锐角三角函数的简单应用(1)1
九年级数学锐角三角形的简单应用
到0.1m）
沪科版数学(教案)23.1.1 锐角的三角函数(第1课时)
第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 锐角的三角函数第1课时锐角的三角函数（1）教学目标：1、掌握锐角的正切的概念，能用直角三角形中两边的比表示锐角的正切。
2、了解坡度的概念，知道坡度越大，坡面越陡。
3、利用正切的有关知识解决问题。
重点：1、掌握锐角的正切的概念，能用直角三角形中两边的比表示锐角的正切。
2、了解坡度的概念，知道坡度越大，坡面越陡。
难点：利用正切的有关知识解决实际生活中的问题。
教学资源：ppt教学过程：一、学生自学教材二、教师概括本节主要内容三、提出问题、探究新知问题1怎样描述山坡陡的程度呢？问题2在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？交流问题1有两个直角三角形，直角边AC与DF表示水平面，AB与DE表示两个不同的坡面，坡面AB 与DE哪个更陡？你是怎么判断的？交流问题2 交流问题3 1002010030 8030100303040交流问题4BC/AC,B1C1/A1C1，B2C2/A2C2有什么关系？从中你能得到什么结论？ 在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与邻边的比值总是一个固定的值。
定义：如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent),记作tanA,即注意：1. tanA 是一个完整的符号，不表示tan 乘以∠A 。
2.它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号∠。
3. tanA 没有单位，它表示一个比值。
B 1C 1 B 2 C 2斜边c∠A 的邻边b∠A 的对边aba AC BC ==tanA= A A ∠∠的对边的邻边四、教学小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.。
九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版知识精讲
九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——锐角三角函数的应用1. 理解锐角三角函数的定义，弄清楚直角三角形中的边、角关系．2. 熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．3. 运用锐角三角函数解决实际问题．二. 知识要点：1. 直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；（3）边角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab （锐角三角函数）．（4）在锐角三角函数sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab中，实际上分别给出了三个量的关系：a 、b 、c 是边的长，sinA 、cosA 、tanA 是由∠A 用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中．当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素．如：已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠A ＝30°，求BC 边的长．ABCD630°画出图形，可知边AC ，BC 和∠A 三个元素的关系是正切函数的定义给出的，所以有等式tan30°＝BC 6，由于tan30°＝33，它实际上已经转化成了以BC 为未知数的代数方程，解这个方程，得BC ＝6tan30°＝6·33＝2．即得BC 的长为2．3. 非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形．（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形．（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形．4. 把实际问题转化为解直角三角形问题很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题．例如：我们知道，机器上用的螺丝钉，它的圆柱部分的侧面可以看作是长方形围成的（如图）．螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推进mm ，螺纹的初始角应是多少度多少分？ACB据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC 的长为AC＝2π·（62）＝6π（mm ），另一条直角边为螺钉推进的距离，所以BC ＝1.25（mm ），设螺纹初始角为θ，则在Rt △ABC 中，有tan θ＝BCAC ＝6π≈0.0663，∴θ≈3°47′，即螺纹的初始角约为3°47′．三. 重点难点：本讲重点是掌握直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系（锐角三角函数）．难点是正确选用直角三角形中的这些关系求出其它未知元素．四. 考点分析：解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际、综合运用知识、技能的要求越来越明显，考查题型为选择题、填空题、解答题、应用题等．【典型例题】例1. 如图所示，P 是α角OA 边上的一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43OAP B34αx y分析：本题比较容易，考查坐标的意义和求三角函数的值．由图可知，因为点P 的坐标为（3，4），所以OB ＝3，PB ＝4，根据勾股定理可得OP ＝OB 2＋PB 2＝5，所以sin α＝PBOP＝45，所以答案选择B ． 解：B例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB ＝cos ∠DAC ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）若sinC ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．ABCD分析：对于第（1）问中AC 、BD 分别是Rt △ADC 中的斜边和Rt △ABD 中的一直角边，可根据直角三角形中的边角关系和已知条件tanB ＝cos ∠DAC 进行转换．对于第（2）问，因为BD ＝AC ，可根据勾股定理和三角函数求出AD 的长．