立体几何学案(四)

立体几何学案（四）
一、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系
1．用向量方法研究两直线间的位置关系
设直线l 1、l 2的方向向量分别为a 、b .
(1)l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔a ∥b ⇔存在实数t ，使a ＝tb .
(2)l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
2．用向量方法研究直线与平面的位置关系
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，v 1、v 2是与α平行的两个不共线向量．
(1)l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a ＝λv 1＋μv 2⇔a ·n ＝0.
(2)l ⊥α⇔a ∥n ⇔存在实数t ，使a ＝tn .
l ⊥α⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥v 1a ⊥v 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ·v 1＝0a ·v 2＝0.
3．用向量方法研究两个平面的位置关系
设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.
(1)α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2⇔存在实数t ，使n 1＝tn 2.
(2)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.
若v 1、v 2是与α平行的两个不共线向量，n 是平面β的法向量．
则①α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β⇔存在实数λ、
μ，对β内任一向量a ，有a ＝λv 1＋μv 2.
②α⊥β⇔⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥v 1n ⊥v 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ n ·v 1＝0n ·v 2＝0
二、用向量法求空间的角
1．求异面直线所成的角
设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、
l 2所成的角为θ，则〈a ，b 〉与θ相等或互补，∴cos θ＝|a ·b ||a |·|b |
. 2．求直线与平面所成的角
如右图，设l 为平面α的斜线，l ∩α
＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法
向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝
|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |
.
3．求二面角
平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－
θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|
.
三、用向量法求空间距离
1．求点到平面的距离
如右图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0)，平面α
内一点A (x 1，y 1，z 1)，平面α的一个法向量
n ，直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝
|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n ||AB
→|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →
|·|cos θ|
＝|n ·AB →||n |
.
2．求异面直线间的距离
设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平
面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，
则AC →∥n ，
∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n ， ∴|AB →·n |＝|AC →
|·|n |.
∴|CD →|＝ |AB →·n ||n |∴两异面直线a 、b 间的距离为d ＝|AB →·n ||n |
.
3．求直线到平面的距离
设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →
∥n ，
∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n ，
∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.
∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |
∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |
. 4．求两平行平面间的距离
(1)用公式d ＝|AB →·n ||n |
求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别为两平面上的任意两点．
(2)转化为点面距或线面距求解．。