空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
专题26 空间向量在立体几何中的运用(2)(纯答案)
专题26 空间向量在立体几何中的运用（2）答案题型一、面面角例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．【解析】（1）设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a ===，2PA PB PC ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)222E A C P --. 所以31(,,0),(0,1,)22EC EP =--=-. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则00EPEC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即021022y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可取(=m . 由（1）知AP =是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ， 则cos ,|||5⋅==n m n m n m |. 所以二面角B PC E --的余弦值为5.变式1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【解析】设AB a =，ADb =，1AAc =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内． （2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ． 设2n 为平面1A EF 的法向量，则22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为121212cos ,||||⋅〈〉==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --．变式2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5.【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --变式3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒，故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）．于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --． 题型二、探索性问题例2、【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析.【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）． 所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以cos ,||⋅〈〉==‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P．（3）直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--， 所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内.变式1、(2019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港二调）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AP ＝AD ＝2.(1) 求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(2) 若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥平面PCD ，试确定点M ，N 的位置．规范解答 (1)由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． 从而PB →＝(1，0，－2)，PC →＝(1，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋2y －2z ＝0，2y －2z ＝0，不妨取y ＝1，则x ＝0，z ＝1.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)．(3分) 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈PB →，n 〉|＝|PB →·n |PB →|·|n ||＝105，即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.(5分) (2)设M (a ，0，0)，则MA →＝(－a ，0，0)．设PN →＝λPC →，则PN →＝(λ，2λ，－2λ)，而AP →＝(0，0，2)， 所以MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝(λ－a ，2λ，2－2λ)．(8分) 由(1)知，平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，1)， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN →∥n .所以⎩⎨⎧λ－a ＝0，2λ＝2－2λ，解得λ＝12，a ＝12.所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点．(10分)变式2、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）如图，ABC 为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC 沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD 中，且直线AB 与平面ACD AD 的长.【答案】（1）2 （2. 【解析】（1）过A 作AE BD ⊥交BD 于E ，则AE ⊥平面BCD . 取BC 中点O ，连接AO ，OE ， ∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴AE BC ⊥，又ABC 是正三角形，∴BC AO ⊥， 又AEAO A =，AE ，AO ⊂平面AOE ，∴BC ⊥平面AOE ，∴BC OE ⊥.又BC CD ⊥，O 为BC 的中点，∴E 为BD 的中点.∵2BC CD ==，∴112OE CD ==，AO =BD =，∴DE =AE ==∴2AD ==；（2）取BC 中点为,O 过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ,连接AO ,因为,AB AC OE BC =∴⊥.以O 为原点，以BC 为x 轴，以OE 为y 轴，以平面BCD 的过O 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D BC A --为θ，因为AE ⊥平面BCD ，与（1）同理可证BC ⊥平面AOE ，OE BC ⊥，AOE θ∴∠=，AO =则)A θθ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C ，(1,2,0)D .∴(1,)BA θθ=，(0,2,0)CD =，()CA θθ=-，设平面ACD 的法向量为(,,)nx y z =，则200n CD y n CA x y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-⋅⋅=⎪⎩， 令1z =，得(3sin ,0,1)n θ=.∴cos ,n BA <>==解得sinθ=∴1(0,,22A ，又(1,2,0)D ，∴AD ==变式3、如图1，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(如图2)．(1) 求二面角GEFD 的大小；(2) 在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程．图1图2【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则EF →＝(0，－1，0)，EG →＝(1，1，－1)． 设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝－y ＝0，n ·EG →＝x ＋y －z ＝0，取n ＝(1，0，1)．又平面EFD 的法向量为m ＝(1，0，0)，所以cos 〈m ，n 〉 ＝m ·n |m |·|n |＝22，所以二面角GEFD 的大小为45°.(2) 设PQ →＝λPB →(0＜λ＜1)，则AQ →＝AP →＋PQ →＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ)． 因为AQ ⊥PC ，所以AQ →·PC →＝0， 即2×2λ－2(2－2λ)＝0，解得λ＝12.又AD ⊥PC ，AD ∩AQ ＝A ，AD ，AQ ⊂平面ADQ ， 所以PC ⊥平面ADQ ， 故Q 是线段PB 的中点．变式4、如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA, OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1) 设P 为AC 的中点．在AB 上是否存在一点Q ，使PQ ⊥OA ？若存在，计算ABAQ的值；若不存在，请说明理由．(2) 求二面角OACB 的平面角的余弦值．【解析】 (1) 取O 为坐标原点，分别以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B(－12，32，0)．因为P 为AC 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设AQ →＝λAB →，λ∈(0，1)． 因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0，所以OQ →＝OA →＋AQ →＝(1，0，0)＋λ(－32，32，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32λ，32λ，0，所以PQ →＝OQ →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32λ，32λ，－12.因为PQ ⊥OA ，所以PQ →·OA →＝0，即12－32λ＝0，解得λ＝13，所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，36，0使得PQ ⊥OA ，且AB AQ ＝3.(2) 记平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则由n ⊥CA →，n ⊥AB →，且CA →＝(1，0，－1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，－32x ＋32y ＝0，故可取n ＝(1，3，1)． 又平面OAC 的法向量为c ＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，c 〉＝（1，3，1）·（0，1，0）5×1＝35，故二面角OACB 的平面角是锐角，记为θ，则 cos θ＝155.1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点.D A B C M，由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)=-==(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n .DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ，2sin ,5DA =n ， 所以面MAB 与面MCD . 2、【2018年高考北京卷理数】如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B−CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交． 【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析. 【解析】（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．（2）由（1）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐标系E -xyz ．由题意得B （0，2，0），C （-1，0，0），D （1，0，1），F （0，0，2），G （0，2，1）． ∴=(201)=(120)CD CB ，，，，，， 设平面BCD 的法向量为()a b c =，，n ， ∴00CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴2020a c a b +=⎧⎨+=⎩，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量(214)=--，，n ， 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB ，，，∴cos =21||||EB EB EB ⋅<⋅>=-n n n ．由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为 （3）由（2）知平面BCD 的法向量为(214)=--，，n ， ∵G （0，2，1），F （0，0，2）， ∴=(021)GF -，，，∴2GF ⋅=-n ，∴n 与GF 不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内， ∴GF 与平面BCD 相交．3、【2018年高考天津卷理数】如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】（1）见解析；（2；（3）3.【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，32，1），N （1，0，2）．（1）依题意DC =（0，2，0），DE =（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，， 不妨令z=–1，可得n 0=（1，0，–1）．又MN =（1，32-，1），可得00MN ⋅=n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）依题意，可得BC =（–1，0，0），(122)BE =-，，，CF =（0，–1，2）． 设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得n =（0，1，1）． 设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00BC CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得m =（0，2，1）． 因此有cos<m ，n>=||||⋅=m n m n sin<m ，n．所以，二面角E –BC –F． （3）设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得(12)BP h =--，，． 易知，DC =（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DCBP DC BPDC h ⋅<⋅>==，解得h ∈［0，2］． 所以线段DP 的长为3. 