（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC ，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC，∴AC ＝BD ． （2）解：在Rt △ADC 中，由sinC ＝1213，可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ．由勾股定理，得CD 2＝（13k ）2－（12k ）2＝25k 2，∴CD ＝5k ． 又由（1）知BD ＝AC ＝13k ．∵BC ＝BD ＋DC ，∴12＝13k ＋5k ，解得k ＝23．∴AD ＝12k ＝12×23＝8．例3. 如图所示，X 伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼．风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA＝PC），水平线l与OC夹角α＝8°（点A在OC上）．请求出铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈210，cos8°≈7210，tan8°≈17）lO分析：将实际问题转化成数学问题即：已知AP＝PC，BC⊥AP于B，AB＝6cm，∠ACB ＝∠α＝8°，求BP的长．在Rt△ABC中应用三角函数可求出BC，再根据PB＋AB＝AP ＝PC和勾股定理可求出BP的长．解：根据题意∠ACB＝∠α＝8°，在Rt△ABC中，∵ABBC＝tan∠ACB＝tan8°，AB＝6cm，∴BC＝6tan8°＝42cm，在Rt△BCP中，PC2＝PB2＋BC2，∵PC＝AP＝PB＋AB＝PB＋6，∴（PB＋6）2＝PB2＋422，即：12PB＋36＝422，解得PB＝144，即h＝144cm．答：铅锤P处的水深h为144cm．例4.如图所示，河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝60°．求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）．A BCDFab分析：在△BCF中，∠CBF＝60°，要求CF必须求出BC或BF．∠DAB＝30°和AB ＝100米、CD＝50米与问题没有直接联系，需将它们进行适当的转化，转化到相关的直角三角形中，应用三角函数求解．解：过点C作CE∥AD交b于点E，则∠DAB＝∠CEB＝30°，AE＝CD＝50米，BE＝AB－AE＝50米．在Rt△BCF中，BF＝CFtan∠CBF＝CF3＝33CF，在Rt△CEF中，EF＝CFtan∠CEF＝3CF．∵EF－BF＝BE＝50，∴3CF－33CF＝50，即CF＝253≈43（m）．A B CD E Fab例5.如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈．）分析：延长CD 交PB 于点F ，在Rt △BDF 中求出DF ．树高AB 可分为三段AE 、CD 、DF 来求．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝BD ·sin15°≈50×0.26＝13.0． ∴CE ＝BF ＝BD ·cos15°≈50×＝． ∴AE ＝CE ·tan10°≈×＝．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝＋＋13＝（米）． 答：树高约为米．例6.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由． （结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）ABCD北45°60°分析：（1）AD 的长可以用含CD 的式子表示出来，BD 的长也可以用含CD 的式子表示出来，因为AB 长为40，所以由AD ＋BD ＝40可得含CD 的方程．（2）分别计算两种方案所用时间，时间短的救助方案较合理．解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD ＝30°，∠CAD ＝45°， ∴AD ＝CD ＝x ．在Rt △BCD 中，tan30°＝xBD，∴BD ＝3x ，AD ＋DB ＝AB ＝40，∴x ＋3x ＝40，解得x ≈14.7， ∴牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ， 在Rt △ADC 中，∠CAD ＝45°，∴AC ＝2CD ，方案I 用的时间t 1＝AD 3v ＋CD v ＝4CD3v ；方案II 用的时间t 2＝2CDv．∴t 2－t 1＝(32－4)CD3v．∵32－4＞0，∴t 2－t 1＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理．【方法总结】解决锐角三角函数的综合问题时，应根据题目中给出的有关信息构建图形，经过整理数据、加工信息、抽象概念，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题．运用三角函数知识解题时，尽量选择用乘法计算的关系式．可归纳为“有弦用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余，宁乘勿除”的基本方法．【预习导学案】 （34.1认识二次函数） 一. 预习前知1. 一次函数的一般表达式是__________．2. 反比例函数的一般表达式是__________． 二. 预习导学1. 下列函数中，__________是一次函数，__________是反比例函数，__________是二次函数．（1）y ＝3x ；（2）y ＝3x －1；（3）y ＝3x 2－1；（4）y ＝13x ；（5）y ＝13x2；（6）y ＝3x 3＋2x 2；（7）y ＝（x ＋2）2－x 2；（8）y ＝x 2＋1x2．2. 正方形的周长为l ，则这个正方形的面积S 与周长l 之间的函数表达式是__________．3. 若y ＝（m 2－1）x 2＋（m ＋2）x 是关于x 的二次函数，求m 的值． 反思：（1）二次函数的一般表达式有什么特征？（2）一次函数、反比例函数、二次函数有什么区别与联系？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A. 55B. 25 5C. 12D. 2AOB2. 如图所示，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60°的500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A. 250mB. 2503mC. 50033m D. 2502mABO 东北3. 