以△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.【评析】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定和性质、旋转的性质等.第（1）小题，突出了证明三角形全等的基本方法，属基础知识范畴；第（2）小题，借助（1）中的图形求阴影部分的面积，这样命制，使常规问题一下子具有了发展的主线和新意，解决第（2）小题需要运用相似三角形的判定和性质，并借助△ABE的面积求得△EGB的面积，也可以通过相似求出GE与BE的长度加以解决；第（3）小题，又在（2）的基础上将△ABE旋转，进而提出了探究性的问题，解决这个问题的关键，是先证明△BGA≌△HGA，Rt△ABE≌Rt△AB′E′.此题以常见的基本图形为载体，以“论证结论、计算结果、探究问题”的形式逐步展开，将相似、全等及正方形的典型知识有机地结合，由浅入深、一气呵成，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.如此，为学生所提供的使思维不断提升、递进的问题情境，可以让学生充分体会到“变”与“不变”的相互包容与转化.亮点2：基于对“研究问题方法”的考查，突出变换的工具性把图形变换作为一种解决问题、研究问题的方法或工具，在近几年中考试题中屡见不鲜.这类试题，要求学生通过平移、旋转或翻折等适当的图形变换，构造新的基本图形，并借助构造出来的基本图形解决问题.如，运用“轴对称变换”构造基本ADBC图21A′DBCB′D′图22A′DBCB′D′图23ORN GEMADBCEG图24FADBCE′图25FB′GADBCEH图26FB′E′中考指南ZHONGKAOZHINAN图形解“线段和最小”问题，运用旋转构造基本图形解一类等腰直角三角形问题，对这类问题的解决，既可以印证“变换”是研究问题、解决问题的重要工具，又可以让学生感受到数学方法的博大精深.例11（甘肃·兰州卷）如图27，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，当△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（）.（A ）130°（B ）120°（C ）110°（D ）100°答案：B.【评析】此题以四边形为载体，以“线段和的最小值”为核心，意在探讨动点M 、N 达到确定位置，即使△AMN 周长最小时，∠AMN +∠ANM 大小的情况，揭示了数学问题中不同的量之间“既相互制约，又相互影响”的事实，体现了知识之间的内在联系.此题主要考查了平面内与“最短路线”相关问题的解题方法、三角形外角的性质、垂直平分线的性质及对称的性质等知识.解决问题的关键，是作点A 关于BC 和DC 的对称点A ′、A ″，连接A ′A ″，从而确定使△AMN 的周长达到最小时点M 、N 的位置（如图28），再运用等腰三角形的性质和外角的性质，求得∠AA ′M +∠A ″=∠HAA ′=60°.进而得到结果.不难看出，此题借助轴对称作图，确定点M 、N 的位置，使问题得到解决，这不但突出了轴对称变换内容的丰富内涵，同时还印证了轴对称变换本身也是研究和解决问题的有力工具.例12（福建·宁德卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图29，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A 处，从AB 边开始绕点A 顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E.（1）小敏在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠MAB ，则AE 也平分∠MAC .试证明小敏发现的结论.（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转的过程中发现线段BD 、CE 、DE 之间存在如下等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，连接EF （如图30）；小亮的方法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，连接EG （如图31）.试从中任选一种方法进行证明.（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α≤135°，且α≠90°时，等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2仍然成立.继续探究：当135°＜α<180°时（如图32），等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.答案：（1）由∠DAM ＋∠MAE ＝45°，∠BAD ＋∠EAC ＝45°及题意，可得∠MAE ＝∠EAC.所以AE 平分∠MAC.（2）证明小亮的方法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACG.连接EG （如图31），易证△ADE ≌△AGE.再证明EC 2＋GC 2＝EG 2，即可.（3）BD 2＋CE 2＝DE 2仍然成立.基本思路如下：如图33，按小颖的方法作图，设AB 与EF 相交于点G ，由△AEF ≌△AEC ，得CE ＝FE.又由∠FDE ＋∠DEF =90°，得∠DFE ＝90°.故DF 2＋FE 2＝DE 2.所以BD 2＋CE 2＝DE 2.【评析】此题将角平分线的定义、等腰直角三角形性质、折叠对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理等静态的知识点，借助旋转融入到动态的情境之中，体现了动静相依、动静并存的完美统一.第（1）小题，由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质容易证明；第（2）小题，小颖的方法是应用折叠对称性质添加辅助线，通过全等和勾股定理加以解决，小亮的方法是通过将△ABD 旋转90°构造Rt △ECG ，再证明△ADE ≌△AGE ，并通过勾股定理加以解决；第（3）小题，可以依照第（2）小题的证明思路，得到“BD 2＋CE 2＝DE 2”仍然成立.此题以旋转变化的内容为载体，以“同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法”这种学生感觉亲切和易于接受的方式，为学生提供了解题的思路，使学生在明确的指向下主动运用两种变换的思想解决问题，这也是命题者想试图突出“图形变换是研究问题和解决问题的工具”观点的具体体现.如此的ABC图32AD B C ME 图29AD B CE F图30AD B CE G图31ABC图33F GADBC图28MNA ′A ″HADBC 图27MN中考指南ZHONGKAOZHINAN。
图形的相似与位似的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(解析版)
专题19图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。
考点1：比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b 的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是n m b a =，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d 满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段a，d 叫做比例外项，线段b，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c b b a =或a：b=b：c，那么线段b 叫做线段a，c 的比例中项.2.比例的基本性质：①a：b=c：d ⇔ad=bc②a：b=b：c ac b =⇔2.3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB≈0.618AB.考点2：相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故选：C1．（2023•吉林）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．