新北师大版初中九年级数学上册4.7相似三角形的性质同步练习强化练习

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137.北师大版九年级数学上册4.7 相似三角形的性质同步练习(同步练习)

4.7 相似三角形的性质1．若△ABC ∽△A`B`C`，则相似比k 等于（）A ．A`B`:AB B ．∠A: ∠A`C ．S △ABC ：S △A`B`C`D ．△ABC 周长：△A`B`C`周长2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（）A ．10000倍B ．10倍C ．100倍D ．1000倍3．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）A ．2:3B ．3：2C ．9：4D ．不能确定4．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（）A ．49倍B ．7倍C ．50倍D ．8倍5．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积和为78cm 2，那么较大多边形的面积为（）A ．46.8 cm 2B ．42 cm 2C ．52 cm 2D ．54 cm 26．两个多边形的面积之比为5，周长之比为m ，则m5为（） A ．1 B ．55 C ．5 D ．5 7．在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm 2，则这块多边形地区的实际面积为（）A ．6m 2B ．60000m 2C ．600m 2D ．6000m 28．已知△ABC ∽△A`B`C`，且BC ：B`C`＝3：2，△ABC 的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.9．两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.10．两个相似多边形最长的的边分为10cm 和25cm ，它们的周长之差为60cm ，则这两个多边形的周长分别为_______.11．四边形ABCD ∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm ，则四边形ABCD 的周长为________.12．如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝2，S矩形ABCD ＝3S 矩形ECDF 。

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质同步练习(含解析)

4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）A．B．C．D．2．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．两相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为15，则面积之和是（）A．39B．75C．76D．404．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：5．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．6．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB＝4，AD＝5，若△ABD与△BCD相似，则BC的长（）A．或B．或C．D．7．如图，下面方格纸中小正方形边长均相等．△ABC和△DEP的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若△ABC∽△PDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3D．P48．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16B．3：4C．9：4D．3：210．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OP A与△OAB相似，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD ＝．12．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是．13．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为．14．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P 在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．如图，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠ACB的度数；（2）求CD的长．参考答案1．解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：3．故选：C．2．解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故选：C．3．解：∵这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，∵它们的面积之差为15cm2，∴9x﹣4x＝15，解得：x＝3，∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝39．故选：A．4．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．5．解：∵△ABC∽△ADE，∴．故选：D．6．解：由勾股定理得，BD＝＝＝3，当△ABD∽△BCD时，＝，即＝，解得，BC＝，当△ABD∽△DCB时，＝，即＝，解得，BC＝，故选：A．7．解：如图，连接EP4．∵AB＝2，BC＝1，DE＝2，P4D＝4，∴＝＝，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴△ABC∽△P4DE（不全等），故选：D．8．解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：EC＝3：1，∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．故选：B．10．解：由点D的画法可知AD平分∠OAB．∵△OP A∽△OAB，∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB．∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°，∴AP＝2OP．在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2，∴OA＝＝OP，∴OP＝，∴点P的坐标为（，0）．故选：C．11．解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AB＝9，AC＝6，∴＝，解得：AD＝4．故答案为：4．12．解：因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是1：2，所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，故答案为：1：2．13．解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9．故答案为：1：9．14．解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，∴其对应边＝＝．故答案为：．15．解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴＝，∵点A（8，0）和点B（0，6），∴AB＝＝10，∵点C是AB的中点，∴AC＝5，∴＝，∴AP＝，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）16．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∠D＝117°，∴∠BAC＝∠D＝117°．∵∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣36°﹣117°＝27°．（2）∵△ABC∽△DAC，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∴＝，即＝，解得CD＝．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4-7相似三角形的性质》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：92．△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54B．36C．27D．213．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝BC•BD B．AB2＝AC•BDC．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AD•CD5．已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB．10cm，30cm，36cm或10cm，12cm，30cmC．10cm，30cm，36cmD．10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm6．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．二．填空题7．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为．8．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为．9．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC 的中点，若＝，则＝．10．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，则AD的长＝．11．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F为射线AD上的一个动点，△AEF沿着EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和EH于点N和M，已知AB＝，BC＝2，若△EMN与△AEF相似，则AF的长是．三．解答题12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，BE⊥AB于B，点D为射线BE 上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似．（1）求AD的长；（2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA．（1）求∠ABC的度数；（2）求的值．14．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c （a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c＝a1，求证：a＝kc；（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．15．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A （，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD 与△BCE相似时，求点E的坐标．17．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．18．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB＝10，AG＝6，求线段BE的长．20．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另外一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直．（1）设AD＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；（2）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．2．解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故选：C．3．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．4．解：∵△ABC∽△DBA，∴；∴AB2＝BC•BD，AB•AD＝BD•AC；故选：A．5．解：因为所作的三角形与△ABC相似，可设所作三角形的三边长为2a，5a，6a，①当2a＝30cm时，a＝15cm，∴所作三角形的另外两边长为90cm和75cm，∵75＞60，因此这种情况不成立；②当5a＝30cm时，a＝6cm，∴所作三角形的另外两边长为12cm和36cm，12+36＜60，因此这种情况成立；③当6a＝30cm时，a＝5cm，∴所作三角形的另外两边长为10cm和25cm，10+25＜60，因此这种情况成立．综合三种情况可知：所作三角形的三边长为10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm．故选：D．6．解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．二．填空题7．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝10，当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得，PE＝，当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝CD＝3，故答案为：或3．8．解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，∵△PBE∽△CBO，∴＝，即＝，解得：PE＝3，∴点P（﹣4，3）；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，∴BC＝＝＝10，∴BP＝2，∵△PBE∽△CBO，∴＝＝，即：＝＝，解得：PE＝，BE＝，∴OE＝8﹣＝，∴点P（﹣，）；综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；故答案为：（﹣，）或（﹣4，3）．9．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．10．解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，∴BC＝＝3cm，设AD＝x，当AC：AB＝AB：AD时，△ABC∽△ADB∴，解得AD＝；当BC：AC＝AD：AB时，△ABC∽△BDA，∴＝解得：AD＝，故答案为：或．11．解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AF＝1，②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，可得AF＝3，故答案为1或3．三．解答题12．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝＝＝，当△ABD∽△ACB时，＝，即＝，解得：AD＝3；当△ABD∽△BCA时，＝，即＝，解得：AD＝3；（2）当△ABD∽△ACB时，面积比＝（）2＝；当△ABD∽△BCA时，面积比＝（）2＝3，则△ABD与△ABC的面积比为或3．13．解：（1）∵AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC，∵∠C＝90°，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠BAC）＝90°＝45°，∴∠3＝∠1+∠2＝45°，∵△ABC∽△EDA，∴∠ABC＝∠3＝45°；（2）过A作AF⊥DE于点F，∵∠3＝45°，AE⊥AD，∴△ADE是等腰直角三角形，设AF＝a，则DE＝2a，DF＝a，Rt△ADF中，AD＝a，∵2∠1＝2∠2＝45°，∴∠1＝∠2，∴AD＝BD＝a，∴BF＝a+a，在Rt△ABF中，AB2＝AF2+BF2＝a2+（a+a）2＝（4+2）a2，∵△ABC∽△EDA，∴＝＝＝．14．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴＝k，a＝ka1；又∵c＝a1，∴a＝kc；（2）解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2；此时＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1；又∵b＝a1，c＝b1，∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c；∴b＝2c；∴b+c＝2c+c＜4c，4c＝a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2．15．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DGC＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠F AG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．16．解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y＝x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB＝2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD＝1，∵y＝﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC＝3，∴BC＝5．过点E作EF垂直于BC于F，∵△BOD与△BEC相似，∴①，∴＝＝，∴BE＝2，CE＝，∵BC•EF＝BE•CE，∴EF＝2，CF＝＝1，∴E（2，2），②，∴，∴CE＝，∴E（3，）．即：E（2，2），或（3，）．17．解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A+∠APC＝60°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，∴∠A+∠B＝60°，∴∠APB＝120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴＝，∴CD2＝AC•BD．18．解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C＝47°，∠ADE＝180°﹣∠BAC﹣∠AED＝86°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得，DE＝4（cm）．19．（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD＝∠AGF．∵∠BAD＝∠GAF，∴∠AGF＝∠GAF，AF＝GF．∵BE＝AF，∴FG＝BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF＝3.6，∵BE＝AF，∴BE＝3.6．20．解：（1）由题意得：DE＝AD﹣t＝6﹣t，DF＝2t，∴6﹣t＝2×2t，解得t＝，故当t＝时，DE＝2DF；（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6＝72，S△ABE＝×12×t＝6t，S△BCF＝×6×（12﹣2t）＝36﹣6t，∴四边形DEBF的面积＝矩形的面积﹣S△ABE﹣S△BCF＝72﹣6t﹣36+6t＝36，故四边形DEBF的面积为定值；（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，则＝或＝，由ED＝6﹣t，DF＝2t，FC＝12﹣2t，BC＝6，代入解得：＝或＝，解得t＝3或t＝，故当t＝3或时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．21．解：（1）∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D，∴∠FDB＝∠B＝60°，∴△BDF是等边三角形；∵BC＝1，∴AB＝2；∴2﹣x＝1﹣y；∴y＝x﹣1；自变量的取值范围是：；（2）①如图，∠FED＝90°，△CEF∽△EDF，∴，即解得，；∴，；②如图2，∠EFD＝90°，△CEF∽△FED，∴，即；解得，；∴；∴．综上所述，AD的值为或．。

