高中数学 《基本不等式》教案 苏教版必修5
高中数学 基本不等式的证明(1)教案 苏教版必修5
基本不等式的证明（1）【三维目标】：一、知识与技能1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释； 二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力【教学重点与难点】：重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b+≤的证明过程；2a b+≤等号成立条件及“当且仅当b a =时取等号”的数学内涵【学法与教学用具】：1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 提问：2a b+2.2a b+≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。
高中数学第三章《不等式》教案(苏教版必修5)
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、过程与方法
三、情感、态度与价值观
【教学重点与难点】 ：
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性
目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
b 2 4 ac ，则不等式的解
的各种情况如下表： ( 让学生独立完成课本第 86 页的表格 )
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c
y ax2 bx c
（ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
第 14 课时：本章复习与小结
【三维目标】 ：
一、知识与技能
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”
，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
如果 p 是定值 , 那么当 x y 时， s 的值最小； ○2 如果 s 是定值 , 那么当 x y 时， p 的值最大 .
注意： ①前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ② “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
.
思维拓展： 已知 1 a b 5 ， 1 a b 3 ，求 3a 2b 的取值范围。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》05
课题:2a b + 扬州中学树人学校 颜俊【教材分析】 该内容是苏教版必修五第三章第四课时，在本章的前三节中学生学习了不等关系，一元二次不等式解法，和简单的线性规划，这些为本节课提供了坚实的基础。
基本不等式是高中数学中的一个重要的知识点，它在不等式证明和求函数最值方面起着非常重要的作用。
【教学目标】1、学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握不等号“≥”取等号的条件；2、能够运用基本不等式求简单函数的最值；3、通过本节的学习，体会数学【教学重点与难点】2a b +≤的证明过程。
难点：利用基本不等式求最值。
【教学过程】一、问题情境1、 创设情境，提出猜想某人在金店买了金子回来发现重量有误，经仔细观察发现，问题出在老板的天平上，臂长不等。
思考：要求店主分别把金子放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，然后把两次称得重量的算术平均数2a b +作为金子的重量，这样行吗？利用该天平能否得出物体的实际质量？思考：如何求出物体的实际质量？这个同学的猜想相比实际质量是高了还是低了？2a b + 的大小关系。
2、证明命题、返璞归真思考：你能对刚才的猜想进行证明吗3、几何验证，加深理解已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 上一个动点，过点C 作垂直于AB 的弦CD,,AC a CB b ==。
你能根据该图给出猜想的几何解释吗？二、知识生成1、(),2a b a b a b +≤=如果当且仅当时取等号。
称为这两个正数的几何平均数，2a b + 称为这两个正数的算术平均数。
2、()0,02a b a b +≤≥≥称为基本不等式。
注意：（1）基本不等式成立的条件；（2）等号成立的条件。
三、简单应用()12a b b a +≥ ()122a a +≥1x思考1：若x>0,如何求y=x+的最小值。
()162,0,,2y x x x ∈+∞+思考：已知函数=+求此函数最小值。
1[6,),2x y x x ∈+∞=++探究：求函数的最小值。
3.4.基本不等式的应用-苏教版必修5教案
3.4.基本不等式的应用-苏教版必修5教案一、知识概述本节课我们将介绍基本不等式的应用。
我们已经学会了基本不等式，现在要对其进行应用，掌握如何解决部分实际问题。
二、授课内容1.基本不等式的应用2.最值问题3.差值问题4.实例讲解三、教学重点1.理解基本不等式的应用2.掌握最值问题的解法3.掌握差值问题的解法四、教学难点1.如何将问题转化为基本不等式的形式2.如何通过基本不等式求解最值问题和差值问题五、教学方法1.讲解法2.互动式教学法3.例题分析法六、教学思路1.介绍基本不等式的应用，以最值问题和差值问题为例，引导学生思考如何将问题转化为基本不等式的形式。
2.通过讲解和例题分析，掌握如何通过基本不等式求解最值问题和差值问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
七、教学建议1.强调基本不等式的重要性和应用价值。
2.通过实例讲解，让学生深刻理解基本不等式的应用。
3.常结合实际问题展开讨论，培养学生的解决问题的能力。
八、课堂互动1.让学生分组，互相讨论如何将一个实际问题转换为基本不等式的形式，并进行讨论和探究。
