山东省三校17学年高二数学下学期期中联考试题

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山东省高二数学下学期期中试卷文(含解析)

2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=7﹣6i，z2=4﹣7i，则z1﹣z2=（）A．3+i B．3﹣i C．11﹣13i D．3﹣13i2．复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i3．数列{a n}，已知a1=1，当n≥2时a n=a n﹣1+2n﹣1，依次计算a2、a3、a4后，猜想a n的表达式是（）A．3n﹣2 B．n2C．3n﹣1D．4n﹣34．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．5．不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）6．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|7．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．1998．用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1（n∈N+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时，应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1=2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k+1﹣19．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除10．若关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） C．（﹣4，2）D．[﹣4，1]11．设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a12．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b= ．14．若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是．15．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：b2017是数列{a n}中的第项．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：（Ⅰ）点A所在的象限；（Ⅱ）向量对应的复数．18．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，若ab＞cd，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）|a﹣b|＜|c﹣d|．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n=（﹣1）n（2n﹣1）．（Ⅰ）求S1，S2，S3，S4；（Ⅱ）猜想S n的表达式，并用数学归纳法给出证明．20．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．22．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=7﹣6i，z2=4﹣7i，则z1﹣z2=（）A．3+i B．3﹣i C．11﹣13i D．3﹣13i【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】直接利用复数代数形式的加减运算得答案．【解答】解：∵z1=7﹣6i，z2=4﹣7i，∴z1﹣z2=（7﹣6i）﹣（4﹣7i）=3+i．故选：A．2．复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．3．数列{a n}，已知a1=1，当n≥2时a n=a n﹣1+2n﹣1，依次计算a2、a3、a4后，猜想a n的表达式是（）A．3n﹣2 B．n2C．3n﹣1D．4n﹣3【考点】8H：数列递推式．【分析】先根据数列的递推关系式求出a2、a3、a4的值，即可得到答案．【解答】解：由题意可得a2=4，a3=9，a4=16，猜想a n=n2，故选B．4．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．5．不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选D．6．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【考点】71：不等关系与不等式．【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．7．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【考点】F1：归纳推理．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．8．用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1（n∈N+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时，应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1=2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k+1﹣1【考点】RG：数学归纳法．【分析】把n=k+1代入等式即可．【解答】解：当n=k+1时，等式左边为1+2+22+…+2k，等式右边为2k+1﹣1，故选D．9．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】FC：反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．10．若关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） C．（﹣4，2）D．[﹣4，1]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由绝对值的意义可得|x﹣1|+|x+m|的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|＞3，由此解得实数m的取值范围．【解答】解：由于|x﹣1|+|x+m|表示数轴上的x对应点到1和﹣m的距离之和，它的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|＞3，解得 m＞2，或 m＜﹣4，故选：A．11．设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解： =，．∵，∴，∴b ＜c ．∵=4，∴．即c ＜a ．综上可得：b ＜c ＜a ．故选：B ．12．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A ．B ．C ．D ．a【考点】F3：类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质【解答】解：类比在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a 可以得到BF=a ，BO=AO=a ，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO 2=BE 2+OE 2，把数据代入得到OE=a ，∴棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a ，故选：A ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b= 3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A3：复数相等的充要条件．【分析】由==，知=a+bi，故，所以，由此能求出a+b．【解答】解： ===，∵=a+bi，∴，∴，解得a=0，b=3，∴a+b=3．故答案为：3．14．若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是 4 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据ln（a+b）=0求得a+b的值，进而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案为：415．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8] ．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：b2017是数列{a n}中的第5044 项．【考点】F1：归纳推理．【分析】由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n （n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b2017在数列{a n}中的位置．【解答】解：由前四组可以推知a n=，从而b1=a4=10，b2=a5=15，b3=a9=45，b4=a10=55，依次可知，当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时，由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由于b2017是第2017个可被5整除的数，故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1008组的第4个数字，由此知，b2017是数列{a n}中的第1008×5+4=5044个数．故答案为：5044三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：（Ⅰ）点A所在的象限；（Ⅱ）向量对应的复数．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（I）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．（II）利用复数的几何意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）z===1+i，所以=1﹣i，所以点A（1，﹣1）位于第四象限．…（Ⅱ）又点A，B关于原点O对称．∴点B的坐标为B（﹣1，1）．因此向量对应的复数为﹣1+i．…18．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，若ab＞cd，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）|a﹣b|＜|c﹣d|．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（I）两边平方比较大小即可得出结论；（II）两边平方，结合a+b=c+d，ab＞cd得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵（ +）2=a+b+2，（ +）2=c+d+2，a+b=c+d，ab＞cd，∴（+）2＞（+）2．∴+＞+．（Ⅱ）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd=（c﹣d）2．∴|a﹣b|＜|c﹣d|．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n=（﹣1）n（2n﹣1）．（Ⅰ）求S1，S2，S3，S4；（Ⅱ）猜想S n的表达式，并用数学归纳法给出证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】（Ⅰ）代入计算，可求S1，S2，S3，S4；（Ⅱ）猜想S n的表达式，利用数学归纳法的证明步骤进行证明．【解答】解：（1）S1=﹣1，S2=﹣1+3=2，S3=﹣1+3﹣5=﹣3，S4=﹣1+3﹣5+7=4，（Ⅱ）猜想，证明如下：（1）当n=1时，由（1）得结论成立；（2）假设当n=k时，结论成立，即﹣1+3﹣5+7+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）k k那么，当n=k+1时，左边=﹣1+3﹣5+7+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）．故n=k+1时，结论也成立．由（1）（2）知，﹣1+3﹣5+7+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．20．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证．【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．22．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【考点】71：不等关系与不等式．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4。

2017学年山东省菏泽市高二下学期期中数学试卷及参考答案(理科)

2016-2017学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（x）′=1B．（x2cosx）′=﹣2xsinxC．（3x）′=3x log3e D．（log2x）′=2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．（5分）复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i4．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln25．（5分）函数f（x）=e x﹣x（e为自然对数的底数）在区间[0，1]上的最大值是（）A．1+B．1 C．e+1 D．e﹣16．（5分）已知积分，则实数k=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣17．（5分）在用数学归纳法证明不等式++…+≥（n≥2）的过程中，当由n=k推到n=k+1时，不等式左边应（）A．增加了B．增加了+C．增加了+，但减少了D．以上都不对8．（5分）设曲线y=x2+1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=g （x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．9．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．10．（5分）函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定11．（5分）已知函数f（x）=x2+，若函数f（x）在x∈[2，+∞]上是单调递增的，则实数a的取值范围为（）A．a＜8 B．a≤16 C．a＜﹣8或a＞8 D．a≤﹣16或a≥1612．（5分）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．14．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．15．（5分）在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，则c2=a2+b2，则在同一顶点引出的三条两两垂直的三棱锥V﹣ABC中，则有．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1）设ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若=2﹣i，求实数a的值．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（1）求证：AD⊥BF；（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．19．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．20．（12分）已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3并推出的a n表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间．2016-2017学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（x）′=1B．（x2cosx）′=﹣2xsinxC．（3x）′=3x log3e D．（log2x）′=【解答】解：A．（x+）′=1﹣，∴A错误．B．（x2cosx）′=﹣2xsinx﹣x2sinx，∴B错误．C．（3x）′=3x ln3，∴C错误．D．（log2x）′=，正确．故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（5分）复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i【解答】解：=，∴z的实部与虚部分别为7，﹣3．故选：A．4．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．5．（5分）函数f（x）=e x﹣x（e为自然对数的底数）在区间[0，1]上的最大值是（）A．1+B．1 C．e+1 D．e﹣1【解答】解：求导函数，可得f′（x）=e x﹣1∵x∈[0，1]，∴f′（x）≥0，f（x）在[0，1]单调递增，∴f（x）max=f（1）=e﹣1，∴函数f（x）=e x﹣x在区间[0，1]上的最大值是e﹣1，故选：D．6．（5分）已知积分，则实数k=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵，∴=k∴∴k=2故选：A．7．（5分）在用数学归纳法证明不等式++…+≥（n≥2）的过程中，当由n=k推到n=k+1时，不等式左边应（）A．增加了B．增加了+C．增加了+，但减少了D．以上都不对【解答】解：当n=k时，左侧式子为+++…+，当n=k+1时，左侧式子为++…+++，∴当由n=k推到n=k+1时，不等式左边减少了，增加了+．故选：C．8．（5分）设曲线y=x2+1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=g （x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．【解答】解：g（x）=2x，g（x）•cosx=2x•cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，排除B、D．令x=0.1＞0．故选：A．9．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．【解答】解：解得直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为：（﹣1，1）（3，9）∴直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积S=∫（2x+3﹣x2）dx=（x2+3x ﹣）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=故选：C．10．（5分）函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定【解答】解：∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x2+，若函数f（x）在x∈[2，+∞]上是单调递增的，则实数a的取值范围为（）A．a＜8 B．a≤16 C．a＜﹣8或a＞8 D．a≤﹣16或a≥16【解答】解：∵函数f（x）=x2+在x∈[2，+∞）上单调递增，∴f′（x）=2x﹣=≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；∴2x3﹣a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，+∞）上恒成立，∴a≤2×23=16∴实数a的取值范围为a≤16．故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令f（x）=，∴f′（x）==，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∵正数a＞0，∴f（a）＞f（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程x﹣y﹣4=0．【解答】解：由f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，得f′（x）=3x2﹣8x+5，∴f′（2）=1，又f（2）=﹣2．∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=1（x﹣2），即x﹣y﹣4=0．故答案为：x﹣y﹣4=0．14．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n 个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．15．（5分）在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，则c2=a2+b2，则在同一顶点引出的三条两两垂直的三棱锥V﹣ABC中，则有．【解答】解：由a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2=c2，类比到空间中：在四面体V﹣ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°，则．故答案为16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中正确命题的序号是①②．【解答】由导函数的图象可知：当x∈（﹣1，0），（2，4）时，f′（x）＞0，函数f（x）增区间为（﹣1，0），（2，4）；当x∈（0，2），（4，5）时，f′（x）＜0，函数f（x）减区间为（0，2），（4，5）．由此可知函数f（x）的极大值点为0，4，命题①正确；∵函数在x=0，2处有意义，∴函数f（x）在[0，2]上是减函数，命题②正确；当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，命题③不正确；2是函数的极小值点，若f（2）＞1，则函数y=f（x）﹣a不一定有4个零点，命题④不正确．∴正确命题的序号是①②．故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1）设ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若=2﹣i，求实数a的值．【解答】解：（1）由复数z=1+i，得．则ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=1+2i﹣1+3﹣3i﹣4=﹣1﹣i，故|ω|=；（2）====2﹣i，由复数相等的充要条件得：，解得a=3．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（1）求证：AD⊥BF；（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，又AD⊥AB，AB∩AF=A，AD⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，∴AD⊥BF．（2）解：∵直线AF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AF⊥AB，由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，∴以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0），∴=（﹣），=（﹣1，﹣1，），设异面直线BE与CP所成角为θ，则cosθ==，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（3）解：∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量．由知P为FD的三等分点，且此时．在平面APC中，，．∴平面APC的一个法向量．…（10分）∴，又∵二面角D﹣AP﹣C的大小为锐角，∴该二面角的余弦值为．…（12分）19．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20．（12分）已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3并推出的a n表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【解答】解：（1）当n=1时，S1+a1=2a1=3，∴，当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5，∴，同样令n=3，则可求出，∴，，，猜测．（2）证明：①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即，=2（k+1）+1，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k，=2（k+1）+1=2k+3，∴2k+1﹣a k+2a k+1∴，即，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，都成立．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．22．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间．【解答】解：（1）∵当a=2时，f（x）=x﹣2lnx（a∈R），∴f′（x）=1﹣，∴f′（1）=﹣1，∵f（1）=1，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0；（2）∵h（x）=f（x）+，∴h′（x）=，∴a＞﹣2时，h′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1+a，h′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1+a，∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（1+a，+∞）；单调减区间是（﹣1，1+a）；a=﹣2时，h′（x）≥0，∴函数的单调增区间是（0，+∞）；a＜﹣2时，h′（x）＞0，可得x＜1+a或x＞﹣1，h′（x）＜0，可得1+a＜x＜﹣1，∴函数的单调增区间是（0，1+a），（﹣1，+∞）；单调减区间是（1+a，﹣1）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

