第3讲 整式巅峰突破

例
3．已知
a=
19992 19982
−1999 +1998
，2b=
20002 19992
− 2000 +1999
，3c=
20012 20002
− +
2001 2000
，
则 2(a+b−c)+(−a+3b−c)−3(a+b+c)=
.
知识模块二、整体思想求值 知识梳理
整体思想：当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体(必要时，可将这个整体用 新的字母代替，这个过程称作换元)，代入到经过变形的待求的代数式中去求值。
例 7．如果(x−1)5=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，求： （1）a6 的值； （2）a1+a2+a3+a4+a5； （3）a1−a2+a3−a4+a5； （4）a2+a4+a6。
例 8．将(1+2x−3x2)5 展开，则所得多项式的系数和为
。
随堂练习
1．化简：2(a−1)2−(2−a)+(1−a)2−3(a−1)2+3(a−2)。 2．已知 a−b=−3，c+d=2，求(b+c)−(a−d)的值。 3．当 x=1 时，多项式 ax2+bx+1 的值为 3，求多项式 2(3a−b)−(5a−3b)的值。 4．已知 a−2b+3c=7，4a+3b−2c=3，求代数式 5a+12b−13c 的值。 5．如果(x+1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+ a4x4+ a5x5+ a6x6，试求：a1+a3+a5。
− 2000 +1999
=
2000 1999 1999 2000
= 1，
3c=
20012 20002
− +
2001 2000
=
2001 2000 2000 2001
=
1，
2(a+b−c)+(−a+3b−c)−3(a+b+c)=−2a+2b−6c=−2+1−2=−3.
例 4．（1）化简：5(x−2y)−4(x−2y)=
；
解：5(x−2y)−4(x−2y)=5x−10y−4x+8y=x−2y。
（2）7(a−b)+3(b−a)−4(a−b)=
。
解：7(a−b)+3(b−a)−4(a−b)= 7(a−b)−3(a−b)−4(a−b)= 0。
例 5．（1）若多项式 2x2+3x+7 的值为 10，则多项式 6x2+9x−7 的值为
；
解：因为 m2+mn=−3，n2−3mn=12，则 m2+4mn−n2=(m2+mn)−(n2−3mn)=−3−12=−15；
3m2+n2=3(m2+mn)+(n2−3mn)=3×(−3)+12=3.
（2）已知 a−b=2，a−c=1，c−d=−1，则 (2a−b−c)2+(c−b)2+(a−d)2=
；
（3）已知 x − y =1，则 (4x−3y)2−8x+6y+1 的值为
。
34
例 6．（1）若 m2+mn=−3，n2−3mn=12，则 m2+4mn−n2=
；3m2+n2=
；
（2）已知 a−b=2，a−c=1，c−d=−1，则 (2a−b−c)2+(c−b)2+(a−d)2=
；
（3）已知 a+2b+3c+4d=3，a−2b+4c+5d=2，则 a+10b+c+2d=
，2b=
20002 19992
− 2000 +1999
，3c=
20012 20002
− +
2001 2000
，
则 2(a+b−c)+(−a+3b−c)−3(a+b+c)=
.
解：a=
19992 19982
−1999 +1998
=
1999 1998 19981999
=1
，2b=
20002 19992
。
例 2．小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b)，小华把第一个多项式中的 a 抄成了−a，得到结果 为 6x2+11x−10；小明把第二个多项式中的 3x 抄成了 x，得到结果为 2x2−9x+10， （1）你知道式子中 a，b 的值各是多少吗? （2）请你计算出这道题的正确结果。 解：（1）由题意(2x−a)(3x+b)=6x2+11x−10，即 6x2+(2b−3a)x−ab=6x2+11x−10，所以 2b−3a=11，ab=10，
解：（1）在(x−1)5=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6 中，将 x=0 代入得到，(−1)5=a6，所以 a6=−1； （2）在(x−1)5=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6 中，将 x=1 代入得到， 0=a1+a2+a3+a4+a5+a6；所以 a1+a2+a3+a4+a5=1； （3）在(x−1)5=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6 中，将 x=−1 代入得到， −32=−a1+a2−a3+a4−a5+a6；所以 a1−a2+a3−a4+a5=32+a6=31； （4）2(a2+a4)=(a1+a2+a3+a4+a5)−(a1−a2+a3−a4+a5)=1+31=32，所以 a2+a4=16， 所以 a2+a4+a6=15.
（3）已知 x − y =1，则 (4x−3y)2−8x+6y+1 的值为
。
34
解：因为 x − y =1，所以 4x−3y=12， 34
则 (4x−3y)2−8x+6y+1=122−2×12+1=121.
例 6．（1）若 m2+mn=−3，n2−3mn=12，则 m2+4mn−n2=
；3m2+n2=
(2x+a)(x+b)=2x2−9x+10，即 2x2+(a+2b)x+ab=2x2−9x+10，所以 a+2b=−9，ab=10， 解得 a=−5，b=−2. （2）(2x+a)(3x+b)= (2x−5)(3x−2)=6x2−19x+10.