若AD ＝2，BD ＝3，则的值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解答】解：∵DE ∥BC ，∴＝＝＝＝．故选：A ．2．（2023•内江）如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝12，则DH 的长为（）A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C 【解答】解：∵点D 、E 为边AB 的三等分点，∴AD ＝DE ＝EB ，∴AB ＝3BE ，AE ＝2AD ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF ：AC ＝BE ：AB ，∵AC ＝12，AB ＝3BE ，∴EF ：12＝BE ：3BE ，∴EF ＝4，∵DG ∥EF ，∴△ADH ∽△AEF ，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故选：C．3．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故选：C．4．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【答案】D【解答】解：设AB＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黄金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，经检验：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故选：D．5．（2023•哈尔滨）如图，AC，相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵AB∥DC，∴△CDO∽△ABO，∴，∵DO：OB＝1：2，∴＝，∴OC＝OA，∵AC＝OA+OC＝12，∴OA+OA＝12，∴OA＝8，∵MN∥AC，M是AB的中点，∴MN为△AOB的中位线，∴MN＝OA＝＝4．故选：B．【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是134米．【答案】134【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，解得：x＝134，经检验，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案为：134．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【答案】B【解答】解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故选：B．2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为（80﹣1 60）cm．（结果保留根号）【答案】（80﹣160）．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，故答案为：（80﹣160）．3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为18.2米．【答案】18.2．【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度为18.2米，故答案为：18.2．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故选：D．1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）【答案】C【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，∵点C的坐标为（3，2），∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），故选：C．2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为1：3．【答案】1：3．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A56，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）【答案】A【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0 +1，2＝1+1，3＝2+1，∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），故选：A．一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．【答案】D【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故选：D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°【答案】A【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，∴∠ADE＝∠ABC＝45°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，即∠AED+45°+60°＝180°，∴∠AED＝75°．故选：A．3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】C【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则＝，即＝，解得：AB＝2，∴AC＝2+4＝6（cm）．故选：C．4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】C【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.618，解得：y≈8cm．故选：C．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：A、因为DF∥AC，所以＝，故A选项错误；B、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，则＝，故B选项错误；C、由DF∥AC得＝，故C选项错误；D、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，则＝，故D选项正确．故选：D．7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．25【答案】B【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，∴＝＝，即＝，解得，EF＝9，故选：B．8．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【答案】B【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：B．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：16【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，：S△BF A＝9：16，∴S△DFE故答案为：D．10．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】B【解答】解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，∴＝＝，故选：B．二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为2：3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的对应高的比为：2：3，故答案为：2：3．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为10.5m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故答案为10.5．