精选山东省济南市2016_2017学年高二数学下学期期中试题理

山东省济南市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共20题，第Ⅱ卷为第3-4页，全卷共24个题。

请将第Ⅱ卷答案答在答题纸相应位置，考试结束后将答题纸上交。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，每题5分，共75分）一、选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 下列求导运算正确的是( )A. B.C. D.2. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得分；平一场，得分；负一场，得分，一球队打完场，积分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种3. 曲线在点处的切线的斜率为( )A. B. C. D.4. 设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为( )A. B. C. D.5. 某校开设类课门，类课门，一位同学从中共选门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种6. 已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，的图象大致是( )A. B.C. D.7. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同的取法种数为( )A. B. C. D.8. 若，，则是( )A. 纯虚数B. 实数C. 虚数D. 无法确定9. 从任何一个正整数出发，若是偶数就除以，若是奇数就乘再加，如此继续下去，现在你从正整数出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是( )A. B. C. D.10. 设复数，则( )A. B. C. D.11. 若，，，，则，，的大小关系为A.B.C.D.12. 如果组合数，则在平面直角坐标系内以点为顶点构成的图形是( )A. 三角形B. 矩形C. 平行四边形D. 梯形13. 如图 1 所示，在中，，，则．类似有命题：在三棱锥中，如图 2 所示，面．若在内的射影为，在上，且，，在同一条直线上，则命题是( )A. 真命题B. 增加的条件才是真命题C. 假命题D. 增加三棱锥是正棱锥的条件才是真命题14. 设函数，若是的极大值点，则的取值范围为A. B.C. D.15. 已知上的奇函数满足，则不等式的解集是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题(本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡中的横线上).16. 已知复数（为虚数单位），在复平面内所对应的点位于第一象限，则实数的取值范围为．17. 已知复数（，为虚数单位）为实数，则的值为 18. 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知位同学之间共进行了次交换，则收到份纪念品的同学人数为19. 已知函数（，为常数）．当时，函数取得极值，若函数只有三个零点，则实数的取值范围为．20. 若函数在定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题包括5小题，共５０分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.21. 已知212(2),(2)()z x y x xy y i z x y y xy i =++--=---，问：,x y 取什么实数值时，（1）12,z z 都是实数；（2）12,z z 互为共轭复数。

山东省高二数学下学期期中试题理(含解析)

2016-2017学年山东高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．342．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．3． =（）A．B．C．D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．845．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．46．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．510．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．1011．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10）．19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R）（ I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣（ I）a=2，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．22．设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（ III）证明不等式e x≥1+x+．2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．34【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】直接利用组合数公式求解即可．【解答】解： ==3+6+10+15=34．故选：D．2．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】通过设z=a+bi，可得=a﹣bi，利用（1+i）=（1﹣i）2，可得=﹣1﹣i，进而可得结论．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵（1+i）=（1﹣i）2，∴=======﹣1﹣i，∴z=﹣1+i，∴|z|==，故选：C．3． =（）A．B．C．D．【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数公式计算即可．【解答】解： ===．故选：D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：的展开式中通项公式：T r+1=x9﹣r=（﹣1）r x9﹣2r，令9﹣2r=3，解得r=3．∴x3的系数=﹣=﹣84．故选：C．5．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．4【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按女生的数目分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，有C43C21=8种情况，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，有C42C22=6种情况，则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+6=14种；故选：A．6．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：∵a2﹣1+2（a+1）i为纯虚数，则a2﹣1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的充要条件，故选：A．7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，判断导函数的值域，即可判断选项．【解答】解：，可得f′（x）=2cos（2x+）∈[﹣2，2]，因为4∉[﹣2，2]，所以y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是：4．故选：D．8．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求函数f（x）=e x cosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．故选C．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．5【考点】D3：计数原理的应用．【分析】本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，二类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可【解答】解：由题意将问题分为两类求解第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为A21×A31=6种第二类，若乙与丙在B社区，则A社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为A31=3种故不同的安排种数是6+3=9种故选B10．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．10【考点】67：定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；【解答】解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）根据题意画出图形，曲线y=x3﹣3x和直线y=x围成图形的面积S=2 [x﹣（x3﹣3x）]dx=2（4x﹣x3）dx=2（2x2﹣x4）|=2（8﹣4）=8，故选：B．11．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】借助导数知识，根据（x﹣1）f′（x）＜0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣1）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）为增函数∴f（0）＜f（1），f（2）＜f（1）∴f（0）+f（2）＜2f（1）故选：A．12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…【考点】F1：归纳推理．【分析】根据半角公式可证明已知的三个等式，再由题意，观察各式可得其规律，用n将规律表示出来一般性结论．【解答】证明：∵cos=，∴2cos=；2cos=2=2cos=2=，观察下列等式：2cos=；2cos=；2cos=；…由上边的式子，我们可以推断：2cos=（n∈N*）14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．【考点】F3：类比推理；8G：等比数列的性质．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．【解答】解：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22， =b14q38，即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．故答案为：15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为56 ．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意知从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第几步是横向的，第几步是纵向的就可以，再进一步只要确定哪几步是横向走，问题转化为数学问题，是一个从八个元素中选三个的一个组合．【解答】解：∵从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走．∴每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2…8步取出5步（横向走）的一个组合，∴从A到B的最短路线共有C85=56条．故答案为：56．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ﹣1 ．【考点】63：导数的运算．【分析】f（x）=sinx+2xf'（），可得f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（），进而得出f'（）．【解答】解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（Ⅰ）设出复数z=x+yi，根据，求出x，y的值，求出z即可；（Ⅱ）设复数z=x+yi，得到关于x，y的方程，整理判断即可．【解答】解：（ I）设，由可得，所以，∴；（ II）设复数z=x+yi，由|Z+2|+|Z﹣2|=8，得，其轨迹是椭圆，方程为．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】（ I）利用的展开式中的通项公式，通过x的幂指数为0，确定常数项求解即可；（Ⅱ）利用赋值法，转化求解表达式的值即可．【解答】（本题满分12分）解：（ I）通项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令20﹣，解得r=8，常数项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6 …第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n…（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n①当n=1时，由已知得原式成立；…②假设当n=k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）k k…那么，当n=k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R）（ I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（ I）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，推出函数f（x）的单调性；（Ⅱ）利用第一问的结果，利用单调性的子集关系推出结果即可．【解答】（本题满分12分）解：（ I）f'（x）=3x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a≤0，f'（x）=3x2﹣a≥0，f（x）在R上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若函数f（x）的递减区间为，递增区间为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）由（1）知，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣（ I）a=2，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（ I）求出导函数，通过a=2，求出极值点，利用单调性判断的极值，然后求函数f （x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a，通过a与﹣的大小，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．【解答】（本题满分12分）解：，x＞0（ I）a=2，当x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，无极小值，（ II）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a若﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若，当，x2≤0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0，x2＞0，函数．﹣﹣﹣﹣﹣22．设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（ III）证明不等式e x≥1+x+．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（ I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值．（ II）φ'（x）=e x﹣a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a ≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a﹣1﹣alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．（ III）设函数通过（1）当x≤0时，判断函数的单调性，（2）当x＞0时，设，构造设h（x）=e x﹣x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．【解答】（本题满分14分）解：（ I）ϕ（x）=e x﹣1﹣x，ϕ'（x）=e x﹣1x＜0时，ϕ'（x）＜0．ϕ（x）递减；x＞0时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）递增ϕ（x）min=ϕ（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）φ'（x）=e x﹣a若a≤0，φ'（x）=e x﹣a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）上没有零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a≤1时，极值点x0=lna≤0，又φ（0）=0，ϕ（x）在（0，+∞）无零点当a＞1时，极值点x0=lna＞0，设g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增所以φ（2a）＞φ（2）=e2﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零点所以，a的取值范围是（1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ III）证明：设函数（1）当x≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，0）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x＞0时，设，设h（x）=e x﹣x，h'（x）=e x﹣1＞0（x＞0）h（x）=e x﹣x在（0，+∞）上递增，∴h（x）＞h（0）=1＞0，即当x＞0时，，f（x）在（0，+∞）上递增，﹣﹣﹣﹣由（1）（2）知，f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。

山东省2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试卷(1)及答案(九校联考)

） C．充要条件
B．必要不充分条件
7．在反证法中，否定结论“至多有两个解”的说法中，正确是（ A．有一个解 D．至少有两个解 B．有两个解 C．至少有三个解
）
8．某医疗机构通过抽样调查（样本容量 n 1000 ），利用2×2列联表和卡方统计量研究肺病是否与吸烟有关．计算得 K 2 4.453 ，经查对临界值表知
f ( x) 1 f ( x)
）
B． y | x | 1
C． y x 2 1
B．1个
第Ⅱ卷（非选择题
共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
-2-
11．已知命题 p : x R, x sin x ，则 p 的否定为．
12．下列程序运行后输出的结果为
第Ⅰ卷（选择题
共50分）
一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的） 1．设复数 z 满足 A． 1
2
1 z i ，则 | z | （ 1 z
） C． 3 D．
2
2．已知全集 U R ，集合 P {x | x 2 1} ，那么 C u P （ A． (,1]
山东省2016-2017学年度下学期期中阶段性检测高二数学（文）试题
注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，共50分；第Ⅱ卷为非选择题，共100分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填写清楚，并用2B铅笔涂写在答题卡上，将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上． 3．答第Ⅱ卷时，须将答题纸密封线内的项目填写清楚，第Ⅱ卷的答案中性笔直接答在答题纸指定的位置上，考试结束后，只交答题卡和第Ⅱ卷答题纸．