如图所示，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是（ ）A. m sin40°B. m cos40°C. m tan40°D. mtan40°ABC40°4.在直角坐标系中，点P （4，y ）在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是（ ）A. 433 B.4 3 C. －3 D. －1 °，又知水平距离BD ＝10m ，楼高AB ＝24m ，则树高CD 为（ ）A. （24－103）mB. （24－1033）mC. （24－53）mD. 9m*6. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A. 32B. 23C. 2D. 12OABP**7. 如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为（ ）A. 3B. 163C. 203D. 165ABCDE二. 填空题1. 如图所示的半圆中，AD 是直径，且AD ＝3，AC ＝2，则sinB 的值是__________．OABCD2. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__________米．BCDEA**3. 如图，矩形纸片ABCD ，BC ＝2，∠ABD ＝30°．将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F ，则点F 到直线DB 的距离为__________．A BCDEF**4. 如图，X 华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE ＝9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为__________米（结果保留根号）．三. 解答题1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tanA 的值．A BC2. 小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD ＝60°，若牵引底端B 离地面，求此时风筝离地面的高度．（计算结果精确到，3≈1.732）3. 如图所示，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，摆动偏离竖直方向最大角度为60°．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，你能求出小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差吗？OB*4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cosB ＝513，BC ＝26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．ABCD*5. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到m ，参考数据：3≈）ABC【试题答案】一. 选择题 1. A2. A 【根据题意OA ＝500，∠AOB ＝30°，则AB ＝500sin30°＝250】3. B 【∵cos40°＝BC AB ＝BCm ，∴BC ＝m cos40°】4. B5. A6. D 【作OC ⊥AP 于C ，则AC ＝BC ＝4，OC ＝3，PC ＝6，∴tan ∠OPA ＝OC PC ＝36＝12】7. B 【由题意知∠BAC ＝α，则cos ∠BAC ＝35＝AB AC ，∵AB ＝4，∴AC ＝203，∴BC ＝AC 2－AB 2＝（203）2－42＝163．】二. 填空题1. 23【∵AD 是直径，∴∠ACD ＝90°．∵∠B ＝∠D ，sinD ＝AC AD ＝23，∴sinB ＝23】2. 123. 233【由题意可知，DF ＝BF ，∠ABD ＝∠EBD ＝30°，BD ＝2AD ＝4，过点F 作FG⊥DB 于点G ，则DG ＝BG ＝2，在Rt △BGF 中，点F 到直线DB 的距离FG ＝BG ·tan30°＝233】 4. 10＋33【过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，AD ＝CDtan30°＝9×33＝33；在Rt △BCD 中，BD ＝CDtan45°＝9．所以旗杆顶点A 离地面的高度为33＋9＋1＝10＋33】三. 解答题1. BC ＝ABsinA ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝9，所以△ABC 的周长是36，tanA ＝BC AC ＝43．2. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ×sin60°＝20×32＝103，又DE ＝AB ＝1.5，∴CE ＝CD＋DE ＝CD ＋AB ＝103＋1.5＝18.8（米）3. 过点A 作AD ⊥OB 于D ，因为OA ＝OB ＝50，∠AOB ＝60°，所以OD ＝25，BD ＝OB －OD ＝25厘米，即小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差是25厘米．4. （1）在Rt △ABC 中，∵cosB ＝513，BC ＝26，∴AB ＝BC ·cosB ＝10，∴AC ＝BC 2－AB 2＝24．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ．∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝2426＝1213．（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵AD ＝CD ，∴AE ＝12AC ＝12，∴AD ＝AEcos ∠DAC ＝13．5. 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝ADtan30°＝223，CD ＝ADtan60°＝663，BC ＝BD ＋CD ＝223＋663＝883≈152.2（米）．这栋楼高约为m ．。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
7.6用锐角三角函数解决问题(仰角、俯角问题)
7.6 锐角三角函数的简单应用——仰角、俯角问题一、画一画 根据题意，画出仰角或俯角（1）人看气球 （2）在飞机上看地面控制中心二、实际问题问题1: “小机灵”在飞行高度为180米的飞机A 上看到上海浦东国际机场地面指挥中心B 的俯角为30°，求此时飞机A 在地面上的投影点C 离B 点的水平距离。