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为（10﹣10）米．【答案】（10﹣10）．【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），故答案为：（10﹣10）．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．【答案】．【解答】解：设正方形CDEF边长为x，则CD＝DE＝x，由Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12可知AC＝5，AD＝5﹣x，BC＝12，∵正方形CDEF，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，解得x＝．故答案为：．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．【答案】．【解答】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴＝，∴＝，解得AE＝．故答案为：．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．故答案为（2a，﹣2b）．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．【答案】（1）证明见解析过程；（2）9．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；（2）∵△ABD∽△CBA，∴，∵AB＝6，BD＝3，∴，∴BC＝12，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB．∵EM⊥AM，∴∠AME＝90°，∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，∴△ABM∽△EMA；（2）解：∵AB＝4，BM＝3，∴，∵△ABM∽△EMA，∴，即，∴．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）【答案】凌霄塔的高度AB为42米，见解析．【解答】解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝90°，∵∠CED＝∠FEG，∴△CDE∽△FGE，∴，∵CD＝4，FG＝1.6，EG＝2.4，∴，解得：DE＝6，∵BD＝57，∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，∵AB⊥BG，CD⊥BG，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB＝42，∴凌霄塔的高度AB为42米．20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，∴∠B＝∠BCD，∴AB∥CD，即AB∥CG，∵CD＝2AB，CG＝CD，∴AB＝CG，∴四边形ABCG是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，∵∠GAD＝90°，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：BE＝，即BE＝＝，∵△AEB∽△DEC，∴＝＝，∴CE＝2，∴BC＝BE+CE＝3，∴AG＝BC＝3．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．【答案】D【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，∴∠CDE＝∠BAD，∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝；故选：D；方法二：过点A作AF⊥BC于点F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF＝BC＝2，AF＝AB＝2，∵CD＝1，∴DF＝1，∴AD＝＝，∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，即＝，解得：AE＝，故选：D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴，∴，∴DE＝．故选：D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：延长BE交CD的延长线于点M．∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝BC＝4a，DF＝2a，∵CM∥AB，∴＝＝，∴DM＝a，∴FM＝DF+DM＝a，∴＝＝＝．故选：C．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④【答案】D【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，∴∠BAD＝∠EDC，故①正确；②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD OAD，∴△ADO∽△ACD．故②正确；③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，∴△BAD∽△EAO，∴．故③正确；④如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N，在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，∴四边形AMDN是矩形，∴DN＝AM，在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，∴2AD2＝2AM2+2MD2，∴2AD2＝BD2+CD2．故④正确．故选：D．5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l，∴四边形OBCG为矩形，∴OB＝CG，∵AH⊥HO，BO⊥HO，∴△AHF1∽△BOF1，∴＝＝，∴＝，∴物体被缩小到原来的．故选：A．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PEF＝∠PFE＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF，∴CP+PF＝CP+PE，∴CF＝BE，在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，∴BE＝2AE，∴CF＝2AE，故②正确；∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE，∴∠EPD＝∠BDE＝45°，∵∠BPC＝∠EPF＝60°，∴∠FPD＝105°，∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，∴∠DPF＝∠BHP，又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，∴△BHP∽△DPF，故④正确；∴，∴＝，∵∠DCF＝30°，∴DC＝DF，∴＝，∴＝＝，故③错误，故选：B．7．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°，AD∥BC，∴△DBC是等腰直角三角形，∴BD＝＝5，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC＝DF：BF，∵AE＝2，∴DE＝AD﹣AE＝3，∴3：5＝DF：（5﹣DF），∴FD＝．故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解答】解：过C作CN∥AB交AE延长线于N，过E作EM∥BD交AC于M，∴∠BAE＝∠N，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠N＝∠CAE，∴CN＝CA＝5，∵AB∥CN，∴△ABE∽△NCE，∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，∵EM∥BD，∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，∴DC：DM＝9：4，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∴AD：DM＝9：4，∵OD∥EM，∴＝＝．