高中数学 3.1.2 函数的极值(二) 教案 北师大选修2-2
高中数学北师大版选修2-2学案3.1.2 函数的极值 Word版含解析
函数的极值.理解极大值，极小值的概念.(难点).掌握求极值的步骤.(重点).会利用导数求函数的极值.(重点)[基础·初探]教材整理极值点与极值阅读教材“练习”以下至“例”以上部分，完成下列问题..极大值点与极大值在包含的一个区间(，，如图--都小于或)内函数＝()在任何一点的函数值，，点的函数值称点为函数＝()的等于其函数值()为函数的极大值极大值点.，图--.极小值点与极小值在包含的一个区间(，，如图--，)内都大于或函数＝()在任何一点的函数值，点的函数值称点为函数＝()的等于.极小值极小值点其函数值()为函数的，图--.极值的判断方法，)上是增加的如果函数＝()在区间(在区间(，)上是减少的，则是极大值，极大值()是点；如果函数＝()在区间(，)上是增加的，，在区间(，)上是减少的则是，极小值点.极小值()是，.求函数＝()极值的步骤()求出导数′().()解方程′()＝. ()对于方程′()＝的每一个解，分析′()在左、右两侧的符号(即()的单调性)，确定极值点：左正右负“若′()在两侧的符号”①，；极大值点则为左负右正“②”若′()在两侧的符号，则为点；极小值若′()在两侧的符号相同，③.则不是极值点判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()函数()＝＋－＋必有两个极值.( )()在可导函数的极值点处，切线与轴平行或重合.( )()函数()＝有极值.( )【答案】()√()√()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。
高中数学 3.1 第2课时 函数的极值课件 北师大版选修22
数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的
________．极大值点
极大值
图1
图2
如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在 任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y ＝f(x)的_________，其函数值f(x0)为函数的_________．
求函数 y＝2x＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数 的图像．
[分析] 利用函数求极值的步骤：(1)先求函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；(3)求方程 f′(x)＝0 的根；(4)检查 f′(x)在方 程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根 处取得极大值，如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小 值．
f′(x) ＋ 0
－
f(x)
极大值
故当 x＝e 时函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝1e.
[点评] 讨论函数的性质要保持定义域优先的原则，如本题
若忽视了定义域，则列表时易错将区间(0，e)写为(－∞， e)．
求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x)；第二，令f′(x)＝0， 求方程的根；第三，列表，检查f′(x)在方程根左右的值的 符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左 右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个根处无极 值．
①若f′(x)在x0两侧的符号______________ ，则x0为极大值
点；
“左正右负”
②若f′(x)在x0两侧的符号________________ ，则x0为极小
值点；
“左负右正”
③若f′(x)在x0两侧的符号___________，则x0不是极值点．
2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 3.1.2函数的极值 课件(21张)
ao
b
x
y f x
f (b) 0
y
极大值f(b)
f (x) 0 f (x) 0
极小值
ao
f(a)
f (a) 0
b
f (x) 0
x
y f x
点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
改为：y f (x)
如图是函数y=f(x) 的图象,试找出函数y=f(x) 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
y
y f x
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
例1 求函数 f ( x) 1 x3 4x 4 的极值.
解:
因为
f
(x)
1
3
x3
4x
4,
思考：已知函数 f x ax3 bx2 2x 在 x 2, x 1处取得极值。
（1）求函数 f x 的解析式 （2）求函数 f x 的单调区间
0
(–2, 2) –
2 ( 2, +∞)
0
+
f (x) 单调递增 28 / 3 单调递减 4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;
当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域，求导数 f (x) . (2)求方程 f (x)=0 的根. (3)用方程 f (x)=0 的根，顺次将函数的定义域 分成若干小开区间，并列成表格. (4)检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如 果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值.