（结果保留根号）变式：“小机灵”在离中国馆AB 120米的C 处，用高为1米的测角仪测得中国馆的最高处A的仰角为30°，已知测角仪CD 垂直于地面，求中国馆AB 的高。
（结果保留根号）AB问题2：在南浦大桥AB 的上方有一只热气球停在P 点处，此时热气球离桥面的高度为1200米，“小机灵”在大桥的两端A 、B 分别测得热气球的仰角为27°、40°，求南浦大桥的AB 。
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9， tan27°≈0.5，sin40°≈0.6， cos40°≈0.8，tan40°≈0.8PB A人的眼睛 P · 0· A · 地面控制中心 B · A ·B · D C变式1：已知南浦大桥的主桥AB长900米，热气球由西向东飞行，一段时间后到达C处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为30°、45°，求此时热气球距桥面的高度。
（结果保留根号）CB A变式2：热气球继续向东飞行至D处，此时“小机灵”在大桥两端A、B分别测得热气球的仰角为40°、27°，已知主桥AB的长为900米，求此时热气球距桥面的高度。
参考数据：sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5，sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8DB A三、数学活动室思考：1、如何测量得到旗杆的高度？（图1 ）2、怎样从地面测量小山的高度呢？（图2 ）仪器：卷尺，高度为h的测角仪；要求：画出图形，测得的角用α、β等表示，测得的长度用a、b、c等表示。
锐角三角函数的简单应用(1)课件(九下)
A
住 宅 楼 30°
新 楼
F B
E
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼 的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的 前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹 角为30°时. 问：若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ D
太阳光 30°
A
住 宅 楼
太阳光
30°
A
住 宅 楼
F
新 楼
E
B C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼 的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的 前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹 角为30°时. 问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距 多少米？ D
太阳光 30°
新 楼
B
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼 的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的 前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹 角为30°时. 问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距 多少米？ D
太阳光 30°
A
住 宅 楼
新 楼
E
B C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼 的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的 前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹 角为30°时. 问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距 多少米？ D
3
一、复习巩固：
1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则 BC：AC：AB = 。 2、在△ABC中，∠C=90°。 （1）已知∠A=30°，BC=8cm，求AB与AC 的长； （2）已知∠A=60°，AC=2 cm，求AB与BC 的长。
7.6锐角三角函数的简单应用(1)
【基础演练】 1．如图，秋千链子的长度为 3m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为 30º。 求它摆动至最高位置与最低位置的高度之差（结果保留根号） ． O 60º
A 【能力升级】 如图，在离水面高度为 5 米的岸上有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为 30°,此人以每秒 0.5 米收绳.问：8 秒后船向岸边移动了多少米?(结果精确到 0.1 米)
课题
7.6 锐角三角函数的简单应用⑴
1．能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把 已知量与未知量联系在一起解决实际问题。 2．构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。 构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。 教学过程 个案
学习目标 重点，难点
【引例】 小明在荡秋千,已知秋千的长度为 2m, 求秋千升高 1m 时,秋千与竖直方向所成的角 度. 【典型例题】 1. “五一” 节,小明和同学一起到游乐场游玩. 游乐场的大型摩天轮的半径为 20m, 旋转 1 周需要 12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约 0.5m)开始 1 周的观光,经过 2min 后,小明离地面的高度是多少? (1).摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次达到 10m? (2).小明将有多长时间连续保持在 离地面 10m 以上的空中?
2．1.单摆的摆长 AB 为 90cm,当它摆动到 AB’的位置时, ∠BAB’=11°,问这时摆 球 B’ 较最低点 B 升高了多少(精确到 1cm)?
sin11 0.19194
3．已知跷跷板长 4m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面 1.5m.求此时跷 跷板与地面的夹角(精确到 0.1° ).
