山东省宁阳县第四中学2014-2015学年高二下学期期中学分认定考试数学(A)试题 Word版含答案

山东宁阳四中2014—2015学年度下学期高二年级期中学分认定数学试题（A ）2015.5第I 卷（选择题）一、选择题(每题5分共50分) 1．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合11,0,,12⎧⎫A =-⎨⎬⎩⎭，集合{}2,x y y x B ==∈A ，则集合A B =（ ）A. 11,0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B. 10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.{}0,13．已知条件p ：2x ﹣2ax+2a ﹣1＞0，条件q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1B ． a≤1C ． a≥﹣3D ． a≤﹣34．已知函数f （x ）的导函数()x f '的图像如左图所示，那么函数()x f 的图像最有可能的是5．1)n x+的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项为 A ．第9项 B ．第8项 C ．第9项和第10项 D ． 第8项和第9项6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当90()3,(log 4)x x f x f <=时，则的值为 （ ）A -2B 12-C 12D 2 7．将5名同学分到甲、乙、丙三个小组，若甲组至少两人，乙、丙两组每组至少一人，则不同的分配方案共有 种（ ）A ．80种B ．120种C ．140种D ．50种8. 给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知0ln 1)1(≤--+x x a 对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 恒成立，则a 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2ln 21-D 、22ln 1+- 10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa b c++，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于（ ） A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分共25分）11.命题:,310p x R x x a ∃∈++-+≤.若此命题是假命题，则实数a 的取值范围是 （用区间表示）12．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =，则()f m -= ; 13．函数()ln xf x e x =⋅在点()1,0处的切线方程为 .14．设随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i (i=1,2,3,4),则P （2721<<X ）= _____________. 15．已知函数f (x )＝x ，给出下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；③若0<x 1<x 2，则x 2f (x 1)<x 1f (x 2)；④若0<x 1<x 2，则f x 1＋f x 22<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确命题的序号是________．三、解答题16.（本小题满分12分）设复数(,,0)z a bi a b R a =+∈>，，且复数(12)i z -在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若()1m iz m R i ++∈-为纯虚数, 求实数m 的值.17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18．（本题12分）已知nx x )3(32+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992。

（1）求展开式中含有4x 的项； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项。

19．（本小题满分12分）已知函数b a x x x x f 3)ln()(2++-+=在0=x 处取得极值0.（1）求实数b a ,的值； （2）若关于x 的方程m x x f +=25)(在区间[]20，上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.20．（本题13分）定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()1(0,x f x e ax a e =-->为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：*11111(1)()23n n n N n++++>+∈ 参考答案1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．A ．8．C 9．C 10．C 11.(-4，+∞) 12．4028 13．0ex y e --= 14．5315．①④16.解：2210a b += ① ……………………………2分又复数(12)i z -＝(2)(2)a b b a i ++-在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， 则(2)(2)0a b b a ++-=即3a b = ② …………………………………4分 由①②联立的方程组得3,1a b ==或3,1a b =-=-…………………………5分 ∵0,a >∴3z i =+………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）得i z -=3……………………………………………………………8分()(1)312m i m i i z i i ++++=-+-=5322m m i +++……………………………………10分 ∵()1m iz m R i ++∈-为纯虚数,∴52m =-…………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,3所以ξ的分布列为18．解：令1x =得展开式各项系数和为4n ，二项式系数为012n nn n n C C C +++=…… 由题意得：42992n n-=，解得5n =………………………2分（1）310513r rr r xC T ++⋅=当24310=⇒=+r r∴ 442253903x x C T =⋅⋅= ………………4分（2）∵ 5n =，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项∴442253903x x C T =⋅⋅=，31331333542703x xC T =⋅⋅=………..8分（3）展开式中第1k +项系数最大∴115511553379,82233k k k k k k k k C C k k C C --++⎧⋅≥⋅⎪⇒≤≤∈⎨⋅≥⋅⎪⎩,N k ∈∴ 4k = ∴31444553x C T ⋅⋅= =314405x ………………12分19．（Ⅰ）由题设可知()121f x x x a'=+-+ 当0x =时，()f x 取得极值0，(0)0(0)0f f '=⎧∴⎨=⎩解得：1,0a b ==； 经检验1,0a b ==符合题意. （2）由（1）知2()ln(1)f x x x x =+-+，则方程5()2f x x m =+即为()25ln 102x x x x m +-+--=令25()ln(1)2x x x x x m ϕ=+-+--则方程()0x ϕ=在区间[0,2]恰有两个不同实数根.13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ+-'=--=++当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在(1,2)上单调递增；依题意有(0)01(1)ln 202(2)1ln 30m m m ϕϕϕ=-≥⎧⎪⎪=---<⎨⎪=--≥⎪⎩ 1ln 21ln 3..........................................132m ∴--<≤-（分） 20、【解】 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令a ＝b ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，所以k ＝0. 证明：由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝x ，b ＝－x ， 则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数． (2)因为f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3. 所以f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，所以mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.所以实数m 的取值范围是[0,1)．21．（1）由题意0,()xa f x e a '>=-， 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时， ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值， 其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- （2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n ()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得最大值，而(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =（3）由（2）得1+≥x e x ，即x x ≤+)1l n(，当且仅当0=x 时，等号成立，令)(1*∈=N k kx 则，)11ln(1k k +>即)1ln(1k k k +>，所以),...,2,1(ln )1ln(1n k k k k=-+> 累加得))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n。