高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的极值教案北师大版选修2_220170927373
函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。
2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数极值的判定方法教学难点：函数极值的判定方法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习引入1、常见函数的导数公式：C；(x n )'nx n1；(sin x )'cos x；；(cos x )'sin x；'0(lnx )'1x1(log ；(e x )'e x；(a x )'a x ln aa x)'log eax2、法则1 [u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)法则2 [u(x)v(x )]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x )]Cu'(x)法则3'''u u v uv(v0) v v23、复合函数的导数：y'''x y uu x4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间（二）、探究新课1、极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3、极大值与极小值统称为极值- 1 -在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x是极大值点，1x是极小值点，而f(x)> f(x) 441（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4)a x1x2Ob xx3x4x5f(b)f(x2)f(a)4、判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f (x0)0，且在x的两侧f(x)的导数异号，0则x是f(x)的极值点，(x)f是极值，并且如果f (x)在00x两侧满足“左正右负”，则x是f(x)的极大值点，(x)f是极大值；如果f (x)在0x两侧满足“左负右正”，则x是f(x)的极小值点，f(x)是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f/(x)；(2)求方程f/(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的极值教案北师大版选修2_220170927373
函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。
2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数极值的判定方法教学难点：函数极值的判定方法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习引入1、常见函数的导数公式：C；(x n )'nx n1；(sin x )'cos x；；(cos x )'sin x；'0(lnx )'1x1(log ；(e x )'e x；(a x )'a x ln aa x)'log eax2、法则1 [u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)法则2 [u(x)v(x )]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x )]Cu'(x)法则3'''u u v uv(v0) v v23、复合函数的导数：y'''x y uu x4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间（二）、探究新课1、极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3、极大值与极小值统称为极值- 1 -在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x是极大值点，1x是极小值点，而f(x)> f(x) 441（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4)a x1x2Ob xx3x4x5f(b)f(x2)f(a)4、判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f (x0)0，且在x的两侧f(x)的导数异号，0则x是f(x)的极值点，(x)f是极值，并且如果f (x)在00x两侧满足“左正右负”，则x是f(x)的极大值点，(x)f是极大值；如果f (x)在0x两侧满足“左负右正”，则x是f(x)的极小值点，f(x)是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f/(x)；(2)求方程f/(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
【数学】3.1.2 函数的极值 课件(北师大版选修2-2)
复习:
利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f (x ) ;
③解不等式 f ( x ) >0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究 函数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) f(x)
+ ↗
0 极大值-2a
↘
↘
0 极小值2a
+ ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
/ 2
/
2
当x变化时， ( x )、f ( x )的符号状态如下： f
(-∞,-1)
f/(x) f(x) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
减
0 1
减
0 0
增
+
0 1
(1,+ ∞)
增
+
导数为零的点不一定是极值点！
x=-1, x=0,x=1;
y fx = x2-13+1
-1
O
1
x
x=0是函数极小值点y=0.
2.函数的极值注意事项：
(1) 导数为零的点不一定是极值点！
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的
小区间而言的,在函数的整个定义域可能有 多个极大值或极小值, 不唯一!
高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件北师大版选修220831263
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
思维(sīwéi)
辨析
已知极值求参数值
【例2】 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且
f(1)=-1,
(1)求常数a,b,c的值.
(2)判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出
极值.
分析:先求f'(x),再由函数f(x)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1建立关于
A.2
)
B.3
C.4 D.5
解析:f'(x)=3x2+2ax+3,由题意得f'(-3)=0,解得a=5.
答案:D
变式训练3已知函数y=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为
解析:y'=3-3x2=3(1+x)(1-x),令y'=0,得x1=-1,x2=1,经判断知x=1是极大
值点,因此f(1)=2+m=10,即m=8.
3
= (x-1)(x+1).
2
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增加的,
在(-1,1)上是减少的.
∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
反思感悟已知函数极值求参数的方法
∴f(x)在x=-1处取得极小值.
因此a=2,b=9.