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质同步练习(含答案)

4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍3．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（）A．36°B．117°C．143°D．153°4．已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（）A．16：81 B．4：9 C．9：4 D．2：35．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（）A．5 B．C．5或D．66．两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为（）A．10和14 B．9和15 C．8和16 D．11和137．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，6cm，另一个三角形的最短边长为4cm，则它的最长边长为（）A．B．8cm C．D．12cm8．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝4，D为AB边上一点，且AD＝2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE＝（）A．2 B．C．3或D．3或9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：410．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8二．填空题11．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是．12．△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为．13．如图，△ADE∽△ABC，AD＝6，AE＝8，BE＝10，CA的长为．14．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝．15．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC 的面积为．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC （点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是△ABC的子三角形．（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB＝AC，∠A＝90°，若BE＝，求CF和AD的长．参考答案1．A2．A3．D4．D5．B6．B7．B8．D9．A10．B11．16或112．1：213．2414．15．1016．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE，∴△DAF≌△EBD≌△FCE，∴DE＝EF＝DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝∠EDF＝∠B＝∠A＝60°，∴△DEF∽△ABC．∴△DEF是△ABC的子三角形．（2）如图2中，作EH⊥AB于H．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵△DEF是△ABC的子三角形，∴△DEF∽△ABC，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF+∠EDH＝90°，∴∠EDH＝∠AFD，∵∠DHE＝∠A＝90°，∴△DEH≌△DF A，∴AD＝HE，∵△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝×＝1，∴AD＝1，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∵∠B＝∠DEF＝45°，∴△BDE∽△CEF，∴＝＝，∴CF＝2．。

北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质定理》同步测试题(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章4.7.2相似三角形的性质定理(二) 同步测试题一、选择题1．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)A.BCDF＝12B.∠A的度数∠D的度数＝12C.△ABC的面积△DEF的面积＝12D.△ABC的周长△DEF的周长＝122．如图，△ABC的面积为12，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE的面积为(D)A．6 B．5 C．4 D．33．两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(D)A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm4．制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是(C)A．360元 B．720元C．1 080元D．2 160元5．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(C)A．1 B．2 C．3 D．46.如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶37.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－628.如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，△BEF 的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A ．30B ．27C ．14D ．32二、填空题9．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比35进行缩小，得到的直角三角形的面积是9．10．如图，把△ABC 沿着AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的14.若AB ＝2，则△ABC 平移的距离是1．11．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2∶3的两部分，连接BE ，AC 相交于点F ，则S △AEF ∶S △CBF 是4∶25或9∶25．12．如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是26．13．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE.下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ∶BD ＝21∶7；④FB 2＝OF ·DF.其中正确的结论有①③④．(填写所有正确结论的序号)三、解答题14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 与△EFC 的面积分别为4 cm 2和9 cm 2，求△ABC 的面积．解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠FEC ，△ADE ∽△ABC. ∴△ADE ∽△EFC. ∵S △ADE S △EFC ＝49， ∴AE EC ＝23.∴AE AC ＝25. ∴S △ADE S △ABC ＝(AE AC )2＝425. ∴S △ABC ＝25 cm 2.15.如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.16．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON ＝1.(1)求BD 的长；(2)若△DCN 的面积为2，求四边形ABCM 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD. ∴△MND ∽△CNB.∴MD BC ＝DNBN .∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD BC ＝12.∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN. 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3. ∴BD ＝2x ＝6.(2)∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2， ∴MN ∶CN ＝1∶2. ∴S △MND ∶S △CND ＝1∶2. ∵△DCN 的面积为2， ∴△MND 的面积为1. ∴△MCD 的面积为3.∵S ▱ABCD ＝AD ·h ，S △MCD ＝12MD ·h ＝14AD ·h ，∴S ▱ABCD ＝4S △MCD ＝12.∴S 四边形ABCM ＝S ▱ABCD －S △MCD ＝12－3＝9.17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°，∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.18．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，点P 在AC 上(与A ，C 不重合)，点Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，CP (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，CP 的长等于247；(3)试问：在AB 上是否存在一点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ 的长．解：存在．∵CA ＝4，AB ＝5，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝25.∴△ABC 是直角三角形且∠C ＝90°. ∴△ABC 中AB 边上的高为125.①如图a 所示，当∠MPQ ＝90°，且PM ＝PQ 时， ∵△CPQ ∽△CAB ， ∴PQ AB ＝△CPQ 中PQ 边上的高△CAB 中AB 边上的高. ∴PQ 5＝125－PQ 125.∴PQ ＝6037. ②当∠PQM ＝90°且QM ＝PQ 时，结果与①相同；③如图b 所示，当∠PMQ ＝90°且PM ＝MQ 时，过点M 作ME ⊥PQ ，则ME ＝12PQ ，∴△CPQ 中PQ 上的高为125－ME ＝125－12PQ.∵PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高， ∴PQ 5＝125－12PQ 125.∴PQ ＝12049. 综上可知，存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，此时PQ 的长为6037或12049.1、在最软入的时候，你会想起谁。

