巧用旋转法解几何题
旋转解形法
旋转解形法旋转解形法是一种常用的几何解题方法，通过将图形旋转使其变得更易处理或更容易观察，从而解决几何问题。
在这种方法中，我们可以利用旋转对称性或旋转变换来简化问题，找到问题的解决方案。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个正方形，边长为a，我们想要计算其面积。
正方形的面积公式为A=a²，但是如果我们将正方形旋转45度，我们会发现它变成了一个菱形，其对角线的长度为a。
菱形的面积公式为A=1/2×d1×d2，其中d1和d2分别是菱形的两条对角线。
由于菱形的两条对角线长度相等，所以A=1/2×a×a=1/2a²，这与正方形的面积公式相同。
因此，通过旋转解形法，我们可以得到正方形的面积公式。
除了计算面积，旋转解形法还可以在解决其他几何问题时发挥重要作用。
例如，我们可以利用旋转解形法来证明两个三角形相似。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要证明它们相似。
首先，我们将三角形ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度使边AB与边DE重合，然后我们再将三角形ABC绕顶点B逆时针旋转一定角度使边BC与边EF重合。
这样，我们就得到了一个旋转后的三角形A'B'C'，其中A'B'与DE重合，B'C'与EF重合。
由于旋转变换保持形状不变，所以A'B'C'与ABC相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出三角形ABC与DEF相似的结论。
在解决几何问题时，旋转解形法还可以帮助我们观察和发现一些性质。
例如，我们可以利用旋转解形法来证明一个正五边形的内角和为540度。
我们将正五边形绕其中一个顶点旋转72度，得到一个旋转后的正五边形。
由于旋转变换保持形状不变，所以旋转后的正五边形与原来的正五边形相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出旋转后的正五边形的内角和也为540度。
因此，我们可以得出正五边形的内角和为540度的结论。
解决旋转问题的思路方法
解决旋转问题的思路方法1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，则CE 的长为 .思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC几乎是不可能的.例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.（1）求证：AF=DF+BE.（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，请说明理由.思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.。
初中几何题解题技巧(带例题)
初中几何题解题技巧(带例题)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何题解题技巧在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。
在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。
一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。
练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。
二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。
练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。
三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。
分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。
三角形旋转问题解题法和理由
三角形旋转问题解题法和理由如下：
解题方法：
1.明确题目要求：首先需要明确题目要求，确定需要旋转的角度
和旋转中心，以及旋转后需要得到的图形或关系。
2.画出原始图形：根据题目描述，画出原始三角形，并标记好相
关的点和线段。
3.确定旋转中心和角度：根据题目要求，确定旋转的中心点和旋
转角度。
4.执行旋转操作：使用旋转工具或手动操作，将三角形绕旋转中
心按指定的角度旋转。
5.验证结果：旋转后，检查是否得到了题目要求的结果，并注意
验证角度、长度等是否符合题目要求。
理由：
1.旋转是几何变换中的基本变换，它可以通过改变图形的位置来
得到新的图形关系或结构。
2.通过旋转操作，可以揭示条件与结论之间的内在联系，找出证
题途径。
3.在三角形旋转问题中，通过旋转可以得到新的角度、长度等关
系，从而为解题提供新的思路和方法。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的．例1如图，在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE．分析利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．解：把△ABD作平移，使BD与EC重合，分别过点E作AB的平行线，过点A作BC•的平行线，两线交于点F，连结CF．再连结EF交AC于O．则AB=EF，∠ABD=∠FEC．∵BD=CE，∴△ABD≌△FEC．∴AD=CF．在梯形AECF中，AO+OE>AE，FO+OC>CF，∴AO+OE+FO+OC>AE+CF．即AC+EF>AE+CF．∴AB+AC>AD+AE．练习11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD+BC=3，AC=3，BD=6，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试说明EF<BC．