结构力学 10. 结构的动力计算1
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上图添加了附加支杆， 称为附加支杆法
§10-2单自由度体系的自由振动
小结 （1）刚度法 —— 研究作用于被隔离的质量上的力，建立
平衡方程，需要用到刚度系数k。 （2）柔度法 —— 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，
（3）方法选择
需要用到柔度系数δ 。
刚度法
柔度法
谁较简单？
超静定结构，查表2（形常数）求k
§10-2单自由度体系的自由振动
1 概念建立
一般来说，刚度法多用
1）刚度法 — 力的平衡 两种方法：
2）柔度法 — 位移协调
于超静定结构；柔度法 多用于静定结构及简单 超静定结构。
刚度系数 k
物理含义
柔度系数δ
1 k
δ
FP 1
k：产生单位位移所需的力
刚度法
δ ：单位力作用下所产生的位移
k1
柔度法
非简谐性的周期荷载 t
FP (t) FP
典型的周期荷载是 简谐荷载。机器转
t 简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示
动部分引起的荷载 属于2简00谐4年荷8载月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第二类——冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。
FP (t)
FP
FP
tr
t
td t
各种爆炸荷载属于这一类 2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
例1 n=4
原体系
附加链杆法
换铰法，也可用n=W=2j-b=4
例2 n=1
例3 n=2
EI=∞
m
EI=∞ E3I=∞
mm
1
2
例4 n=1 EI=∞
EI=∞ EI=∞ EI=∞
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
动力体系的简化方法 第一、集中质量法：把连续分布质量集中为几个质点。
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第三类——随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定。
某次地震波时程 地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
3 动力计算中体系的自由度(DOF)n（不能为负值）
自由度定义: 为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需 确定的独立几何参数的数目.
2a
求解λ结果有三种情况：
1 当λ1≠ λ2，为实根时
y C1e1x C2e2 x
2 当λ1= λ2= λ，为实根时
y e x (C1 C2 x)
3 当λ1、 λ2为共轭复数，即λ1=α+βi、 λ2=α-βi 时
y e x (C1 cos x C2 sin x)
§10-2 单自由度体系的自由振动
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆达朗贝尔原理
在所考虑的力系中增加惯性力，动力计算问题可以转化 为静力平衡问题来处理。
即：
Fx Fy
0 0
M 0
此“平衡”问题是一动态平衡。
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
2 动荷载的分类 ◆第一类——周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
自由度的个数与集中质量的个数不一定相等 一个集中质量，两个自由度 2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第二、广义坐标法
对于具有分布质量的简支梁的挠度曲线：
y x
k 1
ak
sin
k
l
x
三角级数
ak 称为广义坐标，通常只取级数的前n项。
第10章 结构的动力计算
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7
动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 两个自由度体系的自由振动 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 小结
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
刚度系数k 取决于结构的
柔度系数δ
谁较容易求得?
静定结构及简单超静定结构，图乘 法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
§10-2单自由度体系的自由振动
2 振动方程的建立 力学模型
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt ky t 0 （一元二阶常系数齐次微分方程）
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
确定体系自由度可概括有三种方法：定义法、附加链杆法、换铰法。
定义法：多用于确定较简单体系动力自由度。
附加链杆法：在各质点发生独立位移方向上添加附加链杆，使体 系上全部质点完全固定，此时所添加的最少附加链杆数即为该体 系的振动自由度。 换铰法（也称铰结化）：在以弯曲为主，忽略轴向变形情况下， 将所有质点、刚结点、组合结点和固定支座换为铰结点、铰支 座后，使铰结化后的体系成为无多余约束几何不变体系（静定 结构）所需添加的最少链杆数即为该体系的振动自由度数。注 意 EI=：∞遇杆到件弹上性质支点座不，能直换接成去铰掉结；点遇。到实定际向上支也座可不计要2算0换04铰年成结8铰月化支后座体； 系的W，则n=W。注意n不能为负值。
惯性力 FI I (t) my(t) (Inertial force)
y t my t my t
k
§10-2单自由度体系的自由振动
补充求解一元二阶常系数齐次微分方程相关高数知识：
微分方程的一般形式： ay by cy d 0
相应的特征方程： 特征根λ求解按公式：
a 2 b c 0 b b2 4ac
对于烟囱而言，挠度曲线为：
y x x2 a1 a2x anxn1 幂级数
2004年8月 注意：挠度曲线一定要满足边界条件
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第三、有限元法
形状函数是当某一结点位移为1时的挠度曲线
y x y11 x 12 x y47 x 20044年88月x
3 振动方程的解
设 k m
将振动微分方程改写为 yt 2 yt 0
通解
y C1 cost C2 sin t (d)
代入初始条件
y0 y0 y0 v0
得动位移为
y(t)
y0
c ost
v0
sin t
1 结构动力计算的特点 ◆动荷载与静荷载的区别 动荷载(大小、方向、作用位置）随时间变化。 ◆动力计算与静力计算的区别 (1)平衡方程中包括惯性力。 (2)平衡方程是瞬间平衡,荷载和内力都是时间的函数
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微 ——按静荷载考虑；
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大 ——按动荷载考虑.