第十九页，共27页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
高中数学第三章导数应用1.2函数的极值教学案北师大版选修22
学习资料汇编1．2 函数的极值[对应学生用书P29]1．在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮．问题1：李阳最高说明了什么？提示：李阳是这10人中最高的．问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？提示：不一定．2．已知y＝f(x)，y＝g(x)的图像．问题1：观察y＝f(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？提示：f(x0)在(a，b)内最大．问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？提示：不一定．问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？提示：f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零．问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？提示：与y＝f(x)在(a，b)上结论相反．1．函数极值的概念(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．函数的单调性与极值(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可．(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．(4)在区间上单调的函数没有极值．[对应学生用书P30][例1] 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)f (x )＝ln xx.[思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．[精解详析] (1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的定义域为R ，且f ′(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：增加减少增加因此，x ＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝10；x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln x x的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：增加减少因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e，没有极小值点．[一点通] 求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点．1．(陕西高考)设函数f (x )＝x e x，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．答案：D2.已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )的极大值是( )A ．－2a ＋cB ．－4a ＋cC ．－3aD ．c解析：由导函数f ′(x )的图像知当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0；当x ＝2时，f ′(x )＝0.又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，所以b ＝－3a ，f (x )＝ax 3－3ax 2＋c ，所以函数f (x )的极大值为f (2)＝－4a ＋c ，故选B.答案：B3．求下列函数的极值：(1)f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1(0<x <2π)； (2)f (x )＝x 2e －x.解：(1)由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，0<x <2π.令f ′(x )＝0，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，又0<x <2π，所以x ＝π或x ＝3π2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝2时，f (x )有极小值2；当x ＝π时，f (x )有极大值π＋2.(2)f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极小值是f (0)＝0，极大值是f (2)＝e2.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f (x )的极小值．[思路点拨] 利用函数在x ＝1处取得极大值3建立关于a ，b 的方程组即可求解． [精解详析] (1)∵当x ＝1时，函数有极大值3，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3.解之得a ＝－6，b ＝9.(2)f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1. 当f ′(x )>0时，0<x <1； 当f ′(x )<0时，x <0或x >1.∴函数f (x )＝－6x 3＋9x 2的极小值为f (0)＝0.[一点通] 解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.答案：D5．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ .解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )，令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知x ＝1是极大值点，故f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．(重庆高考)已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )， 即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e－2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞).[例3] 设函数f (x )＝x 3－3x ＋1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路点拨] 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．[精解详析] (1)∵f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1，∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,1)．当x＝－1时，f(x)有极大值3；当x＝1时，f(x)有极小值－1.(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形状如右图所示，当－1<a<3时，直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为(－1,3)．[一点通] 极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是增加的，在(－1,1)上是减少的，故f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，其大致图像如图所示，零点个数为2.答案：28．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围．解：(1)证明：f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.