北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质同步测试

北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质同步测试一．选择题1如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BDAD的值为( )A．1 B．22 C．2－1 D．2＋12．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：14．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．17 B．19 C．21 D．245．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6．已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（）A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.57．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形8．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.5 cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3 cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．9．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E．F分别是PB．PC（靠近点P）的三等分点，△PEF．△PDC．△PAB的面积分别为S1．S2．S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A． B． C．D．410．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE．BE分别交于点G．H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC =4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个 C．3 个 D．4个二．填空题11.如果两个相似三角形的周长分别为15 cm和25 cm，那么这两个相似三角形对应的角平分线的比为_______．12.一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为.13．已知两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则这两个三角形的周长分别为______________．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF= ．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是_________16．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．17．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.18．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．三．解答题19．如图，M是□ABCD的AB边的中点，CM与BD相交于点E，连接DM．设□ABCD 的面积为1，求图中阴影部分的面积．20．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN ，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．21．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A 端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高多少米？22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．24．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC．CD在同一条直线上，点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，连接AE．BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP．BD分别交于点G．H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．答案提示1.C 2．C． 3．C 4．D 5．D． 6．D 7．C 8．6 9．A．10．D．11. 3：5 12.1∶3 13．24 cm和80cm 14．4．15．7416．7． 17．5和20 18．．19．1 320．（1）解：由已知得MN=AB ， MD= AD= BC ，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴，∵MN=AB ， DM= AD ， BC=AD ，∴，∴由AB=4得，AD= ；（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为．21．1米22．（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．23．解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．24．解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．。

九年级数学上4.7相似三角形的性质同步练习(北师大附答案和解释)

九年级数学上4.7相似三角形的性质同步练习（北师大附答案和解释）北师大版数学九年级上册第三章第7节相似三角形的性质同步检测一、选择题 1、如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（） A、 B、 C、 D、 2、如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（） A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 3、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（） A、1：2 B、2：1 C、1：4 D、4：1 4、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（） A、1：4 B、2：1 C、1：2 D、4：1 5、给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（） A、1听 B、2听 C、3听 D、4听 6、已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（） A、7.5 B、6 C、5或6 D、5或6或7.5 7、如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（）A、4：5 B、16：25 C、196：225 D、256：625 8、两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（） A、45cm，85cm B、60cm，100cm C、75cm，115cm D、85cm，125cm 9、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（） A、17 B、19 C、21 D、24 10、若△ABC∽△DEF ，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数是（） A、50° B、60° C、70° D、80° 11、如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（） A、 B、 C、D、 12、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（） A、等腰三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形 13、△ABC∽△A1B1C1 ，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（） A、 B、 C、或 D、 14、如图，△ABC ， AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD= AB ，在AC上取一点E ，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（） A、 B、10 C、或10 D、以上答案都不对 15、如图，△ADE∽△ABC ，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（） A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：2 二、填空题 16、已知△ABC∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为________ ． 17、已知△ABC与△ 的相似比为2：3，△ 与△ 的相似比为3：5，那么△ABC与△ 的相似比为________。

