动点直角三角形问题的解法

“动点直角三角形问题”的三种解法

李永红

中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”.

一、例题分析

例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1.

（1）求点C 的坐标；

（2）若抛物线22

12++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C .

（2）①将点C 的坐标代入22

12++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为22

1212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）：

如图2，易求得直线AC 的解析式为2

121+-=x y . 由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++-=+-=2212121212x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为

)1,1(-.

设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=2

1，将点

)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为

221--=x y .由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++-=--=221212212x x y x y 解得⎩⎨⎧-=-=12y x 或⎩⎨⎧-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-.

综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）：

如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ，

易证DA P 1∆∽AOB ∆，∴OB

AD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴22

1212++-=m m n .由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++-=-=2212121212m m n m n 解得⎩⎨⎧=-=11n m 或⎩⎨⎧-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.

过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ∆∽AOB ∆，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ∆∽AOB ∆，可求得点3P 的坐标为)4,4(-；

综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）： 设抛物线上存在点)22

121,(2++-

m m m P ，使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ，

,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42

121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、

+2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解.

例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ∆为直角三角形，请求出点Q 的坐标.

分析（1）易求得抛物线的解析式为322+--=x x y ，顶点坐标为)4,1(-.

（2）法1（利用数形结合）：

由于不易求直线AQ 或CQ 的解析式，所以本题不适合利用数形结合来解决. 法2（构造三垂图）：

如图5，在对称轴l 上存在四个符合条件的点Q ，分别构造三垂图并利用三角形相似可求得)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2

173,1(4--Q . 法3（利用勾股定理）：

设点Q 的坐标为),1(n -，分别利用勾股定理可得182=AC ，

,422n AQ +=22)3(1-+=n CQ .

当090=∠ACQ 时，由+2AC =2CQ 2AQ 得224)3(118n n +=-++，解

得4=n ，所以)4,1(1-Q .

当090=∠CAQ 时，由+2AC =2AQ 2CQ 得22)3(1418-+=++n n ，解

得2-=n ，所以)2,1(2--Q .

当090=∠AQC 时，由+2AQ =2CQ 2AC 得18)3(1422=-+++n n ，解得2

173±=n ，所以)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 综上，符合条件的点Q 有四个，分别为)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，

)2173,1(3+-Q ，)2

173,1(4--Q . 二、方法比较

利用数形结合：该方法并不是对每一个题都适用，当相应的直线方程能较容易求出时，可以使用该方法，而且解法比较简捷.

构造三垂图：该方法对每一个题都适用，但解法较繁，当考虑情况不周时容易漏解.

利用勾股定理：当动点在曲线上时，利用勾股定理得到的方程是一元四次方程，用已学知识难以求解，该方法不适用；当动点在直线上时，利用勾股定理得到的三个方程是一元一次方程或一元二次方程，容易求解而且不易漏解.

通过上述分析和比较可以看到，解“动点直角三角形问题”通常有三种解法，解题时应根据题设条件选择恰当的解法，才能使问题快速地得以解决.