相似三角形等比等积式证明
相似三角形口诀归纳
1A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证dc b a =，可先证得fe b a =（fe ,是两条线段）然后证dc f e =，这里把fe 叫做中间比。
①∠ABC =∠ADE ．求证：AB ·AE =AC ·AD②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE ．③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CN2FB ☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF②ABCD③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC 2=OA.OE☞四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
第四章图形的相似——证明比例式或等积式的技巧 同步练习 北师大版数学九年级上册
“十层相似”———相似十大技巧证明比例式或等积式的技巧“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出等积式或比例式（或变化后的式子）中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。
通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。
技巧一：三点定型1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，求证：AD •AB ＝AE •AC ．技巧二：等线段代换2．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥BF ，EF ∥BD ，求证：＝FC DE ．技巧三：等比例代换3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：．技巧四：等积代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE•DE．5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：＝．备注：上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型，还可以灵活使用在其他题型中。
课堂练习1．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．2．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．4．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD •AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD ＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．6．已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．7．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：AM2＝MF•MH．（2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC．8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．9．如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．（1）求证：AE∥DO；（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．11．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．（1）求证：AC⊥BE；（2）求证：＝．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．13．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．14．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．16．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．18．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD•AH．19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH．（1）求证：BH＝AB；（2）求证：AH•BG＝AG•BD．。
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)XXX∠XXX，∴△AEB∽△CEB，∴AE/AC＝EB/EC.又∵△ADB∽△ACB，∴AD/AC＝DB/BC.∴AE/AD＝EB/DB，∴AE/AC＝EB/EC＝EB/(EB+DB)。
ACADAE＝AC·EB/(EB+DB)＝AC·EB/AB.又∵△ABE∽△CDE，∴EB/DE＝AB/CD，∴EB＝AB·DE/CD.∴AE＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·EB)＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·AB·DE/CD)＝AC·AB·DE/(AB+DB)＝AC·DE/AD.又∵△ADE∽△ACB，∴DE/AC＝AD/AB，∴DE＝AC·AD/AB.∴AE＝AC·DE/AD＝AC·AC·AD/(AB·AD)＝AC2/AB，∴AE/AC＝AC/AB＝AC/AD。
AE/AC＝AD/AC，即AE/AC＝AE/AD-∵AC=AD，∴AE/AC＝AE/AE-DE，∴AE/AC＝DE/AE，∴AE2＝AC·DE，∴AE/AC＝DE/AE＝AE2/AC·AE＝AE/AD，即AE＝AC·AD/AB＝AC2/AB。
XXX，∴＝.1.由于文章中没有明显的格式错误，直接删除明显有问题的段落。
2.将原文中的符号改为中文，重新表述如下：已知在三角形ABE和ACB中，∠BAE=∠CAB，因此△ABE∽△ACB。
根据相似三角形的性质，可以得到AE/AB=AC/AE，所以AE²=AB×AC。
又因为AB=AD，所以AE²=AD×AC。
因此，DE²=AE²-BE²=AD×AC-BE²=BE×CE。
相似三角形的性质与判定专题讲义(基础)(精)
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一、相似三角形的性质:1、相似三角形的对应角 ,对应边。
2、相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意:在运用相似三角形的性质解题时,一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定,则应当进行分类讨论。
(二、相似三角形的判定: 1、判定两个三角形相似的条件:(1平行截割: _____(2两角对应相等: (3两边夹: (4三边比:_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤:(1先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角 (2若只能找到一对对应角相等,则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
(3若找不到相等的角,就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替。
二、基础练习1.(2013•重庆已知△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,则△ABC 与△DEF 的面积比为( A .4:3B .3:4C .16:9D .9:162.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为32cm 2,那么小三角形的面积为( A .10cm 2B .14cm 2C .16cm 2D .18cm 23.如图,已知△ABC ,AB=6,AC=4,D 为AB 边上一点,且AD=2,E 为AC 边上一点(不与A 、C 重合,若△ADE 与△ABC 相似,则AE=( A .2B .34C .3或43D .3或345.如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F.若AD =3,AB=5,求: (1AGAF;(2△ADE 与△ABC 的周长之比;ABCDEF三、重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是:1、运用勾股定理计算;2、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。
如何确定相似三角形来证比例式或等积式
如何确定相似三角形来证比例式或等积式同学们在证明三角形中线段的比例式或等积式时，常不知道通过证明哪两个三角形相似可得。
通过我的教学体验可得到一基本方法：先找出与比例式线段有关的两个三角形，再证其相似。
怎样找出与比例式或等积式有关的两个相似三角形呢？常见的规律是：在要证的比例式（等积式可转为比例式）中，把表示第一、三两项的线段端点的三个不同字母为一个三角形的三个顶点，而把表示第二、四两项线段端点的三个不同字母为另一个三角形的三个顶点，那么，这两个三角形就是要证的两个相似三角形。
现举例说明如下。
一、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个不同字母能直接构成三角形时。