北师大版初中数学九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷

北师大新版九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比2．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：43．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）A．3：2B．3：2C．9：4D．27：86．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF 周长之比为（）A．4：25B．2：5C．5：2D．25：47．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定形状8．两个相似三角形的对应边的比为4：9，则它们的面积比为（）A．2：3B．9：4C．16：81D．81：169．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：410．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A．2B．4C．8D．3211．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．9：1B．1：9C．3：1D．1：312．已知△ABC∽△A1B1C1且面积之比为1：3，则边长AB：A1B1的值为（）A．1：3B．1：9C．1：D．：113．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：2714．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm15．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9二．解答题（共28小题）16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．17．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，求BC与AB的比值．19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求（1）AO的长．（2）求S．△BOD20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC ＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．21．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．22．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．（1）求CE的长；（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．26．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．27．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．28．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．29．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB＝；（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．31．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．32．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．33．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A ＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．34．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．35．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．36．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．37．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．38．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO 和AB的长．39．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．40．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．41．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1＝∠2＝∠3．42．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝7cm，∠BAC＝45°，∠C＝40°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．43．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝40°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．北师大新版九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比【分析】根据相似多边形的性质判断即可．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；②相似多边形对应角平线的比等于相似比③相似多边形周长的比等于相似比，④对应面积的比等于相似比的平方，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．2．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD 与A′D′分别是对应边，∴＝，∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，∴＝，则A′D′＝．故选：B．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．4．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵两个四边形相似，∴∠1＝138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）A．3：2B．3：2C．9：4D．27：8【分析】由两个相似三角形，其相似比3：2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF 周长之比为（）A．4：25B．2：5C．5：2D．25：4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4：25，∴它们的相似比为2：5，∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．7．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定形状【分析】直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案．【解答】解：∵一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，∴扩大后三角形三边长分别为：10，24，26，∵102+242＝676，262＝676，∴102+242＝262，∴这个三角形的形状为直角三角形．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握勾股定理的逆定理是解题关键．8．两个相似三角形的对应边的比为4：9，则它们的面积比为（）A．2：3B．9：4C．16：81D．81：16【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．【解答】解：∵两个相似三角形的对应边的比为4：9，∴它们的面积比为16：81．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．9．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：4【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，∴它们的相似比为4：9，∴面积比＝（）2＝16：81．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A．2B．4C．8D．32【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．【解答】解：设△DEF的周长为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴16：x＝2：1，解得，x＝8．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．11．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．9：1B．1：9C．3：1D．1：3【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．12．已知△ABC∽△A1B1C1且面积之比为1：3，则边长AB：A1B1的值为（）A．1：3B．1：9C．1：D．：1【分析】根据相似三角形的面积比求出相似比，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且面积之比为1：3，∴它们的相似比为1：∴△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为1：，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．13．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．15．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．二．解答题（共28小题）16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠A ＝∠E＝118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°，∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28，∴EH＝28cm．【点评】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于360°，熟记性质与公式是求解的关键．17．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．【解答】解：（1）由已知得MN＝AB＝2，MD＝AD＝BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，＝，∴DM•BC＝AB•MN，即BC2＝4，∴BC＝2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴＝，∵AB＝CD＝2，BC＝4，∴DF＝＝1，∴矩形EFDC的面积＝CD•DF＝2×1＝2．【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．也考查了矩形的面积．18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，求BC与AB的比值．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴＝，即＝，∴BC2﹣BC•AB﹣CD2＝0，解得，BC＝CD，∵BC、CD是正数，∴＝．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求（1）AO的长．．（2）求S△BOD【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例即可解决问题；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵OB＝4，∴OA＝6．（2）∵△OBD∽△OAC，∴＝（）2，＝36，∵S△AOC＝16．∴S△OBD【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC ＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∴＝，∴DE＝8（cm）．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质，准确找出对应边与对应角是解题的关键．21．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．【分析】求出AC2+BC2＝AB2，推出∠C＝90°，根据△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，即可得到△A′B′C′的周长及∠C′的度数．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2+BC2＝25＝AB2，△ABC的周长为12，∴∠C＝90°，∵△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，∴相似比＝＝，∠C＝∠C'，∴△ABC的周长为12×3＝36，∠C的度数为90°．【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，注意：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．22．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长．【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：AD＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B＝∠C＝30°，再利用垂直平分线的性质得BE＝AE，AF＝CF，则∠EAB＝∠B＝30°，∠F AC ＝∠C＝30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF＝∠AFE＝60°，于是可判断△AEF为等边三角形；（2）由D是AB中点、G是AC中点知DG是△ABC中位线，据此可得．（3）利用AE＝BE，AF＝CF可得AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，从而可确定△AEF的周长．【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠F AC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG＝BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰三角形的性质与等边三角形的判定．24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．（1）求CE的长；（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．【分析】（1）设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，依据勾股定理即可得到；（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2＝CE•CP，即，进而得到；②分两种情况讨论：若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，即可得到．【解答】解：（1）∵AE∥CD，∴＝，∵BC＝DC，∴BE＝AE，设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，∵∠ACB＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，∴，即；（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，∴∠ACQ＝∠P，又∵AE∥CD，∴∠ACQ＝∠CAE，∴∠CAE＝∠P，∴△ACE∽△PCA，∴AC2＝CE•CP，即，∴；②设CP＝t，则，∵∠ACB＝90°，∴，∵AE∥CD，∴，即＝＝，∴，若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，∴15t2﹣40t+16＝0，解之得，又∵t＞，∴．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A+∠APC＝60°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，∴∠A+∠B＝60°，∴∠APB＝120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴＝，∴CD2＝AC•BD．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．26．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．【分析】由△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝ADD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．27．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C＝47°，∠ADE＝180°﹣∠BAC﹣∠AED＝86°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得，DE＝4（cm）．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．28．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3∴EC＝3.1；（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC⊥AD．【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．29．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵△ABC∽△DEC，∴＝，∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，∴＝，∴DC＝（cm），故AD＝3+＝（cm）．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB＝2；（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA＝OB，OA＝OD，可得∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO＝∠A+∠D，可得要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA＝∠BCO ＝90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB，∠OEB＝90°，∵OB＝2，∠B＝30°，∴BE＝OB•cos∠B＝2×＝，∴AB＝2；故答案为：2；（2）连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°，∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；（3）∵∠BCO＝∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝．∴若△ACD与△BCO相似，AC的长度为．【点评】此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．31．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝35°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣35°＝70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝35°，∠AED＝∠C＝70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即30：18＝20：DE，解得DE＝12cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．32．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．【分析】（1）根据题意首先得出D点坐标，进而得出函数关系式，进而得出E点坐标答案；（2）直接利用相似三角形的判定方法分解析得出答案．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得：k＝1×3＝3；∴反比例函数的表达式y＝，∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，∵点E在双曲线上，∴y＝，∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2，∵△FBC∽△DEB，∴＝，即：＝，∴FC＝，∴点F的坐标为（0，）．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及反比例函数图象上的性质和矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．33．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A ＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．【分析】先根据OA＝2，AD＝9求出OD的长，再根据△AOB∽△DOC即可得出＝＝，再把已知数据代入进行计算即可．【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，∴OD＝9﹣2＝7，∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，∴＝＝，解得OC＝，AB＝，∵△AOB∽△DOC，∴∠D＝∠A＝58°．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，对顶角相等，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．34．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．【分析】根据相似三角形的性质即可求出AD、AE的长度．【解答】解：∵△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴，∴∴AD＝∵∴∴AE＝【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．35．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝，根据AB＝AC，得到AE＝AF，利用HL定理证明；（2）根据等腰三角形的性质得到BC＝2BD，得到BD＝AD，根据正方形的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵△AEF∽△ABC，∴＝，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD；（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD＝∠F AD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BC＝2BD，∵BC＝2AD，∴BD＝AD，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝∠BAD＝45°，∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AE＝AF，∴矩形AEDF是正方形．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．36．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等结合图形解答．（2）根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．（2）∵△ABC∽△DAC，∴，又AC＝4，BC＝6，∴CD＝＝；【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比相等是解题的关键．37．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠P AD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．所以AP＝或AP＝2或AP＝6．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．38．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO 和AB的长．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．【解答】解：∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∴＝，解得OA＝6，∴AB＝OA+OB＝4+6＝10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．39．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．【分析】根据△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，可得△ABC的周长和面积，利用最长边可求得两三角形的相似比，再根据周长比等于相似比，可求得△A′B′C′的周长，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可得△A′B′C′的面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，∴相似比为，∴＝，即＝，＝120cm，解得C△A′B′C′∵＝（）2，∴＝，＝600cm2．解得S△A′B′C′【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．40．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．。

数学九年级上北师大版4.7相似三角形的性质同步练习

相似三角形的性质一、选择题1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且那么等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：24．如图G是△ABC的重心，直线l过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、l交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（）A．1：2 B．2：1C．2：3 D．3：25. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）A.1︰2︰3︰4B.2︰3︰4︰5C.1︰3︰5︰7D.3︰5︰7︰96．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25二、填空题7. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．8.如图，△A BC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是_______________.10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且S△EFC=3S△EFD，则S△ADE：S△ABC=_______.11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________.12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，则AC边上的高为______________.三、解答题13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．……（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．参考答案一．选择题1.【答案】B【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。

