【最新】2020年中考数学典例精做专题14 四边形的计算与证明(1) (学生版)

专题14. 四边形的计算与证明（1）

※知识精要

一、平行四边形

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质定理

⑴边：平行四边形的对边相等；两组对边分别平行。

⑵角：平行四边形的对角相等；邻角互补。

⑶对角线：平行四边形的对角线互相平分。

⑷平行四边形性质定理的推论：夹在平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形判定定理：

⑴边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

⑵角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑶对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

⑷一组对边平行，一对角相等的四边形是平行四边形。

4、平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。二、矩形:是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）

2、矩形性质定理：

⑴角：矩形的四个角都相等，都是直角。

⑵对角线：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理：

⑴角：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

⑵对角线：对角线相等的平行四边形是矩形。

说明：要判定四边形是矩形的方法是：

法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）

法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）

法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）

三、菱形:也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：

⑴边：菱形的四条边相等。

⑵对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形判定定理

⑴边：四边都相等的四边形是菱形。

⑵：对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

说明：要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。

法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）

四、正方形

正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形性质定理：

⑴边：四条边都相等。

⑵角：正方形的四个角都是直角。

⑶对角线：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

4、正方形判定定理：

⑴边：一组邻边相等的矩形是正方形。

⑵角：有一个角是直角的菱形是正方形。

⑶对角线：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。

两条对角线相等的菱形是正方形。

注意：要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）

方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）

方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）

※要点突破

熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，边、角、对角线所具有的性质和判定是解题的关键．

※典例精讲

例1．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，，连接OE，交BC于F．求证：；

如果OC：：，求菱形ABCD的面积．

例2．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：△NDE≌△MAE；

（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

※课堂精练

一、单选题

1．如图，在▱ABCD中，已知，，AE平分交BC于点E，则CE长是

A．8cm B．5cm C．9cm D．4cm

2．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF=3，则菱形ABCD的周长为（）

A．12 B．16 C．20 D．24

3．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E，F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）

A．cm B．cm C．cm D．3cm

4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，，，则EF的长是

A．1 B． 2 C．3 D．4

5．如图，在▱ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为

A．1 B．C．D．

6．如图，在平行四边形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，，交AD于点E，则的周长为

A．20cm B．18cm C．16cm D．10cm

7．如图，在▱ABCD中，，将▱ABCD沿直线点E、F分别在边AD和边BC上折叠，使点D与点B重合，若▱ABCD的周长为12，则的周长为

A．5 B．8 C．6 D．10

8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）