B
教学反思
第七章第7课时 锐角三角函数的简单应用(1)
ABCAO B 第7课时 锐角三角函数的简单应用（1） 班级 学号 姓名学习目标：1、经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题． 基础练习：1、在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A ＝________；2、在Rt △ABC 中, ∠C=90︒,若AC=2BC,则tanA ＝_________；3、在正方形网格中，△ABC 的位置如图2所示，则cos ∠B=________；4、在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝ ________； 5、已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC =________． 探索活动：问题1、一块破损的直角三角形玻璃如图所示，AC=1米，∠EAC=600，试求破损前这块直角三角形玻璃的面积．1．73）问题2、如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：8秒后船向岸边移动了多少米?问题3、某型号飞机的机翼形状如图所示，AB ∥CD ，根据数据计算AC 、BD 和CD 的长度(精确到0.1m).问题4、“五一”节，小明和同学一起去游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要10min.小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5 m ）开始1周的观光， (1)经过2 min 后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1 m ）？(2) 摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度达到10.5m ？ （3）小明将有多长时间保持在离地面10.5m 以上的空中？ (参考数据sin72°≈0.90，cos72°≈0.31)问题5、如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 0米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ． ( 1.4 1.7) 作业：1、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝 （ ） A ．甲的最高 B ．乙的最高 C ．丙的最高 D ．一样高2、如图，一颗大树AB 被风拦腰从C 处吹折，倒在地上，小明想知道这颗树原来的高度，他测出此时树梢B 距树的底部为12米，∠ABC=30°。
锐角三角函数的简单应用(1)视角在解直角三角形中的应用
C北
30
60
A
B 60km
问题2：如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海 里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西 向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度 的方向, 继续行偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
.
A
B
C
2.如图（2），B为一建筑物的最高点，它与地面的接触 点为C，从地面A点用测角仪测得B点的仰角为
，仪器高AD＝b，若AC＝ a
，则建筑物CB的高用代数式表示为
.
3.某学校的教学楼和行政大楼相对而立，如图（3）所示： 两楼之间的距离AC=10m，某学生在教学大楼底A处测得 行政大楼顶B处的仰角为 45
，随后他又到行政大楼C处测得教学楼顶D处的仰角为
，那么教学楼比行政大楼高
m.
60
•如图（4），河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的 •仰角为 30
，向塔前进15m到达D，在D处测得A的仰角为 45
，求铁塔AB的高.
例1．如图，甲、乙两高楼的水平距离BD为90米， 从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角
30
45
，在B地测得C地的仰角为 60
，已知C地比A地高200米，则电缆BC至少为多少米？
（精确到 米） 0.1
问题1：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
应用举例（1） ——视角在解直角三角形中的应用
仰角、俯角的概念
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方 的角叫做俯角．
锐角三角函数的简单应用(共10张PPT)
400km即可．如果要判断影响时间，则可以以A为圆心，画出一个半径为300km的圆，设该圆与行进路
线交于两点D、E，求出DE的长度，即可以算出影响时间．
解：过点A作BC的垂线(如图2)，
在Rt△ABC中， ∵∠B＝300，AB＝400km， ∴AC＝200km＜300km， 因此，A市将受到沙尘暴的影响． 以A为圆心，300km为半径画圆， 交BC于点D、E，在Rt△ACD中，
分析：过点C作AB的垂线，构造两个直角三角形， 根据已知条件来解直角三角形。
例5、如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见 岛A在北偏西，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西，货轮继续向西航行，有无触礁 危险？
分析：过点A作BC的垂线AD，比较线段AD
A
的长与20的大小关系，求线段AD的长是利用两 个直角三角形来解决。
分析：这道题实际上是要比较线段CD与线段AD+2.6×6+1.4=20，根据解直角三角形求
出AD的长；过点B作CD的垂线BE，ED=AB，BE=AD，解直
B
角三角形求线段CE的长。若线段CD大于线段AD，则说明小
明家的住宅楼需要拆迁；若线段CD小于线段AD，则说明小明
∵AD＝300km， AC＝200km ∴CD＝100 km，∴DE＝200 km,
这样，A市受到5 沙尘暴的影响时间为5
11(h) 200 5
40
评析：本题需要综合运用三角函数及圆的相关知识解题．
例7、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶CD宽是5m，坝高DE为20m，斜坡的 坡度为 1： ,斜坡的坡度为 53：6，建造这样的大坝1000需要多少m3的土？ (结果保留根 号)
2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)
2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。
已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。
31.3锐角三角函数的应用(1)
不会穿越保护区
练习1、某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
试试你的基本功
练习1、某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙 脚,两楼间的距离应当是多少米？
35°
B
北 东 ?