三校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)

山东省三校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数所对应的的点在( ）A。

第一象限B。

第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】，故它所表示复平面的的是，故选D. 2。

函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（）A。

（－∞，2） B. （0，3） C. （1，4）D。

（2，＋∞）【答案】D考点：函数导数与单调性3。

用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N＊，n≥2)，由“k到k＋1”时，不等式左端的变化是( ）A. 增加一项B. 增加和两项C。

增加和两项，同时减少一项D。

以上都不对【答案】C.。

.。

..。

.。

考点：数学归纳法4. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（)A。

B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：曲线在点处切线斜率，不妨设，则,因此考点：导数的几何意义；5。

若在上是减函数，则实数的取值范围是（)A。

B。

C。

D.【答案】D【解析】由题意可得，当时，，即恒成立，由于函数在上单调递增，，故选D。

6. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时,应假设( ）A。

三角形的三个内角都不大于60°B。

三角形的三个内角都大于60°C。

三角形的三个内角至多有一个大于60°D. 三角形的三个内角至少有两个大于60°【答案】B【解析】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于”时，应假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于”的否定是:三角形的三个内角都大于,故选B.7. 有一段“三段论"，其推理是这样的“对于可导函数，若,则是函数的极值点，因为函数满足,所以是函数的极值点”，以上推理（）A。

2016-2017年泰安三中、新泰二中、宁阳二中三校联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年山东省泰安三中、新泰二中、宁阳二中三校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数z＝所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）3．（5分）利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对4．（5分）设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]5．（5分）若f（x）＝﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）6．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°7．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确8．（5分）设a＜b，函数y＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．19910．（5分）设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）＝x3﹣mx2+x 在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值D．没有极大值，也没有极小值二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）计算：（e x﹣）dx＝．12．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则＝．13．（5分）曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为．14．（5分）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y＝f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知z是复数，z+2i与均为实数．（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．17．（12分）（1）求证：﹣＜﹣（a＞3）．（2）求由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积．18．（12分）若a1＞0，a1≠1，a n+1＝（n＝1，2，…）．（1）求证：a n+1≠a n；（2）令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n，并用数学归纳法证明．19．（12分）已知x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．20．（13分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．（1）求m的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出（保的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．留1位小数）21．（14分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）＝xlnx在x＝1处的切线与函数g（x）＝﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．2016-2017学年山东省泰安三中、新泰二中、宁阳二中三校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数z＝所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝＝＝﹣i所对应的点在第四象限．故选：D．2．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【解答】解：∵数f（x）＝（x﹣3）e x∴f′（x）＝（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A．3．（5分）利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对【解答】解：当n＝k时，左端＝+++…+，那么当n＝k+1时左端＝++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．4．（5分）设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y＝x2+2x+3，∴y′＝2x 0+2，利用导数的几何意义得2x0+2＝tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．5．（5分）若f（x）＝﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）【解答】解：由题意可得，当x＞1时，f′（x）＝﹣x+a+2+≤0，即a≤x﹣﹣2．由于函数y＝x﹣﹣2在（1，+∞）上单调递增，∴y＞﹣2，∴a≤﹣2，故选：A．6．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．7．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＝x0附近的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．8．（5分）设a＜b，函数y＝（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题，＝（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选：C．9．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．199【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，．故选：C．10．（5分）设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）＝x3﹣mx2+x 在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值D．没有极大值，也没有极小值【解答】解：f′（x）＝x2﹣mx+1，f″（x）＝x﹣m＜0对于x∈（﹣1，2）恒成立．∴m＞（x）max＝2，又当m＝2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m＝2．于是f′（x）＝x2﹣2x+1，由f′（x）＝0，解得x＝2﹣或x＝2+（舍去），f（x）在（﹣1，2﹣）上递增，在（2﹣，2）上递减，则f（x）有极大值，没有极小值．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）计算：（e x﹣）dx＝e2﹣e﹣ln2．【解答】解：（e x﹣）dx＝（e x﹣lnx）＝e2﹣e﹣ln2，故答案为：e2﹣e﹣ln2．12．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则＝1﹣i．【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴，∴．故答案为：1﹣i．13．（5分）曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为﹣2．【解答】解：函数y＝＝1+的导数为y′＝，∴曲线y＝在点（3，2）处的切线斜率为﹣，由﹣×（﹣a）＝﹣1 得，a＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．【解答】解：依题意a n+1＝a n+n（n≥2），a2＝2所以a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，…，a n﹣a n＝n﹣1累加得a n﹣a2＝2+3+…+（n﹣1）＝∴故答案为：15．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y＝f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x＝0和x＝4，函数取得极大值f（0）＝2，f（4）＝2，当x＝2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x＝0和x＝4，函数取得极大值f（0）＝2，f（4）＝2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）＝a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y＝f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y＝f（x）和y＝a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知z是复数，z+2i与均为实数．（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i为实数，∴y＝﹣2．∵＝＝为实数，∴，解得x＝4．则z＝4﹣2i；（2）∵（z+ai）2＝（4﹣2y+ai）2＝（12+4a﹣a2）+8（a﹣2）i在第一象限，∴，解得2＜a＜6．17．（12分）（1）求证：﹣＜﹣（a＞3）．（2）求由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积．【解答】（1）证明：∵∴∴∴（6分）（2）解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S＝＝＝（12分）18．（12分）若a1＞0，a1≠1，a n+1＝（n＝1，2，…）．（1）求证：a n+1≠a n；（2）令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）证明：假设a n+1＝a n，即a n+1＝，解得a n＝0或a n＝1，从而a n＝a n﹣1＝…＝a2＝a1＝0或a n＝a n﹣1＝…＝a2＝a1＝1，这与题设a1＞0或a1≠1相矛盾，所以a n+1＝a n不成立．故a n+1≠a n成立．（2）由题意得，由此猜想：a n＝．①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立，②假设n＝k+1时，a k＝成立，当n＝k+1时，a k+1＝＝＝＝，∴当n＝k+1时，猜想也成立，由①②可知，对一切正整数，都有a n＝成立19．（12分）已知x＝3是函数f（x）＝aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a＝16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞），当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0当x∈（1，3）时，f′（x）＜0所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′（x）＝0所以f（x）的极大值为f（1）＝16ln2﹣9，极小值为f（3）＝32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9＝f（1），f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11＝﹣21＜f （3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y＝b有y＝f （x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．20．（13分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．（1）求m的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出（保的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．留1位小数）【解答】解：（1）因为销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套，所以x ＝4时，y＝21，代入关系式，得，解得m＝10．（2）由（1）可知，套题每日的销售量，所以每日销售套题所获得的利润，从而f'（x）＝12x2﹣112x+240＝4（3x﹣10）（x﹣6）（2＜x＜6）．令f'（x）＝0，得，且在上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数f（x）取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．（14分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）＝xlnx在x＝1处的切线与函数g（x）＝﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+x•＝lnx+1，x＝1时，f′（1）＝1，f（1）＝0，故f（x）在x＝1处的切线方程是：y＝x﹣1，联立，消去y得：x2+（1﹣a）x+1＝0，由题意得：△＝（1﹣a）2﹣4＝0，解得：a＝3或﹣1；（2）由（1）得：f′（x）＝lnx+1，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时，f（x）min＝f（t+）＝（t+）ln（t+），②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时，f（x）min＝f（）＝﹣；③≤t＜t+，即t≥时，f（x）在[t，t+]递增，f（x）min＝f（t）＝tlnt；综上，f（x）min＝；（3）证明：设m（x）＝﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）＝，x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减，可得m（x）max＝m（1）＝﹣，当且仅当x＝1时取到，由（2）得f（x）＝xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x＝时取到，因此x∈（0，+∞）时，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，又两次最值不能同时取到，故对任意x∈（0，+∞），都有成立．。

山东省临沂市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

山东省临沂市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时，假设正确的是A. 假设三内角都不大于60 度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至少有一个大于60度D. 假设三内角至多有二个大于60 度【答案】B【解析】试题分析：由题意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，假设应为“三个内角都大于60°”，故选B．考点：反证法．2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因，故复数对应的点在第三象限，应选答案C。

3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】试题分析：根据定积分的意义，可知所求的封闭图像的面积为，故选C．考点：利用定积分求面积．4. 用数学归纳法证明，的第一个取值应当是A. 1B. 3C. 5D. 10【答案】C【解析】时，成立，时，，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，满足成立，的第一个值是，故选5. 定义一种运算“*”：对于自然数满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1 等于A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.【方法点睛】本题考查叠代法及新定义问题，属于中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6. 若直线与曲线相切，则A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】D【解析】的导数为，设切点，则，又切线方程的斜率为，即，解得，则，故选D.7. 若复数满足其中为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】B【解析】复数满足，设， ,可得，可得，故选B.8. 下列等式中，不正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】对于,正确；对于，不正确；对于，正确；对于，正确，故选B.9. 编号为1，2，3，4，5，6，7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有A. 60种B. 20种C. 10种D. 8种【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有种情况，则不同的开灯方案有10种，故选D．考点：1、排列；2、组合．10. 函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，，故函数图象过原点，可排除A，又∵，故函数的单调区间呈周期性变化，可排除B，且当，，可排除D，故选C.考点：函数的图象.11. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】圆周上每四个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点，所以这些弦在圆内交点最多为个，故选D.12. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；当时，令，或，列表如下：，而，所以存在，使得，存在唯一的零点，且不符合条件，应舍去，当时，，解得或，列表如下：而时，，所以存在，使得，存在唯一的零点，且，所以极小值，化为，综上可知，的取值范围是.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及函数的零点.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13. 设，则 _____．（不用化简）【答案】【解析】，，，故答案为.14. 若，则等于___________.【答案】-4【解析】由，得：，取得：，所以，故，故答案为.15. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_____________（结果用数值表示）．【答案】120【解析】试题分析：由题意得，可采用间接法：从男女组成的中，选出人，共有种不同的选法；其中人中全是男生只有一种选法，故共有种选法．考点：排列、组合的应用．16. 已知是曲线：的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为___________．【答案】【解析】试题分析：因为，故，即，从而得，故切线方程为，与，即与，由平行线间距离公式可得，，故．考点：导数几何意义，平行线间距离．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17. 设复数（,），满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．(1)求复数；(2)若为纯虚数，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由于，可得，又复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，可得，联立即可解得；（2）利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.试题解析：（1）由得………①又复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，则，即，………②由①②联立的方程组得或．∵，∴．（2）由（1）得，.∵为纯虚数，∴.18. 已知函数，．（1）若在处取得极小值，求实数的值；（2）若在区间为增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出导函数，由可得实数的值；（2）在区间为增函数等价于时恒成立，用分离参数法可得结果...................试题解析：（1），由在处取得极小值，得，∴（经检验适合题意）.（2），∵在区间为增函数，∴在区间恒成立，∴恒成立，即恒成立，由于，得.∴的取值范围是.19. 设，，令．（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给函数及递推关系式，进行求出的值，根据其共性可猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，一定注意步骤的规范性以及利用归纳假设的必要性.试题解析：（1）∵，∴，，.（2）猜想：．下面用数学归纳法证明：当时，，猜想成立；假设当时猜想成立，即：，………9分当，.∴当时猜想也成立．由①，②可知，对任意都有成立．【方法点睛】本题通过考查数列的递推公式、归纳推理，数学归纳法的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.20. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当有最大值，且最大值大于时,求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.21. 设，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出的导函数，利用导数的几何意义，能求出曲线在处的切线方程；（2）由导数性质求出，当时，且，设，由此利用导数性质能求出当时，对任意的，恒有成立.试题解析：（1）当时，，，时，，，∴ 曲线在处的切线方程为．（2）对任意的，恒有成立，即，∵，∴，当时，，则为减函数；当时，，则为增函数；又，，，∴，∴恒成立，即恒成立，等价于恒成立，只需求，令，则，且，当时，，，∴，即在区间上为增函数；当时，，，∴，即在区间上为减函数，∴，∴．22. （1）已知椭圆，是椭圆上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点．证明：；（2）对于双曲线写出类似的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设的坐标分别为和，因为线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即，又交点为，故，把点坐标代入，同时把代入椭圆方程，最后联立方程即可得到，关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围；（2）根据椭圆与双曲线的相似性质，由类比推理可得结果.试题解析：（1）设，，由在线段的垂直平分线上，得．由两点在椭圆上，得，，即．∵，∴．∵，又，∴，∴ ．（2）是双曲线上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则.（或）.。