2.以小组为单位比赛，让学生利用基本不等式解决提供的实际问题，增强学生解决问题的能力。
3.提供实例，让学生找出其中的最值或差值，从而演示如何通过基本不等式来解决问题，鼓励学生积极参与并展开讨论。
九、教学评估1.通过布置作业考察学生对基本不等式应用的掌握程度。
2.让学生在课后提交解决实际问题的思路和解题过程分析，从而检验学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
十、教学反思基本不等式的应用是重难点之一，需要学生对基本不等式的运用更加熟练，需要通过教师的引导和不断探究学生逐步掌握和理解。
在教学过程中，通过各种方式创设良好的课堂氛围，注重学生与教师的互动，以实际问题为切入点，帮助学生建立基本不等式应用的思维模型。
同时对学生进行个别化指导，全方位提高学生的学习积极性和学习能力，使教学效果更加显著。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》
基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。
如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。
不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。
那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。
这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。
由此可知，物体的实际质量是。
对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。
[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。
x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。
苏教版高中数学(必修5)3.4《基本不等式≥(a＞0,b＞0)》word教案3篇
第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、过程与方法2a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。
二、研探新知最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy yx ≥+2，①当xy p = (定值)时，p yx ≥+2∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2； ②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
高中数学基本不等式证明 教学设计苏教版必修5
课 题：基本不等式的证明一、学生起点分析学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。
在两个数的算术平均数和几何平均上，我我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。
这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。
二、教学任务分析《不等式》是高中必修5的第三章，《不等式的证明》是第一节的内容。
教材分析本节内容安排了1个学时本小节内容包括两个正数的算术平均数和几何平均数的证明及其证明，其次是基本不等式，主要从证明和应用两个方面进行探究。
利用正数的算术平均数和几何平均数我们可以求某些非二次函数是最值。
本小节主要从三个不等式的常见方法——比较法，分析法，综合法，来对基本不等式给予证明。
教材地位及作用不等式是高中的重点也是难点，证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立。
由于不等式的形式多样多种，所以不等式的证明也就灵活多样，具体问题具体分析是不等式的精髓。
用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点，在具体的题目中，“正数”条件往往易从提示中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常设计为一个难点，这需要灵活的变形技巧。
因此，“定值”条件决定着基本不等式的可行性，这是解决最值的关键。
近几年还往往和三角函数、立体几何综合求最值。
三、教学目标分析教学目标：知识目标：1，知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平均数和几何平均数。
2，理解基本不等式的证明过程。
技能目标：1，掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。
2，通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。
3，体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。
苏教版高中数学必修五教案基本不等式的证明(1)
基本不等式的证明（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、过程与方法2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。
二、研探新知最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2， ①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴241s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
高中数学必修五《基本不等式》精品教案