4、（2020届山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ，SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =.（1）证明：直线//SD 平面ACE ；（2）求二面角S AC E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）13【解析】（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为//AD BC ,所以AFD ∆与BCF ∆相似,所以2BF BC FD AD==, 又=2BE BF ES FD=,所以//EF SD , 因为EF ⊂平面ACE ,SD ⊄平面ACE ,所以直线//SD 平面ACE（2）由题,因为平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD平面ABCD CD =,BC ⊂平面ABCD ,BC CD ⊥,所以BC ⊥平面SCD ,以C 为坐标原点,,CD CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,因为224BC AD CD ===,2BE ES =,则(0,0,0)C ,(1,1,0)S ,(0,2,2)A ,224(,,)333E , 所以(0,2,2)CA =,(1,1,0)CS =,224(,,)333CE =, 设平面SAC 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CA m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 令1z =,得1x =,1y =-,于是(1,1,1)m =-,设平面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 令1z =,得1x =-,1y =-,于是(1,1,1)m =--,设二面角S AC E --的平面角的大小为θ,则1cos 3m nm n θ⋅==, 所以二面角S AC E --的余弦值为135、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABCA B C -中，平面1ACB ⊥平面11A ABB ，11AB A B =，O 为1AB 与1A B 的交点．（1）求证：1AB CO ⊥；（2）求平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13. 【解析】（1）因为四边形11A ABB 为菱形，所以11A B AB ⊥，又平面1ACB ⊥平面11A ABB ，平面1A CB 平面111A ABB A B =，所以1AB ⊥平面1A CB ， 因为CO ⊂平面1A CB ，所以1AB CO ⊥.（2）因为11A B AB =，所以菱形11A ABB 为正方形，在Rt COA ∆中，CO ==在COB ∆中，CO OB ==2CB =，222CO OB CB +=， 所以，CO OB ⊥，又1CO AB ⊥，11A B AB O ⋂=，所以，CO ⊥平面11A ABB ；以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.)A，()10,A，(C，()B，设平面11ACC A的一个法向量为()1111,,n x y z=平面ABC的一个法向量为()2222,,n x y z=，则11110,0,⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11x=，得()11,1,1=-n，22220,0,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令21x=，得()21,1,1=n，设平面11ACC A与平面ABC所成锐二面角为α，则21121cos33α⋅===n nn n，所以平面11ACC A与平面ABC所成锐二面角的余弦值为13.6、（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，扇形AOB的半径为2，圆心角120AOB∠=，点C为弧AB上一点，PO⊥平面AOB且PO=，点M PB∈且2BM MP=，PA∥平面MOC．（1）求证：平面MOC ⊥平面POB ；（2）求平面POA 和平面MOC 所成二面角的正弦值的大小.【答案】(1)见证明；(2) 4【解析】（1）如图，连接AB 交OC 于点N ，连接MN ，PA ∥平面MOC ，∴PA ∥MN ，2BM MP =，2BN NA ∴=，2OA OB ==，120AOB ∠=，AB ∴=，BN ∴=，又30OBA ∠=，∴在BON △中，根据余弦定理得ON =， 222ON OB BN ∴+=，90BON ∴∠=，ON OB ∴⊥， 又PO ⊥平面AOB ，ON OP ∴⊥，ON ∴⊥平面POB ， 又ON ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面POB（2）由（1）得,,OC OB OP OC OP OB ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系O xyz -， 5OP =，2OA OB OC ===，∴OP =，(3,1,0)OA =-，(2,0,0)OC =，(0,2,0)OB =，点M PB ∈且2BM MP =，2(0,3OM ∴=， 设平面POA 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则1100n OP n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100y =-=， 令11x =，得1y =10z =，∴1(13,0)=n ，设平面MOC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则2200n OC n OM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222202033x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即22200x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21z =，得2y =，20x =，∴2(0,=n ，设平面POA 和平面MOC 所成二面角的大小为θ，则|cos |4θ==，sin 4θ∴=， ∴平面POA 和平面MOC所成二面角的正弦值的大小为4。
空间向量在立体几何中的应用（重点知识+高考真题+模拟精选）
空间向量在⽴体⼏何中的应⽤（重点知识+⾼考真题+模拟精选）空间向量在⽴体⼏何中的应⽤【重要知识】⼀、求平⾯法向量的⽅法与步骤：1、选向量：求平⾯的法向量时，要选取两个相交的向量，如AC AB ,2、设坐标：设平⾯法向量的坐标为),,(z y x n =3、解⽅程：联⽴⽅程组=?=?0AC n AB n ，并解⽅程组4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，⽽是⽐例关系。
设定某个坐标为常数得到其他坐标⼆、利⽤向量求空间⾓： 1、求异⾯直线所成的⾓：设b a ,为异⾯直线，点C A ,为a 上任意两点，点D B ,为b 上任意两点，b a ,所成的⾓为θ，则BDAC BD AC ??=θcos【注】由于异⾯直线所成的⾓θ的范围是：?≤设直线l 的⽅向向量为a ，平⾯α的法向量为n ，直线l 与平⾯α所成的⾓为θ，a 与n所成的⾓为?，则na n a ??==?θcos sin【注】由于直线与平⾯所成的⾓θ的范围是：?≤≤?900θ，因此0sin ≥θ 3、求⼆⾯⾓：设21,n n 分别为平⾯βα,的法向量，⼆⾯⾓βα--l 为θ，则>=<21,n n θ或><-21,n n π，其中212121,cos n n n n n n ??>=<三、利⽤向量求空间距离： 1、求点到平⾯的距离设平⾯α的法向量为n ，,α?A α∈B ，则点A 到平⾯α的距离为nn AB ?2、求两条异⾯直线的距离设21,l l 是两条异⾯直线，n 是公垂线段AB 的⽅向向量，D C ,分别为21,l l 上的任意两点，则21l l 与的距离为nn CD AB ?=【重要题型】1、（2012⼴东，理）如图所⽰，在四棱锥ABCD P -中，底⾯ABCD 为矩形，ABCD PA 平⾯⊥，点E 在线段PC 上，BDE PC 平⾯⊥（1）证明：PAC BD 平⾯⊥（2）若2,1==AD PA ，求⼆⾯⾓A PC B --的正切值2、（2013⼴东，理）如图①，在等腰三⾓形ABC 中，?=∠90A ，6=BC ，E D ,分别是AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点。
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2PA 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵PA ＝AC ＝1，PA ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面PAB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9题图 10题图 11题图 9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。
空间向量与立体几何练习题(带答案)
空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。
空间向量和立体几何练习题与答案
空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的 一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。
空间向量在立体几何中的应用__夹角的计算习题详细答案解析
【巩固练习】 一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5）B. （-1，1，-1）C. （1， 1，1）D. （1，-1，-1）2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，1111114A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．1030B ．21 C ．1530 D ．1015 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为89，则λ=( )A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，12AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621 B ．338 C ．60210D ．302106.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1==2AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ）A ．216B ．833C ．21060D ．21030二、填空题8．若平面α的一个法向量为()330=n ，，，直线l 的一个方向向量为()111=b ，，，则l 与α所成角的余弦值为 _．9．正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB CC 、的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.10. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 .11. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=，则平面BDF 和平面ABD 的夹角余弦值是_______.三、解答题12. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1D B 上，∠60PDA =︒.（Ⅰ）求DP 与1C C 所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面11A ADD 所成角的大小.13. 如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线2AC =，2BD AE ，CF 都与平面ABCD 垂直，1AE =， 2CF =，求平面ABF 与平面ADF 的夹角大小.14. 如图（1），在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D E ，分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，2DE ＝，将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使1A C CD ，如图（2）．(1)求证：1A C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．15．(2016 浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3．(Ⅰ)求证：EF ⊥平面ACFD ；(Ⅱ)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.【答案与解析】 1.【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.排除A ，C ，D ，选项为B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则1131(1,1,0),(1,,1),(0,0,0),(0,,1)44B E D F ．所以，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1)44BE =-=-，111(0,,1)(0,0,0)(0,,1)44DF =-=，1174BE =，1174DF =， 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=．所以，111111cos ,151516.17171744BE DF BE DF BE DF ⋅<>=⋅==⋅因此，1BE 与1DF 所成的角的余弦值是1517． 3.【答案】A【解析】如图所示，以C 为原点建立的空间直角坐标系， 则()()()()()1111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,A B C A B 由中点公式可知，11111101222D F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，11111101222BD AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，， ，111-1304cos 103524BD AF +==，.4.【答案】C【解析】由cos =a b a b a b ，可得，25510840λλ+= ，即()()25520λλ+= ， 即2=λ 或255=λ. 5.【答案】D 【解析】().22214214,0,0,0,,0,,0,000.,0,222244OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a P D a a ⊥==∴⊥⊥⊥-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 平面，，， ，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210.30OD a a PBC n OD n OD n OD nOD PBC OD n OD PBC θθ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的余弦值为6.【答案】A【解析】如图，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，以OS 为z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz 。