A 图31-1
C
例2、如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东 追赶鱼群，在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上； 40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东 30°的方向上．已知以小岛C为中心，10海里为半径 的范围内是多暗礁的危险区．这艘渔船如果继续向东 追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
解：过点B作BE⊥OA，连接B、A.
在Rt△OBE中，
o
O
2.5m 60o
B
E
A
1 OE OB cos60 2.5 1.25 2 AE OA OE 2.5 1.25 1.25 m
则秋千摆至最高位置时与其摆至最 低位置时的高度之差为1.25m。
练习2、试求炮台A、B到敌船的距离．
例1： 操场里有一个旗杆，小明站在离旗杆 底部4.5米的D处，仰视旗杆顶端A,仰角 (∠AOC )为50°,俯视旗杆底端B,俯角(∠BOC ) 为18°,求旗杆的高度(精确到0.1米). A
你想知道小明怎 样算出的吗?
50° 18°
锐角三角函数的应用(方位角)
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?(结果精确到1 海里. 3 ≈1.73 )
小测1：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？(结 果精确到0.01km , 3 ≈1.73)
cos 76°≈ 0.24
tan 76°）≈4.01
C D 60°
l E
A
感受中考：
1.（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土， 为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓 鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓 鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船 在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时 刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方 向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多 少．（结果保留根号）
(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，
sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，
2 ≈1.41， 5 ≈2.24)
北
D
B
东
C A观测点
5.(2014徐州）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于 点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至 位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处. (1)求点C与点A的距离（精确到1km）； (2)确定点C相对于点A的方向.
7.6 锐角三角函数的简单应用(1)
探索活动
活动1：如图，小明从点A处出发，沿着坡度为
10°的斜坡向上走了120m到达点B，然后又沿着坡度为
15°的斜坡向上走了160m到达点C．问点C相对于起点
A升高了多少？（精确到0.1m）参考数据 sin10 ≈ 0.17，
C B A 10° 15° D
探索活动
活动2：学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡 角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12m．为方便学生行走，
B 4 A
C
D
练一练
2．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风 过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡 面．已知山坡的坡角 ∠BAC＝38º，量得树干倾角∠AEF＝23º，
大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60º， AD＝4m．
（1）求∠CAE的度数； （2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数 据：
2、如图，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡 面与地面的倾角分别是32°和28°．求路 基下底的宽．（精确到0.1米）
E
F
4、一座水库大坝的横断面如图，其中背水面的 整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其 整修并进行美化，方案如下： ① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶ 3 ② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水 坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草 与栽花 . ⑴ 求整修后背水坡面的面积； ⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成 本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少 元？
h i＝ l
2. 坡角：
坡角是斜坡与水平线的夹角．
3.坡度和坡角的关系。
h i＝ ＝tan a l
初中锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 为△ABC 中的一锐角，则有 ∠A的正弦：斜边的对边A A ∠=sin c a= ?∠A 的余弦：斜边的邻边A A ∠=cos cb = ∠A的正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法,（2）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、2、3；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、对边.AC?30°角的正弦值。
（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表：)考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，方向角？指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016•陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）-A．B．C．D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【解析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．"在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈．（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．-【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°52′≈×≈故答案为：8，例3、（2015•陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为米，铅直高度BC 为米，则∠A的度数约为°（用科学计算器计算，结果精确到°）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．》【解答】解：∵tan∠A==≈，∴∠A=°，故答案为：°．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．例4、(2014•陕西)用科学计算器计算：+3tan56°≈（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．【解答】解：≈，tan56°≈，…则+3tan56°≈+3×≈故答案是：．【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到．例5、(2014•陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．:【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，、DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015•陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC 的值最小若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．|【考点】四边形综合题．.【专题】综合题．【解析】（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC 的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ 交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O 与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，（∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S △BMC=BC•AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，;∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，|作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，^∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．。
应用锐角三角函数解实际问题
应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。
本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。
首先，锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中AB=2，BC=3，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数，即α=60°，可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。
其次，锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中A=60°，B=30°，C=90°，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长，即AB=2，BC=2，可以由两个内角求出外角的长度AC=3。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。
此外，锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。
假设有一个抛物线y=-1/4x^2，其中x为横坐标，y为纵坐标，则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。
首先，我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2)，然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离，即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。
最后，锐角三角函数还可以应用于光学中，用来求解折射率等问题。
假设有一个简单的透镜系统，镜片一边入射面和出射面之间有n条光线，可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。
这里，我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2，再用反射率的定义，即n1sinα1=n2sinα2，求出折射率n2。
1.1锐角三角函数(第一课时)课件(共17张PPT)浙教版数学九年级下册
cosA=
=
∠的邻边
温馨提醒：以正弦为例
sinA（省去角的符号），
30°的正弦表示为sin30°，比值 叫做∠A的正切值，记做tanA，即
斜边
∠BAC的正弦表示为sin∠BAC
，∠1的正弦表示为:sin∠1.