例
3．已知
a=
19992 19982
−1999 +1998
参考答案
Biblioteka Baidu
例题精选：
例 1．（1）如果多项式 3x3−2x2+x+|k|x2−5 中不含 x2 项，则 k 的值为（ A ）
A．±2
B−2
C．2
D．0
（2）已知多项式 3x2−2x−4 与多项式 A 的和为 6x−1，且式子 A+(mx+1)的计算结果中不含关于 x 的一次项，
则 m= −8
；
（3）已知多项式 x2+nx+3 与多项式 x2−3x+m 的乘积中不含 x2 和 x3 项，则 m+n= 9
。
知识模块三、赋值法 赋值法：对于有些问题，可以根据具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊
值(如 0，1，−1)，往往能使问题获得简捷有效的解决。 举例 已知(x+1)3=a0+a1x+a2x2+a2x3，求 a0+a1+a2+a3。 分析：直接求 a0、a1、a2、a3 的值比较复杂，但赋值 x=1，即可非常便捷的得到 a0+a2+a2+a3=(1+1)2=8。
A．±2
B−2
C．2
D．0
（2）已知多项式 3x2−2x−4 与多项式 A 的和为 6x−1，且式子 A+(mx+1)的计算结果中不含关于 x 的一次项，
则 m=
；
（3）已知多项式 x2+nx+3 与多项式 x2−3x+m 的乘积中不含 x2 和 x3 项，则 m+n=
。
例 2．小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b)，小华把第一个多项式中的 a 抄成了−a，得到结果 为 6x2+11x−10；小明把第二个多项式中的 3x 抄成了 x，得到结果为 2x2−9x+10， （1）你知道式子中 a，b 的值各是多少吗? （2）请你计算出这道题的正确结果。
=4(a−2)=4a−8。
2．已知 a−b=−3，c+d=2，求(b+c)−(a−d)的值。 解：因为 a−b=−3，c+d=2，
所以(b+c)−(a−d)=(b−a)+(c+d)=3+2=5.
3．当 x=1 时，多项式 ax2+bx+1 的值为 3，求多项式 2(3a−b)−(5a−3b)的值。 解：当 x=1 时，多项式 ax2+bx+1 的值为 3，即 a+b+1=3，所以 a+b=2，
2(3a−b)−(5a−3b)=a+b=2.
4．已知 a−2b+3c=7，4a+3b−2c=3，求代数式 5a+12b−13c 的值。 解：因为 a−2b+3c=7，4a+3b−2c=3，
所以 5a+12b−13c=−3×(a−2b+3c)+2×(4a+3b−2c) =−3×7+2×3=−15。
5．如果(x+1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，试求：a1+a3+a5。 解：因为(x+1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，
；
解：因为 2x2+3x+7=10，所以 2x2+3x=3
6x2+9x−7=3(2x2+3x)−7=9−7=2.
（2）当 x=1，y=−1 时，ax+by−3=0，那么当 x=−1，y=1 时，ax+by−3 的值是
；
解：当 x=1，y=−1 时，ax+by−3=a−b−3=0，所以 a−b=3，
当 x=−1，y=1 时，ax+by−3=−a+b−3=−3−3=−6.
例 4．（1）化简：5(x−2y)−4(x−2y)=
；
（2）7(a−b)+3(b−a)−4(a−b)=
。
例 5．（1）若多项式 2x2+3x+7 的值为 10，则多项式 6x2+9x−7 的值为
；
（2）当 x=1，y=−1 时，ax+by−3=0，那么当 x=−1，y=1 时，ax+by−3 的值是
第三讲 整式巅峰突破
知识模块一、|整式的化简求值 整式的运算： 1．一般步骤：先去括号，然后合并同类项。 2．特别注意
去括号时，要注意两个方面： （1）括号外的数字因数要乘括号内的每一顶； （2）当括号外是“−”时，去括号后括号内的各项都要改变符号。
例 1．（1）如果多项式 3x3−2x2+x+|k|x2−5 中不含 x2 项，则 k 的值为（ ）
；
解：因为 a−b=2，a−c=1，c−d=−1，则 c−b=(a−b)−(a−c)=1，a−d=(a−c)+(c−d)=1−1=0.
所以(2a−b−c)2+(c−b)2+(a−d)2=[(a−b)+(a−c)]2+(c−b)2+(a−d)2=(2+1)2+12+02=10.
（3）已知 a+2b+3c+4d=3，a−2b+4c+5d=2，则 a+10b+c+2d=
举例 已知 2a−b=6，求 4a−2b+8 的值。 分析：我们可以不把 a、b 具体求出来，而是把 2a−b 看成一个整体， 则 4a−2b+8 可以看成是 2a−b 的 2 倍与 8 的和， 即：4a−2b+8=2(2a−b)+8=20。 （1）整体思想经常用到值互为相反的代数式，如 a−b 与 b−a、2x−y 与 y−2x； （2）常用的技巧有 a−b=−(b−a)，(a−b)2=(b−a)2 等。
例 8．将(1+2x−3x2)5 展开，则所得多项式的系数和为
。
解：将 x=1 代入得到(1+2−3)5=0，所以所得多项式的系数和为 0.
随堂练习
1．化简：2(a−1)2−(2−a)+(1−a)2−3(a−1)2+3(a−2)。 解：原式=2(a−1)2+(a−2)+(a−1)2−3(a−1)2+3(a−2)
将 x=0 代入得到 1=a0； 将 x=1 代入得到 64=1+a1+a2+a3+a4+a5+a6，得到 a1+a2+a3+a4+a5+a6=63， 将 x=−1 代入得到 0=1−a1+a2−a3+a4−a5+a6，得到 a1−a2+a3−a4+a5−a6=1， 两式相加得到 a1+a3+a5=32.
。
解：因为 a+2b+3c+4d=3，a−2b+4c+5d=2，
则 a+10b+c+2d=3(a+2b+3c+4d)−2(a−2b+4c+5d)=3×3−2×2=5.
例 7．如果(x−1)5=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，求： （1）a6 的值； （2）a1+a2+a3+a4+a5； （3）a1−a2+a3−a4+a5； （4）a2+a4+a6。