高三数学一轮专题复习空间向量在立体几何中的应用(有详细答案)
空间向量在立体几何中的应用1. (选修21P97习题14改编>若向量a＝(1，λ，2>，b＝(2，－1，2>且a与b的夹角的余弦值为错误!，则λ＝________．答案：－2或错误!2. (选修21P89练习3>已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且错误!＝a, 错误!＝b, 错误!＝c，用a，b，c表示向量错误!＝________．b5E2RGbCAP答案：错误!(b＋c－a>3. (选修21P101练习2改编>已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1>，平面α的法向量为错误!，则m＝________.p1EanqFDPw答案：－84. (选修21P86练习3改编>已知a＝(2，－1，3>，b＝(－1，4，－2>，c＝(7，5，λ>，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于________．DXDiTa9E3d答案：错误!5. (选修21P110例4改编>在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．RTCrpUDGiT答案：错误!1. 直线的方向向量与平面的法向量(1> 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．(2> 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．5PCzVD7HxA2. 线面关系的判定直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1>，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2>，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1>，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2>．jLBHrnAILg (1> 如果l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1．(2> 如果l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(3> 若l1∥α，则e1⊥n1e1·n1＝0a1x1＋b1y1＋c1z1＝0．(4> 若l1⊥α，则e1∥n1e1＝kn1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1．(5> 若α∥β，则n1∥n2n1＝kn2x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2．(6> 若α⊥β，则n1⊥n2n1·n2＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3. 利用空间向量求空间角(1> 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是错误!.xHAQX74J0X②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|.(2> 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是错误!.LDAYtRyKfE②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.Zzz6ZB2Ltk(3> 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ> 若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①>．dvzfvkwMI1(ⅱ> 设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角>的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③>．rqyn14ZNXI题型1 空间向量的基本运算例1 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝________.EmxvxOtOco答案：－错误!a＋错误!b＋c错误!已知空间三点A(－2，0，2>，B(－1，1，2>，C(－3，0，4>．设a＝错误!，b＝错误!.SixE2yXPq5(1> 求a和b的夹角θ；(2>若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝错误!，AF＝1，M是线段EF的中点．6ewMyirQFL求证：(1> AM∥平面BDE；(2> AM⊥平面BDF.错误!如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1> 试证：A1、G、C三点共线；(2> 试证：A1C⊥平面BC1D；题型3 空间的角的计算例3(2018·苏锡常镇二模>如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.kavU42VRUs(1> 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2> 求二面角OOFE的正弦值．错误!(2018·江苏卷>如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．y6v3ALoS89(1> 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2> 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．1. 设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点，则使错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0成立的点M的个数为________．M2ub6vSTnP答案：1 个2. (2018·连云港模拟>若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1>，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3>，则l与α所成角的正弦值为________．0YujCfmUCw答案：错误!3. (2018·新课标全国卷Ⅱ>如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝错误!AB.eUts8ZQVRd(1> 证明：BC1∥平面A1CD；(2> 求二面角DA1CE的正弦值．4. (2018·重庆>如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝错误!，F为PC的中点，AF⊥PB.sQsAEJkW5T(1> 求PA的长；(2> 求二面角B-AF-D的正弦值．5. (2018·连云港调研>在三棱锥SABC中，底面是边长为2错误!的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．GMsIasNXkA(1> 若D为侧棱SB上一点，当错误!为何值时，CD⊥AB；(2> 求二面角S-BC-A的余弦值大小．1. 在直四棱柱ABCD错误!-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点．TIrRGchYzg(1> 求二面角D1错误!-AE-错误!C的大小；7EqZcWLZNX(2> 求证：直线BF∥平面AD1E.2. (2018·苏州调研>三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．lzq7IGf02E(1> 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2> 求二面角B1-A1D-C1的正弦值．3. (2018·南通二模>如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.zvpgeqJ1hk(1> 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2> 在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为错误!.NrpoJac3v1 4. (2018广东韶关第二次调研>如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙>，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．1nowfTG4KI(1> 求证： DC⊥平面ABC；(2> 求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3> 求二面角B－EF－A的余弦值．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用一、选择题1.（2010全国卷2理）（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是(A)（ (B)（1,+(D) （0,）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。
【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即228a <+=，即有(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;综上分析可知a∈（+3.（2010全国卷2文）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案】D【解析】：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，4.（2010全国卷2文）（8）已知三棱锥S A B C-中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，S A垂直于底面ABC，S A=3，那么直线A B与平面S B C所成角的正弦值为（A）4(B)4(C)4 (D)34【答案】D【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
空间向量与立体几何知识点和知识题(含答案解析)
§1－3 空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜c os〈a，b〉；②空间向量的数量积的性质：a·e＝|a｜c os＜a，e＞；a⊥b a·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空间向量的数量积的运算律： (a )·b ＝(a ·b )；交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；a ＝(a 1，a 2，a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝b ⇔a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 3＝b 3(∈R )；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a ba b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面，的法向量分别是u ，v ，则①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；⑤∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥⊥⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，直线a 与平面的夹角为，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l －在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB叫做二面角－l －的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角－l －的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角－l －的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2PA 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ， ∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试． 例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a 得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵PA ＝AC ＝1，PA ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面PAB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设PA ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．∴BC ⊥平面PAC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， ∴∠DAE 是直线AD 与平面PAC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE 即直线AD 与平面PAC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∠PAC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3． 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，⊥，∩＝l ，A ∈，B ∈，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与，所成的角分别是和ϕ，AB 在，内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)＞ϕ，m ＞n (B)＞ϕ，m ＜n (C)＜ϕ，m ＜n(D)＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为，则cos＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．11．如图，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP ＝45°，直线CA和平面所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是( )(A)若a ∥b ，b ⊂，则a ∥ (B)若a ∥，b ⊂，则a ∥b (C)若a ∥，b ∥，则a ∥b(D)若a ⊥，b ⊥，则a ∥b2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38 (C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3(D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23(D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______．8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形； ③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ； (Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M 为PC的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ． ∵⊥，∩＝PQ ，∴CO ⊥．又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥，∴∠CAO 是CA 和平面所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9 9．5 10．①、②、③三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ．∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ． ∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)． 同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面PAC ，故AB ⊥PC ．∵PA ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ． (Ⅱ)Rt △PAB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △PAC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△PAB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ． ∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得＝1．∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅ ∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