北师大版-数学-九年级上册-4.7 相似三角形对应线段的性质同步练习

相似三角形对应线段的比1.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设P到AB 的距离为x m，因为AB•∥CD，则，得即得x=，故选C.2.若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( )A. 2∶3B. 3∶2C. 4∶9D. 9∶4【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质分析判断即可.【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，∴△ABC和△A′B′C′对应边上的高的比为2：3.故选A.【点睛】熟知“相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比”是解答本题的关键.3. 两个相似三角形对应高之比为1︰2，那么它们对应中线之比为（）A. 1︰2B. 1︰3C. 1︰4D. 1︰8【答案】A【解析】相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，故选A．4.用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm变为5 cm，那么看到的图形的高是原来的( )A. 5倍B. 15倍C. 25倍D. 1倍【解析】【分析】由用放大镜看到的三角形和原三角形相似结合已知条件和相似三角形的性质进行判断即可.【详解】∵用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm变为5 cm，∴用放大镜看到的三角形和原三角形相似，且相似比为5：1，又∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比，∴用放大镜看到的三角形的高是原来高的5倍.故选A.【点睛】知道“（1）用放大镜看的图形和原图形是相似的；（2）相似三角形对应边上的高之比等于相似比”是解答本题的关键.5.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴，又∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴，解得.【点睛】熟知“相似三角形的性质：相似三角形的对应高之比、对应中线之比都等于相似比”是解答本题的关键.6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( )A. 1B. 3C. 12－6D. 6－6【答案】D【解析】试题分析：过点A作BC的垂线得出高线为12，根据相似三角形的性质可得点A到DG的距离为6，则点F到BC的距离为：6－6.考点：相似三角形的性质【此处有视频，请去附件查看】7.若两个相似三角形的相似比是7∶3，则这两个三角形对应中线的比是_____________．【答案】7∶3【解析】【分析】根据相似三角形的性质结合已知条件分析解答即可.【详解】∵两个相似三角形的相似比是7∶3，∴这两个三角形对应中线的比为：7：3.故答案为：7：3.【点睛】熟知“相似三角形对应中线之比等于相似比”是解答本题的关键.8.如果两个相似三角形对应角平分线的比是∶5，那么它们对应高的比是______________．【答案】∶5【分析】根据相似三角形的性质结合已知条件分析解答即可.【详解】∵两个相似三角形对应角平分线的比是∶5，∴这两个相似三角形对应高之比为：∶5.故答案为：∶5.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解答本题的关键.9.已知△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝3∶5，BE，B1E1分别是它们的对应中线，则BE∶B1E1＝____________．【答案】3:5【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行分析解答即可.【详解】∵△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝3∶5，BE，B1E1分别是它们的对应中线，∴BE∶B1E1＝3：5.故答案为：3：5.【点睛】熟知“相似三角形对应边上的中线之比等于相似比”是解答本题的关键.10.两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为_________．【答案】12【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行分析解答即可.【详解】设较大三角形对应边边上的中线为x，则由题意可得：3：x=1：4，解得：x=12.故答案为：12.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟记“相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比”是解答本题的关键.11.已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，AD，A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的中线，下列结论中：①AD∶A′D′＝4∶3；②△ABD∽△A′B′D′；③△ABD∽△A′B′C′；④△ABC与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3.其中结论正确的序号是_____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，求出AD∶A′D′= AB：A′B′=4：3，对应高的比也等于相似比，再根据相似的性质及两边对应成比例且夹角相等可以证明△ABD∽△A′B′D′，即可得到答案.【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3，∴AD∶A′D′= AB：A′B′=4：3，则①正确同理△ABC与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3. 故④正确，又∵BC∶B′C′= A B：A′B′且BD=BC，B′D′=B′C′∴BD：B′D′= AB：A′B′且∠ABD=∠A′B′D′∴△ABD∽△A′B′D′，故②正确，没有条件证明△ABD∽△A′B′C′，所以③错误，故正确的选项为：①②④.【点睛】主要根据相似三角形的对应高，对应中线的比等于相似比进行求解，并且考察了相似三角形的判定.12.如图，△A′B′C′∽△ABC，且A′E′，AE是角平分线，A′D′，AD是中线．求证：△A′D′E′∽△ADE.【答案】见解析【解析】【分析】根据△A′B′C′∽△ABC，可以得到中线及高的比都等与相似比，且∠B′＝∠B，又因为中线的定义得＝，从而得到△A′B′D′∽△ABD，及∠B′A′D′＝∠BAD，最终得到△A′D′E′∽△ADE.【详解】∵A′D′，AD是两个三角形的中线，A′E′，AE是两个三角形的角平分线，△A′B′C′∽△ABC，∴＝，＝，∴＝，又∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′＝∠B，＝，又点D，点D′为BD，B′D′中点，∴B′D′＝B′C′，BD＝BC，∴＝，∴△A′B′D′∽△ABD，∴∠B′A′D′＝∠BAD，∴∠D′A′E′＝∠DAE，∴△A′D′E′∽△ADE【点睛】考察了相似三角形的性质和判定的综合问题，根据三角形相似的性质求出相关的条件，结合判定进行证明，要注意灵活应用判定进行求解.13.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员把食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，根据上述条件计算出敌方建筑物的高度．【答案】40m【解析】试题分析：先统一单位，再证得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质即可求得结果.40cm=0.4m，8cm=0.08m∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．∴△ABC∽△ADE，∴BC：DE=AG：AF，∴0.08：DE=0.4：200，∴DE=40m．答：敌方建筑物高40m．考点：相似三角形的应用点评：本题是相似三角形的基础应用题，体现了“数学来源于生活，服务于生活”，难度一般.14.如图，在长、宽、高都为4 m的房间正中央的天花板上悬挂一只白炽灯泡，为了集中光线，加上灯罩．已知灯罩深8 cm，灯泡离地面3 m，为了使光线能照在墙壁上的1 m高处，问灯罩的直径应为多少？【答案】灯罩的直径是0.16 m【解析】【分析】建立相似模型，根据边之间的比例关系建立方程，从而即可得到结果.【详解】如图，连接DE，过A作AG⊥BC交BC于点F，交HI于G点，交DE于点H′．则△ABC∽△ADE，∵房间的长、宽都为4m，高为4m，∴，又因为AH′=3-1=2，，解得BC=0.16m．答：灯罩的直径应为0.16m．【点睛】适当建立相似的模型是解题的关键部分，再根据相似三角形的对应边，对应高都等于相似比是做题的关键.。

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质同步习题(含解析)