例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，∠PMQ=90°，请说明PQ2=•AP2+BQ2．分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ、BQ分别转化为PD、AD，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．解：将BQ平移到AD，连结PD、MD．∵BQ∥AD，∴∠BAD=∠ABC．∵MA=MB，BQ=AD，∴△AMD≌△BMQ，∴∠AMD=∠BMQ．而∠AMQ+∠BMQ=180°，∴∠AMQ+∠AMD=180°．∴D、M、Q三点共线．∴∠PMD=∠PMQ=90°，MD=MQ．∴PQ=PD．∵∠PAD=∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠ABC=90°．∴△PAD为直角三角形，PD2=AP2+AD2．∴PQ2=AP2+BQ2．1．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积．2．如图，△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM•交于点P，•若BC=AM，BM=CN，求∠APM的度数．3．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等．例3如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K，并且∠BAM=∠MAK．求证：BM+KD=KA．分析把Rt△BAM绕点A顺时针旋转90°到△ADM′，使BM与DN拼成一条线段的KM′，只要证明KM′=KA即可．证明：把Rt△ABM绕点A旋转90°，则点B变为点D，M变为M′，则Rt•△BAM•≌Rt•△ADM′，∴∠M′=∠BMA∴DM′=BM．∵∠BAM=∠MAK，∴∠KAM′=∠MAD．∴∠KAM′=∠M′．∴AK=KM′．∴BM+KD=AM．1．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC，求AMAB的值．2．如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5：6：7，•求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，•求四边形ABCD的面积．例4如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=7，求∠APC 的度数．分析本题将△BAP绕点A旋转90°，得到△CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解解：将△BAP绕点A旋转90°，使AB与AC重合，得△CAQ，则△CAQ≌△BAP．∴AQ=AP=1，CQ=BP=3，∠CAQ=∠PAB，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90°Rt△AQP中，PQ2=AQ2+AP2=2，∴PQ=2，∴∠APQ=45°．在△CPQ中，PQ=2，CQ=3CP=7，CQ2=CP2+PQ2．∴△CPQ是直角三角形，∠CPQ=90°．∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．3．如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD各有一点P、Q，若△APQ的周长为2，•求∠PCQ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD 平移到CE 交AD 延长线于点E ， 则四边形BDEC 为平行四边形∴DE=BC ，CE=BD ，S △BCD =S △CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高， ∴S △ABC = S △BCD = S △CDE∵S 梯形ABCD = S △ABC + S △ACD = S △CDE + S △ACD = S △ACE ． 又AE=AD+DE=3=2236AC CE +=+，∴△ACE 为直角三角形，∠ACE=90°． ∴S 梯形ABCD = S △ACE =12·AC·CE=322．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c ），宽（a-c ）的空白长方形，其面积为（b-c ）（a-c ）=ab-bc-ac+c 2．3．解：将EF 平移为BG ，BF 平移为FG ，作∠CFG 的角平分线交BC 于D ，连结DG ，•则由平移知四边形BEFG 是平行四边形． ∴EF=BG ，BE=FG ． ∵BE=CF ，∴FG=CF ． ∵∠1=∠2，FD=FD ． ∴△FGD ≌△FCD （SAS ）． ∴DG=CD ．在△BGD 中， ∵BG<BD+DG ，∴EF<BC ．练习21．解：过E 、F 、G 、H 分别平移AD 、AB ，交点分别为P 、Q 、R 、T ，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a ，PQ=b ，PT=c ，由勾股定理得b= 223a -，c=224a -， ∵S △AEH =S △TEH ，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2+223a -·224a -=10．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有12+x=221()(1)2x+-．∴x=13．即AMAB=13．2．