高考理科数学一轮复习专题训练：空间向量在立体几何中的应用(含详细答案解析)
第10单元 空间向量在立体几何中的应用（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是()1,0,1=a ，()0,1,1=b ，那么这条斜线与平面所成的角是（ ） A ．90° B ．30°C ．45°D ．60°【答案】D【解析】∵11cos ,222〈〉==⨯a b ，又由题意知(),0,90〈〉∈︒︒a b ，∴,60〈〉=︒a b ．答案D ． 2．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设平面的法向量为n ，对于A 选项，2OA ⋅=u u u r n ，故A 选项错误；对于B 选项，2OB ⋅=-u u u rn ，故B 选项错误； 对于C 选项，2OB ⋅=u u u r n ，故C 选项错误；对于D 选项，由于0OA ⋅=u u u r n ，0OB ⋅=u u u rn ，故D 选项符合题意．所以本题选D ．3．若直线的方向向量为()1,2,3=-a ，平面的法向量为()3,6,9=--n ，则（ ） A ．l α⊂ B ．l α∥C ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3=-a ，平面的法向量为()3,6,9=--n ， ∴13=-a n ，∴∥a n ，∴，故选C ．4．如图，在平行六面体中，为的中点，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，1AA =u u u rc ，则CE =u u u r （ ）A．12--+a b c B．12-+a b c C．12--a b c D．12+-a b c【答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到()111122CE AE AC AA A E AB BC=-=+-+=+--=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rc b a b a b c．故选A．5．在长方体1111ABCD A B C D-中，4AB=，12AD AA==，点P为1CC的中点，则异面直线AP与11C D所成角的正切值为（）A．5B．3C．2D．14【答案】A【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则()2,0,0A，()0,4,1P，()10,4,2C，()10,0,2D，()2,4,1AP=-u u u r，()110,4,0C D=-u u u u r，设异面直线AP与11C D所成角为θ，则1111cos21421AP C DAP C Dθ⋅===⨯⋅u u u ru u u ru u u uu u u rru165sin12121θ=-=sin5tancos4θθθ==，∴异面直线AP 与11C D 所成角正切值为54，故选A．6．正方体1111ABCD A B C D-中，直线1AB与平面11ABC D所成角的正弦值为（）A ．12B．22C．33D．32【答案】A【解析】如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，1DD方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长2，则(2,0,0)A，1(2,2,2)B=，1(2,0,2)A，(0,0,0)D，所以1(0,2,2)AB=u u u r，1(2,0,2)DA=u u u u r，因为在正方体中，11DA AD⊥，AB⊥平面11ADD A，所以1AB DA⊥，又1AD AB A=I，所以1DA⊥平面11ABC D，因此向量1DAu u u u r为平面11ABC D的一个法向量，设直线1AB与平面11ABC D所成的角为θ，则1111111sin cos,22222AB DAAB DAAB DAθ⋅====⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r．故选A．7．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有(),,OP xOA yOB zOC x y z=++∈Ru u u r u u u r u u u r u u u r，则，，是四点共面的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】空间任意一点和不共线的三点，，，且(),,OP xOA yOB zOC x y z =++∈R u u u r u u u r u u u r u u u r，则四点共面等价于， 若，，，则，所以四点共面， 若四点共面，则，不能得到，，，所以，，是四点共面的充分不必要条件，故选B ．8．已知二面角，其中平面的一个法向量()1,0,1=-m ，平面的一个法向量()0,1,1=-n ，则二面角的大小可能为（ ）A ．B ．C ．或D ．【答案】C【解析】∵()1,0,1=-m ，()0,1,1=-n ， 设m 与n 之间的夹角为，11cos =222θ⋅-∴==-⋅⨯m n m n ， ，，二面角的大小可能为和．9．已知在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在平行六面体中，，，，，，AC AB AD AA ''=++u u u u r u u u r u ur Q u u u u r， ()22222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA ∴=++=+++⋅+⋅''+⋅'''u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则53AC ='u u u u r，故选D ．10．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且3cos θ=，则AB BC=（ ）A ．1 B．2C ．22D ．12【答案】C【解析】以A 为原点，AF 为x 轴，AB 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2a ，BC ＝2b ，则F （2b ，0，0），M （0，a ，0），B （0，2a ，0），D （0，0，2b ），（﹣2b ，a ，0），（0，﹣2a ，2b ），∵FM 与BD 所成角为θ，且3cos 9θ=， ∴22222,3cos 444FM BD FM BD FM BD a b a b⋅〈=〉==⋅++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 整理得224454260a b b a -=+，∴4226540a a b b ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得212a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，或2413a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍），∴2AB a BC b ==，故选C ． 11．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为()221A ，，，()221B -，，，，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，在空间坐标系里画出四个点，可得面，因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径22222232R++==，所以外接球的表面积为，故选B项．12．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，直线和所成角为，则的最大值为（）A．2268-B．6224-C．2268+D．2264+【答案】C【解析】取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A BD C--的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B （0，﹣2，0），C （2，0，0），D （0，2，0），设二面角A BD C --的平面角为θ，则2π,33πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 连AO 、BO ，则∠AOC ＝θ，()23cos ,0,23sin A θθ，∴()23cos ,2,23sin BA θθ=u u u r，()2,2,0CD =-u u u r ，设AB 、CD 的夹角为α，则13cos cos 22AB CDAB CDθα-⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ， ∵2π,33πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴313cos 0,12θ⎡⎤-∈+⎢⎥⎣⎦． ∴cos 的最大值为2268+．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点()4,2,3A -关于坐标原点的对称点为1A ，1A 关于xOz 平面的对称点为2A ，2A 关于z 轴的对称点为3A ，则线段3AA 的中点M 的坐标为_______． 【答案】()4,0,0-【解析】点()4,2,3A -关于坐标原点的对称点A 1的坐标为()4,2,3--，点()1423A --，，关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为()423-，，，点()2423A -，，关于z 轴的对称点A 3的坐标为()423---，，，∴线段AA 3的中点M 的坐标为()4,0,0-． 14．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】1625【解析】因为，所以角为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则1111114416cos cos25916916AC BCAC BCAC BCθ-⨯=〈=⋅〉==+⨯+u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r，．故答案为1625．15．如图，在正方体中，、分别为的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为__________．【答案】223【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，()1,0,1EF=-u u u r，()1,2,0EB=u u u r，设平面EFC1B的法向量(),,x y z=n，则20EF x zEB x y⎧⎪⋅=⎨⎪-+=⋅=+⎩=u u u ru u u rnn，取，得()2,1,2=-n ，平面BCC 1的法向量()0,1,0=m ，设平面EFC 1B 和平面BCC 1所成二面角为，则1cos 3θ⋅==⋅n m n m ，所以22sin 3θ=，故填223． 16．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________． （1）平面平面；（2）四面体的体积是；（3）二面角的正切值是423； （4）与平面所成角的正弦值是2114， 【答案】（3）（4）【解析】画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误； 由于，故是二面角的平面角且平面，故．过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高．在原图中，，362AB AC AD BC⋅⨯===321BD =-=，622CD =-=，33sin60122BE BD =⋅︒=⨯=，所以111362232626D ABC B ACD V V AD CD BE --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故（2）错误； 以为坐标原点，,,DA DC Dz u u u r u u u r u u r分别为轴建立空间直角坐标系．()2,0,0A，130,,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C ，132,,22AB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()2,2,0AC =-u u ur ，设平面的法向量为(),,x y z =n ，则132022220AB x y z AC x y ⋅=--+=⋅=-+=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r n n ， 令，则5623y z ==，，即562,2,3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ． 平面的法向量是()2,0,0DA =u u u r．设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故3cos 17DA DAθ⋅==⋅u u u r u u u r n n ， 则其正切值为144233=．故（3）判断正确； 平面的法向量为，530,,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， 设直线和平面所成的角为，则()()530,0,10,,2221sin 530,0,10,,22α⎛⎫⋅-⎪⎝⎭==⎛⎫⋅-⎪⎝⎭，故（4）判断正确． 综上所述，正确的有（3），（4）．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，,M E 分别为棱111,B C CC 的中点，12,2AB AA ==．