4.7相似三角形的性质同步习题一．选择题1．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3B．2C．4D．52．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2C．1：3D．1：43．将一个三角形放大为与它相似的三角形，如果周长扩大为原来的3倍，那么面积扩大为原来的（）A．3倍B．9倍C．18倍D．81倍4．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（）A．36°B．117°C．143°D．153°5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，将△ABC绕着点A顺时针旋转α°（0＜α＜180），并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE，连接BE，当△ABE 的面积为时，则α的值为（）A．60B．70C．80D．906．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2C．4D．167．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（）A．3B．C．3或D．4或8．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（）A．B．C．D．9．有两个相似的三角形，已知其中一个三角形的最长边为12cm，面积为18cm2，而另一个三角形的最长边为16cm，则另一个三角形的面积是（）cm2A．22B．24C．30D．3210．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4二．填空题11．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应面积的比为．12．若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF面积比．13．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．14．已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为．15．如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为．16．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．三．解答题17．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点E是AC上的点，AB＝6，AC＝9，若△AED ∽△ABC，求AE的长．18．已知△ABC∽△DEF．∠A＝80°．∠E＝70°．AB＝5cm．DE＝2.5cm．BC＝8cm．DF ＝5cm，求：（1）∠B、∠C、∠D、∠F；（2）AC、EF：（3）△ABC和△DEF的相似比：（4）若AG、DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG：DH；（5）若△ABC中∠C的内角平分线长为a，求△DEF中∠F的内角平分线长；（6）求S△ABC：S△DEF．参考答案1．解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴＝2，即＝2，解得，EA＝3，故选：A．2．解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．3．解：∵将一个三角形放大为与它相似的三角形，如果周长扩大为原来的3倍，∴相似比为1：3，∴面积的比为：1：9，即：面积扩大为原来的9倍，故选：B．4．解：∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝153°，故选：D．5．解：如图，过点B作BH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2，AC＝，∴AE＝AC＝3，∵S△ABE＝•AE•BH＝，∴BH＝，∴sin∠BAH＝＝，∴∠BAH＝60°，∴旋转角为90°，故选：D．6．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即＝，∵BC＝1，∴EF＝2，故选：B．7．解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，∴∠A＝∠DCE，∴＝或＝，即＝或＝解得，CE＝3或CE＝故选：C．8．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，∴＝，α＝β，＝（）2＝，＝，故选：D．9．解：设另一个三角形的面积是xcm2，则＝（）2，解得，x＝32，故选：D．10．解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DE为△ABC中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝＝．故选：A．11．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应面积的比为（）2＝9：4，故答案为：9：4．12．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．故答案为：1：4．13．解：如图∵∠DAE＝∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴当△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案为：8或14．解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：4，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝2，∴A′B′＝4．故答案为4．15．解：设较大三角形的周长为x，∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝6，∴这两个三角形的周长和＝4+6＝10，故答案为：10．16．解：∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得，AE＝，故答案为：．17．解：∵△AED∽△ABC，∴＝，∵D是AB的中点，AB＝6，AC＝9，∴AD＝3，∴＝，解得：AE＝2．18．解：（1）如图所示：∵△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠E＝70°，∴∠D＝∠A＝80°，∠B＝∠E＝70°，∠C＝∠F＝30°，（2）∵△ABC∽△DEF，∴＝＝＝，则：AC＝10，EF＝4；（3）△ABC和△DEF的相似比：AB：DE＝2；（4）若AG、DH分别为△ABC和△DEF的高，则AG：DH＝2：1；（5）若△ABC中∠C的内角平分线长为a，则△DEF中∠F的内角平分线长为：a；（6）∵△ABC和△DEF的相似比：AB：DE＝2，∴S△ABC：S△DEF＝4：1．。

北师大版九年级数学上册第四章 4.7 相似三角形的性质课后练习

相似三角形的性质课后练习一、单选题1．如图，△ABO ∽△CDO ，若6BO =，3DO =，2CD =，则AB 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1与S 2，周长分别是C 1与C 2，则下列说法正确的是（）A ．1232C C = B ．1232S S = C ．32OBCD = D ．32OA OD = 3．若ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：164．如图，D 、E 是AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，图中三部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3=（）A ．1：2：3B ．1：2：4C ．1：3：5D ．2：3：45．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AF ＝3，则FC 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．96．如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC=7．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：18．已知ABC DEF ∽△△，且面积比为4:9，则它们对应高的比是（）A ．4:9B ．16:81C ．3:5D ．2:39．如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AD=1cm ，BC=3cm ，则下列说法中，不正确的是（）A ．:1:9AOD COB S S = B ．:1:1AOB COD S S =C ．:1:9AOD AOB S S = D ．:1:4AOD ACD S S =10．如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝6，D 为BC 边上的一点，且∠BAC ＝∠ADC ．若△ADC 的面积为a ，则△ABC 的面积为（）A．4a B．72a C．52a D．2a二、填空题11．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为．12．如图，在△ABC中，D点在AB上，E点在AC上，且DE∥BC，若AE＝4，EC＝2，BC＝4，则DE＝_____13．如图，已知△ABC的面积是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2020个三角形的面积为 ___________．三、解答题14．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADE ACB∽，相似比为2：3，ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比15．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，点E 是AC 上的点，AB ＝6，AC ＝9，若△AED ∽△ABC ，求AE 的长．16．如图，已知ABC 中，P 是AB 上一点，连接CP ，∠B =∠ACP ，求证：2AC AP AB =⋅．参考答案一、单选题1．C 2．A 3．C 4．C 5．C6．D 7．B 8．D 9．C 10．A二、填空题11．1:4 12．83 13．201914三、解答题14．【详解】∵△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，∴AG 是△ADE 的角平分线，∵△ADE ∽△ACB ，相似比为2：3，∴AG ：AF=2：3，∴AG ：GF=2：1．15．解：AED ABC ∆∆∽， ∴AE AD AB AC=， D 是AB 的中点，6AB =，9AC =，3AD ∴=， ∴369AE =，解得：2AE =．16．解：∵∠A=∠A ，∠B=∠ACP ，∴△ACP ∽△ABC ，∴AC AP AB AC，∴AC2=AP•AB．。