解：将△ABP绕B点顺时针旋转60°得△BCP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴AP=P′C，BP=BP′，∠APB=∠CP′B．∵∠PBP′=60°，∴△BPP′是等边三角形．∴PP′=BP，∠BPP′=60°=∠BP′P．∵∠APB：∠BPC：∠CAP=5：6：7，又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠1=120°-60°=60°，∠2=100°-60°=40°，∠PCP′=180°-60°-40°=80°．由PA=P′C，PP′=PB，∴△PP′C是由PA、PB、PC组成的三角形．∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH绕A点旋转90°得△ADP，则△ABH≌△ADP．∴∠APD=∠AHB=90°，AH=AP．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°．∴四边形AHCP是正方形．∵AH=1，∴S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+S△ADP．S四边形ABCD=S四边形AHCD+S△ABH．又∵S△AOP =S△ABH．∴S四边形ABCD=S正方形AHCP=1．练习41．解：如图，以A为中心将△ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P′重合，连结AP′，BP′，PP′则AP′=AP，BP′=CP，∠PAP′=60°．∴△APP′是等边三角形，PP′=3．△BPP′中，BP=4，PP′=3，BP′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°．∴∠BPA=150°．过B作BE⊥AP，交AP延长线于E．∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，EP=23，Rt△ABE中，BE=2，AE=23+3，AB2=22+（23+3）2=25+123．2．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′=22，∠BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′=22．有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．- 11 - ∴C 与B 重合，设A 落到E 处，显然A 、D 、E 共线．在△ABE 中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12． 则有132=122+52．∴△ABE 为直角三角形，∠BAE=90°． 在Rt △ABD 中，AB=5，AD=6，则有BD=2256 =61．∴BC=2BD=261．3．证明：将△ABD 绕A 点旋转∠BAC 的度数， 得△ACE ，连结DE ．由于AB=AC ． ∴B 与C 重合，则△ABD ≌△ACE ． ∵AD=AE ，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC ．∴∠4>∠3，∴CE<DC ．∵BD=CE ，∴CD>BD ．。
初中几何题解题技巧带例题
初中几何题解题技巧带例题Newly compiled on November 23, 2020初中几何题解题技巧在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。
在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。
一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。
练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。
二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。
练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。
三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。
分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。
三年级奥数-第1讲 几何变换的巧算
三年级奥数-第1讲几何变换的巧算
介绍
本讲主要介绍几何变换的巧算方法。
几何变换是数学中的重要概念，包括平移、旋转和翻转等操作。
通过巧妙的计算方法，我们可以简化几何变换的过程，提高计算效率。
平移
平移是指在平面上将图形沿着某个方向移动一段距离的操作。
平移的关键在于确定平移的方向和距离。
对于简单的平移，我们可以利用平移的特点来进行巧算。
旋转
旋转是指将图形围绕某个固定点旋转一定角度的操作。
旋转的关键在于确定旋转的中心和角度。
对于特定的角度，我们可以使用巧算方法快速计算旋转后的图形。
翻转
翻转是指将图形沿着某个轴线翻转的操作。
翻转的关键在于确定翻转的轴线位置。
通过巧算方法，我们可以迅速计算出翻转后的图形。
总结
几何变换的巧算方法可以简化计算过程，提高计算效率。
通过熟练掌握几何变换的巧算方法，我们可以更加轻松地应对各类几何问题。
以上是三年级奥数第1讲《几何变换的巧算》的内容介绍。
通过学习和理解这些巧算方法，同学们可以在几何学习中更加得心应手。
希望大家都能在奥数学习中取得好成绩！。
巧求面积-平移旋转
旋转是指图形绕某一固定点转动一定 的角度，旋转过程中图形的每一点都 绕该固定点做圆周运动。
02 图形平移与旋转后的面积 变化
图形平移后的面积变化
图形平移不改变面积
图形在平面内沿某一方向进行 平移时，其形状和大小不会发 生变化，因此面积也不会改变
。
平行四边形平移
平行四边形沿其一边进行平移 时，面积保持不变。
巧求面积-平移旋转
contents
目录