（1）证明：平面1D EM ⊥平面ABE ；（2）求平面11AB D 与平面ABE 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）230． 【解析】（1）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC ⊥，1BB ⊥底面ABCD ，1BB AB ∴⊥，又1BB BC B =I ，AB ∴⊥平面11BCC B ，则AB ME ⊥，213122ME =+=Q ，2123BE =+=，219422BM =+=， 222ME BE BM ∴+=，则BE ME ⊥， BE AB B =Q I ，ME ∴⊥平面ABE ．又ME ⊂平面1D EM ，∴平面1 D EM ⊥平面ABE ．（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则1122,1),(2,0,0),(2,2,2),(0,0,2),2,22E A B D M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,2,2)AB =u uu r ，11(2,2,0)B D =--u u u u r．设(,,)x y z =n 是平面11AB D 的法向量，11100AB B D ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u rn n ，即220220y z x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩， 令2y =，得(2,2,1)=--n ，由（1）知，平面ABE 的一个法向量为2,0,12ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，230cos ,352ME ME ME⋅∴<=⋅⨯>==u u u ru u u r u u u r n n n ， 故平面11AB D 与平面ABE 所成锐二面角的余弦值为230． 18．（12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于,A B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且2AB =，3AD =．（1）求证：平面EAD ⊥平面EBC ；（2）若»EB的长度为π3，求二面角A DE C --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）1313． 【解析】（1）证明：Q 平面ABCD ⊥平面EAB ，两平面交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，BC ∴⊥平面EAB ，EA ⊂Q 平面EAB ，BC EA ∴⊥，AEB ∠Q 是直角，BE EA ∴⊥，EA ∴⊥平面EBC ， EA ⊂Q 平面EAD ，∴平面EAD ⊥平面EBC ．（2）如图，连结OE ，以点O 为坐标原点，在平面ABE 中，过O 作AB 的垂线为x 轴，AB 所在的直线为y轴，在平面ABCD 中，过O 作AB 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系．»EB Q 的长度为π3，π3BOE ∴∠=，则()0,0,0O ，31,02E ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,3D -，()0,1,3C ，()0,1,0B ，()0,2,0DC ∴=u u u r ，31,322CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，31,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u ur ，设平面DCE 的一个法向量为(),,x y z =m ，则2031302DC y CE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u ru u u r m m ，令2x =，解得0y =，33z =，32,0,3⎛∴= ⎝⎭m ， 平面EAD 的一个法向量31,02BE ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r n ，3313cos ,1333⋅∴<>===⋅m nm n m n，213sin ,13∴<>=m n∴二面角A DE C --的正弦值为21313． 19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 43的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，FB FC =，23EF =．（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC △为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）313． 【解析】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC I 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ，所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以OH AB ∥且1232OH AB ==． 又EF AB ∥，233EF =，所以EF OH ∥，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以OE FH ∥，所以OE ⊥平面ABCD ．（2）因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====．所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，230,3B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ，所以(1,0,1)Q ，所以232,,03BC⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭uu u r，(3,0,1)CQ=u u u r，设平面BCQ的法向量为(,,)x y z=m，由BCCQ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rmm，得2320330x yx z⎧--=⎪⎨⎪+=⎩，取1x=，可得(1,3,3)=--m，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)=n，设二面角Q BC A--的平面角为θ，则3313cos131139θ⋅--===⨯++m nm n，因为二面角Q BC A--的平面角为锐角，所以二面角Q BC A--的余弦值为31313．20．（12分）已知四棱锥的底面是菱形，π3ABC∠=，底面，是上的任意一点．（1）求证：平面平面；（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴．∵四边形是菱形，∴．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）设与的交点为，以、所在直线分别为、轴，以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，，．设，则()()1,0,21,0,SE x z EC x z=+-=--u u r u u u r，，设SE ECλ=u u r u u u r，∴1121xzλλλ-=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴12,0,11Eλλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，∴12,3,11DEλλλ-⎛⎫=-⎪++⎝⎭u u u r，()0,23,0BD=u u u r，设平面的法向量()111,,x y z=n，∵DEBD⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u rnn，∴DEBD⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rnn．求得()2,0,1λ=-n为平面的一个法向量．同理可得平面的一个法向量为()3,1,0=-m，∵平面与平面所成的锐二面角的大小为，∴()()()23,1,02,0,13cos302241λλ-⋅-⋅︒===⋅+-m nm n，解得．∴为的中点．21．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为π4，求二面角A PE C--的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）55 -．【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE，即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE．（2）在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．∴直线PB与平面ABCE夹角为π4 PBQ∠=，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为30,0,2P⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1,0,02E⎛⎫⎪⎝⎭，32C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，∴1322PE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r，，，1322EC⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，，，设平面PCE的一个法向量为()1,,x y z=n，则12PEEC⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rnn，即13221322x zx y-=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，设，则1y=-，1z=，∴()1311=-，，n，由题意得平面PAE的一个法向量()2010=，，n，设二面角A PE C--为α，121215cos515α⋅===⋅n nn n．即二面角A PE C--为α的余弦值为55-．22．（12分）如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，3πBAD PA PB M∠==，，为中点，连接．（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的余弦值为5，求四棱锥的体积．【答案】（1）见证明；（2）2．【解析】（1）连接，∵菱形中，π3BAD ∠=，∴为等边三角形，又为中点，∴．又，则，又，∴平面， 又AB CD ∥，∴平面， 又平面，∴平面平面． （2）∵平面平面，且交线为，，平面，∴，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，则()1,3,0AD =u u u r，()1,0,AP a =u u u r ，设平面的一个法向量为()x y z =，，n ，则00AD AP ⎧⎪==⋅⎪⎨⋅⎩u u u r u u u rn n ，即300x y x az ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，可取()3,,3a a =--n ，又平面的法向量可取()0,1,0=m ，由题意得25cos ,343a ⋅===+m n m n m n，解得，即，又菱形的面积，∴四棱锥的体积为11233233ABCD V S PM =⨯⨯=⨯=．第10单元 空间向量在立体几何中的应用（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于（ ） A ．120° B ．30°C ．60°D ．60°或30°【答案】B【解析】设直线与平面所成的角为，则，故选B ．2．若两个向量()1,2,3AB =u u u r ，()3,2,1AC =u u u r，则平面的一个法向量为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设平面ABC 的法向量为()x y z =，，n ，则0AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u rn n ， 即230320x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩，令，则，即平面ABC 的一个法向量为()121=--，，n ，故选A ．3．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：12αβ⇔①∥∥n n ；12αβ⊥⇔⊥②n n ；1l α⇔③∥∥v n ；1l α⊥⇔⊥④v n ．正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】∵平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直，正确；直线l 的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l 垂直平行于平面，都错误．故选B ．4．如图，平行六面体中，与交于点，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，1AA =u u u rc ，则1B M =u u u u r （ ）A ．1122---a b c B ．1122+-a b c C ．1122--a b c D ．1122-+-a b c 【答案】D 【解析】，，，∴()11111222B M AA AB AD =-+-+=--+u u u u r u u u ru u u r u u u r c a b ，故选D ． 5．在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为（ ） A ．60︒ B ．75︒C ．105︒D ．90︒【答案】D【解析】由题意可得60ABC ∠=︒，1BB ⊥平面ABC ， 设11BB =，则2AB =，又11AB BB BA =-u u u r u u u r u u u r ，11BC BC BB =+u u u u r u u u r u u u r，所以11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r0122cos6000=+-⨯⨯︒-=．故11AB BC ⊥u u u r u u u u r，即11AB BC ⊥，即1AB 与1C B 所成角的大小为90︒．故选D ．6．已知在长方体中，，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B 【解析】在长方体中，，，，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，，，，，0，， ，0，，1，，设平面的法向量为(),,x y z =n ，则124020DA x z DE y z ⋅=+=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩u u u u r u u u r n n ，取，得()221=--，，n ，设直线与平面所成角为，则44sin 999EA EA θ⋅===⋅⋅u u u r u u u rn n． 直线与平面所成角的正弦值为49，故选B ． 7．