(4.4.1)--3.4转置矩阵与对称矩阵

再识矩阵
转置矩阵以及对称矩阵
定义将矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T.即有
A=
a11a12⋯a1n
a21a22⋯a2n
⋮⋮⋱⋮
a m1a m2⋯a mn
A T=
a11a21⋯a m1
a12a22⋯a m2
⋮⋮⋱⋮
a1n a2n⋯a mn
A=122
654
A T=
16
2
2
5
4
B=156172
B T=
15
6
17
2
如
（1）A
T T
=A 一般地，
（2）(A +B)T =A T +B T
（3）(kA)
T =
kA
T （4）(AB)T =B T A T （条件）
若A 为n 阶方阵，m 为正整数，则A m T
=A T
m
(A 1A 2⋯A k )T =
A k T A k−1T ⋯A 1T
（条件）
转置矩阵的运算规律
特别地，
证明：只证（4）设A=(a ij)m×n,B=(b ij)n×t
则(AB)T和B T A T都是t×m矩阵，我们只需证明这两个矩阵的
i行j列处的元素都对应相等。

由于(AB)T的i行j列处的元素就是AB的j行i列处的元素，
而AB的j行i列处的元素为
a j1a j2⋯a jn b1i b2i ⋮
b ni
另一方面，B T A T 的i 行j 列处的元素等于B T 的第i 行与A T 的j 列的乘积，
b 1i b 2i ⋯b ni ，a j1
a j2
⋮
a jn
而B T 的第i 行为A T 的第j 列为因此B T A T 的i 行j 列处的元素等于b 1i b 2i ⋯b ni
a j1a j2
⋮a jn 两者都等于a j1b 1i +a j2b 2i +⋯+a jn b ni
因而
(AB)T =B T A T
A=20−1 132
,
例已知B=17−1
423
201
,求(AB)T
AB=20−1
13217−1
423
201
=014−3
171310
,
(AB)T=
017 1413−310
解1
(AB)T=B T A T=解2
142
720
−131
21
03
−12
=
017
1413
−310
定义若n阶方阵A满足A T=A,即a ji=a ij,i,j=1,2,⋯n,则称为A是对
称矩阵，简称对称阵.
125
201
513
对称阵的特点是其元素关于主对角线对称，对应相等.
1.对称阵线性运算仍为对称阵；
2.两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.
2−1−10×01
10
=−12
0−1
注：
定义若n 阶方阵A 满足A T =−A ,即a ji =−a ij ,i,j =1,2,⋯n ,则称为A
是反对称矩阵，简称反对称阵.反对称矩阵的对角元必为零，即a ii =0.是3阶反对称矩阵.
如
0−54501−4−10
例1 设X为n×1矩阵，且X T X=1，E n为n阶单位阵,H=E n−2XX T,证明：H为对称矩阵,且HH T=E n
=E n−2XX T=H 证：由于H T=(E n−2XX T)T=E n T−2(XX T)T
所以H为对称矩阵.
HH T=H2=(E n−2XX T)2=E n2−4XX T+4(XX T)(XX T) =E n−4XX T+4X(X T X)X T
=E n−4XX T+4XX T
=E n
例2 对于任意的n 阶矩阵A ，证明：
（1）A +A T 是对称阵，A −A T 是反对称阵.（2）A 可表示为对称阵与反对称阵之和.证（1）(A +
A T )T =
A
T
+(A T )
T =A
T +A =A +
A
T 故A +A T 是对称阵.
(A −A T )T =A T −(A T )T =A T −A =−(A −A T )故A −A T 是反对称阵.
（2）由A 故A 可表示为对称阵与反对称阵之和.
=
A +
A
T 2
+
A
−A
T 2
又由(1)知A
+A T
是对称阵，A
−A T
是反对称阵.。