上图添加了附加支杆， 称为附加支杆法
§10-2单自由度体系的自由振动
小结 （1）刚度法 —— 研究作用于被隔离的质量上的力，建立
平衡方程，需要用到刚度系数k。 （2）柔度法 —— 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，
（3）方法选择
需要用到柔度系数δ 。
刚度法
柔度法
谁较简单？
超静定结构，查表2（形常数）求k
§10-2单自由度体系的自由振动
1 概念建立
一般来说，刚度法多用
1）刚度法 — 力的平衡 两种方法：
2）柔度法 — 位移协调
于超静定结构；柔度法 多用于静定结构及简单 超静定结构。
刚度系数 k
物理含义
柔度系数δ
1 k
δ
FP 1
k：产生单位位移所需的力
刚度法
δ ：单位力作用下所产生的位移
k1
柔度法
非简谐性的周期荷载 t
FP (t) FP
典型的周期荷载是 简谐荷载。机器转
t 简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示
动部分引起的荷载 属于2简00谐4年荷8载月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第二类——冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。
FP (t)
FP
FP
tr
t
td t
各种爆炸荷载属于这一类 2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
例1 n=4
原体系
附加链杆法
换铰法，也可用n=W=2j-b=4
例2 n=1
例3 n=2
EI=∞
m
EI=∞ E3I=∞
mm
1
2
例4 n=1 EI=∞
EI=∞ EI=∞ EI=∞
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
动力体系的简化方法 第一、集中质量法：把连续分布质量集中为几个质点。
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆第三类——随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定。
某次地震波时程 地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
3 动力计算中体系的自由度(DOF)n（不能为负值）
自由度定义: 为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需 确定的独立几何参数的数目.
2a
求解λ结果有三种情况：
1 当λ1≠ λ2，为实根时
y C1e1x C2e2 x
2 当λ1= λ2= λ，为实根时
y e x (C1 C2 x)
3 当λ1、 λ2为共轭复数，即λ1=α+βi、 λ2=α-βi 时
y e x (C1 cos x C2 sin x)
§10-2 单自由度体系的自由振动
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
◆达朗贝尔原理
在所考虑的力系中增加惯性力，动力计算问题可以转化 为静力平衡问题来处理。
即：
Fx Fy
0 0
M 0
此“平衡”问题是一动态平衡。
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
2 动荷载的分类 ◆第一类——周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。
2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
自由度的个数与集中质量的个数不一定相等 一个集中质量，两个自由度 2004年8月
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第二、广义坐标法
对于具有分布质量的简支梁的挠度曲线：
y x
k 1
ak
sin
k
l
x
三角级数
ak 称为广义坐标，通常只取级数的前n项。
第10章 结构的动力计算
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7
动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 两个自由度体系的自由振动 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 小结
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
刚度系数k 取决于结构的
柔度系数δ
谁较容易求得?
静定结构及简单超静定结构，图乘 法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
§10-2单自由度体系的自由振动
2 振动方程的建立 力学模型
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt ky t 0 （一元二阶常系数齐次微分方程）
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
确定体系自由度可概括有三种方法：定义法、附加链杆法、换铰法。
定义法：多用于确定较简单体系动力自由度。
附加链杆法：在各质点发生独立位移方向上添加附加链杆，使体 系上全部质点完全固定，此时所添加的最少附加链杆数即为该体 系的振动自由度。 换铰法（也称铰结化）：在以弯曲为主，忽略轴向变形情况下， 将所有质点、刚结点、组合结点和固定支座换为铰结点、铰支 座后，使铰结化后的体系成为无多余约束几何不变体系（静定 结构）所需添加的最少链杆数即为该体系的振动自由度数。注 意 EI=：∞遇杆到件弹上性质支点座不，能直换接成去铰掉结；点遇。到实定际向上支也座可不计要2算0换04铰年成结8铰月化支后座体； 系的W，则n=W。注意n不能为负值。
惯性力 FI I (t) my(t) (Inertial force)
y t my t my t
k
§10-2单自由度体系的自由振动
补充求解一元二阶常系数齐次微分方程相关高数知识：
微分方程的一般形式： ay by cy d 0
相应的特征方程： 特征根λ求解按公式：
a 2 b c 0 b b2 4ac
对于烟囱而言，挠度曲线为：
y x x2 a1 a2x anxn1 幂级数
2004年8月 注意：挠度曲线一定要满足边界条件
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
第三、有限元法
形状函数是当某一结点位移为1时的挠度曲线
y x y11 x 12 x y47 x 20044年88月x
3 振动方程的解
设 k m
将振动微分方程改写为 yt 2 yt 0
通解
y C1 cost C2 sin t (d)
代入初始条件
y0 y0 y0 v0
得动位移为
y(t)
y0
c ost
v0
sin t
1 结构动力计算的特点 ◆动荷载与静荷载的区别 动荷载(大小、方向、作用位置）随时间变化。 ◆动力计算与静力计算的区别 (1)平衡方程中包括惯性力。 (2)平衡方程是瞬间平衡,荷载和内力都是时间的函数
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微 ——按静荷载考虑；
若荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大 ——按动荷载考虑.