高中数学必修五《基本不等式》精品教案教师引导学生通过面积的比较，抽象出基本不等式，并让学生探索取等号的条件。
1.让学生计算正方形ABCD和直角三角形的面积，从而理解不等式的含义。
2.引导学生通过观察前面得到的结论，归纳出基本不等式ab≤(a+b)/2.3.让学生思考取等号的条件，即a=b时等号成立。
4.引导学生思考例子，如何验证取等号的条件。
5.让学生总结基本不等式的几何意义和取等号的条件。
教学环节问题设计意图师生活动巩固练1．已知a，b为正数，且ab=1，求证a+b≥2.2．已知a，b为正数，且a+b=2，求证ab≤1.1.让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固所学知识。
2.引导学生运用基本不等式解决实际问题，加深对基本不等式的理解。
1.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。
2.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。
五．教学反思本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法，让学生从实际问题出发，通过观察、探究、归纳等方式，深入理解基本不等式的几何意义和取等号的条件。
同时，通过多媒体辅助教学，加深学生对基本不等式的理解。
在巩固练环节，让学生通过实际问题的解决，加深对基本不等式的应用。
整节课教学紧密联系实际，符合学生的研究兴趣和认知规律，达到了预期教学目标。
6.能否用代数证明不等式a2+b2≥2ab？7.如果用a、b替换不等式a+b≥2ab中的a、b，前提条件是什么？能得到什么结论？8.能否用代数证明基本不等式？9.请用语言文字表述基本不等式？从数列的角度又如何描述呢？10.你们能否利用这个图形解释基本不等式的几何意义吗？教师引导学生：假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，让学生计算正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和，证明不等式a2+b2≥2ab。
2.发挥学生自主研究的能动性，让学生在证明过程中体会分析法的证明思想，并从代数和几何的不同角度理解不等式，拓展学生的思维空间。
高中数学 《基本不等式》教案5 苏教版必修5
第九课时 基本不等式（二）教学目标：使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。
教学重点、难点：均值不等式定理的应用。
教学过程：1．复习回顾2．例题讲解：例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴y ∈[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例2：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1 的最小值 解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3 ∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？ 总结：一正二定三相等。
介绍：函数y ＝x ＋1x的图象及单调区间例3：求下列函数的值域（1）y = x 2＋3x ＋5x ＋1 （2）y = x ＋1 x 2＋3x ＋5解：（1）y ＝(x ＋1) 2＋(x ＋1)＋3x ＋1 ＝(x ＋1) ＋ 3x ＋1＋ 1 当x ＋1＞0时，y ≥2 3 ＋1 ；当x ＋1＜0时，y ≤－2 3 ＋1即函数的值域为：（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）（2）当x ＋1≠0时，令t = x 2＋3x ＋5x ＋1则问题变为：y = 1t，t ∈（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞） ∴y ∈[1 －2 3 ＋1 ，0）∪（0，1 2 3 ＋1] 又x ＋1 = 0时，y = 0即y ∈[－ 1＋2 3 11 ，2 3 －111] 说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。
例4：求下列函数的最大值（1）y ＝2x （1－2x ）（0＜x ＜12） （2）y ＝2x （1－3x ）（0＜x ＜13）例5：已知x ＋2y ＝1，求 1x ＋1y的最小值。
3．课堂小结一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。
2015年高二数学教案《基本不等式》(1)(苏教版必修五)
第三章 不等式 第9课时 基本不等式(1)
教学目标：
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.体会证明不等式的基本思想；
3.会用基本不等式解决简单的最值问题.
教学重点：
基本不等式
教学难点：
基本不等式
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
基本不等式：
Ⅲ.数学应用
例1：设a,b,x 为正数，证明下列不等式：
（1）21≥+
a a （2）2≥+b
a a b
(3) ()()4ab cd ac bd abcd ++≥ (4) ab b a b a ≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+22222
练习：（1）设x ，y ，z 为正数，试证：y z z x x y x y z
+++++≥6
（2）设a>0，试证：1(1)(1)a a ++≥4 （3）ca bc ab c b a ++≥++222
例2：设函数()+∞-∈++
=,2,24x x x y ，求此函数的最小值.
练习：（1）若1->x ，则当= 时，11++
x x 有最小值，最小值为 .
（2）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的的值.