故选：B．损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图1，作∠BAC的平分线AP交BC于点P，由题意中的函数图象知AB＝BC＝4，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝∠B+∠BAP＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP⋅AC＝AB⋅PC，∴AP2＝AB⋅PC＝4（4﹣AP），解得：或（舍），∴，故选：D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为 2.4或．【答案】2.4或．【解答】解：设AD＝x，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣x，∵折叠△ADE得到△A′DE，∴A′D＝AD＝x，当△A′DC∽△BAC时，∴A′D：AB＝CD：AC，∴x：4＝（6﹣x）：6，∴x＝2.4；当△A′DC∽△ABC时，∴A′D：AB＝DC：BC，∴x：4＝（6﹣x）：5，∴x＝，∴AD长是2.4或．故答案为：2.4或．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则CD的长是．【答案】．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE＝DE＝DF+EF＝2+4＝6，∠ABD＝∠DCF＝60°，∵∠BAD+∠ABD＝∠ADC＝∠ADF+∠CDF，∠ABD＝∠ADF＝60°，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴＝＝，∴＝3，设CD＝x，则AB＝3x，BD＝2x，∴＝＝＝，∴CF＝x，则AF＝AC﹣CF＝AB﹣CF＝3x﹣x＝x，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠ADF＝∠ACD，∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴＝，即＝，AF＝，∴AF＝＝x，解得：x＝．故答案为：．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，∴AD2＝CD•BD＝4，∴AD＝2，故答案为：2．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC 边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．【答案】．【解答】解：∵＝，设CP＝t，则CD＝AB＝4t，∵点H是BC的中点，∴CH＝BH＝；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠CHP+∠CPH＝90°，∵∠MHE＝∠A＝90°，∴∠CHP+∠BHE＝90°，∴∠CPH＝∠BHE，∴△CHP∽△BEH，∴，即，∴BC2＝4BE•t①，∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝4t，∴AE＝EH＝4t﹣BE，在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，∴（4t﹣BE）2＝②，联立①②并解得：BE＝t，BC＝t，∴m＝＝＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．【答案】．【解答】解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点D作DH∥BC，交AE于点H，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴EC＝EG，∵△ABC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，∴5×12＝5CE+13EG，∴CE＝CG＝，∴BE＝BC﹣CE＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵D是AB的中点，DH∥BC，∴AH＝HE＝AE＝，∴DH是△ABE的中位线，∴DH＝BE＝，∵DH∥CE，∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，∴△DHF∽△CEF，∴＝＝＝，∴EF＝EH＝×＝，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．【答案】（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．【解答】解：如图，∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，∴AC＝，当点P在x轴上时，△PAC∽△CAB时，∴＝，∴＝，∴PA＝2，∴OP＝3，∴P（3，0），当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，∵AC＝CA，∴AB＝CP′＝1，∴OP′＝2，∴P′（0，2）．根据对称性可知．P（0，3）也符合题意．P与B重合，也符合题意，此时P（2，0）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠PQA＝∠ACB，理由见解答．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠2＝∠ABP，∴△CAQ∽△BAP，∴＝，∴AC•AP＝AB•AQ．（2）解：∠PQA＝∠ACB，理由：∵AC•AP＝AB•AQ，∴＝，∵∠1＝∠BAC，∴△APQ∽△ABC，∴∠PQA＝∠ACB．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）．【解答】（1）①证明：∵AE2＝OE•BE，∴，∵∠AEO＝∠BEA，∴△AEO∽△BEA，∴∠EAD＝∠ABE；②证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．∵∠ABD＝∠ABE+∠CBE，∠ADB＝∠EAD+∠C，由①知：∠EAD＝∠ABE，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝EC；（2）解：过点A作AF⊥BD于点F，交BE于点G，连接GD，如图，∵AB＝AD，AF⊥BD，∴BF＝FD，即AF为BD的垂直平分线，∴GB＝GD，∴∠GBC＝∠GDB，由（1）②知：∠CBE＝∠C，∴∠GDB＝∠C，∴GD∥EC，∴△BGD∽△BEC，∴．∵BD：CD＝4：3，∴，∴，∴GD＝．∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，∴FD：DC＝2：3，∴．∵GD∥EC，△FGD∽△FAC，∴，∴，∴AC＝．∴AE＝AC﹣EC＝﹣8＝．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解答】（1）证明：如图1，设DF与CF的交点为G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS）；（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴；（3）解：如图，过点A作GA∥BC，延长CF交AG于点G，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵，∴，∵GA∥BC，∴△AFG∽△BFC，∠GAC＝∠ACB＝90°，∴＝，∴，∵CE⊥AD，∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，又∵∠CAE+∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ADC，∴△ACG∽△CDA，∴，∴CD＝＝．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．【答案】问题探究（1）45°；（2）∠GCF＝α﹣90°；问题拓展：．