• 平移与旋转的基本概念 • 图形平移与旋转后的面积变化 • 利用平移与旋转求面积的策略 • 经典例题解析 • 练习题与答案
01 平移与旋转的基本概念
平移的定义与性质
定义
平移是将图形沿某一方向移动一 定的距离，而不改变其形状和大 小。
性质
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变图形的位置。平移 后，图形与原图形是全等的。
02
例如：求圆心角为90度的扇形所 夹的弓形面积。可以将扇形旋转 90度，将弓形变为等腰直角三角 形，再利用三角形面积公式计算 。
平移与旋转结合例题解析
平移与旋转结合法求面积的原理是通过将图形进行平移和旋 转，使其成为规则图形，从而利用公式计算面积。
例如：求一个正方形内部被切去一个角后所形成的图形的面 积。可以将切去的角向下平移并旋转90度，将不规则图形变 为等腰梯形，再利用梯形面积公式计算。
05 练习题与答案
平移练习题与答案
题目：一个平行四边形经 过平移后，它的一个顶点A 移动到点A'，其对应点之 间的距离是2cm，那么原 平行四边形的一个边长增 加了多少cm。
答案：2cm
题目：一个三角形经过平 移后，它的一个顶点P移动 到点P'，其对应点之间的 距离是3cm，那么原三角 形的一个边长增加了多少 cm。
利用旋转法解几何最值问题应用举例
利用旋转法解几何最值问题应用举例一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2解析：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH ＝DE＝1，EH ＝，在Rt△ECH中，EC ＝＝2，∴GB+GC ≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．NA BM解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值。
用旋转法解平面几何题
我们在使用旋转法解平面几何题时，常常会遇到题设和结论之间的关系难于发现 ，特别是对初
学者来讲更感到无从下手 。这时，若采用适 当的旋转变换，把图形从原来的位置通过 （ 顺时针方 向或逆时针方向旋转 ）变换以后 ，使得题设和结论之间的关系明显，旋转角一般是特殊角 （０ 、 ３ｏ ４。 Ｏ、９ 。 ） ５ 、６ 。 Ｏ等 。 Ａ
同理 可证 ： ＡＦ ６ 。 ． Ａ Ｅ ＡＦ Ｄ＝ ０ ， ’ ． Ｆ－ Ｄ。
Ｄ
思路分析 ２ 用旋转法解） ：（ ，
如图 ４ 将△Ａ Ｆ Ａ点旋转 ６ 。 Ｄ 绕 ０ 以后， 到达ＡＡ Ｆ的位置。 Ｂ ＿ 明：由于△Ａ Ｂ和△Ａ Ｅ都是等边三角形 。 ｉ ： Ｉ Ｅ Ｄ Ｃ
’
． ．
ＡＤ－ ＡＢ， ＡＥ ＡＣ， ＝
ｌ ２ ６。 ＝ ＝ ０
Байду номын сангаас
． ．
ＤＡＣ＝ ｌ ＢＡＣ＝ ２ ＋ ＋ ＢＡＣ＝ ＢＡＥ
得 出△Ａ ｃ Ｄ 丝△Ａ Ｅ （Ａ ） ‘ 、Ｄ、Ｂ Ｂ Ｓ Ｓ ，．Ａ ． 、Ｆ四点共圆，
又 。Ｂ、Ｆ ． 。 、Ｅ共线 ，． ＡＦ ＝ ０ ’ ． Ｅ ６。
只是其中之 一 ，利用旋转法解题并非很好 ，须依题型而论ａ Ａ
Ｊ ）
三 、用旋转法解计 算题
例 ４ （０ ０ ２０ 年云南中考题）如果…个多边形绕它的中心旋转 。
６ 口 ０ 原来 的图形重 合 ，爿么 这个 多边 形是 （ Ｉ ｊ ） Ａ、正三角彤 三 Ｂ 、正方形 Ｃ 、正五边彤
与ＡＣ ＤＢ重合 ，就 有 Ｂ点的对 应 点是 Ｄ 点 ，即 Ｂ －Ｄ Ｄ－ Ｂ。
（ 明略 ） 证 ・ 例２ 如图 ２ Ｅ Ｂ ，￣ＡＡ Ｃ中，Ａ ＺＡ ，Ａ Ｃ Ｂ Ｄ为 Ｂ ｃ边上的中线 。 Ｂ
利用旋转法解几何最值问题应用举例 学生版
利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习1、已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．2、已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．3、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG 的最小值为．6、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF ＝60°，则GB+GC的最小值是ABG F7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．A CFG8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是．10、如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．BA D P11、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（）A．5B．2C．2D．112、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD ＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．。
感知旋转方法,感悟模型应用--对几何旋转法及模型的探究与思考
解题模型的提炼
上述考题在求解过程中采用了图 形旋转的方式袁将吟A CD绕点A 顺时针 旋转了一定的角度袁使得A C与A B边相 重合袁使两个不相邻的角结合在一起袁 且获得Rt吟BFD袁其中的直角蚁BFD在 整个解题中起着重要的作用袁 是构建 代数方程的关键. 上述解题过程利用 到了几何内容最为重要的一种模 型要 要要旋转模型袁 旋转模型对于构建 等角尧等边尧图形相似与全等有着重要 的意义袁 而这些条件是后续解题突破 的基础袁 下面将深入探析几何的旋转 模型.
旋转模型用到的基本理论是几何 旋转的性质袁在图形旋转过程中图形的 形状不变尧图形全等尧对应边尧对应角相 等袁 且对应点到旋转中心的距离相等袁 边的旋转角度也相等.