精选2016--2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)

衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. ）C. D.【答案】A集的定义可求。

A。

点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。

意在考查学生的计算求解能力。

2. ，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C，变形得-1,-2），判断点所在象限。

所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。

故选C。

点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。

意在考查学生的转化与计算求解能力。

3. 已知（）B. C. D.【答案】B，再求根据分段函数求。

，所以因为-1<0，所以。

故选B。

点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。

（24. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.C. D.【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。

详解：对于选项A A错；对于选项BB错；对于选项C C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。

故选D。

点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。

5. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B”，那么，故选B。

点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。

山东省17学年高二数学下学期期中(第七次学分认定考试)试题文

山东省2016-2017学年高二数学下学期期中（第七次学分认定考试）试题文本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数1276,47,z i z i =-=-则12z z -=（A ）i +3 （B ）i -3 （C ）i 1311- （D ）i 133-（2）复数z 满足5)2)(3(=--i z (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（A ）i +2 （B ）i -2 （C ）i +5 （D ）i -5（3）已知数列{}n a 中，11=a ，2≥n 时，121-+=-n a a n n ，依次计算2a ，3a ，4a 后，猜想n a 的表达式是（A ）13-n （B ）34-n （C ）2n （D ）13-n （4）若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（A ）4- （B ）54 （C ）4 （D ）54- （5）不等式2|2|2<-x 的解集是（A ）)1,1(- （B ）)2,2(-（C ）)1,0()0,1( - （D ）)2,0()0,2( -（6）若R ,,∈c b a ，且b a >，则下列不等式成立的是（A ）ba 11< （B ）22b a > （C ）1122+>+c b c a （D ）||||c b c a > （7）观察下列各式： ,11,7,4,3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a ，则 =+1010b a（A ）28 （B ）76 （C ）123 （D ）199（8）用数学归纳法证明“)N (122221*12∈-=++++-n n n ”的过程中，第二步k n =时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到（A ）12222211122-=++++++--k k k （B ）11221222221+++-=+++++k k k k （C ）12222211112-=+++++++-k k k （D ）1222221112-=++++++-k k k（9）用反证法证明命题：“N ,∈b a ，若ab 可被5整除，那么b a ,中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（A ）b a ,都能被5整除（B ）b a ,都不能被5整除（C ）b a ,不都能被5整除（D ）a 能被5整除（10）若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是（A ）),2()4,(+∞--∞ （B ）),1()4,(+∞--∞（C ）)2,4(- （D ）]1,4[-（11）设26,37,2-=-==c b a ，则c b a ,,间的大小关系是（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）a c b >> （D ）b c a >>（12）我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a 23，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（A ）a 36 （B ）a 46 （C ）a 33 （D ）a 43 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.（13）若bi a ibi +=-+13(b a ,为实数，i 为虚数单位)，则=+b a ________.（14）已知,0,0>>b a 且0)ln(=+b a ，则ba 11+的最小值是．（15）若关于实数x 的不等式a x x <++-|3||5|无解，则实数a 的取值范围是________．（16）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：第（16）题图将三角形数 ,10,6,3,1记为数列}{n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列}{n b ，可以推测：2017b 是数列}{n a 中的第________项．三、解答题：本大题共6小题，共70分.（17）(本小题满分10分) 在复平面内，复数ii z +=12(i 为虚数单位)的共轭复数z 对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求：（Ⅰ）点A 所在的象限；（Ⅱ）向量对应的复数．（18）(本小题满分12分)设d c b a ,,,均为正数，且d c b a +=+，若cd ab >，证明：（Ⅰ）d c b a +>+；（Ⅱ）||||d c b a -<-．（19）(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(1)(21)n n a n =--．（Ⅰ）求；4321,,,S S S S（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法给出证明．（20）(本小题满分12分)设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：（Ⅰ）31≤++ca bc ab ；（Ⅱ）1222≥++a c c b b a ．（21）(本小题满分12分)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若|4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．（22）(本小题满分12分)已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（Ⅰ）求实数b a ,的值；（Ⅱ）求bt at ++12的最大值．2015级第七次学分认定考试参考答案一、选择题二、填空题13.3 14.4 15.8≤a 16.5044三、解答题17. 解：在复平面内，复数z ＝ii +12(i 为虚数单位)的共轭复数z －对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求：（Ⅰ）点A 所在的象限；（Ⅱ）向量 OB → 对应的复数．解：（Ⅰ）z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以点A (1，－1)位于第四象限．……………5分（Ⅱ）又点A ，B 关于原点O 对称．∴点B 的坐标为B (－1,1)．因此向量OB →对应的复数为－1＋i ．……………10分18. 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，若ab ＞cd ，证明：（Ⅰ）a ＋b ＞c ＋d ；（Ⅱ）|a －b |＜|c －d |．证明：（Ⅰ）因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .……………………6分（Ⅱ）(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.……………………12分19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(1)(21)n n a n =--，（Ⅰ）求1234S S S S 、、、；（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法给出证明.解：（1）1234253574S S S S =-=--+==-1=-1+3=-1+3=-1+3……………………………………（4分）（Ⅱ）猜想(1)n n S n =-，证明如下：（1）当1n =时，由(1)得结论成立； ……………………………………（5分）（2）假设当n k =时，结论成立，即()()()13571211k k k k -+-+++--=- …………………（6分）那么，当1n k =+时，左边()()()()11357121121k k k k +=-+-+++--+-+()()()()()()()111112112111k k k k k k k k k +++=-+-+=--++=-+。

山东省三校高二数学下学期期中联考试题含解析

山东省三校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数所对应的的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，故它所表示复平面的的是，故选D.2. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A. (－∞，2)B. (0,3)C. (1,4)D. (2，＋∞)【答案】D考点：函数导数与单调性3. 用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，n≥2)，由“k到k＋1”时，不等式左端的变化是( )A. 增加一项B. 增加和两项C. 增加和两项，同时减少一项D. 以上都不对【答案】C..................考点：数学归纳法4. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：曲线在点处切线斜率，不妨设，则，因此考点：导数的几何意义；5. 若在上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，当时，，即恒成立，由于函数在上单调递增，，故选D.6. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )A. 三角形的三个内角都不大于60°B. 三角形的三个内角都大于60°C. 三角形的三个内角至多有一个大于60°D. 三角形的三个内角至少有两个大于60°【答案】B【解析】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于”的否定是：三角形的三个内角都大于，故选B.7. 有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数，若，则是函数的极值点，因为函数满足，所以是函数的极值点”，以上推理（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 没有错误【答案】A【解析】对于可导函数，如果，且满足当时和当时的导函数值异号时，那么是函数的极值点，而大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，所以大前提错误，故选A.8. 设＜b,函数的图像可能是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】根据函数的解析式可以知道，函数在和处和轴有交点，且在时，函数值大于零，在时，函数值小于或等于零，符合以上条件的只有项，故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.9. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A. 28B. 76C. 99D. 123【答案】D【解析】观察各等式的右边，它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…故a10＋b10＝123.10. 设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上( )A. 既有极大值，也有极小值B. 有极大值，没有极小值C. 没有极大值，有极小值D. 没有极大值，也没有极小值【答案】B【解析】试题分析：由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．考点：新定义,函数的极值．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11. 计算： _________【答案】【解析】，故答案为.12. 设复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数_________【答案】【解析】由，得，故答案为.13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于_________【答案】【解析】试题分析：，∴，又因为在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴.考点：导数的运用.14. 如图，它满足：①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行第2个数是_________【答案】【解析】设第行行的第二个数构成数列，则有，相加得，，故答案为.【方法点睛】本题通过观察数字图形，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15. ．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是_________ ．【答案】①②⑤【解析】试题分析：由导函数的图象可知，所以①错，②正确。