例1 在ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、CA 上的高，如图1。
求证：AD ACBE BC=。
分析：如图1，要证ACD A D AC BCE B E BC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭。
为此，只要证ACD ∽BCE ，即可。
证明：如图1，在ACD 和BCE 中，9090AD BC ADC BE AC BEC C C⎫⊥⇒∠=⎪⊥⇒∠=⇒⎬⎪∠=∠⎭ACD ∽BCE ⇒AD AC BE BC =。
二、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个（或四个）不同字母不能直接构成三角形时。
例2 如图2，Rt ABC 中90C ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ，F 是AC 的中点，FD 交CB 的延长线于E 。
求证：BE BCDE AC=。
分析：如图2，要证B C E B E BC D E AC A C D E →⎛⎫= ⎪→⎝⎭、、三点一线、、、四点构不成三角形成立，显然不能直接证两个三角形相似。
因而可交换两内项DE 、BC ，得BED B E D E ABC BC AC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭，显然BED 与ABC 不相似。
当出现以上情况时，应根据已知条件或图形性质，把比例中的某一比（或一线段）用它图 1DECBA图 2321FD EC B A的等量来代替。
相似三角形解题技巧及口诀
FED ABCA 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD •BD⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD •AB⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若是四条线段，欲证，可先证得（是两条线段）然后证，这里把叫做中间比。
①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证：BD•CN=BM•CE ．③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CN☞有射影，或平行，等比传递我看行①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF斜边上面作高线，比例中项一大片 ②ABCD③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD, 求证：OC2=OA.OE☞EA B CDEABCDB CADEDCBA四共线，看条件，其中一条可转换； ①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
相似三角形证明方法
相似三角形证明方法方法一：直接寻求相似三角形只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来.例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则 ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD方法二：利用中间线段代换当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。
例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MDMEAD AE =22命题 1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD ∽△ACB ，A B C DEF G 1234ABCD ABCDEM12AB CDEFKAB2=AD•AC。
命题2 如图，如果AB2=AD•AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
A BCD1例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
方法三：证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母找到一幕中BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形等积等比证明方法
相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.【方法精讲】一、、“三点定形法”例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，△BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）练习1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE·DF 。
二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC中，AD平分△BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
相似三角形解题技巧及口诀
A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 ①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形求证：BD•CN=BM•CE．③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。
求证：BP•PC=BM•CN有射影，或平行，等比传递我看行①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FAB E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD, 求证：OC 2=OA.OE四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
求证：EF2=BE•FC②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，求证：BP2=PE·PF。
③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.求证：DE2=BE·CE.☞两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD 是△ABC 的角平分线. 求证：AB:AC=BD:CD.②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.③在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ， 直线DE 和BC 的延长线交于点P ， 求证：BP:CP=BD:CE.BC④在△ABC 中，BF 交AD 于E.(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED. （3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.B过F做FI//BC，交AD于I，交AE于J过P做PK//BC交AE于K∵F是AC的中点∴FI：CD = 1：2∵D，E是BC的三等分点∴BD：DE：EC = 1：1：1∴BD;DC = 1:2∴IF = BD∴BP ：FP = 1:1 = DP:PI∵F是AC的中点，FI//BC∴I是AD的中点∴AP：⑥△ABC中，AC=BC，F为底边AB 上的一点，（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC，那么CF 所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法(修改)
相似三角形的判定方法
⑴平行于三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
B
A
E
E
D
C
⑵两角分别相等的两个三角形 相似.
2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图 中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC 相似 的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
相似三角形的判定方法
C．
D．
⑶两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
⑷三边成比例的两个三角形相似.
3．在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列
条件不能判定两个三角形相似的是( D )
AB AC
C1
A．∠B＝∠B1
B.A1B1＝A1C1
C
AB BC C.A1B1＝B1C1
AB AC D.B1C1＝A1C1
B
A
A1
B1
相似三角形的判定方法
⑸斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， D为弧AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，连 接AC,AD,BD，弦AC、BD交于点F．
(1)求证：△ADF∽△BDA； (2)求证：AE⋅AB=DF⋅DB
★证明等积式时，如果不能 进行等线段替换，还可以 转化一个乘积.
例4.如图，点E是▱ABCD的边CD延长线 上的一点，连接BE交AC于点O,交 AD于点F. 求证：OB2=OF·OE.
O
★证明等积式时，如果不能转化 一个乘积，也可以转化一个比.
课堂小结 返故悟新
证明等积式时，先将等积式改写成比 例式，然后找相似三角形；如果找不到相 似三角形，可以找等线段；等积或等比转 化.
