第四章 小结与复习

例4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部分， M 为 AD 的中点，MC = 6 cm，求线段 BM 和 AD 的长．
A
B
M
C
D
提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差 关系较为复杂，可以尝试列方程解答.
解：设 AB = 2x cm，
A B BC = 5x cm，CD = 3x cm，
例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点. (1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长； A M C N B 解：∵点M，N分别是AC，BC的中点， 1 1 ∴CM＝ AC＝4 (cm)，CN＝ BC＝3 (cm)， 2 2 ∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm).
B
针对训练
6. 如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面 爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行 的最短路线. B B
A
考点五 角的度量及角度的计算 例7 如图，BD平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2︰5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数. 解：设∠ABE = 2x°，则∠CBE = 5x°, D E ∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°. ∵ BD 平分∠ABC， A B 1 ∴ ∠ABD= ∠ABC =3.5x°. 2 ∵∠ABE+∠DBE =∠ABD ，即2x + 21= 3.5x. 解得 x = 14. ∴ ∠ABC = 7x°= 7×14°= 98 °.
则 AD = AB+BC+CD =10x cm.
M
C
D
∵M 是 AD 的中点， 1 ∴AM = MD = 2 AD = 5x cm. 由 MC + CD= M D得，3x + 6 = 5x. 解得 x = 3. 故 BM = AM－ AB =5x－2x = 3x = 3×3 = 9 (cm)， AD =10x =10×3 = 30 (cm)．
如图②所示： ∠AOC =∠AOB－∠BOC =50°－10°=40°. O 综上所述，∠AOC的度数 为60°或40°．
B C 图② A
考点六 余角和补角
例9 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α 小30º ，求∠α，∠β．
提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答.
解：设∠α＝xº ，则∠β＝180º －xº ． 根据题意 ∠β＝2(∠α－30º )， 得 180－ x＝2(x －30)， 解得 x＝80．
1 2
考点讲练
解析：根据图中的数字，可知 从前面看有3列，从左到右的 个数分别是1，2，1；从左面 看有2列，个数都是2 .
2 1 2
1
解：
从正面看
从左面看
针对训练
1. 如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别 得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对 应立体图形与平面图形用线连接起来．
8. 19点整时，时钟上时针与分钟 之间的夹角是
A. 210°
B. 30°
C. 150°
D. 60°
9 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和 OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的 度数． C B 解：有两种情况： 如图①所示： ∠AOC =∠AOB+∠BOC O 图① A =50°+10°=60°；
(2) 当∠AOC＝α 时， ∠MON等于多少度？ 解：∠BOC=∠AOB+∠AOC =90°+α， B M O A N
∵ON是∠AOC的平分线，
OM是∠BOC的平分线，
C 1 1 ∴∠COM= ∠BOC = (90°+α)， 2 2 1 1 ∠CON= ∠AOC = α， 2 2 1 ∴∠MON=∠COM－∠CON= (90°+α)－α=45°. 2
A 如图②，当C在线段AB外时，
M
BN C
图②
∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
1 1 ∴ BM = AB = ×12 = 6 (cm)， 2 2 1 1 BN = BC = ×4 = 2 (cm) 2 2
∴ MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm). 方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论， 培养分类意识.
A
B
C
D
aa
bb
cc
dd
考点二 立体图形的展开图 例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称 (1)_______ 三棱柱 ，(3)________. 三棱锥 长方体 ，(2)_______
(1)
(2)
(3)
针对训练
2. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)， 可以是一个正方体展开图的是 (C)
(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm， M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度 吗？请画出图形，并说明理由. 1 A MB N C 猜想：MN= b cm. 2 证明：根据题意画出图形，由图可得
MN = MC－NC
1 1 = AC－ BC 2 2 1 1 = (AC－BC) = b (cm)． 2 2
∴∠BOC =∠AOB+∠AOC
B
M O C A N
= 90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，
OM是∠BOC的平分线，
1 1 ∴∠COM = ∠BOC = ×140°=70°， 2 2 1 1 ∠CON= ∠AOC = ×50°= 25°， 2 2 ∴∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°.
二、直线、射线、线段
1. 有关直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 2. 直线、射线、线段的区别
类型 端点个数 线段 射线 直线 延伸性 能否度量
2个 1个
无端点
不能延伸
可度量
向一个方向 不可度量 无限延伸
向两个方向 不可度量 无限延伸
3. 基本作图 (1) 作一线段等于已知线段； (2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
(2) 若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
解：∵OF平分∠AOE， 1 ∴∠AOF = ∠AOE 2 1 = ×120°=60°. 2
由(1)知，∠COF=90°，
F A
E D B
C
O
∴∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－60°=30°.
由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补，
(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm， 其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明 理由； A M C N B 1 猜想：MN = a cm. 2 证明：同(1)可得 1 1 CM ＝ AC ，CN ＝ BC， 2 2 1 1 ∴ MN ＝ CM＋CN ＝ AC＋ BC 2 2 1 1 ＝ (AC＋BC) ＝ a (cm). 2 2
A
D
C
B
5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC = 4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度. A M C N B 解：如图①，当 C 在 AB 间时， 图①
∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点， 1 1 ∴ BM = AB = ×12 = 6 (cm)， 2 2 1 1 BN = BC = ×4 = 2 (cm)， 2 2 ∴ MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm).
2. 角的度量
度、分、秒的互化 1°＝60′，1′＝60″
3. 角的平分线 应用格式：
B C
OC 是 ∠AOB 的角平分线， O 1 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB 2 ∠AOB ＝ 2∠BOC ＝ 2∠AOC
A
4. 余角和补角 (1) 定义 ① 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). ② 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). (2) 性质 ① 同角 (等角) 的补角相等. ② 同角 (等角) 的余角相等.
(3) 当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小 也会发生改变吗？为什么？ B 解：不会发生变化. M A N C
由(2)可知∠MON的大小与∠AOC O
无关，总是等于∠AOB的一半.
针对训练
7. 若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°， 则 ( A) A. ∠A＞∠B＞∠C C. ∠A＞∠C＞∠B B. ∠B＞∠A＞∠C D. ∠C＞∠A＞∠B ( C)
(3) 方位角
① 定义 物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹 角称为方位角，一般以正北、正南为基准， 用向东或向西旋转的角度表示方向. ② 书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
考点讲练
考点一 从不同方向看立体图形 例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面 看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正 方体的个数,画出从正面和左面方向 2 1 看到的平面图形.
Ａ
B
C
D
考点三 线段长度的计算 例3 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm，
3 CB= AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求
E C
B
3 解：∵AC =15cm，CB = AC， 5 3 ∴CB = ×15=9 cm，∴AB =15+9= 24 cm． 5 ∵D，E 分别为 AC，AB 的中点， 1 1 ∴AE = AB =12 cm，DC = AC = 7.5 cm， 2 2 ∴DE = AE－AD =12－7.5 = 4.5 (cm)．
C