山东省高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．342．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．3． =（）A．B．C．D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．845．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．46．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．510．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．1011．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10）．19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R）（ I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣（ I）a=2，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．22．设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（ III）证明不等式e x≥1+x+．2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．34【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】直接利用组合数公式求解即可．【解答】解： ==3+6+10+15=34．故选：D．2．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】通过设z=a+bi，可得=a﹣bi，利用（1+i）=（1﹣i）2，可得=﹣1﹣i，进而可得结论．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵（1+i）=（1﹣i）2，∴=======﹣1﹣i，∴z=﹣1+i，∴|z|==，故选：C．3． =（）A．B．C．D．【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数公式计算即可．【解答】解： ===．故选：D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：的展开式中通项公式：T r+1=x9﹣r=（﹣1）r x9﹣2r，令9﹣2r=3，解得r=3．∴x3的系数=﹣=﹣84．故选：C．5．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．4【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按女生的数目分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，有C43C21=8种情况，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，有C42C22=6种情况，则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+6=14种；故选：A．6．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：∵a2﹣1+2（a+1）i为纯虚数，则a2﹣1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的充要条件，故选：A．7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，判断导函数的值域，即可判断选项．【解答】解：，可得f′（x）=2cos（2x+）∈[﹣2，2]，因为4∉[﹣2，2]，所以y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是：4．故选：D．8．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求函数f（x）=e x cosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．故选C．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．5【考点】D3：计数原理的应用．【分析】本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，二类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可【解答】解：由题意将问题分为两类求解第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为A21×A31=6种第二类，若乙与丙在B社区，则A社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为A31=3种故不同的安排种数是6+3=9种故选B10．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．10【考点】67：定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；【解答】解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）根据题意画出图形，曲线y=x3﹣3x和直线y=x围成图形的面积S=2 [x﹣（x3﹣3x）]dx=2（4x﹣x3）dx=2（2x2﹣x4）|=2（8﹣4）=8，故选：B．11．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】借助导数知识，根据（x﹣1）f′（x）＜0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣1）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）为增函数∴f（0）＜f（1），f（2）＜f（1）∴f（0）+f（2）＜2f（1）故选：A．12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…【考点】F1：归纳推理．【分析】根据半角公式可证明已知的三个等式，再由题意，观察各式可得其规律，用n将规律表示出来一般性结论．【解答】证明：∵cos=，∴2cos=；2cos=2=2cos=2=，观察下列等式：2cos=；2cos=；2cos=；…由上边的式子，我们可以推断：2cos=（n∈N*）14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．【考点】F3：类比推理；8G：等比数列的性质．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．【解答】解：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22， =b14q38，即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．故答案为：15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为56 ．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意知从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第几步是横向的，第几步是纵向的就可以，再进一步只要确定哪几步是横向走，问题转化为数学问题，是一个从八个元素中选三个的一个组合．【解答】解：∵从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走．∴每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2…8步取出5步（横向走）的一个组合，∴从A到B的最短路线共有C85=56条．故答案为：56．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ﹣1 ．【考点】63：导数的运算．【分析】f（x）=sinx+2xf'（），可得f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（），进而得出f'（）．【解答】解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（Ⅰ）设出复数z=x+yi，根据，求出x，y的值，求出z即可；（Ⅱ）设复数z=x+yi，得到关于x，y的方程，整理判断即可．【解答】解：（ I）设，由可得，所以，∴；（ II）设复数z=x+yi，由|Z+2|+|Z﹣2|=8，得，其轨迹是椭圆，方程为．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】（ I）利用的展开式中的通项公式，通过x的幂指数为0，确定常数项求解即可；（Ⅱ）利用赋值法，转化求解表达式的值即可．【解答】（本题满分12分）解：（ I）通项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令20﹣，解得r=8，常数项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6 …第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n…（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n①当n=1时，由已知得原式成立；…②假设当n=k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）k k…那么，当n=k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R）（ I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（ I）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，推出函数f（x）的单调性；（Ⅱ）利用第一问的结果，利用单调性的子集关系推出结果即可．【解答】（本题满分12分）解：（ I）f'（x）=3x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a≤0，f'（x）=3x2﹣a≥0，f（x）在R上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若函数f（x）的递减区间为，递增区间为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）由（1）知，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣（ I）a=2，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（ I）求出导函数，通过a=2，求出极值点，利用单调性判断的极值，然后求函数f （x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a，通过a与﹣的大小，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．【解答】（本题满分12分）解：，x＞0（ I）a=2，当x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，无极小值，（ II）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a若﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若，当，x2≤0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0，x2＞0，函数．﹣﹣﹣﹣﹣22．设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（ III）证明不等式e x≥1+x+．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（ I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值．（ II）φ'（x）=e x﹣a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a ≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a﹣1﹣alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．（ III）设函数通过（1）当x≤0时，判断函数的单调性，（2）当x＞0时，设，构造设h（x）=e x﹣x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．【解答】（本题满分14分）解：（ I）ϕ（x）=e x﹣1﹣x，ϕ'（x）=e x﹣1x＜0时，ϕ'（x）＜0．ϕ（x）递减；x＞0时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）递增ϕ（x）min=ϕ（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）φ'（x）=e x﹣a若a≤0，φ'（x）=e x﹣a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）上没有零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a≤1时，极值点x0=lna≤0，又φ（0）=0，ϕ（x）在（0，+∞）无零点当a＞1时，极值点x0=lna＞0，设g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增所以φ（2a）＞φ（2）=e2﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零点所以，a的取值范围是（1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ III）证明：设函数（1）当x≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，0）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x＞0时，设，设h（x）=e x﹣x，h'（x）=e x﹣1＞0（x＞0）h（x）=e x﹣x在（0，+∞）上递增，∴h（x）＞h（0）=1＞0，即当x＞0时，，f（x）在（0，+∞）上递增，﹣﹣﹣﹣由（1）（2）知，f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。

山东省2016-2017学年高二数学下学期期中(第七次学分认定考试)试题理(含解析)

山东省2016-2017学年高二数学下学期期中（第七次学分认定考试）试题理（含解析）说明:（1）考试时间120分钟，满分150分（2）将答案填写在答题卡上第I卷（60分）一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1. =( )A. 31B. 32C. 33D. 34【答案】D【解析】本题选择D选项.2.为虚数单位，，则=（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】本题选择C选项.3. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4. 的展开式中的系数为（）A. -36B. 36C. -84D. 84【答案】C【解析】的展开式中通项公式为：，令9-2r=3，得r=3，所以的系数为本题选择C选项.5. 某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所选的四人中至少有一名女生的选法为本题选择A选项.6. “”是“复数（）为纯虚数”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】复数（）为纯虚数，则所以“”是“复数（）为纯虚数”的充要条件。

本题选择A选项.7. 设是图象上任一点，图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】，而∴图象在P点处的切线的斜率不可能是4。

本题选择D选项.点睛：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．8. 函数在点处的切线斜率为（）A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】，所以函数在点处的切线斜率为1.本题选择C选项.9. 六名同学安排到 3 个社区A，B，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为( )A. 12B. 9C. 6D. 5【答案】B【解析】略10. 曲线和直线所围成图形的面积是（）A. 4B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】曲线y=x3-3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（-2，-2），根据题意画出图形，曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形的面积本题选择B选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．11. 对于上可导的函数,若满足,则必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵对于R上可导的任意函数f(x),(x−1)f′(x)>0∴有，即当x∈(1,+∞)时,f(x)为减函数，当x∈(−∞,1)时,f(x)为增函数∴f(0)<f(1),f(2)<f(1)∴f(0)+f(2)<2f(1)本题选择A选项.12. 两位男生和三位女生共五位同学站成一排，若男生甲不站两端，三位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A. 60B. 48C. 42D. 36【答案】B【解析】甲站在第二个位置,则有种；甲站在第三个位置,则有种；.....................根据加法原理，不同的排法种数是48种本题选择B选项.第II卷（90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 从下列等式中归纳出一个一般性的结论．；；________________________________ .【答案】【解析】观察等式，我们可以推断：14. 设等差数列的前项和为，则成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，________，________，成等比数列．【答案】 (1). (2).【解析】试题分析：当数列是等差数列时成立，所以由类比推理可得：当数列是等差数列时应为.考点：类比推理.15. 如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为_______________.【答案】56【解析】∵从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走。

山东省济南市高二数学下学期期中试卷文(含解析)

2016-2017学年山东省济南高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=+2i对应的点在（）A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限内2．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤2，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B． C．{0，2} D．{0，1，2}3．设函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+2）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．命题“∀x∈R，＞0”的否定是（）A．∃x∈R，B．∀x∈R，C．∀x∈R，D．∃x∈R，5．若二次函数g（x）满足g（1）=1，g（﹣1）=5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2x2﹣3x B．g（x）=3x2﹣2x C．g（x）=3x2+2x D．g（x）=﹣3x2﹣2x6．已知函数f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x2，则fA．﹣2 B．2 C．﹣98 D．988．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或29．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）11．在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：912．已知点P在曲线y=上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（）A．上的单调性．19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（1）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．20．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．22．已知函数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若∀x∈（﹣2，0），f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=+2i对应的点在（）A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限内【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z=+2i对应的点（，2）即可得出结论．【解答】解：复数z=+2i对应的点（，2）在第一象限．故选：A．2．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤2，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B． C．{0，2} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出两集合中其他不等式的解集，确定出两集合，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的不等式|x|≤2，解得：﹣2≤x≤2，所以集合A=，由集合B中的不等式≤2，解得：0≤x≤4，又x∈Z，所以集合B={0，1，2，3，4}，则A∩B={0，1，2}．故选D3．设函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+2）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）为R上增函数⇒∀x∈R，f（x+2）＞f（x），反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）为R上增函数⇒∀x∈R，f（x+2）＞f（x），反之不成立．∴“∀x∈R，f（x+2）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件．故选：B．4．命题“∀x∈R，＞0”的否定是（）A．∃x∈R，B．∀x∈R，C．∀x∈R，D．∃x∈R，【考点】2J：命题的否定．【分析】运用全称命题的否定为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，＞0”的否定“∃x∈R，≤0”，故选：D．5．若二次函数g（x）满足g（1）=1，g（﹣1）=5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2x2﹣3x B．g（x）=3x2﹣2x C．g（x）=3x2+2x D．g（x）=﹣3x2﹣2x【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】设出函数的解析式，利用已知条件列出方程，求解即可．【解答】解：二次函数g（x）满足g（1）=1，g（﹣1）=5，且图象过原点，设二次函数为：g（x）=ax2+bx，可得：，解得a=2，b=﹣2，所求的二次函数为：g（x）=3x2﹣2x．故选：B．6．已知函数f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】首先对a分类讨论，a=0与a≠0两种情况；当a≠0，需要结合一元二次函数开口与对称轴分析；【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣12x+5为一次函数，k＜0说明f（x）在（﹣∞，3）上是减函数，满足题意；当a＞0时，f（x）为一元二次函数，开口朝上，要使得f（x）在（﹣∞，3）上是减函数，需满足：⇒0＜a≤当a＜0时，f（x）为一元二次函数，开口朝下，要使得f（x）在（﹣∞，3）上是减函数是不可能存在的，故舍去．综上，a的取值范围为：故选：A7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x2，则fA．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98【考点】3T：函数的值．【分析】推导出当x∈（0，2）时，f（x）=﹣2x2，f=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x2，当x∈（0，2）时，f（x）=﹣2x2，∴f=f（1）=﹣2×12=﹣2．故选：A．8．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=2．故选：B．9．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．10．函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】先求出f（e）=0，结合函数的单调性，从而得到函数的零点所在的区间．【解答】解：∵f（e）=lne﹣1=0，f（x）在（0，+∞）递增，而2＜e＜3，∴函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间是（2，3），故选：C．11．在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：9【考点】F3：类比推理．【分析】由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8故选C．12．已知点P在曲线y=上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（）A．上的单调性．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】由条件可设﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知解析式，即可得到所求f（x）的解析式，由二次函数的单调性，即可得到所求单调性．【解答】解：当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，故f（x+1）=（x+1）（1﹣x﹣1）=﹣x（x+1），又f（x+1）=2f（x），所以．则，可得f（x）在单调递增，单调递减，在单调递增，在[，1]单调递减．19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（1）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）因为f（﹣2）=1，得b=2a．由方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b2﹣4a=0，得a=1，b=2，故可求得f（x）=（x+1）2．（2）先根据已知求得g（x）=，故可由二次函数的图象和性质求得实数k的取值范围．【解答】解：（1）因为f（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a．因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b2﹣4a=0．所以4a2﹣4a=0．即a=1，b=2．所以f（x）=（x+1）2．（2）因为g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2﹣（k﹣2）x+1=．所以当或时，即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数．20．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【考点】3F：函数单调性的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．22．已知函数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若∀x∈（﹣2，0），f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）问题转化为在（﹣2，0）恒成立，令（﹣2＜x＜0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f'（x）=（x+1）e x，∴切线的斜率k=f'（1）=2e，又f（1）=e，y=f（x）在点（1，e）处的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e=0．（Ⅱ）∵对∀x∈（﹣2，0），f（x）≤0恒成立，∴在（﹣2，0）恒成立，令（﹣2＜x＜0），，当﹣2＜x＜﹣1时，g'（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，∴，故实数a的取值范围为．（Ⅲ）f'（x）=（x+1）（e x﹣a）．令f'（x）=0，得x=﹣1或x=lna，①当时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上单调递增；②当时，lna＜﹣1，由f'（x）＞0，得x＜lna或x＞﹣1；由f'（x）＜0，得lna＜x＜﹣1．∴f（x）单调递增区间为（﹣∞，lna），（﹣1，+∞）；单调减区间为（lna，﹣1）．③当时，lna＞﹣1，由f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞lna；由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜lna．∴f（x）单调增区间为（﹣∞，﹣1），（lna，+∞），单调减区间为（﹣1，lna）．综上所述：当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）单调增区间为（﹣∞，lna），（﹣1，+∞），单调减区间为（lna，﹣1）；当时，f（x）单调增区间为（﹣∞，﹣1），（lna，+∞），单调减区间为（﹣1，lna）．。