已知()123=-，，a ，()114=--，，b ，()13m =-，，c ，则“”是“a ，b ，c 构成空间的一个基底”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当“”时，()131=-，，c ，易得a ，b ，c 不共面，即a ，b ，c 能构成空间的一个基底， 即“”是“a ，b ，c 构成空间的一个基底”的充分条件；当a ，b ，c 能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，设a ，b ，c 共面，即x y =+c a b ，解得12334x y y x x y m -=-=--=⎧⎪⎨⎪⎩，即212x y m ===⎧⎪⎨⎪⎩，即a ，b ，c 能构成空间的一个基底时，m 的取值范围为，即当a ，b ，c 能构成空间的一个基底，不能推出，即“”是“a ，b ，c 构成空间的一个基底”的不必要条件， 综合得：“”是a ，b ，c 构成空间的一个基底”的充分不必要条件，故选A ．8．已知正四棱柱的体积为，底面ABCD 的边长为1，则二面角的余弦值为（ ）A ．37B ．77C ．217D ．277【答案】C 【解析】过D 作于，连接AO ，则就是二面角的平面角． 正四棱柱的体积为，底面ABCD 的边长为1，．在中，，，可得，32DO =． 在中，2272AO AD DO =+=， 321cos 277OD AOD AO ∠==⨯=．故选C ． 9．在正方体中，点E 是棱的中点，点F 是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值，其中真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】以A 点为坐标原点，AB ，AD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B (1，0，0)，C (1，1，O)，D (0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，设F (t ，1，1-t )，（0≤t ≤1），可得=(1，1，1)，=(t -1，1，-t )，可得110AC B F ⋅=u u u u r u u u u r，故异面直线与所得角是定值，故①正确；三棱锥的底面面积为定值，且∥，点F 是线段上的一个动点，可得F 点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；可得=(t ，1，-t )，=(0，1，-1)，=(-1，1，0)，可得平面的一个法向量为()1,1,1=n ，可得1cos ,A F 〈〉u u u u rn 不为定值，故③错误；故选B ．10．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是（ ）A ．π,6π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,4π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,3π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】以为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则()11,0,1AD =-u u u u r ，()11,1,1CA =-u u u r，设1CP CA λ=u u u r u u u r ，则，()CP λλλ∴=-u u u r ，，，()1BP λλλ∴=--u u u r ，，，故1121·1cos ·2321AD BP AD BP AD BP λλ==⋅-+u u u r u u u r u u u u u u r u u u u r u u r ur u u ，， 对于函数()2212321333h x λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，有：()min 1233h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，故113cos ,2AD BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r ，，又[]10,πAD BP ∈u u u r u u u u r ，，故1,6ππ,3AD BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r ．故选．11．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N 是BC 的中点，点P 在上，且满足，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，的值为（ ）A．12B ．22C ．32D ．255【答案】A【解析】如图，以AB ，AC ，分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则0，，11122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1=n ， 设直线PN 与平面ABC 所成的角为，21sin 1524PN PN θλ⋅∴==⋅⎛⎫-+⎪⎝⎭u u u ru u u rn n ， 当12λ=时，()max 25sin θ=，此时角最大．故选A ．12．如图，在三棱锥A-BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，△BAC 与△BCD 均为等腰直角三角形，且∠BAC =∠BCD =90°，BC=2，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C．222⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D．623⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设()00Q q，，，()AP ABλλλ==-u u u r u u u r，，，则()()()(),0,00,1,10,,PQ CQ CP CQ CA AP qλλ=-=-+=---u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(),1,1qλλ=---，因为异面直线PQ与AC所成的角为，所以()()2222223cos3022211CA PACA PA qqλλλ⋅︒====⋅++⋅+++-u u u ru uu u u ru uu u r r，即228223qλ++=，所以[]22220,43qλ=-∈，所以2222032243λλ⎧⎪-≥-⎨≤⎪⎪⎪⎩，解得30λ≤≤，所以620,APλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦u u u r，即线段PA的长的取值范围是60,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】因为与的夹角为钝角，所以且不同向．，整理得．当反向时，，所以．14．已知在长方体中，，，，E 是侧棱的中点，则直线AE 与平面所成角的正弦值为______．【答案】49【解析】在长方体中，，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A，()0,1,2E，()12,0,4A，()0,0,0D，()2,1,2EA=--u u u r，()12,0,4DA=u u u u r，()0,1,2DE=u u u r，设平面的法向量为(),,x y z=n，则1240DA x z⋅=+=u u u u rn，20DE y z⋅=+=u u u rn，取，得()2,2,1=--n，设直线与平面所成角为，则44sin999EAEAθ⋅===⋅u u u ru u u rnn．∴直线与平面所成角的正弦值为49．15．已知圆锥的顶点为，为底面中心，，，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，，为的中点．设直线与平面所成角为，则的最大值为__________．【答案】【解析】以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则：， 如图所示，由对称性不妨设且，则(),1,3MC x y =+-u u u u r，易知平面SAB 的一个法向量为()100=，，m ，据此有()()22112sin 482413MC y y MC x y α⋅⎡⎤===⨯-+-+⎢⎥+⨯⎣⎦+++u u u u ru u u u rmm42331≤-=-，当且仅当时等号成立，综上可得：sin α的最大值为．16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线与成角时，与成角； （2）当直线与成角时，与成角；（3）直线与所成角的最小值为； （4）直线与所成角的最小值为，其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）． 【答案】（1）（3）【解析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC |＝1，|AB |，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （1，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量()0,1,0=a ，1=a ， 直线b 的方向单位向量()1,0,0=b ，1=b ，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C 与CD 的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量为()cos ,sin ,1AB θθ'=-u u u r ，2AB '=u u u r设AB 'u u u r 与a 所成夹角为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()cos sin 101022cos 2AB θθαθ--⋅⎡==∈⎢'⋅⎣⎦u u u r ，，，，a ，∴ππ,24α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴（3）正确，（4）错误．设AB 'u u u r 与b 所成夹角为2π0,β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()cos sin 11002cos 2AB AB AB θθβθ'⋅-⋅===''⋅⋅u u u r u u u r u u u r，，，，b b b ， 当AB 'u u u r 与a 夹角为60°时，即π3α=，2sin 232π2θα===，∵22cos sin 1θθ+=，∴21cos 22βθ==， ∵2π0,β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π3β=，此时AB 'u u u r 与b 的夹角为60°，∴（1）正确，（2）错误． 故答案为（1）（3）．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A BE C--的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）15．【解析】（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC AB⊥，又,BC PB AB PB B⊥=I，∴BC⊥平面PAB，∴BC PA⊥,同理,CD PA BC CD C⊥=I，∴PA⊥平面ABCD．（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz-，不妨设正方形的边长为2，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,1,2,0,0A C E B，设(),,x y z=m为平面ABE的一个法向量，又()()0,1,1,2,0,0AE AB==uu u r uu u r，20AE y zAB x⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u ru u u rnn，令1,1y z=-=，得()0,1,1=-m．同理()1,0,2=n是平面BCE的一个法向量，则10cos<,525⋅>===⨯m nm nm n．∴二面角A BE C--15．18．（12分）如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED PA∥，且22PA ED==．（1）证明：直线BD ∥平面PCE ； （2）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（3）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6-． 【解析】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ． 因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ∥，且12OF PA =，因为DE PA ∥，且12DE PA =， 所以OF DE ∥，且OF DE =，所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ∥，即BD EF ∥， 又BD ⊄平面PCE ，EF ⊆面PCE ，所以BD ∥面PCE ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为//BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ，因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． （3）解法1：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45︒， 所以45PCA ∠=︒，所以2AC PA ==， 所以AC AB =，故ABC △为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A xyz-（如图）．则(0,0,2),3,1,0),(0,2,1),(0,2,0)P C E D，3,1,2)PC=-，(3,11)CE=-，(0,0,1)DE=，设平面PCE的法向量为{}111,,x y zn=，则PCCE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnn，即11111132030x y zx y z⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，令11y=，则1132xz⎧=⎪⎨=⎪⎩(3,1,2)=n，设平面CDE的法向量为()222,,x y z=m，则DECE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rmm，即222230zx y z=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令21x=，则223yz⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3,0)=m，设二面角P CE D--的大小为θ，由于θ为钝角，所以||236cos|cos,|||||4222θ⋅=-〈〉=-==⋅⋅n mn mn m．所以二面角P CE D--的余弦值为6解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45︒，且PA⊥平面ABCD，所以45PCA∠=︒，所以2AC PA==．因为2AB BC==，所以ABC△为等边三角形．因为PA⊥平面ABCD，由（1）知//PA OF，所以OF⊥平面ABCD．因为OB⊂平面ABCD，⊂OC平面ABCD，所以⊥OF OB且⊥OF OC．在菱形ABCD中，OB OC⊥．