tanA=
∠的对边
∠的邻边
=
概念运用
①BC=8，AC=6
概念
cosA=
= ，
tanA=
4
3
sinA=
4
5
3
= ，
5
= .
解后反思：在直角三角
形中，已知什么条件可
以求三角函数值?
课堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于
点D，若BC=5，BD=4，求sin∠A.
C
A
B
思路1：求AB的长
思路2：等角转化
△BCD∽△BAC
B"
P
C" Q
图（1）
图（2）
角为30°
’’ 1
""
=
= =
’’ 2
"
’’
3 "
=
=
=
’’
2
"
’’
3 ""
=
=
=
’’
3
"
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
边的比值为定值
探索规律
当∠PAQ发生改变时，刚才所获得的发现是否还成立呢？
解:设AB=5k，AC=3k，
《锐角三角函数的简单应用》说课稿-精选文档
《锐角三角函数的简单应用》说课稿一、教学内容与学情分析1.本课内容在教材、新课标中的地位和作用《锐角三角函数的简单应用》是初中数学九年级上册第一章第六节的内容。
本节课是《锐角三角函数的简单应用》的第三课时，是继前面学习了三角函数应用中的有关旋转问题和测量问题后的又一种类型的应用：即有关工程中的坡度问题。
三种类型的问题只是问题的背景不同，其实解决问题所用的工具都相同，即直角三角形的边角关系。
因此本节课沿用前两节课的教学模式。
直角三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.《锐角三角函数的简单应用》是解直角三角形的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。
因此本课无论是在本章还是在整个初中数学教材中都具有重要的地位。
关于锐角三角函数的简单应用，《数学新课程标准》中要求：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，考纲中的能级要求为C(掌握)。
2、学生已有的知识基础和学习新知的障碍通过前几节课的学习，学生已经经历过了建立三角函数模型解决问题的过程，掌握了一定的解题技巧和方法，具备了一定的分析问题、解决问题的能力。
这为本节课的学习奠定了良好的基础。
由于坡度问题涉及梯形的有关性质和解题技巧，而学生对此遗忘严重，再次面对梯形的问题情境，会产生思维上的障碍。
另外坡度问题的计算较复杂，而学生的计算能力较弱，计算器使用不熟练，特殊角的三角函数值还没记牢，这些对整个问题的解决都会起到延缓的作用。
二、目标的设定基于以上分析，将本节课教学目标设定为：1.应用三角函数解决有关坡度的问题，进一步理解三角函数的意义。
2.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
3.经历实际问题数学化的过程，在独立思考探索解决问题方法的过程中，不断克服困难，增强应用数学的意识和解决问题的能力。
三、重、难点的确立及依据1、重点：有关坡度问题的计算。
锐角的三角函数值(1)
锐角的三角函数值 第一课时教学目标：1、运用三角函数的概念，自主探究求出角的三角函数值2、熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确的加以运用，即给出特殊角能说出它的三角函数值，反过来，给出特殊角的数值，能说出相应的锐角的度数。
教学重难点：1、重点：三个特殊角的三角函数值极其运用2、难点：特殊角三角函数值的应用 教学过程： 1、复习回顾：直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定2、探究新知： 观察一副三角板:它们其中有几个锐角?分别是多少度? (1)sin30°，sin45°,sin60° 等于多少?(2)cos30°，cos45°,cos60° 等于多少?(3)tan30°，tan45°,tan60° 等于多少?你能对一直伴随我们学习的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价？根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>特殊角的三角函数值表Ca B,sin c aA =,cos caB =,cos c bA =b a A =tan a bB =tan ,sin cbB =3、例题: 例1 计算:(1)sin30°+cos45°;(2) sin 260°+cos 260°-tan45°. 解: (1)sin30°+cos45° (2) sin 260°+cos 260°-tan45°♦ 老师提示:sin 260°表示(sin60°)2,cos 260°表示(cos60°)2,其余类推.4、练习 1.计算:(1)sin60°-cos45°; (2)cos60°+tan60°; 2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?5、小结：（以提问抢答的方式回忆）♦ 特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.6、作业： 课本106页 1，41）如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的2221+=.221+=1212322-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=014143=-+=().45cos 260sin 45sin 223000-+().45cos 260cos 30sin 224020202-+高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?2）如图,河岸AD,BC 互相平行,桥AB 垂直于两岸.桥长12m,在C 处看桥两端A,B,夹角∠BCA=600.求B,C 间的距离(结果精确到1m).思考问题：如果∠A,∠B 互余，那么sinA 和cosB 有什么关系?7、个性化设计与反馈：B CA┐。