2022-2023学年山东省青岛十七中高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省青岛十七中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数为s(t)=−13t3−4t2+20t+15，则s'（1）的实际意义为（）A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移2．(√x3−3√x)6的展开式的中间一项的二项式系数为（）A．15B．20C．﹣15D．﹣203．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.6，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.14．已知一组样本点（x i，y i），其中i＝1，2，3，…，30，根据最小二乘法求得的回归直线方程是y=b x+a，则下列说法正确的是（）A．若所有样本点都在回归直线方程y=b x+a上，则变量间的相关系数为1B．至少有一个样本点落在回归直线方程y=b x+a上C．对所有的x i（i＝1，2，3，…，30），预测值b x i+a一定与实际值y i有误差D．若y=b x+a的斜率b＞0，则变量x与y正相关5．曲线f（x）＝﹣x3+3x2在点（1，f（1））处的切线截圆x2+（y+1）2＝4所得弦长为（）A．4B．2√2C．2D．√26．6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（）A．360种B．180种C．720种D．450种7．已知函数f（x）＝ln（x﹣1）+x﹣2存在零点m，函数g（x）＝x2﹣ax﹣a﹣4存在零点n，且|m﹣n|≤2，则实数a的取值范围是（）A．[−2，125]B．[0，4]C．[−2，85]D．[−4，125]8．盲盒里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（）A ．16B ．110C ．37D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 的分布列如表，且E （X ）＝2，则下列说法正确的是（）A ．m =12，n =16B ．m =13，n =13C ．D （X ）=23D ．D （X ）=1210．已知函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f '（x ）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．f （x 1）＜f （x 2）B ．f （x 3）＜f （x 2）C ．f （x ）在区间（a ，b ）内有2个极值点D ．f （x ）的图象在点x ＝0处的切线的斜率大于0 11．下列说法正确的是（）A ．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好B ．若随机变量X ～B(9，13)，则D （2X +1）＝5C ．现安排A ，B ，C 三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种D ．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率C 51C 143C 15412．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且f （x ）+（x 2+x ）f '（x ）＜0恒成立，则（） A ．4f （2）＜3f （1） B ．8f （2）＞9f （3）C ．3f （3）＞2f （1）D ．15f （3）＜16f （4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （度）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y =b x +a ，若b =−2，则a = ． 14．已知（x ﹣1）4（3x +2）3＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 1+a 2+⋯+a 7＝．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P （B |A ）＝．16．已知函数f(x)={12−|x −32|(x ≤2)ex−2(−x 2+8x −12)(x ＞2)，若在区间（1，+∞）上存在n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n成立，则n 的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．（Ⅰ）根据题意分别求出m ，n ，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？（Ⅱ）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；设抽取的3名选手中女生的人数为X ，求X 的分布列和期望．附表：K 2=n(ab−bc)2(a+b)×(c+d)×(a+c)×(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（12分）5G 网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G 网络正在大面积铺开．A 市某调查机构为了解市民对该市5G 网络服务质量的满意程度，从使用了5G 手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示．（1）由直方图可认为A 市市民对5G 网络满意度得分Z （单位：分）近似地服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得s ＝14.31．若A 市恰有2万名5G 手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间（41.88，84.81]的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为13．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望．参考数据：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），即Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545．19．（12分）已知函数f（x）＝alnx，g（x）＝mx2+x．（1）若x＝1和x＝2是F（x）＝f（x）﹣g（x）的极值点，求实数a，m的值；（2）当a＝1且x∈[1，e]时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）某科技公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，对近10年研发资金投入量x i和销售额y i（i＝1，2，⋯，10）数据作了初步处理，得到如图的散点图．（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝e c+dx哪一个适宜作为年销售额y关于年研发资金投入量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）①根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（精确到0.001）；②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），⋯，（μn，v n），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑(μi−μ)ni=1(v i−v)∑n i=1(μi−μ)2，α=v−βμ．参考数据：其中w＝lny，ln90≈4.50．21．（12分）某医药开发公司实验室有n（n∈N*）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．（1）假设n＝5，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；（2）现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P（0≤P≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η•（i）若ξ与η的期望相等．试求P关于n的函数解析式P＝f（n）；（ii）若P=1−e−14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n的最大值．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7＝1.95．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝lnx．（1）设h（x）＝f（2x）﹣3x，求函数h（x）的极值；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0，使得函数y＝g（x）的图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与函数y＝f（x）的图象也相切；（3）设φ(x)=g(x)+ax+26√x+x2−ax，对于任意a∈（2，4），总存在x∈[32，2]，使φ（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．2022-2023学年山东省青岛十七中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移（单位：m ）关于时间（单位：s ）的函数为s(t)=−13t 3−4t 2+20t +15，则s '（1）的实际意义为（） A ．汽车刹车后1s 内的位移B ．汽车刹车后1s 内的平均速度C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1s 时的位移解：因为位移关于时间的函数为s(t)=−13t 3−4t 2+20t +15，则s '（t ）的实际意义为t 时刻的瞬时速度，故s '（1）的实际意义为汽车刹车后1s 时的瞬时速度．故选：C ．2．(√x3−3√x )6的展开式的中间一项的二项式系数为（）A ．15B ．20C ．﹣15D ．﹣20解：(√x 3√x )6的展开式共7项，中间一项是第4项，其二项式系数是C 63=6×5×43×2×1=20．故选：B ．3．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），且P （ξ＜2）＝0.6，则P （0＜ξ＜2）等于（） A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1解：∵曲线关于直线x ＝1对称，P （ξ＜2）＝0.6，∴P （ξ≥2）＝P （ξ≤0）＝0.4，故P （0＜ξ＜2）＝1﹣0.4﹣0.4＝0.2．故选：C ．4．已知一组样本点（x i ，y i ），其中i ＝1，2，3，…，30，根据最小二乘法求得的回归直线方程是y =b x +a ，则下列说法正确的是（）A ．若所有样本点都在回归直线方程y =b x +a 上，则变量间的相关系数为1B ．至少有一个样本点落在回归直线方程y =b x +a 上C ．对所有的x i （i ＝1，2，3，…，30），预测值b x i +a 一定与实际值y i 有误差D ．若y =b x +a 的斜率b ＞0，则变量x 与y 正相关解：选项A ，若所有样本点都在直线y =b x +a 上，则变量间的相关系数r 的绝对值为1，相关系数r ＝±1，故A 错误；选项B ，经验回归直线必过样本点的中心，但样本点可能都不在经验回归直线上，故B 错误；选项C ，样本点可能在直线y =b x +a 上，即可以存在x i ；对应的预测值b x i +a 与实际值y i 没有误差，故C 错误；选项D ，相关系数r 与b 符号相同，若y =b x +a 的斜率b ＞0，则r ＞0，样本点的分布从左至右上升，变量x 与y 正相关，故D 正确．故选：D ．5．曲线f （x ）＝﹣x 3+3x 2在点（1，f （1））处的切线截圆x 2+（y +1）2＝4所得弦长为（） A ．4B ．2√2C ．2D ．√2解：∵曲线y ＝﹣x 3+3x 2，∴y ′＝﹣3x 2+6x ，∴切线方程的斜率为：k ＝y ′|x ＝1＝﹣3+6＝3，又因为曲线y ＝﹣x 3+3x 2过点（1，2）∴切线方程为：y ﹣2＝3（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣1＝0，圆心到直线的距离d ＝0，∴切线截圆x 2+（y +1）2＝4所得弦长为4．故选：A ．6．6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（） A ．360种B ．180种C ．720种D ．450种解：每个舱各安排2人，共有C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有C 63C 32C 11A 33=360（种）不同的方案．所以共有90+360＝450（种）不同的安排方案．故选：D ．7．已知函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+x ﹣2存在零点m ，函数g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣4存在零点n ，且|m ﹣n |≤2，则实数a 的取值范围是（） A ．[−2，125]B ．[0，4]C ．[−2，85]D ．[−4，125]解：函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+x ﹣2在（1，+∞）上单调递增，f （2）＝0+2﹣2＝0，函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+x ﹣2存在零点m ，所以，m ＝2，由|m ﹣n |≤2，可得|2﹣n |≤2，得0≤n ≤4，g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣4存在零点n ，即方程a =x 2−4x+1在[0，4]有解，令ℎ(x)=x 2−4x+1(0≤x ≤4)，则ℎ′(x)=x 2+2x+4(x+1)2＞0．所以h （x ）在[0，4]单调递增，则ℎ(x)=x 2−4x+1(0≤x ≤4)的值域为[−4，125]，则实数a 的取值范围是[−4，125]．故选：D ．8．盲盒里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（） A ．16B ．110C ．37D ．17解：设B ＝“取出的球全是绿球”，A i ＝“掷出i （i ＝1，2，3）点”，则P(A i )=16，又因为从盲盒里每次取出i 个球的所有取法是C 7i ，即基本事件总数为C 7i ，而从袋中每次取出i 个绿球的所有取法是C 3i ，即事件所含基本事件数为C 3i ，所以掷出i 点，取出的球全是绿球的概率为P(B|A i )=C 3iC 7i ，所以P(B)=∑ 3i=1P(A i )P(B|A i )=16×(C 31C 71+C 32C 72+C 33C73)=16×(37+17+135)=110．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 的分布列如表，且E （X ）＝2，则下列说法正确的是（）A ．m =12，n =16B ．m =13，n =13C ．D （X ）=23D ．D （X ）=12解：由随机变量X 的分布列，知：m +n +13=1…①， E （X ）＝2，可得m +2n +3×13=2…② 解得m ＝n =13，D （X ）=13[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]=23，故选：BC ．10．已知函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f '（x ）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．f （x 1）＜f （x 2）B ．f （x 3）＜f （x 2）C ．f （x ）在区间（a ，b ）内有2个极值点D ．f （x ）的图象在点x ＝0处的切线的斜率大于0 解：由导函数的图象可知，函数在区间（x 1，x 2），（x 2，x 3）上均单调递增，故f （x 3）＞f （x 2）＞f （x 1），选项A 正确，选项B 错误，导函数的图象在区间（a ，b ）上有两个零点，故原函数有2个极值点，选项C 正确； f ′（0）＞0，故f （x ）的图象在点x ＝0处的切线斜率大于0，选项D 错误．故选：AC ．11．下列说法正确的是（）A ．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好B ．若随机变量X ～B(9，13)，则D （2X +1）＝5C ．现安排A ，B ，C 三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种D ．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率C 51C 143C 154解：对于A ：由残差的概念知，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故A 正确；对于B ：由随机变量X ～B(9，13)得D(X)=np(1−p)=9×13×23=2，则D （2X +1）＝4D （X ）＝8，故B 错误；对于C ：由题可知，所有可能的方法有53种，工厂甲没有同学去的方法有43种，所有工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有53﹣43＝61种，故C 正确；对于D ：从10名男生、5名女生中随机选取4人，没有女生的概率为C 104C 154=213，故至少有一名女生的概率为1113，又C 51C 143C 154=43≠1113，故D 错误．故选：AC ．12．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且f （x ）+（x 2+x ）f '（x ）＜0恒成立，则（） A ．4f （2）＜3f （1） B ．8f （2）＞9f （3）C ．3f （3）＞2f （1）D ．15f （3）＜16f （4）解：令g(x)=xf(x)x+1(x ＞0)，则g ′(x)=[f(x)+xf′(x)](x+1)−xf(x)(x+1)2=f(x)+(x 2+x)f′(x)(x+1)2，因为f （x ）+（x 2+x ）f '（x ）＜0恒成立，所以g '（x ）＜0恒成立，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以g （1）＞g （2）＞g （3）＞g （4），即f(1)2＞2f(2)3＞3f(3)4＞4f(4)5，所以4f （2）＜3f （1），故A 正确；8f （2）＞9f （3），故B 正确； 3f （3）＜2f （1），故C 错误； 15f （3）＞16f （4）故D 错误．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （度）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y =b x +a ，若b =−2，则a = 60 ．解：x =14×（18+13+10﹣1）＝10，y =14（24+34+38+64）＝40，代入回归直线方程，y =b x +a ，若b =−2，解得a =60，故答案为：60．14．已知（x ﹣1）4（3x +2）3＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 7x 7，则a 1+a 2+⋯+a 7＝ ﹣8 ．解：令x ＝0，则a 0=(0−1)4×(0+2)3=8，令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 7=(1−1)4×(3+2)3=0，所以a 0+a 1+a 2+⋯+a 7＝0﹣a 0＝﹣8．故答案为：﹣8．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P （B |A ）＝34．解：P(A)=C 32+C 22C 52=410=25，P(AB)=C 32C52=310．由条件概率公式得P(B|A)=P(AB)P(A)=31025=34．故答案为：34．16．已知函数f(x)={12−|x −32|(x ≤2)ex−2(−x 2+8x −12)(x ＞2)，若在区间（1，+∞）上存在n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n成立，则n 的最大值为 4 ．解：设得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n=k ，则方程f(x)x=k 有n 个根，即方程f （x ）＝kx 有n 个根，f （x ）={x −1，x ≤32−x +2，32＜x ≤2e x−2(−x 2+8x −12)，x ＞2，∴f （x ）在（1，32）上单调递增，在（32，2）上单调递减，当x ＞2时，f '（x ）＝e x ﹣2（﹣x 2+8x ﹣12）+e x ﹣2（﹣2x +8）＝e x ﹣2（﹣x 2+6x ﹣4），设g （x ）＝﹣x 2+6x ﹣4（x ＞2），令g （x ）＝0得，x ＝3+√5，∴当x ∈（2，3+√5）时，g （x ）＞0，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（3+√5，+∞）时，g （x ）＜0，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，作出y ＝f （x ）与y ＝kx 的大致图像，如图所示，由图像可知，f （x ）＝kx 的交点个数可能为0，1，2，3，4，又因为n ≥2，所以n 的值为2，3，4，所以n 的最大值为4．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．（Ⅰ）根据题意分别求出m，n，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？（Ⅱ）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和期望．附表：K2=n(ab−bc)2(a+b)×(c+d)×(a+c)×(b+d)，其中n＝a+b+c+d．解：（Ⅰ）从某地区抽取男女游戏玩家各200名，结合列联表，可得m＝160，n＝60，K2=400(40×140−160×60)2200×200×100×300≈5.333＜6.635，所以没有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关（Ⅱ）根据分层抽样的特征10人中男女各5人，女生的人数X的所有取值为0，1，2，3；P(X=0)=C53C103=112，P(X=1)=C51C52C103=512，P(X=2)=C52C51 C103=512，P(X=3)=C53C103=112；所以X的分布列为E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32．18．（12分）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开．A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示．（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本的标准差s，并已求得s＝14.31．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间（41.88，84.81]的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为13．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望．参考数据：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），即Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545．解：（1）由题意可知，平均数为x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5，故μ=x=70.5，∵σ＝s＝14.31，∴（μ﹣2s，u+s]＝（41.88，84.81]，∵P（μ﹣2s＜Z≤μ+s）=12P(μ﹣σ＜Z≤μ+σ）+12(μ−2σ＜Z≤μ+2σ)=0.8186，故2万名5G手机用户中满意度得分位于区间[41.88，84.81]的人数约为20000×0.8186＝16372（人）．（2）由题意可知，X所有可能取值为0，100，200，300，P（X＝0）=23，P（X＝100）=13×23=29，P（X＝200）=13×13×23=227，P（X＝300）=13×13×13=127，故E（X）=0×23+29×100+227×200+127×300=130027．19．（12分）已知函数f（x）＝alnx，g（x）＝mx2+x．（1）若x＝1和x＝2是F（x）＝f（x）﹣g（x）的极值点，求实数a，m的值；（2）当a＝1且x∈[1，e]时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝alnx ﹣mx 2﹣x （x ＞0），得F ′(x)=ax−2mx −1(x ＞0)，因为x ＝1和x ＝2是F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的极值点，所以{F ′(1)=a −2m −1=0F′(2)=a 2−4m −1=0，解得{a =23m =−16，所以F(x)=23lnx +16x 2−x(x ＞0)， F(x)=23x +13x −1=x 2−3x+23x =(x−1)(x−2)3x(x ＞0)，当0＜x ＜或x ＞2时，F （x ）＞0，当1＜x ＜2时，F （x ）＜0，所以x ＝1是函数的极大值点，x ＝2是函数的极小值点，所以a =23，m =−16，（2）由f （x ）≥g （x ），得lnx ≥mx 2+x 在x ∈[1，e ]上恒成立，所以m ≤lnx−xx 2在x ∈[1，e ]上恒成立，令ℎ(x)=lnx−xx 2，x ∈[1，e]，则ℎ′(x)=(1x −1)x 2−2x(lnx−x)x 4=1+x−2lnx x 3，令φ（x ）＝1+x ﹣2lnx ，x ∈[1，e ]，则φ(x)=1−2x =x−2x，当1≤x ＜2时，φ（x ）＜0，当2＜x ≤e 时，φ（x ）＞0，所以φ（x ）在1，2）上递减，在（2，e ]上递增，所以φ（x ）min ＝φ（2）＝3﹣2ln 2＝3﹣ln 4＞0，所以h ′（x ）＞0，所以h （x ）在x ∈[1，e ]上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(1)=ln1−11=−1，所以m ≤﹣1，即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）某科技公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，对近10年研发资金投入量x i 和销售额y i （i ＝1，2，⋯，10）数据作了初步处理，得到如图的散点图．（1）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝e c +dx 哪一个适宜作为年销售额y 关于年研发资金投入量x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）①根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（精确到0.001）； ②若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 约为多少亿元？附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），⋯，（μn，v n），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑(μi−μ)ni=1(v i−v)∑n i=1(μi−μ)2，α=v−βμ．参考数据：其中w＝lny，ln90≈4.50．解：（1）由散点图趋势可知，y＝e c+dx适宜作为年销售量额y关于年研发资金投入量x的回归方程类型．（2）①由y＝e c+dx，得lny＝dx+c，即w＝dx+c d=∑(x i−x)10i=1(w i−w)∑10i=1(x i−x)2=58.21900≈0.065，c=w−d x=3.2−0.065×20=1.9，则w关于x的回归方程为w=0.065x+1.9；所以lny=0.065x+1.9，即y=e0.065x+1.9，②若下一年销售额y需达到90亿元，则由y=e0.065x+1.9=90，得0.065x+1.9＝ln90≈4.5，x≈4.5−1.90.065=40，所以预测下一年的研发资金投入量约为40亿元．21．（12分）某医药开发公司实验室有n（n∈N*）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．（1）假设n＝5，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤P ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η•（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．解：（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ， “第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ， “前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥， ∴P （A ）＝P （B ）+P （C ）=A 21A 21A 31A 53+A 33A 53=310．（2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1， P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，∴E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[1﹣（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），得n ＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，∴P ＝1−(1n)1n ，n ∈N *．（ii ）P ＝1−e−14，∴E （η）＝n +1﹣n ⋅e −n 4，∴（n +1）﹣n ⋅e−n 4＜n ，∴lnn −n 4＞0，设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x4x ，当x ∈（0，4）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，4）上单调递增，当x ∈（4，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（4，+∞）上单调递减，又f （8）＝ln 8﹣2＞0，f （9）＝ln 9−94＜0， ∴n 的最大值为8．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝lnx ．（1）设h （x ）＝f （2x ）﹣3x ，求函数h （x ）的极值；（2）设x 0＞1，求证：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切；（3）设φ(x)=g(x)+ax+26√x +x 2−ax ，对于任意a ∈（2，4），总存在x ∈[32，2]，使φ（x ）＞k （4﹣a 2）成立，求实数k 的取值范围．（1）解：因为h （x ）＝f （2x ）﹣3x ＝e 2x ﹣3x ，所以h′（x）＝2e2x﹣3，令h′（x）＝0，解得x=12ln32，所以当x＜12ln32时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞12ln32时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；所以函数只有极小值，h（x）的极小值=ℎ(12ln32)=en ln32−32ln32=32−32ln32；（2）证明：因为g（x）＝lnx，所以g′(x)=1 x ，又因为x0＞1，所以g（x）在x＝x0处的切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)=1x0x−1，假设此直线与曲线y＝f（x）＝e x相切于点B(x1，e x1)，因为f′（x）＝e x，所以切线的斜率k=e x1=1x0且1x0=e x1−lnx0x1−x0，所以x1＝﹣lnx0，所以1x0=1x0−lnx0−lnx0−x0，化简为x0lnx0﹣lnx0﹣x0﹣1＝0（x0＞1），下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．令u（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0﹣1，x0＞1，则u′(x0)=lnx0−1x0=x0lnx0−1x0，令F（x）＝xlnx﹣1，则F′（x）＝lnx+1，所以当x∈(1e，+∞)时，F′（x0）＞0，F（x）单调递增，又因为F（1）＝﹣1＜0，F（2）＝2ln2﹣1＞0，又因为F（x）在（1，2）上连续，所以F（x）在（1，2）上存在唯一零点，设为x1，则有x1lnx1﹣1＝0，即lnx1=1x1，当x1∈（1，2）时，F（x）＜0，即u′（x0）＜0，u（x0）单调递减；当x1∈（2，+∞）时，F（x）＞0，即u′（x0）＞0，u（x0）单调递增；所以u(x0)＜u(1)=−2＜0，u(e2)=e2−3＞0，所以u（x0）在(x1，e2)内存在唯一零点，所以存在唯一的x0，使得函数y＝g（x）的图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与函数y＝f（x）的图象也相切；（3）解：因为φ(x)=g(x)+ax+26√x+x2−ax=lnx+ax+26√x+x2−ax，所以ϕ′(x)=1x +2×6√x ax+2×(ax+26√x )′+2x −a =1x +ax−2x(ax+2)+2x −a =x(2ax+4−a 2)(ax+2)，令φ′（x ）＝0，则有x 1=0，x 2=a 2−42a ，又因为x ＞0，a ∈（2，4），所以有x 2=a 2−42a ＞0，又因为x 2=a 2−42a =a 2−2a ，在a ∈（2，4）上单调递增，所以x 2=a 2−42a =a2−2a ＜32，所以ϕ′（x ）＞0在x ∈[32，2]上恒成立，所以φ（x ）＞0在x ∈[32，2]上单调递增，所以φ（x ）max ＝φ（2）＝2ln （2a +2）﹣2ln 6+4﹣2a ，所以2ln （2a +2）﹣2ln 6+4﹣2a ＞k （4﹣a 2）在a ∈（2，4）上恒成立，令t （a ）＝2ln （2a +2）﹣2ln 6+4﹣2a ﹣k （4﹣a 2），则t （2）＝0，且t （a ）＞0在a ∈（2，4）上恒成立，因为t ′(a)=2a+1−2+2ka =2a(ka+k−1)a+1，当k ≤0时，t ′（a ）＜0，t （a ）在（2，4）上单调递减，t （a ）＜t （2）＝0，不合题意；当k ＞0时，令t ′（a ）＝0，得a =1−kk ，当1−k k＞2，即0＜k ＜13时，t （a ）在(2，1−kk )上单调递减，存在t （a ）＜t （2）＝0，不合题意；当1−k k≤2，即k ≥13时，t （a ）在（2，4）上单调递增，t （a ）＞t （2）＝0，满足题意，综上所述，实数k 的取值范围为：[13，+∞)．。