易知f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a ， 故曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，令x ＝2，得y ＝2，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)． (2)由f ′(x )＝0得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0.①当Δ＝(2a )2－4(1－2a )≤0，即－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值． ②当Δ＝(2a )2－4(1－2a )>0，即a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得x 1＝－a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1，显然x 0＝x 2，则由题设知1<－a ＋a 2＋2a －1<3. 当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解；当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3，得－52<a <－2－1.综合①②得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2－1.(1)对于可导函数来说，y ＝f (x )在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y ＝x 3在x ＝0处，f ′(0)＝0，但x ＝0不是函数的极值点．(2)可导函数f (x )在x 0取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧，f ′(x )的符号不同．(3)若函数y ＝f (x )在(a ，b )内有极值，则y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即单调函数没有极值．[对应课时跟踪训练十一1．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：因为y ＝2x 3－3x 2， 所以y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)． 令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝1.令y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，函数y ＝2x 3－3x 2取得极小值－1. 答案：C2．函数y ＝ax ＋ln(1－x )在x ＝0时取极值，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.不存在解析：y ′＝a ＋－11－x ＝ax －a ＋1x －1(x <1)，由题意得x ＝0时y ′＝0，即a ＝1. 检验：当a ＝1时y ′＝xx －1，当x <0时y ′>0，当0<x <1时y ′<0，符合题意． 答案：B3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <0 C ．b >0D.b <12解析：f ′(x )＝3x 2－3b .因f (x )在(0,1)内有极值，所以f ′(x )＝0有解，∴x ＝±b ，∴0<b <1，∴0<b <1.答案：A4．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图像的一部分如图所示，则正确的是( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 解析：由题图可知，当x ∈(－∞，－3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )>0； 当x ∈(0,3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )>0； 当x ∈(3，＋∞)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )<0.故函数f (x )在x ＝－3处取得极小值，在x ＝3处取得极大值． 答案：D5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x x ＋－x 2＋a x ＋2＝x 2＋2x －a x ＋2，由题意得f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.经检验，a ＝3符合题意．答案：36．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图像可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．求下列函数的极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4；(2)f (x )＝x 3e x.解：(1)∵f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化，如表所示：∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点． ∴f (x )极大值＝f (－1)＝173，f (x )极小值＝f (3)＝－5.(2)f ′(x )＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x ·x 2(x ＋3)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如表所示：由表可知x ＝－3是f (x )的极小值点．f (x )极小值＝f (－3)＝－27e －3，函数无极大值．8．已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值． 解：∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0， ∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2或x ＝a3.(1)当a >0时，a 3<a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝3时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27；当x ＝a2时，函数取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. (2)当a <0时，a 2<a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0；当x ＝a 3时，函数取得极小值f (a 3)＝a 327. 综上所述，当a >0时，函数f (x )在x ＝a3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327，在x ＝a 2处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0； 当a <0时，函数f (x )在x ＝a2处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，在x ＝a 3处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.敬请批评指正。
(教师用书)高中数学 3.1.2 第2课时 函数的极值同步课件 北师大版选修22
由表可知：x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极 小值点． f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值＝f(3)＝－22. (2)∵f(x)＝x2ex， ∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)． 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
1．2
函数的极值
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现函数的极值及极值点，探索求函数极 值的方法和步骤； (2)简单运用导数法求函数的极值及极值点．