上述考题是关于基本三角形的旋 转袁以图3所示的吟A BC为例袁在图形旋 转过程中必须明确旋转的三要素要 要要
AБайду номын сангаас
P
B
C
图3
襛
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P
B
C
图4
DF袁 如图2所示袁 进而可证吟A DC艺 吟A FB袁 由全等性质得蚁A FB=蚁A DC袁 BF=CD袁 蚁BA C =蚁DA F袁 进 一 步可 证 吟FA D易吟BA C袁 所以蚁A FD=蚁A BC袁 蚁BFD=90毅. 由A D=kA B可得DF=kBC= 4k袁在Rt吟BDF中由勾股定理可得BD2=
旋转模型的应用
几何旋转法是为了解决特定的问 题袁考虑到旋转过程变化的对象较多袁 构建的新模型具有多种特征袁 因此在 使用时必须明确旋转图形的目的袁通 过旋转可以构建怎样的图形袁解决哪 些问题.
通过上述旋转模型的分析我们可 以发现构建了复合角袁实际上是将两个 不相邻的角紧密地联系起来袁同时也可 以将不共线的线段转换在同一直线上袁 即 实 现 角 度 的 野 互 补 冶尧 线 段 的 野 互 补 冶. 第二种用途则是构建特殊的图形和几 何关系袁如等边尧等腰三角形和全等尧相 似三角形袁因此图形的旋转过程实际上 就是线段尧角度尧图形重构的过程袁旋转 模型最为普遍的用途是求解线段长尧几 何角度和分析图形形状. 利用旋转法进 行解题时可以遵循如下思路院判断是否 旋转寅确定旋转三要素寅分析旋转重 构条件寅重组问题条件寅构建解题思 路袁从而将原始条件与旋转性质条件充 分结合起来袁为后续的解题突破提供帮 助. 下面结合一道考题深入讲解旋转模 型的利用.
几何形的旋转与判定
几何形的旋转与判定几何形的旋转是指围绕某个中心点进行旋转的变换。
在几何学中，我们常常需要对几何形进行旋转来进行分析、判定和解决问题。
本文将介绍几何形的旋转方法以及如何利用旋转进行形状判定。
1. 旋转的基本概念在几何学中，旋转是指将一个几何形围绕某个中心点按照一定角度进行转动的操作。
旋转可以绕任意点进行，但通常我们选择围绕坐标系的原点进行旋转。
旋转角度可以是正数、负数或零，分别代表顺时针、逆时针方向和无旋转。
2. 旋转的方法2.1 坐标旋转法坐标旋转法是一种常用的旋转方法，尤其适用于二维空间中的几何形。
设几何形上的点坐标为(x, y)，绕原点旋转角度为θ，则旋转后的新坐标为(x', y')，关系如下：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)2.2 矩阵旋转法矩阵旋转法是另一种常用的旋转方法，可以用于二维和三维空间中的几何形。
设一个向量P(x, y)绕原点旋转角度为θ，则旋转后的新向量为P'(x', y')，关系可以通过矩阵表示如下：| cos(θ) -sin(θ) |[x', y'] = [ x, y ] * | || sin(θ) cos(θ) |3. 旋转与判定旋转在几何学中常用于形状的判定与分析。
通过旋转变换，我们可以判断两个几何形是否相似、共线、共点等。
以下是几种常见的几何形判定方法：3.1 图形相似判定两个几何形相似的判定方法之一是使用旋转。
如果一个几何形可以通过一个旋转变换得到另一个几何形，则它们是相似的。
通过记录旋转角度和中心点，我们可以进行形状相似性的判定。
3.2 线段共线判定线段共线的判定方法之一是使用旋转。
如果两条线段可以通过旋转变换得到重合的直线或平行的直线，则它们是共线的。
通过计算旋转角度和中心点，我们可以判断线段是否共线。
3.3 点在多边形内判定点在多边形内的判定方法之一是使用旋转。
几何中的旋转问题
熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。
而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A 逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG ⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分1、90°角旋转例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA =1，PB =2，PC =3 ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积．分析:三条已知的线段PA 、PB 、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA 旋转后的线段与PC 构成了一个新的三角形．解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ ． 则△ABP ≌ △CBQ 且PB ⊥QB ．于是PB =QB =2a ，PQ =22PB QB =22a ． 在△PQC 中，∵PC 2=9a 2，PQ 2＋QC 2=9a 2． ∴PC 2=PQ 2＋QC 2． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°．