《相似三角形的性质》同步练习 2022年北师版九上数学

4.7相似三角形的性质1．如果两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．2. 如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么:ADE ABC C C ∆∆= ．:ADE ABC S S ∆∆= .3.如图,在△ABC 和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D, △ABC 的周长是24,面积是18,求△DEF 的周长和面积.4、如图,蛋糕店制作两种圆形蛋糕,一种半径是15cm,一种半径是30cm,如果半径15cm 的蛋糕够2个人吃,那么半径是30cm 的蛋糕够多少人吃?(假设两种蛋糕高度相同)5、如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,P 为AB 上一点,Q 为BC 上一点,且PQ ⊥AB,若△BPQ 的面积等于四边形APQC 面积的41,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC 的面积.AB C DE F1.2.1矩形的性质一、判断题1．矩形是轴对称图形，对角线是它的对称轴．（）2．平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线．（）3．AD是直角三角形ABC的中线，那么AD就等于它斜边BC的一半．（）二、选择题4．矩形ABCD的长为5，宽为3，点E、F将AC三等分，则△BEF的面积为（）．A．355..232B C D．55．已知矩形ABCD的AB=2BC，在CD上取点E，使AE=EB，那么∠EBC等于（）． A．60° B．45° C．30° D．15°6．已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点，且BE=13BC，AF=23AD，连结AC、EF，那么（）．A．AC平分EF，但EF不平分AC B．AC与EF互相平分C．EF平分AC，但AC不平分EF D．AC与EF不会互相平分7．如果矩形ABCD的对角线AC和BD所成的锐角是60°，那么（）．A．AC+BD=AB+BC+CD+DA B．BD=2AB C．AC+BD=AB+BC D．以上都不对8．一个矩形和一个平行四边形的边分别相等，•若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐角的度数为（）．A．15° B．30° C．45° D．60°9．过四边形各顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）．A．对角线相等的四边形 B．对角线垂直的四边形C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形10．E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC是（）．A．15° B．30° C．60° D．75°11．如图1所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1，•则∠1的度数为（）．A．22．5° B．45° C．30° D．60°OF EDCBA(1) (2) (3) (4)12．下列叙述错误的是（）．A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形13．下列性质矩形不一定具备的是（）．A．对角线相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直三、填空题14．如图2所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，•∠BDF=15°，则∠COF=______．15．矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F、G是AD的四等分点，则△BEF的面积是_____．16．若矩形两邻边之比为3：4，周长为28cm ，则它的边长为______．17．已知矩形的对角线与较长边所夹的角等于30°，那么较短边与两对角线所围成的三角形是________三角形．18．矩形ABCD 的周长为40cm ，O 是它的对角线交点，△AOB 比△AOD 周长多4cm ，则它的各边长之比为________． 19．如图3所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，则∠BAE=_____，∠EAD=_____，∠EAC=_____． 20．矩形ABCD 中，M 为AD 的中点，MB•⊥MC ，矩形的周长为24，•则AB=•_____，•BC=_______． 21．O 为矩形ABCD 的对角线交点，∠AOB=2∠BOC ，对角线AC=12，则CB=_______．22．如图4所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，在CD 上取点E ，使AE=•AB ，•则∠EAB=_____，∠BEC=________．23．M 为矩形ABCD 的BC 上一点，DN ⊥AM 于N ，AB=3，BC=7，AM=5，则DN=______．四、解答题24．如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC•于E ，•若∠CAE=15°的度数，求∠BOE 的度数．25．如图所示，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，CE ⊥BD 于E ，OF ⊥AB•于F ，BE ：DE=1：3，OF=2cm ，求AC 的长．OFEDCB A26．如图所示，矩形ABCD 中，长为7，宽为6，点E 、F 将BD 三等分，求△AEF 的面积．FEDC B A。

北师大版九年级数学上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习

4.7 相似三角形的性质一．选择题1．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．5：4B．4：5C．2：D．：22．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．63．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°4．如果两个相似三角形对应角平分线之比是2：3，那么它们的对应边之比是（）A．2：3B．4：9C．16：81D．：5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：97．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：18．已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积比为（）A．1：4B．1：16C．1：2D．4：19．已知△ABC∽△A'B'C'，∠A＝45°，∠B＝105°，则∠C'的度数是（）A．30°B．45°C．30°或45°D．75°10．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15C．10+D．15+311．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，将△ABC绕着点A顺时针旋转α°（0＜α＜180），并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE，连接BE，当△ABE 的面积为时，则α的值为（）A．60B．70C．80D．9012．若两个相似三角形的周长比为1：3，则它们的面积比为（）A．1：9B．1：6C．1：3D．6：113．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A．60B．70C．80D．9014．已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（）A．18平方厘米B．8平方厘米C．27平方厘米D．平方厘米15．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°二．填空题16．两个相似三角形对应边的比为1：9，则它们的面积之比为．17．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．18．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是．19．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．20．已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比是．21．已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么△DEF的周长是．22．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F为射线AD上的一个动点，△AEF沿着EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和EH于点N和M，已知AB＝，BC ＝2，若△EMN与△AEF相似，则AF的长是．23．已知△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，若边FB上的中线长为10，则边EA 上的中线长为．24．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为cm．25．两个相似三角形的对应边的比为3：2，则这两个相似三角形周长的比为，面积的比为．三．解答题26．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．27．在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝9，点D为AB上一点，AD＝AB，在AC上取一点E，得到△ADE．若两个三角形相似，求DE的长．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．29．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．30．E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．选择图中任意一对相似三角形证明．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝5：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：2，故选：D．2．解：∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．3．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，故选：B．4．解：∵相似三角形对应角平分线的比是2：3，∴它们的相似比为2：3，故选：A．5．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴＝＝，＝（）2＝，∴选项C正确，选项D错误，∵无法确定，的值，故选项A，B错误，故选：C．6．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．7．解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，故选：A．8．解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．故选：B．9．解：∵∠A＝45°，∠B＝105°，∴∠C＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠C'＝∠C＝30°．故选：A．10．解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．11．解：如图，过点B作BH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2，AC＝，∴AE＝AC＝3，∵S△ABE＝•AE•BH＝，∴BH＝，∴sin∠BAH＝＝，∴∠BAH＝60°，∴旋转角为90°，故选：D．12．解：∵两个相似三角形的周长之比为l：3，∴两个相似三角形的相似比为l：3，∴它们相应的面积之比是1：9．故选：A．13．解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，故选：D．14．解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为12平方厘米，那么较大三角形的面积为27平方厘米，故选：C．15．解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故选：C．二．填空题16．解：∵两个相似三角形的对应边的比为1：9，∴它们的面积比等于1：81；故答案为：1：81．17．解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．18．解：设EC＝x，∵AC＝8，∴AE＝8﹣x，∵△ABC∽△ADE，∴，∴，解得：x＝，故答案为：．19．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．20．解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比是1：4，故答案为：1：4．21．解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：，解得：x＝24，y＝15；∴△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3；∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，∴△DEF的周长为60，故答案为：60．22．解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE•tan30°＝×＝1，②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，可得AF＝AE•tan60°＝3，故答案为1或3．23．解：∵△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，∴△FBC和△EAD的相似比为2：1，∵边FB上的中线长为10，∴边EA上的中线长为5，故答案为：5．24．解：设另一个三角形的最长边为xcm，∵两个三角形相似，∴＝，解得，x＝，则另一个三角形的最长边为cm，故答案为：．25．解：∵两个相似三角形的相似比为3：2，∴它们对应周长的比为3：2；对应面积的比是（3：2）2＝9：4．故答案为：3：2；9：4．三．解答题26．解：∵AD＝4，CD＝2AD，∴CD＝8，∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，即＝＝，解得，AB＝9，BC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝5．27．解：∵∠A是公共角，∴当＝，即＝时，△ADE∽△ABC，解得：DE＝6；当＝，即＝时，△ADE∽△ACB，解得：DE＝，综上可得：当DE＝6或时，△ADE与原三角形相似．28．解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝3，∴AH＝DH＝3，在Rt△BDH中，BD＝＝＝3，故答案为：3；（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥P A交P A的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．29．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；30．解：△ADF∽△ECF；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．。