(3) 已知,,,1a b c R a b c +∈++=，求证：
1119a b c
++≥
思考：若上题改成10<<x ，结果将如何？
Ⅳ. 课时小结
Ⅴ. 课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P88 1,3,4。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》5
基本不等式的证明（学案）教学目标：（1）学会推导不等式2a bab +≤，理解不等式的几何意义。
（2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用基本不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式2a bab +≤的推导及应用。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。
教学过程：一、导入新课1、 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。
在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。
探究：这会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 设小直角三角形的两条直角边为、a b ，正方形的面积1 = 。
四个直角三角形的面积和2= 。
1 与 2的大小关系： 思考：当a=b 时,1 与 2的大小关系：2、（动手实验思考）材料：准备好两张大小不一的正方形纸张,一张边长为a,另一张边长为b 二、新课学习1、重要不等式: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立 特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得2、基本不等式均值不等式）：2a bab +≤00a ,b >> 变形： ， 当且仅当 时,等号成立 其中2a b+叫做a,b 的算术平均数， ab 叫做a,b 的几何平均数基本不等式的文字语言：两个非负数的算数平均数不小于几何平均数 从数列角度，可以叙述：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 3、基本不等式的几何意义探究：如右图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点， AC=a,BC=b过点作点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 1）图中你能找到长度为2a b+ 与的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？2）移动点C 在线段AB 上的位置，你有什么结论呢？半径不小于半弦 4、 两个公式的对比结论:一正二定三相等 三、实战演练的最小值求函数、已知例xx x f x 1)(,01+=>2)(112121)(0的最小值为时取等号即当且仅当解：x f x xx x x x x x f x ∴===•≥+=∴> 变式：的取值的最小值和此时，求函数已知x x x x f x 11)(1)1(-+=> 3)(21113111)1(2111111)(01,1的最小值为时，取到等号即当且仅当解x f y x x x x x x x x x x f x x =∴=-=-=+-•-≥+-+-=-+=>->构建“定”的最值求函数已知xx x f x 1)(,0)2(+=<2)(112121:的最小值是时，等号成立即当且仅当解x f y x xx xx x x =∴-===•≥+错因：正 正解：2-)(112)(2)(1)()(1)(1)(0,0有最大值为时取等号即当且仅当解：x f y x xx x f x x x x x x x f x x =∴-=-=--≤∴≥-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+=>-∴< 的取值的最小值和此时求函数已知x xx x f x 1)(,2)3(+=≥ 2)(2121)(2的最小值为解：x f y xx x x x f x =∴=•≥+=≥ 错因：相等正解：[)25)2()(,21)(,2==∴+∞+=≥f x f y xx x f x 的最小值为为单调递增函数在由对勾函数可得解改编：≥+>abb a ab 则若,0)1(练1、 1）、若0ab >，则a bb a+≥，求函数的最小值已知函数)2(23)()2(>-+=x x x x f例2（1）用篱笆围一个面积为100㎡的矩形菜园，问这个矩形的长宽各多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（2） 探究：正实数,，若积是定值,x y _______xy =x y +长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？趣味数学故事:年轻聪明的王子想买商人手中的宝石，于是商人拿出一个制造不精确的天平（天平两臂的长度不相等），商人想出了一个自认为很公平的办法：先把宝石放在左托盘称出重量（a ），再把宝石放在右托盘称出重量（b ），最后取他们的平均数，王子会同意吗？ （四）小结思考题：（1）已知、都是正数，求证：（＋）（2＋2）（3＋3）≥８33的最大值，求设)1(10)2(x x y x -=<< 的最小值求函数23)()3(22++=x x x f。
高中数学 基本不等式的证明(1)教案 苏教版必修5
基本不等式的证明（1）【三维目标】：一、知识与技能1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 【教学重点与难点】：重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 难点：理解基本不等式2a b ab +≤等号成立条件及“当且仅当b a =时取等号”的数学内涵【学法与教学用具】：1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 提问：2a b+与ab 哪个大？ 2.基本不等式2a bab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
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基本不等式
一、教学目标
(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
二、教学重点、难点
教学重点：两个不等式的证明和区别
教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵
三、教学过程
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设
直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
（22a b +）
提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）
提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，
222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？ （当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有
22
2a b ab +=）
1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
证明:222)
(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当
所以 22
2a b ab +≥
注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,
(0,0)2a b
a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导
提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式
0,0)2a b
a b +≥>>的几何解释吗？
的算术平均数，为称b a b
a ,2 .2+ . , 的几何平均数为
b a ab
为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证： 练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a c ab
b ac
a bc ++≥++
, ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21
b a Q +=，2lg b
a R +=
比较R P 、、Q 、的大小
例4、当1->x 时，求函数11
3)(2
++-=x x x x f 的值域。
例5、若实数a 、b 满足,2=+b a 求b a 33+的最小值
四：课堂小结：
比较两个重要不等式的联系和区别
222a b ab +≥ 0,0)2a b
a b +≥>>。