以点O为原点，,,OB OC OF分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系O xyz-（如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),(3,0,0),(3,0,1)O P C D E ---，则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)CP CE CD =-=--=--u u u r u u u r u u u r，设平面PCE 的法向量为()111,,x y z =n ，则00CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，即1111122030y z x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令11y =，则1111y z =⎧⎨=⎩，则法向量(0,1,1)=n ．设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则00CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m ，即222223030x y z x y ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩， 令21x =，则223y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，则法向量(1,3,0)=-m ．设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角， 则||36cos |cos ,|||||422θ⋅=-〈〉=-=-=-⋅⋅n m n m n m ． 所以二面角P CE D --的余弦值为64-． 19．（12分）如图，正方形边长为，平面平面，12CE DE CE AB ⊥=，．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）255． 【解析】（1）证明：平面平面，平面平面，，面，∴平面，又平面，∴，又∵，，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，在直角中，12EC a=，，易得330,,44E a a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，130,,44CE a a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r，由（1）知CEu u u r为平面的一个法向量，(),,0DB a a=u u u r，330,,44DE a a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，设()x y z=，，n是平面BDE的一个法向量，则DBDE⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rnn，即3344ax ayay az+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令，则，，∴()113=-，，n，132544cos,552a aCECEaCE+⋅∴〈==⨯〉=u u u ru uruuu u r nnn，∴二面角的余弦值是25．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，是正三角形，为的中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为33819？若存在，求出PFPD的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析． 【解析】（1）证明：因为AE CD ∥，且，所以四边形是平行四边形，从而AD CE ∥，且，又在正三角形中，36PE AB ==， 从而在中，满足，所以，又平面平面，平面平面，平面所以平面．（2）由（1）知，且，，平面，从而平面， 又平面，平面，所以，以点为原点，分别以射线为轴，轴，轴正半轴，建立空间直角坐标系，，假设在棱上存在点满足题意，设PF PD λ=u u u r u u u r ，则)326326PF λλλλ==u u u r ，，，，()32266AF AP PF λλλ=+=u u u r u u u r u u u r ，，，()022BA =u u u r，，，设平面的法向量()x y z=，，n ，则()()322660220x y zyλλλ+⎧-+-==⎪⎨⎪⎩，取得，得()2101λλ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭，，n，有平面的一个法向量()100=，，m，所以3cos,3819=n m，从而()()22133819211λλλλ-=⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭，，，因为，所以14λ=，所以在棱上存在点使得二面角的余弦值为33819，且14PFPD=．21．（12分）等腰直角三角形中，90ABC∠=︒，点在边上，垂直交于，如图①．将沿折起，使到达的位置，且使平面平面，连接，，如图②．（1）若为的中点，，求证：；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13．【解析】（1），，∩=D，平面，又在图①中，，DE BC∴∥，平面，而平面，，，是的中点，，平面，而平面，．（2）设，由，三棱锥的体积()()21128844232333V m m m =⋅⋅-=--+≤， 得三棱锥的体积最大时，，， 以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，．设面的法向量为()x y z =，，n ，则()()4224220PC x y z x y z ⋅=-=+-=u u u r，，，，n ，()()202220PE x y z x z ⋅=-=-=u u u r，，，，n ，令，则，，则()111=-，，n ，设面的法向量为()x y z =，，m ，则()()022220PB x y z y z ⋅=-=-=u u u r，，，，m ，()()202220PE x y z x z ⋅=-=-=u u u r，，，，m ，令，则，，则()111=，，m ，()()1111111cos ,3·33⋅-⋅∴===，，，，n m n m n m，所以二面角的余弦值为13．22．（12分）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2．（1）若平面平面，证明：；（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于155，证明：平面与平面所成锐二面角的平面角大于π3． 【答案】（1）见证明；（2）见证明． 【解析】（1）由题知：面面，面面， 因为，平面，所以平面，平面，所以．（2）以点为坐标原点，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系．所以，，，设，则，(),1,0NH m n =+u u u u r，设平面的法向量()1111,,x y z =n ，因为110NG NF ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=u u u r u u u rn n ， 所以()()()()11111111200200x y z x y z ⋅-=⋅⎧=⎪⎨⎪⎩，，，，，，，，，所以11112020x y z y +-==⎧⎨⎩，即法向量()1201=，，n ．。
(完整版)空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案
空间向量在立体几何中的应用莎【考纲说明】1能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2•会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、空间向量的运算1、向量的几何运算(1)向量的数量积：已知向量，贝U 叫做的数量积，记作，即空间向量数量积的性质：①；②；③•r r r r r r(2)向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯个实数，使b a .2、向量的坐标运算(1)若，，则.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
(2)若，，则；(3)夹角公式：(4)两点间的距离公式：若，，贝U二、空间向量在立体几何中的应用2利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利甲线向量和共面向量定理进行证明.二3•利用空间向量证明垂直问题’对于垂直问题，一般是利用进行证明；4•利用空间向量求角度(1)线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为(2)线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为(线线角的范围[0°,900])(3)二面角的求法：设n i，n2分别是二面角其补角的大小(如图)的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或5•利用空间向量求距离(1)平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a, b垂直，其数量积为零，列出两个三元一组解，即得到平面的一个法向量(如图) 。
次方程，联立后取其(2)利用法向量求空间距离(a) 点A到平面的距离：(b) 直线与平面之间的距离：(c) 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
，其中，是平面的法向量。
，其中，是平面的法向量。
【经典例题】【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-AB i C i D i 中，B B i 与平面AC D i 所成角的余弦值为（【解析】D【例2】（20i0全国卷2文）已知三棱锥SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面）（20i2重庆）如图，在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中，AB=4 , AC=BC=3 , D 为AB 的中点。
空间向量在立体几何中的应用典型例题
PA DCBMN 立体几何典型例题选讲(理科)1 ．如图在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,点F 为棱CD 中点,点E 在棱BC 上 (1)确定点E 位置使⊥E D 1面F AB 1;(2)当⊥E D 1面F AB 1时,求二面角11B AF D --的平面角的余弦值。
2 ．如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是B D ．BC 的中点,2====BD CD CB CA ,2==AD AB(Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD;(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值;3 ．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,21===AB BC AA ,BC AB ⊥｡M 、N 分别是AC 和BB 1的中点｡(1)求二面角111C C A B --的大小｡(2)证明:在AB 上存在一个点Q ,使得平面QMN ⊥平面C B A 11,并求出BQ 的长度｡4 ．如图,直三棱柱111ABC A B C -中, AB=1,13AC AA ==,∠ABC=600.(Ⅰ)证明:1AB A C ⊥;(Ⅱ)求二面角A —1A C —B 的大小｡5 ．如图,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是正方形,PA =AD =2,M 、N 分别是A B ．PC 的中点.(1)求二面角P -CD -B 的大小; (2)求证:平面MND ⊥平面PCD ;ACDOBEMNA 1C 1B 1B CACBA C 1B 1A 16 ．如图,多面体ABCDS 中面ABCD 为矩形,),0(,,>=⊥⊥a a AD AB SD AD SD 且.3,2AD SD AD AB ==,E 为CD 四等分点(紧靠D 点)｡(I)求证:AE 与⊥平面SBD(II)求二面角A —SB —D 的余弦值｡7 ．如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面积是等腰直角三角形,∠A 1B 1C 1=90°,A 1C 1=1,AA 1=2,N 、M 分别是线段B 1 B ．AC 1的中点｡(I)证明:MN//平面ABC;(II)求二面角A 1—AB 1—C 1的大小｡8．（09北京宣武二模文）如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱BC 的中点,点F 是棱CD 的 中点｡(1)求证:D 1E⊥平面AB 1F;(2)求二面角C 1—EF —A 的余弦值｡9．如图,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,BB 1=BC=2,且M 是BC 的中点,点N 在CC 1上｡ (1)试确定点N 的位置,使AB 1⊥MN;(2)当AB 1⊥MN 时,求二面角M —AB 1—N 的大小｡10．如图,四棱锥S ABCD -的底面是矩形,SA ⊥底面ABCD ,P 为BC 边的中点,SB 与平面ABCD 所成的角为45︒, 且2AD =,1SA =. (Ⅰ) 求证:PD ⊥平面SAP ; (Ⅱ)求二面角A SD P --的大小.S A PA B A C AD A AC 1B 1A 1MN CBA11．如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,2,41==AB AA ,M 是AC 的中点,点N 在1AA 上,41=AN ｡ (Ⅰ)求111A ACC BC 与侧面所成角的正弦值;(Ⅱ)证明1BC MN ⊥;(Ⅲ) 求二面角M B C C --1的大小.12．如图, 在三棱柱111ABC A B C -中, AB ⊥侧面11BB C C ,E 为棱1CC 的中点, 已知2AB =, 12BB =, 1BC =, 13BCC π∠=, 求:(1)异面直线AB 与1EB 的距离;(2)二面角11A EB A --的平面角的正切值.13．如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线//MN 平面OCD ;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小 ;NMDCABO14．如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形，⊥PA平面ABCD，4==ADPA，2=AB．以BD的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点．（1）求证：平面⊥ABM平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成角的大小；15．如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的2倍,P为侧棱SD上的点｡(Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小OC DB ASPOPAB CDM。
空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)PDF.pdf
A(0,0,1) B(,0,1) C(0,,1)
M ( ,0, 1) N( , ,1)
22
22
n1 = (x1, y1, z1)
A MN
n1 AM = 0 n1 MN = 0
2
x1
−
1 2
z1
=
0
2
y1
+
1 2
z1
=
0
n1 = (1,−1,)
n2 = (x2 , y2 , z2 )
x1 = 1 y1 = −1, z1 = 0 n1 = (1,−1,0)