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山东省三校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1z 1i =+所对应的的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数f(x)＝(x －3)ex 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3．用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1(n ∈N*，n≥2)，由“k 到k ＋1”时，不等式左端的变化是( ) A ．增加1＋一项 B ．增加12k ＋1和1＋两项C ．增加12k ＋1和1＋两项，同时减少1k一项D ．以上都不对4．设P 为曲线C ：223y xx =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5.若()()212ln 2f x x a x x =-+++在()1,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()3,1-- B. [)1,0- C. [)0,+∞ D.(],2-∞-6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( ) A ．三角形的三个内角都不大于60° B ．三角形的三个内角都大于60° C ．三角形的三个内角至多有一个大于60° D ．三角形的三个内角至少有两个大于60°7．有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3)(x x f =满足0)0(='f ，所以0=x 是函数3)(x x f =的极值点”，以上推理（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误8．设a＜b,函数2()()y x a x b=--的图像可能是()9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A．28 B．76 C．99 D．12310．设函数()y f x=在(,)a b上的导函数为'()f x,'()f x在(,)a b上的导函数为''()f x,若在(,)a b上,''()0f x<恒成立,则称函数函数()f x在(,)a b上为“凸函数”．已知当2m≤时,3211()62f x x mx x=-+在(1,2)-上是“凸函数”．则()f x在(1,2)-上( )A．既有极大值，也有极小值 B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值 D．没有极大值，也没有极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．计算：=-⎰21)1(dxxe x_________12.设复数z满足(1)2i z i+=，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z=_________13．.设曲线11xyx+=-在点()3,2处的切线与直线10ax y++=垂直，则a等于_________ .14． 1如图，它满足： 2 2①第n行首尾两数均为n， 3 4 3②表中的递推关系类似杨辉三角， 4 7 7 4则第n行)2(≥n第2个数是_________ 5 11 14 11 56 16 25 25 16 615．．已知函数()f x的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x的导函数()y f x'=的图象如图所示. 下列关于()f x的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a=-有4个零点；⑤函数()y f x a=-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是_________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知z 是复数，2z i +与2zi -均为实数.（1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.17.(本小题满分12分)（1)3.a <>（2）求由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积.18.(本小题满分12分) 若01>a ，11≠a ，),2,1(121 =+=+n a a a nnn ．(1)求证：n n a a ≠+1；(2)令,211=a 写出5432,,,a a a a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．19.(本小题满分12分)已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x 2－10x 的一个极值点． (1) 求a ；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围.20.(本小题满分13分)时下，网上教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式为()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）21.(本小题满分14分)已知函数f （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣2．（1）若曲线f （x ）=xlnx 在x=1处的切线与函数g （x ）=﹣x 2+ax ﹣2也相切，求实数a 的值；（2）求函数f （x ）在上的最小值；（3）证明：对任意的x ∈（0，+∞），都有成立参考答案DDCAD BACDB11.e 2-e-ln2 12 1i - 132- 14 222n n n a -+= 15 ①②⑤三、16. 解：(Ⅰ)设()z x yi x y =+∈R ，， 2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴． ………………………………3分 211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．………………………………6分（Ⅱ）22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴………………………………9分解得26a <<．…………………………12分 17. (Ⅰ)证明：∵，∴ ∴∴6分（Ⅱ）解：联立方程2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得到两曲线的交点()4,2，因此曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为)3424200211622|323S x dx x x x ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰12分18解：(1)证明：假设1n n a a +=，即1nn na a a =+，解得01n n a a ==或 ………2分从而-121-121====0====1n n n n a a a a a a a a ==或，这与题设1101a a >≠或相矛盾， ………………4分所以1n n a a +=不成立．故1n n a a +≠成立． ………………5分 (2)由题意得12345124816=,=,=,=,=,235917a a a a a ，………………6分由此猜想：12211+=--n n n a . ………………8分010211.=1=212n a =+证明：当时，，猜想成立………………9分111(1)1111(1)1122.==212222221=1=212121121=1k k k k k k k k k k k k k k n k a a n k a a n k ---+--+-+--+++===+++++∴+假设当时，猜想成立，即成立.........10分当时,当时，猜想也成立。