【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，∵BJ＝BE，∴AJ＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠CEF＝∠EAJ，∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC（SAS），∴∠AJE＝∠ECF，∵∠BJE＝45°，∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，∴∠ECF＝135°，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．∵AB＝BC，∴BN＝BE．∵∠EBN＝α，∴，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．，∴DG＝m，CG＝2m．在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝60°，∴m，，∴α＝120°，由（2）知，，∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG．∴，∴＝，∴，由（2）知，，∴．∴．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或2【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵点D是AB的中点，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如图，当∠ADE＝90°时，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故选：D．2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由题意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，∴△BCE是黄金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是4：9．【答案】4：9．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．故答案为：4：9．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵，∴设AE ＝2a ，则BE ＝3a ，∴AB ＝CD ＝5a ，∵AB ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ，∴＝，∴＝，故答案为：．5．（2023•北京）如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD ，若AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，则的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AO ＝2，OF ＝1，∴AF ＝AO +OF ＝2+1＝3，∵AB ∥EF ∥CD ，∴＝＝，故答案为：．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD 如图所示，点N 在边AD 上，现将矩形折叠，折痕为BN ，点A 对应的点记为点M ，若点M 恰好落在边DC 上，则图中与△NDM 一定相似的三角形是△MCB ．【答案】△MCB ．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CMB＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案为：△MCB．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．【答案】．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，又∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BE＝2•OA，∴△OAF∽△EBF，∴＝＝，＝4S△OAF，∴S△EBF＝＝2，＝2S△AOF，∴S△AEF＝2S△OBF，同理S△EBFS△OBC＝S△OAB，＝x，设S△OAF＝4x，S△AEF＝2x，S△OBF＝2x，则S△EBFS△AOB＝S△BOC＝S△AOF+S△BOF＝x+2x＝3x，S四边形BCOF＝S△BOC+S△BOF＝3x+2x＝5x，∴＝＝，故答案为：．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．。
2012全国各地中考数学解析汇编--第28章 图形的相似与位似B(已排版)
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十八章 图形的相似与位似B（2012湖北黄冈，25，14）如图，已知抛物线的方程C 1:y=-1m(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）把M(2，2)代入y=-1m(x+2)(x-m)即可求出m ；（2）求出B 、C 、E 三点坐标即可求出S △BCE ；（3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.【答案】解：（1）依题意把M(2，2)代入y=-1m (x+2)(x-m)得：2=-1m(2+2)(2-m)，解得m=4.（2）由y=0得：-14(x+2)(x-4)=0 得 x 1=-2，x 2=4 ∴B （-2，0） C （4，0）.由x=0得：y=2 ∴E （0，2） ∴S △BCE =12BCOE=12×6×2=6.（3）当m=4时，C 1的对称轴为x=12×（-2+4）=1，点B 、C 关于直线x=1对称.连EC 交对称轴于点H ，则H 点使得BH+EH 最小.设直线EC 的解析式为y=kx+b ，把E（0，2）、C （4，0）代入得y=-12x+2，把x=1代入得H （1，32）.（4）分两种情况：①当△BEC ∽△BCF 时，则∠EBC=∠CBF=45°，BE BC BCBF=即2BC BE BF =⋅，作FT ⊥x 轴于点T ，∴可设F （x ，-x-2）（x ＞0），则-x-2=-1m(x+2)(x-m) ∵x+2＞0 ∴x=2m ，F （2m ，-2m -2）.∴BF=()()()222222221m m m ++--=+，BE=22，BC=m+2 .∴()()2222221m m +=⋅+ 解得m=222±，又m ＞0，∴m=222+. ②当△BEC ∽△FCB 时，则B C E C B FB C=，∠EBC=∠CFB ，△BTF ∽△COE ，∴2TF OE BTOCm==，∴可设F （x ，- 2m（x+2））（x ＞0），∴-2m（x+2）=-1m(x+2)(x-m)，∵x+2＞0 ∴x=m+2，F （m+2，-()24m m+），EC=24m +，BC=m+2，BF=()()2224422m m m++++∴()()()22222442422m m m m m++=+⋅+++，整理得0=16，显然不成立.综上：在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角与△BCE 相似，m=222+.【点评】本题综合考查了二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的关键要充分运用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式变形也是不小的考验.难度较大.（2012河南，22，10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF，求CD CG的值. （1）尝试探究在图1中，过点E 作E H A B ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是 ，CDCG的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若)0( m m EF AF=则CD CG的值是 （用含m 的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)A B B C a b a b C D B E ==>>，则AFEF的值是 （用含,a b 的代数式表示）.