PBC
BC
n2
=
0
BP n2 = 0
n2 = (x2 , y2 , z2 ) y2 = 0 − 2x2 + z2 = 0
x2 = 1 y2 = 0, z2 = 2 n2 = (1,0,2)
cos n1, n2 = n1 n2 = n1 n2
所以 B(4,0,0), C(2, 2 3,0), D(0, 4 3 ,0), P(0,0, 4) ………………10 分 3
由（2）可知， DB = (4, − 4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量………………11 分 3
z
PC = (2, 2 3, −4) ， PB = (4,0, −4)
P
设平面 PBC 的一个法向量为 n = ( x, y, z) ,
S(1, 1 ,0) 2
CM = (1,−1, 1), SN = (− 1 ,− 1 ,0)
2
22
CM SN = − 1 + 1 + 0 = 0 22
CM ⊥ SN
2 NC = (− 1 ,1,0) 2
空间向量解立体几何(含综合题习题)
空间向量解立体几何(含综合题习题)利用空间向量解立体几何问题一、基础知识1.刻画直线与平面方向的向量直线的方向向量可由直线上的两个点来确定。
例如，若有点A(2,4,6)和点B(3,0,2)，则直线AB的方向向量为AB=(1,-4,-4)。
平面的法向量来刻画平面的倾斜程度。
法线的方向向量就是平面的法向量。
要求出指定平面的法向量，需要平面上的两条不平行的直线。
设平面的法向量为n=(x,y,z)，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，则可列出方程组：x1x+y1y+z1z=0和x2x+y2y+z2z=0，解出x,y,z的比值即可。
例如，若a=(1,2,0)和b=(2,1,3)，求a,b所在平面的法向量，则设n=(x,y,z)，有方程组：x+2y=0，2x+y+3z=0，解得：x:y:z=-2:1:1，故n=(-2,1,1)。
2.空间向量可解决的立体几何问题1）判定类线面平行：a∥b当且仅当a∥b。
线面垂直：a⊥XXX且仅当a⊥b。
面面平行：α∥β当且仅当m∥n。
面面垂直：α⊥β当且仅当m⊥n。
2）计算类两直线所成角：cosθ=cos(a,b)=(a·b)/(|a||b|)。
线面角：sinθ=sin(a,m)=(a·m)/(|a||m|)。
二面角：cosθ=cos(m,n)（法向量夹角关系而定）或cosθ=-cos(m,n)。
点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为d=|AP·n|/|n|，即AP在法向量n上投影的绝对值。
3）点的存在性问题在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件。
解决该问题时，可以先设出所求点的坐标(x,y,z)，再想办法利用条件求出坐标。
为底面，以AD为高，构造平面ADE，可知平面ADE与平面ABCD- A1垂直，且平面ADE与平面EF所成角为所求角，故EF与平面ADE垂直。
空间向量在立体几何中的应用 A卷 必备知识全优+答案解析(附后)
第一章空间向量与立体几何单元 2 空间向量在立体几何中的应用A卷必备知识全优一、单选题（本大题共6小题，共30分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若平面，且平面的一个法向量，则平面的一个法向量可以是( )A. B. C. D.2.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图，在长方体中，设，，P是的中点，则与所成角的大小为( )A. B. C. D.4.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( )A. 10B. 3C.D.5.设动点P在棱长为1的正方体的对角线上，且，当为锐角时，的取值范围是( )A. B. C. D.6.如图，四边形ABCD是矩形，，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，平面ABCD，若，则直线EG与平面ABG所成角的正弦值为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15分。
在每小题有多项符合题目要求）7.已知，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是( )A. B. C. D.8.下列命题中是假命题的为( )A. 若向量，则与，共面B. 若与，共面，则C. 若，则P，M，A，B四点共面D. 若P，M，A，B四点共面，则9.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成的二面角，已知直角边，，那么下列说法正确的是( )A. 平面平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是三、填空题（本大题共3小题，共15分）10.已知两个不同的平面，的法向量分别是，，则平面，的位置关系是__________.11.若平面的一个法向量，平面的一个法向量，两平面夹角的正弦值为，则___________.12.在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，且，，则直线DA与平面ABC 所成角的余弦值为__________.四、解答题（本大题共4小题，共48分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.本小题12分如图所示，平行六面体中，平面ABCD，，证明：平面；求点B到平面的距离．14.本小题12分如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．证明：；当E为AB的中点时，求点E到平面的距离．15.本小题12分如图，在三棱柱中，侧面为正方形，点M、N分别是、AC的中点，平面求证：平面BCM；若四边形是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．16.本小题12分如图，已知斜三棱柱中，，，点在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且.求证：；在直线上找一点M，使得二面角的平面角为答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面的法向量，应用法向量的定义求解即可.【解答】解：平面，平面的法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为对于A，，A错误；对于B，，B错误;对于C，，C正确;对于D，，D错误．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面平行的坐标表示，属于基础题.【解答】解：，对于选项A，，A不正确;对于选项B，，B不正确；对于选项C，，所以，所以，C正确;对于选项D，，D不正确．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间异面直线所成角的向量求法，属于基础题.【解答】解：如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以与所成角的大小为，一题多解：连接，PD，易知为所求角．在中，，所以为等边三角形，所以4.【答案】D【解析】【分析】本题考查点面距离的向量求法，属于基础题.【解答】解：易知，则点P到平面的距离故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量夹角的坐标表示，属于基础题.【解答】解：如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，显然，不共线，由为锐角得，即，所以，即，解得或，由题意知，所以故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间线面角的求法，属于基础题.【解答】解：四边形ABCD为矩形，∽，是AD的中点，又矩形ABCD中，，，，在中，，易知，在中，，，平面ABCD，AC，平面ABCD，，、FE、FG两两垂直．如图，以点F为原点，FA、FE、FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，设是平面ABG的法向量，则取，则，，设直线EG与平面ABG所成角的大小为，则，，直线EG与平面ABG所成角的正弦值为故选7.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面的法向量，属于基础题.【解答】解：设平面AOB的法向量是，则即得，令，解得，令，解得故或故选8.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，共面定理，属于中档题.【解答】解：对于选项A，由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题;对于选项B，若，共线，则不一定能用，表示出来，B是假命题;对于选项C，若，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则不成立，D是假命题．故选9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查空间面面垂直的判定，棱锥的体积，二面角与线面角的向量求法，属于较难题.【解答】解：如图所示．对于B选项，由于，，故是二面角的平面角，则，，平面BCD，过点B作交CD的延长线于点平面BCD，平面BCD，，，，平面ACD，故BE是三棱锥底面上的高.折叠前，易知，，，，，，故B选项错误;以D为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，过D点且平行于BE的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A选项，易知，，，，，设平面ABC的法向量为，则取，则，，，易知平面ACD的一个法向量为，则，平面ACD与平面ABC不垂直，故A选项错误;对于C选项，易知平面BCD的一个法向量为，，，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，，，故C选项正确;对于D选项，易知，又平面ACD的一个法向量为，，，与平面ACD所成角的正弦值是，故D选项正确.故选10.【答案】【解析】【分析】本题考查面面平行的向量表示，属于基础题.【解答】解：，，，，故答案为11.【答案】【解析】【分析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，属于基础题.【解答】解：设平面，的夹角为，又平面的一个法向量，平面的一个法向量，所以.由已知得，故故，即，即，解得故答案为12.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，属于基础题.【解答】解：以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面ABC的法向量，则即令，得，，，设直线OA与平面ABC所成的角为，则，，故答案为13.【答案】解：证明：平面ABCD，，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，，又，，以C为原点，CD，CA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，易知，，，，，，，，，，，又，平面，平面，平面由可知是平面的一个法向量，又，，点B到平面的距离【解析】本题考查线线垂直的坐标表示，空间向量求点到直线的距离，属于基础题.14.【答案】解：分别以DA、DC、为x、y、z轴，建立如图的坐标系，，，，，，则，设，所以，，；当E为AB的中点时，，，设平面的法向量是，求出，，由，得由点到平面的距离公式，得，点E到面的距离是【解析】本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．建立如图的坐标系，则，设，则，通过向量的数量积为0，计算可得；当E为AB的中点时，，，求出平面的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面的距离．15.【答案】解：证明：设BC的中点为Q，连接NQ，MQ，因为Q、N分别为BC、AC的中点，所以，且，又，且，M为中点，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又因为平面BCM，平面BCM，所以平面因为平面BCM，BM，平面BCM，所以，因为，，，所以平面以B点为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为四边形是边长为2的菱形，点M是中点，且，所以，易知，，，，，，则，，设平面的法向量为，则即令，则，，则，设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查线面平行的判定，空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题.16.【答案】解：证明：作交AB于点E，分别以DE，DC，所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，所以，，所以，所以设，易知，，设平面的法向量为，则即解得，令，得，，所以易知平面的一个法向量为，所以，解得，所以点M在的延长线上且【解析】本题考查线线垂直的坐标表示，空间向量求二面角，属于中档题.。
高中数学教师用书第课时 空间向量在立体几何中的应用(习题课)含答案
第3课时空间向量在立体几何中的应用(习题课)讲一讲1．在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB＝4，BC＝2,AA1＝6，若M，N分别是D1C1，BC的中点，求M，N之间的距离．[尝试解答] 以D为原点,以DA，DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则B(2，4，0)，C(0，4,0），D1（0，0，6)，C1(0，4，6)，于是M(0，2,6），N(1，4，0）．因此M，N之间的距离为d MN＝（0－1）2＋（2－4）2＋（6－0）2＝错误!.用空间向量方法求两点间的距离或线段的长度，一般有以下两种方法：(1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，套用公式求解；(2)将线段或两点间对应的向量用基底表示出来，通过数量积，利用公式｜a|＝a·a求解．练一练1．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点,直线AC，BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若｜AB｜＝1，|AC｜＝2,|BD｜＝3，求CD的长度．讲一讲2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P在棱DF上．(1)求证:AD⊥BF；（2)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值;（3)若二面角D。
AP.C的余弦值为错误!,求PF的长度．[尝试解答] （1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，故AD⊥BF.(2）因为∠BAF＝90°，所以AF⊥AB，又AD⊥AF，AD⊥AB,所以以A为坐标原点,AB，AD，AF所在直线分别为x,y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A.xyz.则B（1，0，0），E错误!，P错误!，C（1，2，0）．所以＝错误!,＝错误!,所以异面直线BE与CP所成角的余弦值为错误!。
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空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______． 7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。