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法
图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
相似三角形等积等比证明方法
相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形:B C条件DE"BU ^-1421=ZB血型图 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形， 并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形, 从而使问题得以解决【方法精讲】」、、三点定形法例1 已知：如图，△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄AC.求证：AE ACAF 一 BA（判断横定”还是竖定”？） 例2、如图，CD 是Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交 BC 、CD 于点E 、F, AC ・AE=A F AB 吗？ 说明理由。
分析方法：1） _____________________________ 先将积式2） _________________ （ 横定”还是竖定”？）练习1已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90°, AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
2 求证：CD =DE・DF 。
条件AB “DE 条件ZA-ZD 余件AD 是RtABC 斜边上的高 C二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用过渡”其主要类型有三种，下面分情况说明.1、等量过渡法（等线段代换法）例1:如图3, △ ABC 中，AD 平分/ BAC , AD 的垂直平分线 FE 交BC 的延长线于 E.求证：DE2 = BE-CE.2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2:如图4,在△ ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄BC , E 是AC 的中点,3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
相似三角形中的等积式
相似三角形中的等积式说明“等积式”成立的理由是相似三角形中比较常见的题型之一。
解决这类证明题的思想是用数学中的转化思想。
首先，将“等积式”根据比例式的基本性质转化为比例式。
如：将BD AB DC EC ⨯=⨯转化为DC BD AB EC =，只需要说明DC BD AB EC =成立的理由就可以。
一般情况下，可以根据两个三角形相似来说明比例式的成立。
这类题根据难易程度分为三个层次。
下面分别举例介绍。
一、基本形式例题：如图1所示，点E 是四边形ABCD 的对角线BD上一点，并且∠1=∠2=∠3。
试说明BE·AD=CD·AE 的理由。
分析：可以将BE·AD=CD·AE 转化为比例式ADAE CD BE =，通过比例式可以看出只需要判断BE 、AE 所在的△BAE 和AD 、CD 所在的△ACD 相似即可。
解：∵∠1=∠2，∴∠1＋∠4=∠2＋∠4，即∠DAC=∠EAB 。
∵∠1＋∠ADE=∠AEB ，∠3＋∠ADE=∠ADC ，又∵∠1=∠3，∴∠AEB=∠ADC 。
∴△AEB ∽△ADC 。
∴ADAE CD BE =， ∴BE·AD=CD·AE 。
练习：如图2所示,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC 。
试说明AB·BC=AC·CD 的理由。
二、等量代换例题：如图3所示，在□ABCD 中，E 为边AD 延长线上一点，BE 交边CD 于点F ，试说明FC AE BC CD ⋅⋅=的理由。
分析：可以将FC AE BC CD ⋅⋅=转化为比例式BCFC AE CD =，可是找不到三角形。
但是比例式中的CD 和AB 相等，可以进行等量代换，变形为BCFC AE AB =，而要想说明这个比例式成立，只需要说明AB 、AE 所在的△BAE 和FC 、BC 所在的△BFC 相似即可。
解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，DC=AB∴∠ABF=∠BFC ，∠E=∠CBF ，∴△AEB ∽△CBF 。
相似三角形_等积式_比例式
相似三角形的判定相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。
我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。
一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。
因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。
但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。
（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。
等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找岀相似三角形。
例1、已知：如图，△ ABC中，/ ACB=90 0，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于，由等式左边得到△ CDF，由等式右边得到AEDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。
因为/ CDE是公共角，只需证明/DCE= ZF就可证明两个三角形相似证明略（请同学们证明）提示：D为直角三角形斜边AB的中点所以AD=DC,贝U/DCE= 4（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。
有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。
例2.如图，已知△ ABC中，AB=AC , AD是BC边上的中线，CF//BA, BF交AD于P点,交AC于E点求证：BP2=PE PF。
分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△ PECs/PCF，问题就能解决了＜证明：连结PC在AABC 中，TAB=AC，D 为BC 中点，•••AD垂直平分BC，•••PB=PC，•••/1= Z2，•••AB=AC ,「.ZABC= ZACB，•SBC- Z1= ZACB- Z2，• Z3= Z4，•••CF //AB ,「./3= /F,「./4= ZF，又•••/EPC= ZCPF ‘•••△^CE S/PF C,PC PF•••」上,.・.PC2=PE PF ,TPC=PB ,•••PB2=PE PF。
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相似三角形等比式、等积式的证明方法
例1、如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M、N
分别为垂足，求证：AC·AM=MN·AB
练习：如图，已知点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE，求证：AE·AC=AD·AB
例2、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG交AD、AC
于E、F，求证：BE2=EF·EG。
练习：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线
交AD于E，交BC的延长线于F．求证：FD2=FB·FC。
例3、如图 已知三角形ABC 中,∠CAB=90度,AD ⊥BC ，AE=EC ，延长ED 交AB 的延长线于点F ，求证AF
DF AC AB 。
练习：如图，已知E 是平行四边形ABCD 中DA 边的延长线上一点，EC
交DB 于点G ，交AB 于点F ，求证：CG 2=FG ·EG 。
例4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE
相交于点G ，且∠EDF=∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；
（2）DG · DF=DB · EF
练习：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E ．求证：（1）△AED ∽△CBM ；（2）AE ·CM=AC ·CD ．
例5、如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC2=2AC•CD。
练习：如图，已知△ABC中，AD为BC边上中线，过C任作一条直线交AD于E，
交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB．
对应练习：
1、如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．
2、如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交
AD于点F,∠D=∠ECA，试说明AC*BE=CE*AD。
3、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AE·AC。
4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA ·OE。
5、如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2=FG·FH．。