2．过程与方法 通过对函数极值的发现和探究，培养学生发现数学规 律的思维方法与能力；通过对导数法求极值的探究和应 用，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想 方法． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对函数的极值的探究学习，经历数学探究活动 的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的 规律，培养探索精神和创新意识； (2)通过本节的学习和运用实践，体会导数在研究函数 性质中的价值，学习用数学的思维方式解决问题．
3a＋2b＋c＝0， 则 3a－2b＋c＝0，
1 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，解得a＝ ，b＝0，c＝ 2 3 － . 2
1 3 3 3 2 3 3 (2)f(x)＝ x － x，∴f′(x)＝ x － ＝ (x－1)(x＋1)． 2 2 2 2 2 当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增加的，在 (－1,1)上是减少的． ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 即x＝－1是极大值点，x＝1是极小值点．
最新【测控设计】高二数学北师大版选修2-2课件：3.1.2 函数的极值
【做一做1】 函数y=2-x2-x3的极值情况是( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值
答案:D
-6-
1.2 函数的极值
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
2.求函数极值点的步骤 (1)求出导数 f'(x); (2)解方程 f'(x)=0; (3)对于方程 f'(x)=0 的每一个解 x0,分析 f'(x)在 x0 左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性),确定极值点;
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 2】 函数 f(x)=x3-6x+a 的极大值为
为
.
解析:由题意,得 f'(x)=3x2-6,列表:
,极小值
x (-∞,- 2) - 2 (- 2, 2) 2 ( 2,+∞)
f'(x) +
0-
0+
f(x) ↗
极大值 ↘
ห้องสมุดไป่ตู้
极小值 ↗
故 f(x)极大值=f(- 2)=4 2+a, f(x)极小值=f( 2)=-4 2+a. 答案:4 2+a -4 2+a
-4-
1.2 函数的极值
12
高中数学3.1.2函数的极值(二) 教案 (北师大选修2-2)
3。
1。
2 函数的极值教学过程：一、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答)2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h t=—4。
()9t2+6。
5t+10的图象，回答以下问题：（1）在点t=a 附近的图象有什么特点？（2)函数在t=a处的函数值和附近函数值之间有什么关系？（3）在点t=a附近的导数符号有什么变化规律？(4）函数在t=a处的导数是多少？共同归纳：函数h（t)在a点处h/（a)=0，在t=a的附近,当t＜a时,函数()h t单调递增, ()'h t＞0；当t＞a时，函数()h t单调递减，()'h t ＜0，即当t在a的附近从小到大经过a时, ()'h t先正后负,且()'h t连续变化,于是h/(a)=0。
3、观察下列函数的图像，回答问题.问题同上（略）学生讨论回答。
4、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？二、函数极值概念的形成1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点a 附近有定义,如果对a 附近的所有的点，都有f(x)＜f(a)，0)(,=a f 且在点x=a 附近的左侧0)(,>x f ,右侧0)(,<x f 就说f(a ）是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f （a)，a 是极大值点2、极小值:仿照极大值的定义让学生自己写出来。
3、极大值与极小值统称为极值在定义中,取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值注：概念讲解完，在分析概念的时候分别从f(a)和他附近函数值的大小，以及x=a 处的导数值和附近导数符号的正负加以分析.三、强化概念、例题解析 （一）、给出图象,找出图中的极值点。
（以幻灯片的形式给出图像）通过观察图像得出结论 结论:（1）函数的极值不是唯一的; oa b单调单调0)(,>x f0)(,<x f)(,=a f（2）极大值未必大于极小值； （3)区间的端点不能成为极值点 例1．（课本例4）求()31443f x xx =-+的极值解: 因为()31443f x xx =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+.令()'0f x =，得2,2x x ==- 下面分两种情况讨论:(1)当()'f x 〉0，即2x >，或2x <-时;（2)当()'f x 〈0,即22x -<<时.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：因此， ()极大值f x =28(2)3f -=;()极小值f x =4(2)3f =-。
高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值教案北师大版选修2-2(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学第三章导数应用3.1.2 函数的极值教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第三章导数应用3.1.2 函数的极值教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为陕西省石泉县高中数学第三章导数应用3.1.2 函数的极值教案北师大版选修2-2的全部内容。
函数的极值〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）观察1。
3.1图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f （x ）在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？(2） 函数y=f （x)在a 。
b 。
点的导数值是多少？（3）在a.b 点附近, y=f(x ）的导数的符号分别是什么,并且有什么关系呢?2、极值的定义：我们把点a 叫做函数y=f(x ）的极小值点，f （a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a ）叫做函数y=f(x ）的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点， 极大值与极小值称为极值。
<三〉、讲解例题 例2, 例3,见课本例4 函数()31443f x x x =-+的极值归纳:求函数y=f(x)极值的方法是：1求()'f x ，解方程()'f x =0,当()'f x =0时： (1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0，右边()'f x ＜0，那么f （x 0）是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值 <四〉、课堂练习1、求函数f(x ）=3x —x 3的极值2、思考:已知函数f （x)=ax 3+bx 2—2x 在x=-2，x=1处取得极值,求函数f(x ）的解析式及单调区间。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第3章 函数的极值 参考教案2