故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°．(2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上．在Rt △AQC 中，AC 2=AQ 2＋QC 2=(a ＋22a )2＋a 2=(10＋42)a 2．故S 正方形ABCD =12AC 2=(5＋22)a 2． 思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN =2a ，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的面积．)2、60°角旋转．例1 如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。
旋转法解几何应该具备的条件
旋转法解几何应该具备的条件旋转法是解决几何题目时常用的一种方法，在使用旋转法时，需要满足一些条件，才能有效地解决几何问题。
本文将详细介绍旋转法解几何应该具备的条件，以及该方法的具体内容。
一、条件使用旋转法解几何问题时，需要满足以下三个条件：1. 旋转轴为题目中的一条线段旋转法是指在一个平面上，把这个平面绕一个确定的轴旋转一定角度后，还原回原样。
而根据欧拉公式，一个平面上的旋转可以由旋转轴和旋转角度来确定。
因此，在使用旋转法时，需要给出一个明确的旋转轴，一般情况下，这个旋转轴应该是题目中的一条线段。
2. 旋转角度为180度在使用旋转法时，为了让图形保持对称，一般都会选择旋转角度为180度。
这是因为旋转角度为180度时，可以保证旋转前后的图形完全重合，从而使问题更加简单。
3. 旋转后的图形应该具有对称性使用旋转法时，需要保证旋转后的图形具有对称性。
这是因为，只有具有对称性的图形才可以通过旋转法来求解几何问题。
如果旋转后的图形没有对称性，则无法使用旋转法来解决问题。
二、内容使用旋转法解几何问题时，具体的方法如下：1. 确定旋转轴在使用旋转法解决几何问题时，首先需要确定旋转轴。
一般情况下，旋转轴应该是题目中的一条线段。
在确定旋转轴时，需要注意旋转轴应该穿过图形或与图形相切，否则旋转后的图形会变形，无法得到答案。
2. 进行旋转确定旋转轴后，需要进行旋转。
一般情况下，旋转角度应该选择180度，以保证旋转前后的图形完全重合。
在进行旋转时，需要注意旋转的方向，应该选择与题目所给的方向一致。
3. 判断对称性完成旋转后，需要判断旋转后的图形是否具有对称性。
如果旋转后的图形具有对称性，则可以通过旋转法来求解几何问题。
4. 应用对称性根据旋转后图形的对称性，可以得到一些特殊的性质，如对称中心、对称轴等，从而简化问题。
通过应用对称性，可以将复杂的几何问题转化成简单的代数问题，更容易求解。
综上所述，使用旋转法解几何问题需要满足旋转轴为题目中的一条线段，旋转角度为180度，旋转后的图形具有对称性等条件。
咬住特殊角巧用运动的观点解几何题1.doc
“咬住”特殊角不放用运动的观点目解几何题【摘要】初中儿何题中，关于特殊角的问题很多，如何抓住有用的信息，帮助我们 来分析问题，解决问题是摆在教师和学生面前的一个课题。
本文从运动的观点，抓住特殊 角阐述了辅助线的添加、结论的论证和旋转变换中存在的规律，养成善于思考、善于总结 的良好的学习习惯。
【关键词】运动特殊角 辅助线验证旋转在初中儿何学习中，我们往往会遇到这样一类题型：已知条件给出一些角的度数， 让我们计算或证明一些相关结论。
但是在实际学习中，我们发现，如何把给定的特殊角和 我们要解决的问题之间建立“友谊”的桥梁却非易事。
笔者就口常教学中遇到的一些问题简介如下，供大家参考。
一、选择恰当的运动方式添加辅助线例一 (1).如图1,在正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且ZEAF=45° ,连接 EF,求证：BE+DF=EF 。
(2) .如图 2,在左ABC 中,ZBAC=45° , AD±BC 于点 D,若 BD=2,CD 二3,求AABC 的面积。
把这两题摆在一起，让大家对照一下，可以发现：都含45°的角,的思路是不同的。
_________ , 问题(1)中，延长CD 到G,使得DG=BE,连接AG 。
易证得AAGD# |AAEB,从而进一步证明左AGF^AAEF 后得BE+DF=EF 。
本题的实质是将I \ \ Jx* AABE 绕点A 逆时针旋转90°后，从而把EF 和GF 放到两个全等的三角形中证得相等。
再看问题(2)中，我们将AABD 和AADC 分别以AB 、AC 图2 为轴向外翻折180° ,由ZBAC=45° ,可得ZEAF=90° ,再将图形补成正方形可求Z\ABC 的面积。
(解题过程略，AABC 的面积为15)我们甚至可以看出图1包含图2的情形，但是在问题(1)中却不能简单地过A 作EF 的垂线段来加以证明，不然会让我们走进解题的一个“死胡同”，形似而神非。
2025年中考数学复习专题复习：含30°角几何问题解法专题讲解-- 第2节旋转法、 平移法、三折腰