解析：（1）如图1，利用E H A B ∥得△EHF ∽△ABF ，对应边成比例得AB=3EH ，然后利用中位线定理得CG=2EH ，又∵CD=AB ，∴得出CD 与CG 的关系；（2）与（1）方法道理都相同； （3）此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件,(0,0)A BB Ca b a b C DB E ==>>，所以添加如图3，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ，则有EH CD BE BC =,EH AB EF AF =,两式相比就可得出ab EF AF =（1）33;2;2A B E H C G E H ==(2)2m作EH ∥AB 交BG 于点H ，则△EHF ∽△ABF∴,A B A Fm A B m E H E HE F===∵AB=CD ，∴C D m E H =EH ∥AB ∥CD ，∴△BEH ∽△BCG ∴2CG BC EH BE ==，∴CG=2EH ∴.22CD mEH m CG EH == （3）ab点评：这是一道几何综合题，利用平行线截三角形相似，对应线段成比例，关键是研究问题的方法，类比、转化、从特殊到一般等思想方的渗透，这类题的一层一层推进，但方法总是类似的，原理是一样的.（2012湖北武汉，24，10分）已知△ABC 中，AB ＝25，AC ＝45，BC ＝6（1）如图1点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；（2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，①请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 全等（画出一个即可，不需证明）②试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）解析：1、当△AMN ∽△ABC 时，易证MN 为中位线，MN=BC 21=3，当△AMN ∽△ACB 时,有BCMN ACAM =,根据AM,AC,BC 的值，可求出MN 。
2012年全国各地中考数学解析汇编18图形的相似与位似(精)
15. (2012 北京，15, 5)已知 aa【解析】【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。
28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质由于AD 为正，得到AD= . 5 ，本题正确答案是 B.点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。
28.3 相似三角形的判定（2012山东省聊城，11, 3分）如图，△ ABC 中，点D E 分别是AB AC 的中点，下列结论 不正确的是（）2012年全国各地中考数学解析汇编18图形的相似与位似，求代数式5a-2b 的值.f a —2b ）2 2 a -4b【答案】设a =2k , b =3k ，原式=5a —2b (a 2b)(a -2b)L(a_2b)严f 低檢a +2b 2k 6k4k 8k（2011山东省潍坊市，题号 8,分值3）8、 已知矩形 ABCD 中, AB=1,在BC 上取一点人丘将厶ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形ABCD 相似，贝U AD=C..3D. 2考点: 多边形的相似、一元二次方程的解法 解答：根据已知得四边形 ABEF 为正方形。
因为四边形 EFDC 与矩形ABCD 相似 所以DF:EF=AB:BC 即 (AD-1) :1=1:AD 整理得： AD 2 - AD -1 = 0,解得AD1-5( )A.BC=2DEB.△ ADE^A ABC C.AD AB D.SABC - 3S ADEAEAC解析：根据三角形中位线定义与性质可知， BC=2DE 因DE//BC ，所以△ AD 0A ABC AD:AB=AE AC 即 AD AE=AB AC S _ 4S.所以选项 D 错误.S ^BC= 4S ^DE答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半 •有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等（2012四川省资阳市，10, 3分）如图，在△ ABC 中，/ C= 90°，将△ ABC 沿直线 MN 翻折【解析】 由MG 6, NG- 2J3 , / 3 90°得S ACM =6J3，再由翻折前后厶CM ^A DMNI 对 应高相等；由 MIN/ AB 得△ CM MA CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为 1:4，从而得S A CM N S 四边形MAB =1：3，故选 C.后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MN/ AB MC= 6, NC= 3，则四边形MABN的面积是A6、、3B12.3C-18、3D- 24、3C【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点•知识点丰富；考查了学（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB AC上，且/ ABC* AED若DE=4 AE=5, BC=8贝U AB的长为______________ 。
2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编37相似形的应用
5
5
5
5. （2012 荆门东宝区模拟）在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕顶点 C
顺时针旋转，旋转角为 (0°＜ ＜180°)，得到△A1B1C．
A
A1
C
D
A
A1
BC
A A1 E BC
P B
B1 图1
B1 图2
B1 图3
（第 2 题图）
(1)如图 1，当 AB∥CB1 时，设 A1B1 与 BC 相交于点 D．证明：△A1CD 是等边三角形； (2)如图 2，连接 AA1、BB1，设△ACA1 和△BCB1 的面积分别为 S1、S2．
则三人行进路线长度的大小关系为（ ）
(A) 甲=乙=丙
(B) 甲<乙<丙
(C) 乙<丙<甲
(D )丙<乙<甲
C 70
50 A
答案：A
图(1)
60 B
D
F
70
70
50 60 50 60
A
E
B
图(2)
50 A
G
70I
K
70 60 5060
H
B
图(3)
1
5、（2012 广西贵港）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m ，紧接着他把
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 AD PN AD PM
设灯泡离地面距离为 x, 由题意，得 PM= x ，PN= x a, AD= na ，A′D′= na b ，
5
∴ na x a na b x
A
E
O
4、（2012 江苏无锡前洲中学模拟）如图 1，在△ABC 中，AB＝BC＝5，
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（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十八章 图形的相似与位似28.1 图形的相似15．（2012北京，15，5）已知023a b =≠，求代数式()225224a b a b a b-⋅--的值．【解析】【答案】设a =2k ,b =3k ，原式=525210641(2)(2)(2)22682a b a b k k k a b a b a b a bk kk----====+-++【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。
28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质 （2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A ．215- B ．215+ C ． 3 D ．2考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF 为正方形。