函数的极值教学目标： 知识与技能： ⑴理解函数极值的概念⑵会求给定函数在某区间上的极值 过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 教学过程： 一、复习回忆单调性与导数关系，单调区间求法 二、新课1. 函数极值的定义①极大值：在含0x 的区间),(b a 内，若)(x f y =在任意一点函数值都不大于0x 点值，)(')(0x f x f ≤ 加为)(x f y =极大值点，)(0x f 为函数极大值②极小值：)(')(0x f x f ≥ ③极值：极值点说明：①极值是一个局部概念，——适当区间内局部性质在函数定义域区间上可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大②曲线在极值点处切线的斜率为0,在极大值点左侧斜率为正，右侧为负，在极小值点左侧斜率为负，右侧为正③如下表x)('x f )(x f y =),(0x a+ ↑x0 极大),(0b x－ ↓④求)(x f y =极值点步骤①求出导数)('x f ；②0)('=x f ；③对0)('=x f 每一个解0x ，)('0x f 左右两侧符号 1）)('0x f 在0x 的两侧“左正右负”大 2）)('0x f 在0x 的两侧“左负右正”小3）)('0x f 在0x 的两侧符号相同，不是极值点例1：求函数53632)(23+--=x x x x f 极值点 解：)3)(2(6)('-+=x x x f 例2：0)('=x f 21-=x 32=x例2：求133)(3+-=x x x f 的极值 例3：求x e x x f -⋅=2)(极值 解：①xx xxe x ex ex x f 2222)('+=⋅+⋅=-- （错误）！②x xx x x e xx e x x e x x e x e x x f --=-=⋅-⋅==222222)(2)'()(' 令0)('=x f 0=∴x 或2=x)(x f↓ 小 ↑ 大 ↓0=∴x 极小 0)0(=f 2=x 极大 24)2(e f =例4：若函数223a bx ax x y +++=在1=x 处取得极值10,求b a ,解：b ax x y ++=23'2∴ 0)1('10)1(==f f ∴ 114-==b a 或 33=-=b a当33=-=b a 0363)('2≥+-=x x x f ↑)(x f 无极值 当114-==b a 1183)('2-+=x x x f 令∴ 114-==b a三、作业：。
北师大版高中数学选修高二第二课时函数的极值教学设计
第二课时 3.1.2函数的极值教学目的：1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；；x x sin )'(cos -=； xx 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(； a a a x x ln )'(= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数： x u x u y y '''⋅= (理科)4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间 二、讲解新课：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +31的极值解：y ′=(31x 3－4x +31)′=x 2－4=(x +2)(x －2) 令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2 当x 变化时，′，的变化情况如下表∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=3当x =2时，y 有极小值且y 极小值=－5例2求y =(x 2－1)3+1的极值解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表∴当x 极小值求极值的具体步骤：第一，求导数/()f x .第二，令/()f x =0求方程的根，第三，列表，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点例 3. 已知函数()3232f x x ax bx =-+ 在点1x =处有极值0。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-2 1.2函数的极值》1
函数的极值教学设计一．教材分析函数的极值,是北师大选修第三章内容，就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用就整个高中教学而言二．教学目标知识与技能：1、理解极大值、极小值的概念；2、能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3、掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：1、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；2、培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
三．重点与难点重点是会用导数求函数的极值．难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程1．引入让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点？”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题．【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．2．极值的定义[问题1] 观察下面函数图像（图1）回答相应的问题问题：函数()y f x =在a 点的函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系？[生]：观察分析后发表自己的见解．[师]：总结后给出函数极小值的定义并要求学生类比极小值给出极大值的定义．极小值的定义：函数()y f x =在a 点的函数值()f a 比a 点两侧附近其他点的函数值都小，我们把a 点叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．[生]：类比得出极大值的定义．[师]：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值；强调极值点是横坐标，极值是纵坐标．【设计意图】使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，了解极值点和极值的概念．图3[问题2] 图3中c 、d 、e 、f 、g 、h 等点中哪些是极小值点？哪些点是极大值点？[变形2] 下面几种说法中正确的是__________（填写正确选项序号）① 函数的极大值是最大值；② 函数的极大、极小值是唯一确定的；③ 函数的极大值一定大于它的极小值；④ 函数的极值点一定不是区间的端点．[生]：学生抢答；互评．[师]：总评．【设计意图】使学生知道极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念，进一步了解极值点和极值的概念．3 极值与导数的关系[问题1] 图2中极大值点b 是否也有同样的性质呢？[生]：探究后抢答．[师]：让学生归纳出极大值点处及附近导数符号的一般性结论：⇒学生观察归纳得出；0x ⇐是增减的分界点教师画图验证．可导函数()y f x =，0x 是极大值点⇔0'()0f x =且0x 两侧附近导数左正右负；（学生类比得出）0x 是极小值点⇔0'()0f x =且0x 两侧附近导数左负有正．a bco x y()y f x =图2【设计意图】 通过教师的点拨，帮助学生构建知识体系，完善、深化对知识、规律内涵的认识．[问题3] 如图是函数()y f x =的图象,试找出函数()y f x =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？如果把函数()y f x =图象改为导函数'()=y f x 的图象呢[生]：思考后抢答；互评．[师]：点拨；总评．【设计意图】 通过此问题使学生会从原函数及导函数的图象判断极值点，知道导数值为0的点不一定是函数的极值点（如6x ）．4．深化某点取得极值的条件[问题1] 函数()y f x =在极值点处的导数值有什么特征？[问题2] 函数()y f x =在极值点两侧附近导数符号有什么关系？[问题3] 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？为什么？[生]：思考后抢答；互评．[师]：点拨；总评．可导函数，导数值为0的点，是极值点的 必要不充分 条件【设计意图】通过层层追问，引导学生从正反方向辨析可导函数在某点取得极值的条件，突破难点，强化重点．5．用导数求极值例4．