第2节旋转法1.【☆☆】△ABC内一点D，∠∠DBC=30∘,∠BDC=90∘,AB=2AD=2√7,AC=4，求BC 的长.【简释】【旋转法】【法18[369ACE],CE=2,AE=2√3,蓝黄△o[SASIDE=0.5AB=AD中垂线 DF=2=CE,矩形 DCE F, ∠ACB=90∘,BC=2√3【法2】【369△ACE】,CE=8,AE= √3₃，△O[SASIBE=2AD=AB中垂线 BF=4=AC,矩形ACBF, BC=2√32.【☆☆】P 在△ABC 内,∠PAC=∠PCB=30°,∠PBC=60°,AP=3,AC=8,求 AB.【简释】【法 1】【解△】蓝黄OIAA PM=√3=√3BM=√3=4−√3ABM,AB=√3【法2】【旋转法】蓝黄ω[AA)AB=√3=√3【法3】蓝黄ω[AAIQB=√3=√3,|AB=√3平移法···平移法之一等边线段环境，通过平移实现等角转换.3.【☆☆☆☆】△ABC,∠ACB=30°,∠ABC=60°,BD=CE,DF∥AE,∠BAF= ∠CAE,CF、AE 交于G,求证: AG=√3AF.【简释】【平移法】【等边造≌】【法1】蓝△≌【SAS】三个α,矩形ABPC,高线MFN,4个α灰OmAA]PNFN =FMAM⇒MBFN=FMCN,黄△∽【SAS】三个βAGC∞AFBKAADAC=√3AB→AG=√3AF【法2】绿△≌【SSS】EQ∥BF,蓝平行四边形, AP‖BF,AP‖=EQ)|灰平行四边形4个α【AFCP 同旁等角α】三个β,△AGC∽△AFB【AA】(略)三折腰4.【8下】【☆☆】△ABC,∠B=30°,CD、EF 交于G, D A=AC=CE,∠CEF+∠ADC=90°,求DGGC.【简释】四边形 BEGD, ∠EGD=60°,,中垂线AM,两个α,CG=2k【法1】灰黄≅∠AAS]CM=DM=CH=√3k,CD=2√3k,DGGC=√3−1【法2】蓝≅[SAS]CM=DM=√3k,DGGC=√3−1。
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百度文库-让每个人平等地提升自我巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法,主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。
例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F"分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF , AE BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG •/ AD=DB / ADG=/ BDF •••" ADd " BDF ( SAS •••/ DAG=/ DBF BF=AG • AG// BC•••/ C=90°A Z EAG=90 • EG=Ah+AG=AE+BF •/ DEI DF • EG=EF2 2 2• EF=AE+BF例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转中心。
解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BMFEA百度文库-让每个人平等地提升自我•••/ ACB=90，/ PCM=90 仁/2 •••MB=AP=3•/ AC=BC •丄 CAP^" CBM( SAS •••/ MPC=45•/ PC=MCZ PCM=90 由勾股定理 PM== PC 2 MC 2 = 2PC 2 =2 2 , 在"MPB 中，PB 2+PM= (2 .. 2 ) 2+I 2=9=B M例3,如图3,直角三角形 •••/ BPC=Z CPM # MPB=45 +90° =135° BE , CF 转移到ABC 中, AB=AC / BAC=90 , / EAF=45°,求证：EF^B F+CF 2 分析：本题求证的结论和例 1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将同一个直角三角形中，由于"BAC 是等腰直角三角形，不妨以 A 为旋转中心，将/ BAE 和/ CAF 合在起，取零为整。
证明：过 A 作API AE 交BC 的垂线CP 于P ,连结PFEAP=90，/ EAF=45 PAF=45 BAC=90 BAE=/ PAC •/ AB=ACB=Z ACB=/ ACP=45•••" ABE ^" ACP( ASA\• PC=AE , AP=AE•••" AEF ^" APF ( SAS • EF=PF故在 Rt " PCF 中，P F=C F+P C,即 EF ^C F+A E 2A例4,女口图4,正方形 ABCD 中, E , F 分另U 在 AD , DC 上，且/ EBF=45 , BML EF 于M 求证：BA=BM 分析：本题与例3 相同之处在于直角三角形家夹有 45°角，可利用相同的方法，将/ABE 和/CBF “化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC 到 N 使 CN=AE 连结 BNC•••四边形ABCD 是正方形 ••• AB=AC / BAC=90•••/ EBF=45 ABE+Z CBF=45由"ABE ^" CBN 知 BE=BN Z CBN Z ABE•••/ CBN-Z CBF=45 /，即Z EBF=Z NBF又 BE=BN BF=BF•••/ EBF ^" NBF ( SAS •- BM=BC• Z ADE = Z AFB =Z CFD +Z DFA = Z CDF + Z FDA = Z ADC 。
