万有引力与Kepler

2 得r ( r r )ur 对极坐标方程求导，有 2A 2A , 拿来[3]式，化简为 r sin r cos p p 4 A2 r 2 cos [6] pr 将[3],[6]代入，得到 4 A2 r u 2 r epr A2 2 一方面，TC1 ab, 结合Kepler的发现 ep C 2 2 4 C 1 m 另一方面，f mr r0 2 epr 4 2 m 即f r (万有引力定律) 2 0 C 2r
第三定律（周期定律） 不难计算出
3 2ab k 2 T 2k 2 E , 用到a L 2E 1 2 3 2
2wenku.baidu.com a
a3 2 Const（进一步说，只与中心 天体质量有关） T
§2.由Kepler三大定律到万有引力定律
用公式写出Kepler的发现如下 1 2 r Const1 2 a3 Const2 2 T ep r (极坐标系) 1 e cos 结合f mr , 在行星轨道上建立坐标 系（单位向量i , j ）并写出基向量 ur i cos j sin u i sin j cos r rur，另有关系式五：
只要知道这个大致是累 加的意思，
d 2r 而 2 dt d 2r d r d d 2 d 2 [ 2 cos r ( ) cos ( r 2 ) sin ] e 1 dt dt dt 2 dt dt d 2r dr d d 2 d2 [ 2 sin r ( ) sin ( r 2 2 ) cos ]e2 dt dt dt dt dt 2 dr d 2 d （而2r r 0） 2 dt dt dt d 2r d 2 2 r( ) (e1 cos e2 sin ) dt dt k r grad u (r ) 2 0 r d 2r 那么 2（注意，不是向量） dt d 2 k L2 k dV ( r ) L2 k r（ ） 2 3 2 记为 ,V (r ) dt r r r dr 2r 2 r
1 dr 2 m( ) m u(r ), 令m 1 2 dt dE 1 dr d 2 r dV dr d 2 r dV 2 2 ( 2 )0 dt 2 dt dt dt dt dt dr 说明能量守恒，可写成 能量E
Lr 2 dr M dt 2( E V ) d 2 dt r d
* * * * * * * 证明第一定律 k 记势能函数u (r ) r0 r 微分，得
（所谓的轨道定律），
下面验证Kepler第二定律（所谓的面积 定律） 1 d S r 2 (t ) t (t ) 2 dt dS S 1 2 d 1 那么 r (t ) L(t ) Const dt t 2 dt 2 # 证毕
2 dL dr d 2 d 0 2r r dt dt dt dt 2
令 r (e1 cos e2 sin )r , e1、e2为单位正交向量 d r dr d (e1 cos e2 sin ) r (e1 sin e2 cos ) dt dt dt dr d dr d （ cos r sin ）e1 （ sin r cos）e2 dt dt dt dt dr 2 d 因此，角动量 L (t ) r m r e1 e2 dt dt 微分后
1 dr 2( E V )


M 1 r2 dr令 r 2( E V ) d M2 2 E k 2
M 2
p M2 2 EM 2 r ,p , e 1 1，行星轨道是椭圆 , 参数如下 2 1 e cos k k p k a 1 e2 2 E b a 1 e2 L 2E
u r ru [1] r r 2 )u [2] r ( r r )u r (r 2r 2C1 2 [3] r 4 Ar 3 [ 4] r 2r 0 [5] r
du dr du dr gradu ( r ) ( , ) dr dx dr dy k 2 2 2 （r x y ) 2 (e1 cos e2 sin ) r # 证毕 这里用到梯度grad u符号，涉及电势、场强 的转化， 英文意：逐渐变化，发 展 更进一步我就说不清了
万有引力定律
与Kepler三大定律
§1.由万有引力定律到Kepler三大定律
GMm F r0 , r0为单位矢量 2 r d2 r 记k GM，考虑牛顿第二定律 F ma m r m 2 ， dt 角动量表达式为 L (t ) mr (t ) v (t ) mr (t ) r (t ) 微分后得到 dL (t ) dr dr d 2r m mr (t ) 2 0(0 ?) dt dt dt dt 此即角动量守恒 , 说明行星运动是平面问 题 进一步得到（不妨令 m 1, 并用到后面结果 )