4.7+相似三角形的性质同步练习2023-2024学年北师大版九年级数学上册+

北师大版九年级上4.7 相似三角形的性质一、选择题 1.两个相似三角形的对应边上的中线比为1∶√2，则它们面积比的为（） A . 2∶1 B . 1∶2 C . 1∶√2 D . √2∶12.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为（）A . 28°B . 32°C . 42°D . 52°3.已知△ABO ∽△DEO ，且BO ：EO ＝1：3，则△ABO 与△DEO 的面积比是（）A . 1：3B . 3：1C . 1：9D . 9：14.△ABC 三条边长之比为3：4：5，与其相似的另一个ΔA′B′C′的最大边为15cm ，那么它的最小边为（）A . 6cmB . 8cmC . 9cmD . 12cm5.已知△ABC 的三边长是√2，√6，2，则与△ABC 相似的三角形的三边长可能是（）A . 1，√2 ， √3B . 1，√3 ， √22C . 1，√3 ， √62D . 1，√3 ， √33 6.如果两个相似三角形对应中线之比是1：4，那么它们的周长之比是（）A . 1：2B . 1：4C . 1：8D . 1：167.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，连接DE ，那么△ADE 与△ABC 的面积之比是（）A . 1：16B . 1：9C . 1：4D . 1：28.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值为（）A . 5B . 2√7C . 5或√7D . 5或2√79.如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD 的长为（）A . 163B . 8C . 10D . 16 10.两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（）A . 45cm ，85cmB . 60cm ，100cmC . 75cm ，115cmD . 85cm ，125cm11.若△ABC ∽△A′B′C′，则相似比k 等于（）A . A′B′：AB B . ∠A ：∠A'C . S △ABC ：S △A′B′C′D . △ABC 周长：△A′B′C′周长12.已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，若想得到这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长是下列的（）A . 2 cm ，3 cmB . 4 cm ，5 cmC . 5 cm ，6 cmD . 6 cm ，7 cm二、填空题13. 如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为_____.14.△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：5，则△ABC与△DEF面积的比为_____．15.如图所示，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4，若△ABC∽△ACD，则AD_____。

北师大版9年级上册4.7：相似三角形的性质同步练习题(word无答案)

4.7相似三角形性质同步练习一、选择题1．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．87°B．60°C．75°D．120°2．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9 B．2：3 C．：D．16：813．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（）A．26cm2B．39cm2C．20cm2D．45cm24．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为，AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB，的值为（）A．2 B．C．D．5．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（）A．1 B．C．D．56．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（）A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm7．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，则DF：AD的值为（）A．B．C．D．8．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm29．已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，五边形ABCDE的最短边为2，最长边为6，五边形A1B1C1D1E1的最长边是12，则五边形A1B1C1D1E1的最短边是（）A．4 B．5 C．6 D．810．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．1011．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的边扩大到原来的（）A．49倍B．7倍C．50倍D．8倍12．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：413．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝BC•BD B．AB2＝AC•BDC．AB•AD＝BD•BC D．AB•AC＝BC•BD二、填空题14．如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是．15．两个三角形相似，相似比是，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD 的长为．17．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，则S3＝S4，④若△PAB∽△PDA，则PA＝2其中正确的是（把所有正确的结论的序号都填在横线上）18．在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC 上，若△ABC与△B'MC相似，则BM的长度为．三、解答题19．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．20．已知：如图，△ABC∽△ADE，AE：EC＝5：3，BC＝6cm，∠A＝40°，∠C＝45°．（1）求∠ADE的大小；（2）求DE的长．21．如图，△ABC∽△ADE，其中AB＝15，AD＝18，AC＝14，求AE的长．22．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．23．如图，M是四边形ABCD的对角线AC上的点，ME∥CD，MF∥BC，＝．（1）求证：四边形AFME∽四边形ABCD；（2）求四边形AFME与四边形ABCD的面积比．。

北师大版9年级上册4.7：相似三角形的性质同步练习(word无答案)

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4.7 相似三角形的性质1．若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（）
A．A`B`:AB B．∠A: ∠A` C．S
△ABC ：S
△A`B`C`
D．△ABC周长：△A`B`C`周长
2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（）
A．10000倍B．10倍C．100倍D．1000倍
3．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）
A．2
:3B．3：2 C．9：4 D．不能确定
4．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（）
A．49倍B．7倍C．50倍D．8倍
5．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为（）
A．46.8 cm2B．42 cm2C．52 cm2D．54 cm2
6．两个多边形的面积之比为5，周长之比为m，则
m
5为（）
A．1 B．
5
5C．5D．5
7．在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm2，则这块多边形地
区的实际面积为（）
A．6m2B．60000m2C．600m2D．6000m2
8．已知△ABC∽△A`B`C`，且BC：B`C`＝3：2，△ABC的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.
9．两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.
10．两个相似多边形最长的的边分为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分别为_______.
11．四边形ABCD∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm，则四边形ABCD的周长为________.
12．如图，矩形ABCD中，E，F分别在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，
且AB＝2，S
矩形ABCD ＝3S
矩形ECDF。

试求S
矩形ABCD。

13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形BCED ，＝1：2，BC ＝62，求DE 的长。

14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90 o ，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝10，BC ＝6，DE ＝2，求四边形DEBC 的面积。

15． △ABC ∽△A`B`C`，2
1`` B A AB ,边上的中线CD ＝4cm ，△ABC 的周长为20c m ，△A`B`C`的面积是64 cm 2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC 的面积
答案： 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.16 9.7 10.40cm 和100cm 11.6：5 18cm
12.设DF ＝a ，由S 矩形ABCD =3S 矩形ECD F 知AD=3DF=3a ，又
AD AB =CD DF ,所以3a 2＝4，a ＝3
32。

故AD ＝3a ＝23，所以S 矩形ABCD =2×23＝43 13.由S △ADE:S 四边形BCED=1:2知,S △ADE ：S △ABC=1:3又DE ‖BC,故△ADE ∽△ABC ，所以（BC DE ）2＝31，即（6
2DE ）2＝31,所以DE ＝22
14.由∠A=∠A , ∠AED=∠ACB=900,故△ADE ∽△ABC.又AB ＝10，BC=6, ∠C=900,由勾股定理可得AC ＝8，从而S △ABC ＝
21BC ×AC=24,又BC DE =62=31,有ABC
S ADE S ∆∆=(31)2=91=24
ADE S ∆,故S △ADE ＝38。

从而S 四边形DEBC=24－38＝364 15。

（1）C ´D ´＝8cm ；（2）△A ´B ´C ´的周长为80cm ；（3）△ABC 的面积为16cm 2。

新北师大版初中九年级数学上册4.7相似三角形的性质 同步练习强化练习

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