因为四边形EFDC 与矩形ABCD 相似 所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：012=--AD AD ,解得251±=AD由于AD 为正，得到AD=215+，本题正确答案是B.点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。
28.3 相似三角形的判定（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC.ACABAE AD=D. ADE ABC S S ∆∆=3解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE ；因DE//BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ：AB=AE ：AC ，即AD ：AE=AB ：AC ，ADE ABC S S ∆∆=4.所以选项D 错误. 答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC＝MABN 的面积是A． B． C．D．【解析】由MC ＝6，NC＝∠C ＝90°得S △CMN=，再由翻折前后△CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN ∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。
若DE=4，AE=5，BC=8，则AB 的长为______________。
10（第10题图）NMD A CB解析：：∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴A E D EA B C B，DE=10答案：10点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。
利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。
28.4 相似三角形的性质(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。
答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。
（2012浙江省衢州，15，4分）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为.(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】D B A E D C∠=∠∠=∠或-----------------------------------------------------2分理由：两角对应相等，两三角形相似------------------------------------------------------6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（湖南株洲市6,20题）（（本题满分6分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：△COM∽△CBA；（2）、求线段OM的长度.【解析】要证明△COM∽△CBA就是要找出∠COM=∠B即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.【解】（1）证明： A与C关于直线MN对称∴AC⊥MN∴∠COM=90°在矩形ABCD中，∠B=90°∴∠COM=∠B----------------------------------------1分又 ∠ACB=∠ACB------------------------------------2分∴△COM∽△CBA ---------------------------------3分（2） 在Rt△CBA中，AB=6，BC=8∴AC=10----------------------------------------- -----4分∴OC=5△COM∽△CBA----------------------------------------5分∴OC OM=BC AB∴OM=154----------------------------------------------6分【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.（2012湖南娄底，25，10分）如图13，在△ABC中，AB=AC，∠B=30︒，BC=8，D在边BC上，E 在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N.（1）求证：△BMD ∽△CNE ；（2）当BD 为何值时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切？（3）设BD =x ，五边形ANEDM 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围）；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值.【解析】（1）由AB=AC ，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD ∽△CNE ；（2）首先过点M 作MH ⊥BC ，设BD=x ，由以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切，可得MH=MF=4-x ，由（1）可得MD=BD ，然后在Rt △DMH 中，利用正弦函数，即可求得答案； （3）首先求得△ABC 的面积，继而求得△BDM 的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN 的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．【答案】（1）证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠C=30°.∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°，∴∠MDB=∠NEC=120°，∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，∴△BMD ∽△CNE ；（2）过点M 作MH ⊥BC ，∵以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切，∴MH=MF ，设BD=x ，∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B ，∴DM=BD=x ，∴MH=MF=DF-MD=4-x ，在Rt △DMH 中，sin ∠MDH=sin60°=M H M D=4-x x2，解得：x=16-BD=16-M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切；（3）过点M 作MH ⊥BC 于H ，过点A 作AK ⊥BC 于K ，∵AB=AC ，∴BK=12BC=12×8=4。
∵∠B=30°，∴AK=BK •tan ∠B=433S△ABC=12BC •AK=12×833由（2）得：MD=BD=x ，∴MH=MD •sin ∠MDH= 2x ，∴S △BDM =12•x224.∵△DEF 是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x ，∵△BMD ∽△CNE ，∴S△BDM：S△CEN=2()B DC E=22(4)xx -，∴S△CEN=2(4)4x -，∴y=S △ABC -S△CEN-S △BDM234-2)4x -= 223x -++=2(2)23x --+（0≤x ≤4），当x=2时，y有最大值，最大值为3．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函B DE NAF M数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用．(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。
答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。