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B
1
A
3
C
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC= 3 ，
则AB= 2 ，∠A=
30 °， ∠B=
60 °.
公园里，小明和小丽开心地玩跷跷板，当小丽用力将4 m 长的跷跷板的一端压下并碰到地面,此时另一端离地面 2 m.你能 1.5 求出此时跷跷板与地面的夹角吗？ 3 3 （参考数据：sin22°= 8 ，cos68°= 8 ) B 2m 1.5m
O D C' B 10.5m
10.5m
C
A E 在旋转一周的过程中，小明在空中离地面的高度保持 10.5m以上时就会感到身体不适，请问他在空中感到不适 的时间有多长？
“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩。游 乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.若小 明在空中游玩了20min,则摩天轮启动多长时间，小明离地 面的距离是10.5m?
D
E 1m
“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩。游乐场的 大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部 的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光.经过多长时间后，小 明离地面的高度将首次达到30.5m?
O
思考
如图，起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，• 吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，求这台起重机工作 时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别 是多少？(精确到0.01m) （参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80C
A
在Rt△ABC中,∠ACB=90°，
BC sin A = AB
“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩。 游 乐 场 的 大 型 摩 天 轮 的 半 径 为 20m, 旋 转 1 周 需 要 12min.小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始 1周的观光。 经过多长时间，小明到达观光的最高点？此时小 经过3min后,小明离地面的高度是多少? 明离地面的高度是多少？ C
O
B A
你能行
如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏 板（大小忽略不计）距地面1m．秋千向两边摆动时，若最大 摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千 踏板与地面的最大距离为多少？ 3m 60°
1m
如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板 （大小忽略不计）距地面1m．秋千向两边摆动时，若最大摆 角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏 板与地面的最大距离为多少？ A 3m 60° C B
O
C 40.5m
B A
“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩。 游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min. 小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观 光.经过2min后,小明离地面的高度是多少?
O
60°
20
D B
0.5
C
A
E
解：如图.设经过2min后，小明从点B到达 点C的位置。由题意知
O
60°
20
360 OC=20,∠COA= 2 =60°. 12
D B
0.5
C
过C作CD⊥OA于D。 在Rt△CDO中,∠COD=90°，
cos COD OD OC
E A OD=OC· cos∠COA “五一 ”节，小明和同学 =20· cos60° 一起到游乐场游玩。游乐 =20× 1/2=10， 场的大型摩天轮的半径为 则AD=0A－OD 20m,旋转1周需要12min.小明 =0.5+20－10 乘坐最底部的车厢（离地 =10.5(m). 面约0.5m）开始1周的观光. 答：2min后小明离地面的高度为10.5m. 经过2min后,小明离地面的 高度是多少?
“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩。游乐场的 大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部 的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光.经过多长时间后，小 明离地面的高度将首次达到10.5m?
O
10m 20m
D B 10.5m
C
10.5m
A
E
“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩。游乐场的 大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部 的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光.经过多长时间后，小 明离地面的高度达到10.5m?