例6、如图，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2 PB=2.3 , PC=4,求厶ABC 的边长。
分析：PA PB PC 比较分散，可利用旋转将 PA PB PC 放在一个三角形中，为此可将厶BPA 绕B 点逆时针方向旋转\60°可得△ BHC/解：把△ BPA 绕B 点逆时针方向旋转 60°得到△ BHC 因为BP=BH Z PBH=60 所以△ BPH 是等边三角形 所以Z BPH=60，所以BP=PH 2后 /又因为 HC=PA=2 PC=4 所以|PC 3 = HP 2 十 HC 3\/所以△ HCP 是Rt △，所以Z CHP=90• BM=BA例 5、如图 6,五边形 ABCDE 中, AB= AE BC + DE= CD , Z ABO Z AED =180 °。
求证：Z ADE=Z ADC解析：条件中有共点且相等的边AE 和AB,可将△ ADE 以点A 为中心,顺时针方向旋转Z BAE 的角度到厶AFB 的位置，如图7。
这就使已知条件Z ABO Z AED= 180。
和BC + DE = CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步 明朗。
由△ ADE^A AFB 得Z AED=Z ABF, Z ADE=Z AFB ED= BF , AF = AD由 Z ABO Z AED= 180。
，得Z ABO Z ABF = 180 °。
所以 C B 、F 又 CD= BC + DE = BC + BF = CF ,故Z CFD=Z CDF 。
由 AF = AD,得到ZZ FDA 线。
又因为HC=2 PC=4所以/ HPC=30又因为/ BPH=60，所以/ CPB=90 z/在Rt △ BPC中，BC a= BP2+PC3= Q 忑『=12+16=28,BC 2.7，那么△ ABC的边长为2-7 。
例7、如图2, O是等边三角形ABC内一点，已知：/ AOB=115，/ BOC=125，则以线段OA OB 0C为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将厶BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△ BMA因为BO=BM/ MBO=60所以△ BOM^等边三角形，所以/仁/2=60°又因为/ AOB=115，所以/ MOA=55又因为/ AMB M COB=125所以/ AMO=65又因为AM=OC MO=BO所以△ AMOE好是以AO OC BO为边组成的三角形，所以/ MAO=180 —( 55° +65°) =180°—120° =60°即：以线段OA OB OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60 例8、如图4, P是正方形ABCD内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3求PP'的长。
\ /分析：将厶ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP'重合，实际上就是把厶ABP顺时针方向旋转90°可得CBP',即PBP' 90°。
PBP' 90°。
所以PP' . BP2P'B2. 32323、2。
解：因为BP BP',例9、如图5, P为正方形ABCD内一点，且PA PB: PC=1: 2: 3,求/ APB的度数。
分析：PA PB: PC=1: 2：3,不妨设PA=1, PB=2, PC=3而这些条件较分散，可设法把PA、PB PC相对集中起来即把△ BCP绕B 点顺时针方向旋转90°得到△ BAE角军：因为BP=BE / PBE=90°所以PE22222，所以PE 2、2又在△ APE中，AE CP 3, PA2 PE2 AE2即12(2.2)232所以/ APE=90即/ APB=90 +45° =135°所以/ APB=135。
例10、如图，正方形ABCD勺边长为1, AB AD上各存一点P、Q若厶APQ的周长为2,求/ PCQ勺度数。
解：把△ CDC绕点C旋转90°到厶CBF的位置，CQ=CF因为AQ+AP+QP=2又AQ+QD+AP+PB=2所以QD+BP=QP又DQ=BF 所以PQ=PF所以QCP FCP所以/ QCP M FCP又因为/ QCF=90，所以/ PCQ=45 。
/由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。