求函数31()443f x x x =-+的极值 “问答式”教师板演师生共同完成后让学生总结用导数求极值的步骤：（1）求定义域；（2）求导数；（3）求导数的零点；x图5（4）判符号，（通常列表）；（5）左正右负，极大值；左负右正，极小值．【设计意图】通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法与步骤，突出本节课的重点，培养学生规范的表达能力．6．巩固练习求下列函数的极值（1）3=-f x x x（2）()33ln.()3=+f x xx【设计意图】学生通过练习反馈所学知识及规范表达能力，突出本节课的重点7．小结[师问生答，师生共同回忆]a 用导数求函数极值的步骤有哪些？b（带着此问题预习下一课时）极值与最值有关系吗？八．板书设计同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系．备课反思本节课内容是介绍极值的概念，学会用导数求函数的极值，课时1课时．本设计让学生观察庐山图片并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题．因为课本中极值概念没有严格的定义，只是从函数的极值与导数的关系引出极值，所以我选择将极值的概念与导数的关系分开来讲，先通过函数图象观察、分析极值的特征后给出极值的概念，然后讨论极值与导数的关系．本节课重在用导数求函数的极值，以及函数的极值点与导数零点并不等价关系的探析，导数的零点只是它成为极值点的必要条件，这也是本节课的重点及难点所在．我们目前研究的基本都是可导函数的极值，因此求极值时先求导数的零点，再辨别此零点是否是原函数的极值点．函数的极值点一定是导数的零点吗？要不要问，课本上没有强调函数在极值点处不可导的情况，若问的话怕偏离主题，这里仍然是值得商榷的．。
高中数学北师大版选修2-2第三章《1.2函数的极值》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学北师大版选修2-2第三章《1.2函数的极值》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.知识与技能
〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值
2.过程与方法
师生的共同讨论与讲授法结合
让学生通过学习,掌握利用导数求函数的极值
3.情感与价值
增强学生数形结合的思维意识,提高利用导数的基本思想去分析与解决实际问题的能力
2学情分析
学生有简单的知识储备,需要系统化,规律化
3重点难点
重点:利用导数求函数的极值
难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】教学设计
〈一〉导入新课
前面我们学习了利用导数判定函数的单调性,今天我们大家一起学习怎样应用函数的导数求函数的极值
〈二〉讲授新课
1.如图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数 =-4.9t2+6.5t+10的图象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.2 函数的极值
教学过程：
一、创设情景，导入新课
1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）
2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2
+6.5t+10的图象，回答以下问题：
（1）在点t=a 附近的图
象有什么特点？
（2）函数在t=a 处的函数值和附近函数值之间有什么关系？ （3）在点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ （4）函数在t=a 处的导数是多少？
共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /
(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增,
()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0.
3、观察下列函数的图像，回答问题。
问题同上（略）学生讨论回答。
4、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ 二、函数极值概念的形成
1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点a 附近有定义，如果对a 附近的所有的点，都有f(x)＜f(a)，0)(,
=a f 且在点x=a 附近的左侧0)(,
>x f ，右侧0)(,
<x f 就说f(a)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(a)，a 是极大值点
2、极小值：仿照极大值的定义让学生自己写出来。
3、极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
注：概念讲解完，在分析概念的时候分别从f(a)和他附近函数值的大小，以及x=a 处的导数值和附近导数符号的正负加以分析。
三、强化概念、例题解析 （一）、给出图象，找出图中的极值点。
（以幻灯片的形式给出图像）通过观察图像得出结论 结论：（1）函数的极值不是唯一的； （2）极大值未必大于极小值； （3）区间的端点不能成为极值点 例1．（课本例4）求()3
1443
f x x x =-+的极值
解： 因为()3
1443
f x x x =
-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。
令()'
0f
x =，得2,2x x ==-
下面分两种情况讨论：
（1）当()'f x >0,即2x >，或2x <-时；（2）当()'f x <0,即22x -<<时. 当x 变化时， ()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
因此， ()极大值f x =28(2)3f -=； ()极小值f x =4
(2)3
f =-。
函数()31
443
f x x x =-+的图像如图所示。
（二）、巩固练习： 1．求下列函数的极值
（3）函数3x y =的极值点为x=0
解: ((1)略)
（2）：y ′=(x 3－27x )′=3x 2
－27=3(x +3)(x －3)
2(1) ()62; (2) f x x x =--
令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3.
当x
∴当x =－3时，y 有极大值，且y 极大值=54. 当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=－54
例2 设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)f -=－1,求a ，b ，c 的值，并求出函数的极值。
解：2'()32f x ax bx c =++，∵1x =±是函数的极值点，则－1,1是方程'()0f x =的根，即有211313b a c
a -⎧
-+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
⇒03b c a =⎧⎨=-⎩，又(1)1f =-，则有1a b c ++=-，由上述三个方程可知12a =，0b =，3
2
c =-，此时，函数的表达式为313()22f x x x =-，∴233'()22f x x =-，令'(
)0f x =，得1x =±，当x 变化时，'()f x ，(
)f x 的变化情况表：
由上表可知， 13(1)122极大值f -=-+=，13
(1)122
极大值f =-=-
（3）错误（通过图象法或求极值的步骤去说明）结论：导数值为0的点是该点为极值点的必要不充分条件
2 总结求函数极值的方法（让学生回答，然后教师总结，以幻灯片的形式给出） 3（补充习题）
下图是导函数 的图象, 试找出函数y=f(x)的极值点 ， 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
)(x f y '=)(x f y '=
y
四、归纳总结：
1．极值
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值。
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0点（一阶导数为0的x的值）
(3)列表，并通过表格求出函数的极值。
五、课后作业：书本P 32 4 . 5。