........11分11221n n --+n 由1和2知，对一切正整数n ，都有a =成立.......12分19(1) 因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10 所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0 因此a ＝16(2) 由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ， x ∈(－1，＋∞) f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )＞0 当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0 所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞) f (x )的单凋减区间是(1,3) (3) 由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调增，在(1,3)内单调减，在(3，＋∞)上单调增，所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21 又x→-1时，f （x ）→-∞； x→+∞时，f （x ）→+∞；可据此画出函数y=f （x ）的草图，由图可知要使直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有3个交点，则f (3)＜b ＜f (1) 所以b 的取值范围为(32 ln2－21,16ln2－9)． 20解：(Ⅰ)因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =. 4分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<. 8分令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减，所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点， 12分所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 13分21【解答】解：（1）f′（x ）=lnx+x•=lnx+1， x=1时，f′（1）=1，f （1）=0，故f （x ）在x=1处的切线方程是：y=x ﹣1，联立，消去y 得：x 2+（1﹣a ）x+1=0，由题意得：△=（1﹣a ）2﹣4=0，解得：a=3或﹣1；（2）由（1）得：f′（x ）=lnx+1，x ∈（0，）时，f′（x ）＜0，f （x ）递减，x ∈（，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）递增，①0＜t ＜t+≤，即0＜t ≤﹣时，f （x ）min =f （t+）=（t+）ln （t+），②0＜t ＜＜t+，即﹣＜t ＜时，f （x ）min =f （）=﹣；③≤t ＜t+，即t ≥时，f （x ）在递增， f （x ）min =f （t ）=tlnt ；综上，f （x ）min =；（3）证明：设m （x ）=﹣，（x ∈（0，+∞）），则m′（x ）=，x ∈（0，1）时，m′（x ）＞0，m （x ）递增， x ∈（1，+∞）时，m′（x ）＜0，m （x ）递减，可得m （x ）max =m （1）=﹣，当且仅当x=1时取到，由（2）得f （x ）=xlnx ，（x ∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取到，因此x ∈（0，+∞）时，f （x ）min ≥﹣≥m （x ）max 恒成立，又两次最值不能同时取到，故对任意x∈（0，+∞），都有成立．。